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第五章 分式与分式方程 单元同步培优卷
一、单选题
1．若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．下列算式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．若商品的买入价为，售出价为，则毛利率．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
7．如果=0，则x等于（ ）
A．±2 B．-2 C．2 D．3
8．关于x的不等式组 无解，且关于x的分式方程 有正整数解，则满足条件的所有整数a的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植棵树，乙班共植棵树设甲班每小时植棵树，依题意可列方程为( )
A． B． C． D．
10．从﹣3，﹣1， ，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组 无解，且使关于x的分式方程 ﹣ =﹣1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣ D．
二、填空题
11．分式方程的解为 ．
12．若关于的方程无解，则m的值为 ．
13．当x= 时，分式 的值为1．
14． 已知，则＝ ．
15．当a，b满足关系 时，分式=．
16．计算： = ．
三、综合题
17．某学校组织学生去离学校的红色基地开展研学活动，先遣队员和大队同时出发，先遣队的速度是大队速度的1.2倍，结果先遣队比大队早到．求先遣队和大队的速度各是多少？
18．根据素材，完成任务．
如何设计雪花模型材料采购方案？
素材一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为与．
素材二 某商店的店内广告牌如右所示.5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根． 1．短管子售价：a元/根，长管子售价：元/根．2.6月1日起，购买3根长管子赠送1根短管子．
问题解决
任务一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？
任务二 确定采购费用 试求a的值并求出假如6月只制作一个甲款雪花模型的材料采购费．
19．为培养学生的阅读能力，深圳市某校八年级购进《朝花夕拾》和《西游记》两种书籍，分别花费了14000元和7000元，已知《朝花夕拾》的订购单价是《西游记》的订购单价的1.4倍.并且订购的《朝花夕拾》的数量比《西游记》的数量多300本．
（1）求该校八年级订购的两种书籍的单价分别是多少元；
（2）该校八年级计划再订购这两种书籍共100本作为备用，其中《朝花夕拾》订购数量不低于30本，且两种书总费用不超过1200元，请求出再订购这两种书籍的最低总费用的方案及最低费用为多少元？
20．在今年新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了 、 两种不同型号的口翠，已知 型口罩的单价比 型口罩的单价多1.5元，且用8000元购买 型口罩的数量与用5000元购买 型口罩的数量相同．
（1） 、 两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）根据疫情发展情况，该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买 型口罩数量是 型口罩数量的2倍，若总费用不超过3800元，则增加购买 型口罩的数量最多是多少个？
21．某超市用5000元购进一批儿童玩具进行试销，很快销售一空．于是超市又调拨18000元资金购进该种儿童玩具，这次进货价比试销时每件多1元，购进的数量是试销时购进数量的3倍．
（1）求试销时该种儿童玩具每件进货价是多少元？
（2）超市将第二批儿童玩具按照试销时的标价出售90%后，余下的八折售完．试销和第二批儿童玩具两次销售中，超市总盈利不少于8520元，那么该种儿童玩具试销时每件标价至少为多少元？
22．某部队将在指定山区进行军事演习，为了使道路便于部队重型车辆通过，部队工兵连接到抢修一段长3600米道路的任务，按原计划完成总任务的 后，为了让道路尽快投入使用，工兵连将工作效率提高了50%，一共用了10小时完成任务．
（1）按原计划完成总任务的 时，已抢修道路 米；
（2）求原计划每小时抢修道路多少米？
23．为应对新冠疫情，某药店到厂家选购A、B两种品牌的医用外科口罩，B品牌口罩每个进价比A品牌口罩每个进价多0.7元，若用7200元购进A品牌数量是用5000元购进B品牌数量的2倍．
（1）求A、B两种品牌的口罩每个进价分别为多少元？
（2）若A品牌口罩每个售价为2元，B品牌口罩每个售价为3元，药店老板决定一次性购进A、B两种品牌口罩共6000个，在这批口罩全部出售后所获利润不低于1800元．则最少购进B品牌口罩多少个？
24．为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生已知用300元购买甲种文具的个数是用50元购买乙种文具个数的2倍，购买1个甲种文具比购买1个乙种文具多花费10元．
（1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元；
（2）若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不多于1000元，且甲种文具至少购买36个，求有多少种购买方案．
25．某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价；
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
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第五章 分式与分式方程 单元同步培优卷
一、单选题
1．若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
2．若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
3．下列算式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、，不符合题意；
B、，符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据完全平方公式、合并同类项、分式的乘方、负整数指数幂的性质分别计算，再判断即可.
4．下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、，故此选项中的分式不是最简分式，此选项不符合题意；
B、，故此选项中的分式不是最简分式，此选项不符合题意；
C、的分子分母没有除1以外的公因式了，故此选项中的分式是最简分式，此选项符合题意；
D、，故此选项中的分式不是最简分式，此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】分式的分子、分母没有除“1”以外的其它公因式的分式，就是最简分式，据此逐一判断得出答案.
5．下列各式中，计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
6．若商品的买入价为，售出价为，则毛利率．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
去分母得，
移项得，即：，
∵，
∴，
∴，
∴；
检验：把代入 中分母不等于0，
∴是原方程的解，
故答案为：C．
【分析】本题考查解分式方程，将，看作常数，通过去分母、移项、合并同类项、化系数为1，求出，由于它属于分式方程，记得检验．
7．如果=0，则x等于（ ）
A．±2 B．-2 C．2 D．3
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得|x|﹣2=0且x2﹣x﹣6≠0，
解得x=2．
故选C．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子=0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
8．关于x的不等式组 无解，且关于x的分式方程 有正整数解，则满足条件的所有整数a的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】【解答】解：不等式组整理得：
不等式组无解，则 解得：
分式方程去分母得：
解得： 是正整数，
当 时， 分式方程无解
满足条件的 有3个.
故答案为：B.
【分析】分别解不等式，根据不等式组无解，确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程有正整数解，确定出满足题意整数a的值即可.
9．植树节的起源可以追溯到中国古代“孟春之月，盛德在木”的传统观念，这体现了古人对树木的深深敬仰某校在“植树节”期间带领学生开展植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植棵树，乙班共植棵树设甲班每小时植棵树，依题意可列方程为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设甲班每小时植x棵树，则乙班每小时植(x-3)棵树，
根据题意，可如甲、乙两班植树时间相同，
可列方程：，
故答案选：A.
【分析】根据两班植树时间相同，列出方程即可.
10．从﹣3，﹣1， ，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组 无解，且使关于x的分式方程 ﹣ =﹣1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣ D．
【答案】B
【解析】【解答】解：不等式组整理得：，
由不等式组无解，得到a≤1，即a=-3，-1，1，，
①当a=-3时，分式方程
去分母得：x-5=-x+3，
解得：x=4，
经检验x= 4是分式方程的解，且为整数解，满足题意；
②当a=-1时，分式方程为，
去分母得：x-3=-x+3，
解得：x=3，
经检验x=3是增根，分式方程无解，不满足题意；
③当a=1时，分式方程为，
去分母得： x-1=-x+3，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解，且为整数解，满足题意，
④当a=时，分式方程为
去分母得：，
解得：x=，不满足题意；
则这5个数中所有满足条件的a的值之和为-3+1=-2.
故答案为：B
【分析】表示出不等式组中两不等式的解集，由不等式组无解确定出a的值，代入分式方程判断，求出满足条件a的值，求出之和即可.
二、填空题
11．分式方程的解为 ．
【答案】1
【解析】【解答】解：
去分母得，，
解得，，
经检验是分式方程的解，
故答案为：1．
【分析】方程两边同时乘以x+2（右边的1不能漏乘），将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验可得方程的解.
12．若关于的方程无解，则m的值为 ．
【答案】-7
【解析】【解答】解：分式方程变形得：，
两边同时乘以（y 2）得： 3＝4＋m＋y 2，
整理得：m＋y＝ 5，
∵方程无解，
∴y＝2，
把y＝2代入m＋y＝ 5中得：
m＋2＝ 5，
解得m＝ 7．
故答案为：-7．
【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据方程无解的条件求解即可。
13．当x= 时，分式 的值为1．
【答案】1
【解析】【解答】解：据题意得 =1．
方程的两边同乘（x﹣2），得
2x﹣3=x﹣2，解得：x=1．
检验：把x=1代入（x﹣2）=﹣1≠0
∴原方程的解为：x=1．
∴当x=1时，分式 的值为1．
【分析】根据题意建立分式方程，求解即可。
14． 已知，则＝ ．
【答案】
【解析】【解答】解：
即，
，
故答案为：．
【分析】先通分后得到a+b=4ab，然后整体代入即可求解．
15．当a，b满足关系 时，分式=．
【答案】a≠b
【解析】【解答】解：依题意得 a﹣b≠0，
解得 a≠b．
故答案为：a≠b．
【分析】分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
16．计算： = ．
【答案】
【解析】【解答】原式= = = .
【分析】根据同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减，分子分母约分得到结果.
三、综合题
17．某学校组织学生去离学校的红色基地开展研学活动，先遣队员和大队同时出发，先遣队的速度是大队速度的1.2倍，结果先遣队比大队早到．求先遣队和大队的速度各是多少？
【答案】先遗队的速度是，大队的速度是
18．根据素材，完成任务．
如何设计雪花模型材料采购方案？
素材一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制作．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型．已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为与．
素材二 某商店的店内广告牌如右所示.5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根． 1．短管子售价：a元/根，长管子售价：元/根．2.6月1日起，购买3根长管子赠送1根短管子．
问题解决
任务一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？
任务二 确定采购费用 试求a的值并求出假如6月只制作一个甲款雪花模型的材料采购费．
【答案】任务一：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子27根
任务二： 制作一个甲款雪花模型需要的费用为：（元）
19．为培养学生的阅读能力，深圳市某校八年级购进《朝花夕拾》和《西游记》两种书籍，分别花费了14000元和7000元，已知《朝花夕拾》的订购单价是《西游记》的订购单价的1.4倍.并且订购的《朝花夕拾》的数量比《西游记》的数量多300本．
（1）求该校八年级订购的两种书籍的单价分别是多少元；
（2）该校八年级计划再订购这两种书籍共100本作为备用，其中《朝花夕拾》订购数量不低于30本，且两种书总费用不超过1200元，请求出再订购这两种书籍的最低总费用的方案及最低费用为多少元？
【答案】（1）《西游记》的单价是10元，《朝花夕拾》的单价是14元；
（2）订购《朝花夕拾》30本，订购《西游记》70本时，最低总费用为1120元．
20．在今年新冠肺炎防疫工作中，某公司购买了 、 两种不同型号的口翠，已知 型口罩的单价比 型口罩的单价多1.5元，且用8000元购买 型口罩的数量与用5000元购买 型口罩的数量相同．
（1） 、 两种型号口罩的单价各是多少元？
（2）根据疫情发展情况，该公司还需要增加购买一些口罩，增加购买 型口罩数量是 型口罩数量的2倍，若总费用不超过3800元，则增加购买 型口罩的数量最多是多少个？
【答案】（1）解：设 型口罩单价为 元/个，则 型口罩单价为 元/个，
根据题意，得： ，解方程，得 ，
经检验： 是原方程的根，且符合题意，∴ （元），
答： 型口罩单价为4元/个， 型口罩单价为2.5元/个
（2）解：设增加购买 型口罩的数量是 个，则增加购买 型口罩数量是2 个，
根据题意，得： ，
解不等式，得： ，
∵ 为正整数，∴正整数 的最大值为422，
答：增加购买 型口罩的数量最多是422个
【解析】【分析】（1）根据 型口罩的单价比 型口罩的单价多1.5元 ，列方程求解即可；
（2）根据总费用不超过3800元，列不等式求解即可。
21．某超市用5000元购进一批儿童玩具进行试销，很快销售一空．于是超市又调拨18000元资金购进该种儿童玩具，这次进货价比试销时每件多1元，购进的数量是试销时购进数量的3倍．
（1）求试销时该种儿童玩具每件进货价是多少元？
（2）超市将第二批儿童玩具按照试销时的标价出售90%后，余下的八折售完．试销和第二批儿童玩具两次销售中，超市总盈利不少于8520元，那么该种儿童玩具试销时每件标价至少为多少元？
【答案】（1）解：设试销时该种儿童玩具每件进货价是x元．
3× = ，
解得x=5，
经检验，x=5是原分式方程的解．
答：试销时该种儿童玩具每件进货价是5元
（2）解：设该种儿童玩具试销时每件标价为y元．
1000（y﹣5）+2000×0.9（y﹣6）+2000×0.1（0.8y﹣6）≥8520，
解得y≥8
答：该种儿童玩具试销时每件标价至少为8元
【解析】【分析】（1）设试销时该种儿童玩具每件进货价是x元，则实际进货价为（1+x）元，根据这次购进儿童玩具数量是试销时的3倍，列方程求解；（2）设该种儿童玩具试销时每件标价为y元，求出总购进的儿童玩具数量，根据超市在这两次儿童玩具销售中的盈利不低于8520元，列不等式求解．
22．某部队将在指定山区进行军事演习，为了使道路便于部队重型车辆通过，部队工兵连接到抢修一段长3600米道路的任务，按原计划完成总任务的 后，为了让道路尽快投入使用，工兵连将工作效率提高了50%，一共用了10小时完成任务．
（1）按原计划完成总任务的 时，已抢修道路 米；
（2）求原计划每小时抢修道路多少米？
【答案】（1）1200
（2）解：设原计划每小时抢修道路x米，根据题意得： ，
解得：x=280，
经检验：x=280是原方程的解．
答：原计划每小时抢修道路280米
【解析】【解答】解：（1）按原计划完成总任务的 时，已抢修道路3600× =1200米，
故答案为：1200米；
【分析】（1）用3600×，即可算出按原计划完成总任务的 时，已抢修道路的长度；
（2）设原计划每小时抢修道路x米，根据工作总量除以工作效率等于工作时间得出：按原计划完成总任务的 时，所需要的时间为小时，提高工作效率后每小时抢修道路（1+50％）x米，完成剩下的工作量需要的时间是小时，根据修完道路公用10小时，列出方程，求解并检验即可。
23．为应对新冠疫情，某药店到厂家选购A、B两种品牌的医用外科口罩，B品牌口罩每个进价比A品牌口罩每个进价多0.7元，若用7200元购进A品牌数量是用5000元购进B品牌数量的2倍．
（1）求A、B两种品牌的口罩每个进价分别为多少元？
（2）若A品牌口罩每个售价为2元，B品牌口罩每个售价为3元，药店老板决定一次性购进A、B两种品牌口罩共6000个，在这批口罩全部出售后所获利润不低于1800元．则最少购进B品牌口罩多少个？
【答案】（1）解：设A种品牌的口罩每个进价为x元，则B品牌口罩每个进价为（x+0.7）元，依题意得：
解得x=1.8，
经检验x=1.8是原方程的解，
x+1.8=2.5（元），
答：A种品牌的口罩每个的进价为1.8元，B种品牌的口罩每个的进价为2.5元
（2）解：设购进B种品牌的口罩m个，则A品牌口罩购进（6000-m）个，根据题意得，
（2-1.8）（6000-m）+（3-2.5）m≥1800，
解得m≥2000，
∵m为整数，
∴m的最小值为2000．
答：最少购进种B品牌的口罩2000个．
【解析】【分析】（1）设A品牌口罩每个进价为x元， 则B品牌口罩每个进价为（x+0.7）元， 根据 用7200元购进A品牌数量是用5000元购进B品牌数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，截止即可；
（2）设购进B种品牌的口罩m个，则A品牌口罩购进（6000-m）个， 根据数量关系式可得关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可。
24．为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生已知用300元购买甲种文具的个数是用50元购买乙种文具个数的2倍，购买1个甲种文具比购买1个乙种文具多花费10元．
（1）求购买一个甲种文具、一个乙种文具各需多少元；
（2）若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不多于1000元，且甲种文具至少购买36个，求有多少种购买方案．
【答案】（1）解：设购买一个乙种文具x元，则一个甲种文具（x+10）元，由题意得：
，解得x=5，
经检验，x=5是原方程的解，且符合题意，
x+10=15（元），
答：购买一个甲种文具15元，一个乙种文具5元；
（2）解：设购买甲种文具a个，则购买乙种文具（120-a）个，根据题意得：
，
解得36≤a≤40，
∵a是正整数，
∴a=36，37，38，39，40．
∴有5种购买方案．
【解析】【分析】（1）设购买一个乙种文具x元，则一个甲种文具（x+10）元，根据“用300元购买甲种文具的个数是用50元购买乙种文具个数的2倍，”列方程解答即可；（2）设购买甲种文具a个，则购买乙种文具（120-a）个，根据题意列不等式组，解之即可得出a的取值范围，结合a为正整数即可得出a的值，进而可找出各购买方案．
25．某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价；
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
【答案】（1）解：设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为（x+8）元．
根据题意，得， ＝ ，
解得 x＝40．
经检验，x＝40是原方程的解．
答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；
（2）解：甲乙两种商品的销售量为 ＝50．
设甲种商品按原销售单价销售a件，则
（60﹣40）a+（60×0.7﹣40）（50﹣a）+（88﹣48）×50≥2460，
解得 a≥20．
答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．
【解析】【分析】（1）
设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为（x+8）元． 根据甲商品的总金额÷甲的单价=乙商品的总金额÷乙的单价列方程解出x即可。
（2）由题目用总价÷单价得到销售量，设 设甲种商品按原销售单价销售a件 ，根据甲a件的利润+（50-a）按七折销售的利润+乙的销售利润≥2460列不等式，解出a的范围即可。
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