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分课时教学设计
第二课时《11.1.2 不等式的性质（第1课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课的学习内容是不等式的性质，是在学习了等式的性质，掌握了一元一次方程解法的基础上，研究不等式的性质，通过类比等式性质，观察具体数值、归纳不等式的性质。本节内容在初中数学中，占据了非常重要的地位，这节内容的学习直接关系到解不等式和不等式组，以及为其他学科和今后的学习打下基础。
学习者分析 在此之前学生已学习了等式的基本性质，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。但部分学生因时间关系可能会发生知识上的遗忘，所以应全面系统的复习、回顾，深入浅出的分析，并要在课堂上充分调动学生的学习积极性，激发学生主体的能动力。
教学目标 1．类比等式的性质，探索并理解不等式的性质，知道等式的性质与不等式的性质的区别． 2．在类比等式性质，观察具体数值、探索归纳不等式的性质的过程中，感受运算中的不变性、规律性，发展符号表达能力，体会类比思想．
教学重点 探索不等式的性质．
教学难点 不等式性质3的探索及理解．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．类比等式的性质，探索并理解不等式的性质，知道等式的性质与不等式的性质的区别． 2．在类比等式性质，观察具体数值、探索归纳不等式的性质的过程中，感受运算中的不变性、规律性，发展符号表达能力，体会类比思想．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 问题：1.对于某些简单的不等式，可以直接得出它们的解集，例如不等式 x＋4＞10 的解集是 x＞6，不等式 2x＜6 的解集是 x＜3．但是对于比较复杂的不等式，例如，直接得出它的解集就比较困难．因此，还要讨论怎样解不等式． 2.等式有哪些性质？你能分别用文字语言和符号语言表示吗？ 预设： 文字语言符号语言性质1等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.如果a=b，那么a+c=b+c或 a-c=b-c性质2等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.如果a=b，那么ac=bc 如果a=b (c≠0)，那么=
引入：与解方程需要依据等式的性质一样，解不等式需要依据不等式的性质．为此，我们先来看一看不等式有什么性质．学生活动2： 学生认真听讲，并积极回答问题。活动意图说明： 通过复习等式性质的相关内容，为类比探究不等式的性质做好准备。环节三：新知讲解教师活动3： 讲解：与等式类似，关于不等式，有以下两个基本事实： (1)交换不等式两边，不等号的方向改变： 如果a>b，那么b
x，可得x<5. (2)不等关系可以传递： 如果a>b，b>c，那么a>c. 例如，由y>x，x>-3，可得y>-3. 引问1：类比等式的性质 1，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），大小关系会发生变化吗？ 探究1：用“＜”或“＞”填空，并观察不等号的方向是否改变，总结其中的规律： （1）5＞3， 5＋2_____3＋2， 5＋0_____3＋0， 5＋(－2)_____3＋(－2)； （2）－1＜3， －1＋4_____3＋4， －1＋0_____3＋ 0， －1＋(－7)_____3 ＋(－7)． 根据发现的规律填空：不等式两边加同一个数，不等号的方向_________． 答案：（1）＞，＞，＞ （2）＜，＜，＜ 不变 追问：换一些其他数，验证这个发现． 讲解：由于减法可以转化为加法，因而这个规律对于不等式两边减去同一个数的情形仍然成立． 归纳：不等式性质1： 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． 符号语言： 如果 a＞b，那么 a±c＞b±c. 如果 a＜b，那么 a±c＜b±c． 引问2：类比等式的性质 2，不等式两边乘（或除以）同一个不为 0 的数，大小关系会发生变化吗？ 探究2：用“＜”或“＞” 填空，并观察不等号的方向是否改变，总结其中的规律： （1）6＞2， 6×5____2×5， 6×(－5)____2×(－5)； （2）－2＜3， －2×4____3×4， －2×(－0.5)____3×(－0.5). 根据发现的规律填空：不等式两边乘同一个正数，不等号的方向_______ ； 不等式两边乘同一个负数，不等号的方向 _______． 答案：（1）＞，＜ （2）＜，＞ 不变，改变 追问：换一些其他数，验证这个发现．如果不等式两边 乘 0，结 果又如何呢？ 讲解：由于除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，并且这个数的倒数和它的符号相同，因而这个规律对于不等式两边除以同一个不为0的数的情形仍然成立． 归纳：不等式性质2： 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 符号语言： 如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc； 如果 a＜b，c＞0，那么 ac＜bc． 不等式性质3： 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 符号语言： 如果 a＞b，c＜0，那么ac＜bc ． 如果 a＜b，c＜0，那么ac＞bc ． 思考1：比较不等式的性质2和性质3，它们有什么区别． 预设： 不等式的性质1不等式的性质2乘除的数的符号正数负数不等号方向不变改变
思考2：等式的性质与不等式的性质有什么联系和区别。 预设： 等式的性质不等式的性质两边加（或减）同一个数（或式子）相等关系不变不等关系不变两边乘（或除以）同一个正数相等关系不变不等关系不变两边乘（或除以）同一个负数相等关系不变不等关系改变
例1：已知a>b，比较下列两个式子的大小，并说明依据。 （1）a+3与b+3； （2）-2a与-2b. 解：（1）因为a>b, 所以a+3>b+3（不等式的性质1） （2）因为a>b, 所以-2a<-2b（不等式的性质3） 例2：根据不等式的基本性质，用“＜”或“＞”填空． （1）若a－1＞b－1，则a____b； （2）若a＋3＞b＋3，则a____b； （3）若2a＞2b，则a____b； （4）若－2a＞－2b，则a___b． 答案：＞，＞，＞，＜学生活动3： 学生先独立思考，然后合作探究，并和老师一起归纳不等式的3条性质，并进一步对比等式性质和不等式性质两者之间的联系和区别活动意图说明： 类比等式的性质，探究不等式的性质，从具体的数值入手，引导不生探究并发现规律，从而总结归纳得出不等式的3条性质。环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：11.1.2 不等式的性质（第1课时） 一、不等式性质1 二、不等式性质2 三、不等式性质3教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．已知，下列各式中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 答案：C 2．如果，那么下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：A 3．如果，那么 ．（填“”或“”） 答案： 选做题： 4．用三个不等式，，中的一个不等式与作为条件，余下的其中一个不等式作为结论组成一个命题，其中能组成真命题的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 【综合拓展类练习】 5．先阅读下面的解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：因为，① 所以，② 故．③ (1)上述解题过程中，从步骤_______开始出现错误； (2)请写出正确的解题过程． 解：（1）由题意得②错误， 根据不等式两边乘以负数，不等式号改变即可判断； 故答案为：②； （2）因为， 所以， 故．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．已知，为任意有理数，下列式子中正确的是（ ） A． B． C． D． 答案：B 2．已知，则下列式子不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 答案：A 3．小明竟然推导出了0>5的错误结论．请你仔细阅读他的推导过程，指出问题出在哪里． 已知，两边都乘5，得，① 两边都减去5x，得，② 即，③ 两边都除以，得．④ 解：问题出在第④步． ∵ ∴， ∴两边都除以，得． 选做题： 4．下列是真命题的有 （填序号）． ①若且，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则； ⑥若，则；⑦若，，则 答案：⑤⑥⑦ 【综合拓展类作业】 5．根据等式和不等式的性质，可以得到：若，则 ；若，则b；若，则．这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式的值的大小． (1)若 则 （填“>”“=”或“<”）． (2)已知 ，试比较A，B的大小． 解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴．
教学反思 本课从学生已有知识出发，利用类比思想，引导学生进行知识迁移。通过探究活动，学生在观察、猜测、交流中构建新知，提升能力。同时，尊重学生主体地位，通过评价激励学生发展。同进注重多样化练习，巩固所学知识，激活课堂气氛，使学生扎实掌握并灵活运用不等式性质。
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第十章 不等式与不等式组
11.1.2 不等式的性质
（第1课时）
1．类比等式的性质，探索并理解不等式的性质，知道等式的性质与不等式的性质的区别．
2．在类比等式性质，观察具体数值、探索归纳不等式的性质的过程中，感受运算中的不变性、规律性，发展符号表达能力，体会类比思想．
不等式
不等式的解
方程的解
等式（方程）
等式的性质
不等式的性质
（不等式的解集）
类比
1.对于某些简单的不等式，可以直接得出它们的解集，例如不等式 x＋4＞10 的解集是 x＞6，不等式 2x＜6 的解集是 x＜3．但是对于比较复杂的不等式，例如，直接得出它的解集就比较困难．因此，还要讨论怎样解不等式．
2.等式有哪些性质？你能分别用文字语言和符号语言表示吗？
文字语言 符号语言
性质1 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等. 如果a=b，那么a+c=b+c或
a-c=b-c
性质2 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 如果a=b，那么ac=bc
如果a=b (c≠0)，那么=
与解方程需要依据等式的性质一样，解不等式需要依据不等式的性质．为此，我们先来看一看不等式有什么性质．
与等式类似，关于不等式，有以下两个基本事实：
(1)交换不等式两边，不等号的方向改变：
如果a>b，那么b例如，由5>x，可得x<5.
(2)不等关系可以传递：
如果a>b，b>c，那么a>c.
例如，由y>x，x>-3，可得y>-3.
类比等式的性质 1，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），大小关系会发生变化吗？
探究1：用“＜”或“＞”填空，并观察不等号的方向是否改变，总结其中的规律：
（1）5＞3，
5＋2_____3＋2，
5＋0_____3＋0，
5＋(－2)_____3＋(－2)；
（2）－1＜3，
－1＋4_____3＋4，
－1＋0_____3＋ 0，
－1＋(－7)_____3 ＋(－7)．
＞
＞
＞
＜
＜
＜
根据发现的规律填空：不等式两边加同一个数，不等号的方向_________．
不变
换一些其他数，验证这个发现．
由于减法可以转化为加法，因而这个规律对于不等式两边减去同一个数的情形仍然成立．
符号语言：
如果 a＞b，那么 a±c＞b±c.
如果 a＜b，那么 a±c＜b±c.
不等式性质1：
不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
类比等式的性质 2，不等式两边乘（或除以）同一个不为 0 的数，大小关系会发生变化吗？
探究2：用“＜”或“＞” 填空，并观察不等号的方向是否改变，总结其中的规律：
（1）6＞2，
6×5____2×5，
6×(－5)____2×(－5)；
＞
＜
（2）－2＜3，
－2×4____3×4，
－2×(－0.5)____3×(－0.5).
＜
＞
根据发现的规律填空：不等式两边乘同一个正数，不等号的方向_______ ； 不等式两边乘同一个负数，不等号的方向 _______．
不变
改变
换一些其他数，验证这个发现．如果不等式两边 乘 0，结 果又如何呢？
由于除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数，并且这个数的倒数和它的符号相同，因而这个规律对于不等式两边除以同一个不为0的数的情形仍然成立．
如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc；
如果 a＜b，c＞0，那么 ac＜bc．
不等式性质2：
不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
符号语言：
符号语言：
如果 a＜b，c＜0，那么ac＞bc ．
如果 a＞b，c＜0，那么ac＜bc ．
不等式性质3：
不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
思考1：比较不等式的性质2和性质3，它们有什么区别．
不等式的性质1 不等式的性质2
乘除的数的符号 正数 负数
不等号方向 不变 改变
思考2：等式的性质与不等式的性质有什么联系和区别。
等式的性质 不等式的性质
两边加（或减）同一个数（或式子）
两边乘（或除以）同一个正数
两边乘（或除以）同一个负数
相等关系不变
不等关系不变
相等关系不变
不等关系不变
相等关系不变
不等关系改变
例1：已知a>b，比较下列两个式子的大小，并说明依据。
（1）a+3与b+3； （2）-2a与-2b.
解：（1）因为a>b,
所以a+3>b+3（不等式的性质1）
（2）因为a>b,
所以-2a<-2b（不等式的性质3）
例2：根据不等式的基本性质，用“＜”或“＞”填空．
（1）若a－1＞b－1，则a____b；
（2）若a＋2＞b＋2，则a____b；
（3）若2a＞2b，则a____b；
（4）若－3a＞－3b，则a___b．
>
>
>
<
【知识技能类练习】必做题：
1．已知，下列各式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
C
【知识技能类练习】必做题：
2．如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
A
【知识技能类练习】必做题：
3．如果，那么 ．（填“”或“”）
>
【知识技能类练习】选做题：
4．用三个不等式，，中的一个不等式与作为条件，余下的其中一个不等式作为结论组成一个命题，其中能组成真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
B
【综合拓展类练习】
5．先阅读下面的解题过程，再解题．
已知，试比较与的大小．
解：因为，①
所以，②
故．③
(1)上述解题过程中，从步骤_______开始出现错误；
(2)请写出正确的解题过程．
②
解：（2）因为，
所以，
故．
不等式的性质 3
不等式的性质 1
不等式的性质 2
不等式的性质
【知识技能类作业】必做题：
1．已知，为任意有理数，下列式子中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
B
【知识技能类作业】必做题：
2．已知，则下列式子不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
A
【知识技能类作业】必做题：
3．小明竟然推导出了0>5的错误结论．请你仔细阅读他的推导过程，指出问题出在哪里．
已知，两边都乘5，得，①
两边都减去5x，得，②
即，③
两边都除以，得．④
解：问题出在第④步．
∵
∴，
∴两边都除以，得．
【知识技能类作业】选做题：
4．下列是真命题的有 （填序号）．
①若且，则；②若，则；
③若，则；④若，则；
⑤若，则； ⑥若，则；
⑦若，，则
⑤⑥⑦
【综合拓展类作业】
5．根据等式和不等式的性质，可以得到：若，则 ；若，则b；若，则．这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式的值的大小．
(1)若 则 （填“>”“=”或“<”）．
(2)已知 ，试比较A，B的大小．
>
解：（2）∵，
∴
，
∵，
∴，∴．中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 11.1.2 不等式的性质（第1课时） 单元 第十一章 学科 数学 年级 七年级
学习 目标 1．类比等式的性质，探索并理解不等式的性质，知道等式的性质与不等式的性质的区别． 2．在类比等式性质，观察具体数值、探索归纳不等式的性质的过程中，感受运算中的不变性、规律性，发展符号表达能力，体会类比思想．
重点 探索不等式的性质．
难点 不等式性质3的探索及理解．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1.对于某些简单的不等式，可以直接得出它们的解集，例如不等式 x＋4＞10 的解集是 x＞6，不等式 2x＜6 的解集是 x＜3．但是对于比较复杂的不等式，例如，直接得出它的解集就比较困难．因此，还要讨论怎样解不等式． 2.等式有哪些性质？你能分别用文字语言和符号语言表示吗？ 文字语言符号语言性质1性质2
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助等式的性质及其探究方式，研究不等式的性质。 阅读：与等式类似，关于不等式，有以下两个基本事实： (1)交换不等式两边，不等号的方向________： 如果a>b，那么b____a. 例如，由5>x，可得x____5. (2)不等关系可以传递： 如果a>b，b>c，那么a____c. 例如，由y>x，x>-3，可得y____-3. 想一想：类比等式的性质 1，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），大小关系会发生变化吗？ 探究1：用“＜”或“＞”填空，并观察不等号的方向是否改变，总结其中的规律： （1）5＞3， （2）－1＜3， 5＋2_____3＋2， －1＋4_____3＋4， 5＋0_____3＋0， －1＋0_____3＋ 0， 5＋(－2)_____3＋(－2)； －1＋(－7)_____3 ＋(－7)． 根据发现的规律填空：不等式两边加同一个数，不等号的方向_________． 试一试：换一些其他数，验证这个发现． 归纳：不等式性质1： 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向______． 符号语言： 如果 a＞b，那么 a±c____b±c. （如果 a＜b，那么 a±c______b±c．） 想一想：类比等式的性质 2，不等式两边乘（或除以）同一个不为 0 的数，大小关系会发生变化吗？ 探究2：用“＜”或“＞” 填空，并观察不等号的方向是否改变，总结其中的规律： （1）6＞2， （2）－2＜3， 6×5____2×5， －2×4____3×4， 6×(－5)____2×(－5)； －2×(－0.5)____3×(－0.5). 根据发现的规律填空：不等式两边乘同一个正数，不等号的方向_______ ； 不等式两边乘同一个负数，不等号的方向 _______． 试一试：换一些其他数，验证这个发现．如果不等式两边 乘 0，结 果又如何呢？ 归纳：不等式性质2： 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向________． 符号语言： 如果 a＞b，c＞0，那么 ac____bc； （如果 a＜b，c＞0，那么 ac____bc．) 不等式性质3： 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向________． 符号语言： 如果 a＞b，c＜0，那么ac____bc ． （如果 a＜b，c＜0，那么ac____bc ．） 思考1：比较不等式的性质2和性质3，它们有什么区别． 不等式的性质1不等式的性质2乘除的数的符号不等号方向
思考2：等式的性质与不等式的性质有什么联系和区别。 等式的性质不等式的性质两边加（或减）同一个数（或式子）相等关系________不等关系________两边乘（或除以）同一个正数相等关系________不等关系________两边乘（或除以）同一个负数相等关系________不等关系________
例1：已知a>b，比较下列两个式子的大小，并说明依据。 （1）a+3与b+3； （2）-2a与-2b. 例2：根据不等式的基本性质，用“＜”或“＞”填空． （1）若a－1＞b－1，则a____b； （2）若a＋3＞b＋3，则a____b； （3）若2a＞2b，则a____b； （4）若－2a＞－2b，则a___b．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．已知，下列各式中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 2．如果，那么下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 3．如果，那么 ．（填“”或“”） 选做题： 4．用三个不等式，，中的一个不等式与作为条件，余下的其中一个不等式作为结论组成一个命题，其中能组成真命题的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【综合拓展类练习】 5．先阅读下面的解题过程，再解题． 已知，试比较与的大小． 解：因为，① 所以，② 故．③ (1)上述解题过程中，从步骤_______开始出现错误； (2)请写出正确的解题过程．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．已知，为任意有理数，下列式子中正确的是（ ） A． B． C． D． 2．已知，则下列式子不一定成立的是（ ） A． B． C． D． 3．小明竟然推导出了0>5的错误结论．请你仔细阅读他的推导过程，指出问题出在哪里． 已知，两边都乘5，得，① 两边都减去5x，得，② 即，③ 两边都除以，得．④ 选做题： 4．下列是真命题的有 （填序号）． ①若且，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则； ⑥若，则；⑦若，，则 【综合拓展类作业】 5．根据等式和不等式的性质，可以得到：若，则 ；若，则b；若，则．这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式的值的大小． (1)若 则 （填“>”“=”或“<”）． (2)已知 ，试比较A，B的大小．
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