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第12章 定义 命题 证明 单元综合提升卷
一、单选题
1．用反证法证明“a<0”时，应先假设（ ）
A．a>0 B．a=0 C．a 0 D．a不为0
2．如图，根据图上标注的信息，则的大小（ ）
A．100° B．105° C．115° D．120°
3．如图，在中，，点在边上（如图1），先将沿着翻折，使点落在点处，交于点（如图2），再将沿着翻折，点恰好落在上的点处，此时（如图3），则的度数为（ ）
A．66° B．23° C．46° D．69°
4．如图，是的一个外角，E是边AB上一点，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（ ）
A．90°﹣ α B． α
C．90°+ α D．360°﹣α
6．如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠a的度数是（ ）
A．85° B．75° C．60° D．45°
8．如图，已知AB∥CD，则（ ）
A．∠1=∠2+∠3 B．∠1=2∠2+∠3
C．∠1=2∠2-∠3 D．∠1=180°-∠2-∠3
9．下列命题是假命题的是（ ）
A．若|a|=|b|，则a=b
B．两直线平行，同位角相等
C．对顶角相等
D．若b2﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根
10．如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：
①；②；③平分；④平分．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
二、填空题
11．一个三角形三个内角度数比是，这个三角形最小角的度数是 ．
12．一幅直角三角板， 按图中所示位置摆放，点D在边AB上， ，则 的度数为 度．
13．如图，是的外角的平分线，若，，则的度数是 .
14．已知下列命题：①若a>b，则a2>b2；②若a>1，则(a-1) 0 =1；③若a>b，则c-a15．如图，在中，，，是的角平分线，是边上的高，则的度数是 ．
16．将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则∠1的度数为
三、综合题
17．在△ABC中，∠B+∠ACB＝30°，AB＝4，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD中点，如图
（1）指出旋转中心，并求出旋转角的度数．
（2）求出∠BAE的度数和AE的长．
18．如图①，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．
（1）探究猜想：
①若∠A=20°，∠D=40°，求∠AED的度数
②猜想图①中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系，并用两种不同的方法证明你的结论．
（2）拓展应用：
如图②，射线FE与l1，l2交于分别交于点E、F，AB∥CD，a，b，c，d分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域a，b位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（任写出两种，可直接写答案）．
19．如图，BE是△ABC的角平分线，点D是AB边上一点，且∠DEB=∠DBE．
（1）DE与BC平行吗？为什么？
（2）若∠A=40°，∠ADE=60°，求∠C的度数．
20．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．
（1）如图，一束光线m射到平面镜上，被反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且，则 ， ．
（2）在（1）中，若，则 ；若，则 ；
（3）由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜、的夹角 时，可以使任何射到平面镜上的光线m，经过平面镜、的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行．请说明理由．
21．如图，已知： ， ， ，点 ， 分别在 ， 上，连接 ，且 ， 是 上一点， 的延长线交 的延长线于点 .
（1）求证： ；
（2）求证： .
22．如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，DEBC交AC于点E，EF⊥CD于点G，交BC于点F．
（1）求证：∠ADE＝∠EFC；
（2）若∠ACB＝78°，∠A＝60°，求∠DCB的度数．
23．如图，已知 ，点 分别在射线 上移动， 的平分线与 的外角平分线交于点 .
（1）当 时， .
（2）请你猜想：随着 两点的移动， 的度数大小是否变化？请说明理由.
24．
（1）如图1，已知 ， 交 于 ，那么图1中 、 、 之间有什么数量关系？并说明理由.
（2）如图2，已知 ，点 是线段 上一点， ， 和 的平分线交于点 ，请利用（1）的结论求图2中 的度数.
25．
（1）（问题情境）如图1， ， ， .求 的度数.
小明想到了以下方法（不完整），请完成填写理由或数学式：如图1，过点P作 ，
∴ .（ ▲ ）
又 ，（已知）
∴ .（ ▲ ）
∵ ，（已知）
∴ ，（ ▲）
∴ .（ ▲ ）
∵ ，∴ .
∴ .
即 .
（2）（问题迁移）如图2， ，点P在AB，CD外，问 ， ， 之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知 ， 的平分线和 的平分线交于点G，用含有 的式子表示 的度数.
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第12章 定义 命题 证明 单元综合提升卷
一、单选题
1．用反证法证明“a<0”时，应先假设（ ）
A．a>0 B．a=0 C．a 0 D．a不为0
【答案】C
【解析】【解答】解：应先假设： a 0 .
故答案为：C.
【分析】用“反证法”证明命题应先假设结论的反面成立，结合a<0的反面是 a 0 ，即可解答.
2．如图，根据图上标注的信息，则的大小（ ）
A．100° B．105° C．115° D．120°
【答案】D
3．如图，在中，，点在边上（如图1），先将沿着翻折，使点落在点处，交于点（如图2），再将沿着翻折，点恰好落在上的点处，此时（如图3），则的度数为（ ）
A．66° B．23° C．46° D．69°
【答案】D
4．如图，是的一个外角，E是边AB上一点，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、∠BCD是△ABC的一个外角，则∠BCD＞∠A，不符合题意．
B、∠BCD是△ABC的一个外角，则∠1是△BEC的一个外角，∠BCD与∠1无法比较大小，符合题意．
C、∠2是△AEC的一个外角，则∠2＞∠3，不符合题意．
D、∠BCD是△ABC的一个外角，则∠BCD＝∠A＋∠B，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用三角形外角的性质逐项判断即可。
5．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（ ）
A．90°﹣ α B． α
C．90°+ α D．360°﹣α
【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D）=360°﹣α，
∵PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线，
∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠BCD）= （360°﹣α）=180°﹣ α，
则∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（180°﹣ α）= α．
故答案为：B．
【分析】根据四边形的内角和得出∠ABC+∠BCD=360°﹣α，根据角平分线的定义得出∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠BCD）= （360°﹣α）=180°﹣ α，最后根据三角形的内角和，由∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）即可算出答案。
6．如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
7．将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠a的度数是（ ）
A．85° B．75° C．60° D．45°
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，
∵∠ACD=∠90°，∠F=45°，
∴∠DGB=∠CGF=90°-45°=45°，
∴∠a =∠D+∠DGB=75°.
故答案为：B.
【分析】根据三角形内角和定理，可求出∠CGF=45°，利用对顶角相等，可得∠DGB=∠CG=45°，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得∠a =∠D+∠DGB=75°.
8．如图，已知AB∥CD，则（ ）
A．∠1=∠2+∠3 B．∠1=2∠2+∠3
C．∠1=2∠2-∠3 D．∠1=180°-∠2-∠3
【答案】A
【解析】【解答】解：∵AB∥CD ，
∴∠3=∠4，
∵∠1=∠2+∠4，
∴∠1=∠2+∠3，
故答案为：A.
【分析】由平行线的性质可得∠3=∠4，利用三角形外角的性质可得∠1=∠2+∠4，继而得解.
9．下列命题是假命题的是（ ）
A．若|a|=|b|，则a=b
B．两直线平行，同位角相等
C．对顶角相等
D．若b2﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根
【答案】A
【解析】【解答】解：A、若|a|=|b|，则a﹣b=0或a+b=0，故A错误；
B、两直线平行，同位角相等，故B正确；
C、对顶角相等，故C正确；
D、若b2﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根，故D正确；
故选：A．
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
10．如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：
①；②；③平分；④平分．其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【解析】【解答】解：①∵FG⊥EH，FD∥EH
∴FG⊥FD，即∠GFD=90°，
∵AB∥CD，
∴∠AFD+∠D=180°，
∵∠AFD=∠AFG+∠GFD=2∠D+90°，
∴2∠D+90°+∠D=180°
∴∠D=30°，故 ① 正确；
②∵EH∥FD，∴∠EHC=∠D=30°，∴2∠D+∠EHC=90°成立，故 ② 正确；
③∵AB∥CD，∴∠BFD=∠D=30°，当H在CD上不同位置时，∠HFD的度数会发生变化，不一定等于∠BFD，所以FD不一定是∠HFB的角平分线，故 ③ 错误；
④∵∠GFD=90°，当EH平分∠GFD时，则∠GFH=∠DFH=45°，当同（3），当H在CD上不同位置时，∠HFD的度数会发生变化，不一定等于45°，故 ④ 错误.
综上，①②正确，
故答案为：A.
【分析】熟练利用“平行线的性质定理”进行角度间数量关系的分析，并结合题干中的数量关系进行转化.特别注意的是，F、H均为AB、CD上的动点，当动点变化过程中，y要观察角度的一般性变化.
二、填空题
11．一个三角形三个内角度数比是，这个三角形最小角的度数是 ．
【答案】40
12．一幅直角三角板， 按图中所示位置摆放，点D在边AB上， ，则 的度数为 度．
【答案】15
【解析】【解答】解：如图所示，设CB与ED交点为G，
∵∠CAB＝∠FDE＝90°，∠F＝45°，∠C＝60°，
∴∠E＝90° ∠F＝45°，∠B＝90° ∠C＝30°，
∵EF∥BC，
∴∠E＝∠CGD＝45°，
又∵∠CGG是△BDG的外角，
∴∠CGD＝∠B＋∠BDE，
∴∠BDE＝45° 30°＝15°，
故答案为：15．
【分析】先求出∠E＝90° ∠F＝45°，∠B＝90° ∠C＝30°，再求出∠CGD＝∠B＋∠BDE，最后求解即可。
13．如图，是的外角的平分线，若，，则的度数是 .
【答案】85°
【解析】【解答】解：为的平分线，，
，
是的外角，
，
，
，
故答案为．
【分析】根据角平分线的定义可得，再利用三角形外角的性质可得，最后利用角的运算可得。
14．已知下列命题：①若a>b，则a2>b2；②若a>1，则(a-1) 0 =1；③若a>b，则c-a【答案】③
【解析】【解答】解：①当a＝0，b＝ 1时，a2＜b2，所以命题“若a＞b，则a2＞b2”为假命题，其逆命题为若a2＞b2，则a＞b“，此逆命题也是假命题，如a＝ 2，b＝ 1时，a2＞b2，但a＜b；
②若a＞1，则（a 1）0＝1，此命题为真命题，它的逆命题为：若（a 1）0＝1，则a＞1，此逆命题为假命题，因为（a 1）0＝1，则a≠1；
③ 根据不等式的性质，若a>b，则c-ab，此逆命题是真命题；
④ 根据全等三角形的判定及性质可知：能够完全重合的两个三角形的面积相等 ，此命题为真命题，它的逆命题为面积相等的两个三角形能完全重合，此逆命题为假命题；
⑤ 根据多边形的外角和定理可知：每一个外角都等于60°的的话，该多边形的边数为360°÷60°=6， 每一个外角都等于60°的多边形是六边形 ，这个命题为真命题，它的逆命题为六边形的每一个外角都等于60°，因为只有正六边形的每一个外角才都是60°，所以此逆命题是假命题.
故答案为：③.
【分析】交换原命题的题设和结论得到五个命题的逆命题，然后利用反例、零指数幂的意义、不等式的性质、全等三角形的判定与性质和六边形的外角性质判断各命题的真假．
15．如图，在中，，，是的角平分线，是边上的高，则的度数是 ．
【答案】
16．将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则∠1的度数为
【答案】105°
【解析】【解答】解：如图所示，
由题意可知，∠2=60°，∠1=45°，
∴∠3=60°-45°=15°，
∴∠4=90°-15°=75°
∴∠1=180°-75°=105°.
故答案为：105°.
【分析】本题考查三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，首先通过三角尺知道∠2与∠1的大小，再根据外角的性质求出∠3的值，在求出∠1 的度数.
三、综合题
17．在△ABC中，∠B+∠ACB＝30°，AB＝4，△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD中点，如图
（1）指出旋转中心，并求出旋转角的度数．
（2）求出∠BAE的度数和AE的长．
【答案】（1）解：在△ABC中，∵∠B+∠ACB=30°， ∴∠BAC=150°，
当△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合，
∴旋转中心为点A，∠BAD等于旋转角，即旋转角为150°
（2）解：∵△ABC绕点A逆时针旋转150°后与△ADE重合，
∴∠DAE=∠BAC=150°，AB=AD=4，AC=AE， ∴∠BAE=360°-150°-150°=60°，
∵点C为AD中点， ∴AC= AD=2， ∴AE=2．
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可得到∠EAD的度数，根据图形观察即可得到旋转中心为A点，旋转的角为∠EAC。
（2）根据旋转的性质，结合三角形的内角和定理即可得到AE的长度以及∠BAE的度数。
18．如图①，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．
（1）探究猜想：
①若∠A=20°，∠D=40°，求∠AED的度数
②猜想图①中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系，并用两种不同的方法证明你的结论．
（2）拓展应用：
如图②，射线FE与l1，l2交于分别交于点E、F，AB∥CD，a，b，c，d分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域a，b位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（任写出两种，可直接写答案）．
【答案】（1）解：①过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠A=∠AEF=20°，∠D=∠DEF=40°，
∴∠AED=∠AEF+∠DEF=∠A+∠D=60°，
②∠AED=∠A+∠D，
证明：方法一、延长DE交AB于F，如图1，
∵AB∥CD，
∴∠DFA=∠D，
∴∠AED=∠A+∠DFA；
方法二、过E作EF∥AB，如图2，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠A=∠AEF，∠D=∠DEF，
∴∠AED=∠AEF+∠DEF=∠A+∠D
（2）解：当P在a区域时，如图3，∠PEB=∠PFC+∠EPF；
当P点在b区域时，如图4，∠PFC=∠PEB+∠EPF；
当P点在区域c时，如图5，∠EPF+∠PEB+∠PFC=360°；
当P点在区域d时，如图6，∠EPF=∠PEB+∠PFC．
【解析】【分析】（1）①过E作EF∥AB，根据AB∥CD，可得AB∥EF∥CD，再根据两直线平行，内错角相等进行计算即可；②作辅助线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等或三角形外角性质，进行计算即可；（2）根据a，b，c，d分别是被射线FE隔开的4个区域，P是位于四个区域上的点，画出对应的图形，进而得出结论．
19．如图，BE是△ABC的角平分线，点D是AB边上一点，且∠DEB=∠DBE．
（1）DE与BC平行吗？为什么？
（2）若∠A=40°，∠ADE=60°，求∠C的度数．
【答案】（1）解：DE∥BC．
理由如下：∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE=∠EBC，
∵∠DEB=∠DBE，
∴∠DEB=∠EBC，
∴DE∥BC
（2）解：∵DE∥BC，
∴∠ABC=∠ADE，
∵∠ADE=60°，
∴∠ABC=60°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠ABC=180°﹣40°﹣60°=80°
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠DBE=∠EBC，从而求出∠DEB=∠EBC，再利用内错角相等，两直线平行证明即可；（2）根据两直线平行，同位角相等可得∠ABC=∠ADE，再利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
20．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．
（1）如图，一束光线m射到平面镜上，被反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且，则 ， ．
（2）在（1）中，若，则 ；若，则 ；
（3）由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜、的夹角 时，可以使任何射到平面镜上的光线m，经过平面镜、的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行．请说明理由．
【答案】（1）；
（2）；
（3）解：90°；
理由如下，
∵m∥n，
∴∠2+∠4=180°.
∵∠1=∠5，∠6=∠7，∠3+∠5+∠6=180°，
∴∠4=180°-2∠5，∠2=180°-2∠6，∠5+∠6=180°-∠3.
∵∠2+∠4=180°，
∴180°-2∠5+180°-2∠6=180°，
∴2(∠5+∠6)=180°，
∴2(180°-∠3)=180°，
∴∠3=90°.
故答案为：90°.
【解析】【解答】解：（1）对图形进行角标注
∵入射角与反射角相等，∠1=50°，
∴∠1=∠5=50°，∠6=∠7.
∴∠4=180°-∠1-∠5=80°.
∵m∥n，
∴∠2+∠4=180°，
∴∠2=180°-80°=100°，
∴∠6=∠7=40°，
∴∠3=180°-∠5-∠6=180°-50°-40°=90°.
故答案为：100°、90°.
（2）由（1）可得当∠1=50°时，∠3=90°；
当∠1=40°时，∵入射角=反射角，
∴∠1=∠5=40°，∠6=∠7.
∴∠4=180°-∠1-∠5=100°.
∵m∥n，
∴∠2+∠4=180°，
∴∠2=180°-100°=80°，
∴∠6=∠7=40°，
∴∠3=180°-∠5-∠6=180°-50°-40°=90°.
故答案为：90°、90°；
【分析】（1）对图形进行角标注，由入射角与反射角相等可得∠1=∠5=50°，∠6=∠7，结合平角的概念可得∠4=80°，由平行线的性质可求出∠2的度数，据此可得∠6、∠7的度数，然后根据内角和定理进行计算；
（2）同（1）进行解答；
（3）由平行线的性质可得∠2+∠4=180°，根据反射角等于入射角可得∠1=∠5，∠6=∠7，由内角和定理可得∠3+∠5+∠6=180°，根据平角的概念可得∠4=180°-2∠5，∠2=180°-2∠6，结合∠2+∠4=180°可得2(∠5+∠6)=180°，据此求解.
21．如图，已知： ， ， ，点 ， 分别在 ， 上，连接 ，且 ， 是 上一点， 的延长线交 的延长线于点 .
（1）求证： ；
（2）求证： .
【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
，
又∵ ，
∴
（2）证明：∵在△BGF中，
∴∠HGF＞∠GBF，
∵ ，
∴∠ADE=∠GBF，
∴
【解析】【分析】(1) 根据 ， 可求出∠B=72°，又因为 ，即可证明 ；（2）在△BGF中，利用三角形外角的性质，可推出∠HGF＞∠GBF，又因为∠ADE=∠GBF，利用等量代换即可完成证明.
22．如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，DEBC交AC于点E，EF⊥CD于点G，交BC于点F．
（1）求证：∠ADE＝∠EFC；
（2）若∠ACB＝78°，∠A＝60°，求∠DCB的度数．
【答案】（1）证明：∵DEBC，
∴∠ADE＝∠B，
∵CD⊥AB，EF⊥CD，
∴∠CDB＝∠CGF=90°，
∴ABEF，
∴∠B＝∠EFC，
∴∠ADE＝∠EFC；
（2）解：∵∠ACB＝78°，∠A＝60°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝42°，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∴∠DCB＝180°﹣90°﹣42°＝48°．
【解析】【分析】（1） 由DEBC得出∠ADE＝∠B，由CD⊥AB，EF⊥CD可证AB
EF， 利用平行线的性质可得 ∠B＝∠EFC， 从而得出∠ADE＝∠EFC；
（2） 根据三角形内角和定理先求出 ∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝42°， 再求出∠DCB＝180°﹣∠BDC﹣∠B＝48°．
23．如图，已知 ，点 分别在射线 上移动， 的平分线与 的外角平分线交于点 .
（1）当 时， .
（2）请你猜想：随着 两点的移动， 的度数大小是否变化？请说明理由.
【答案】（1）45°
（2）解：随着 两点的移动， 的度数大小不会变化.
理由如下：
∵ 平分
∴
∵ 平分
∴
∵ 是 的一个外角
∴
∴
∵ 是 的一个外角
∴
∴
【解析】【解答】（1）因为 ， ，所以 ， ，
则根据角平分的性质可知 ， ，则有 ；
【分析】（1）由三角形的内角和定理以及角平分线的定义即可求解；
（2）随着A、B两点的移动，∠ACB的度数大小不会变化．同理根据三角形内角和定理三角形的外角的性质角平分线的定义计算即可求解。
24．
（1）如图1，已知 ， 交 于 ，那么图1中 、 、 之间有什么数量关系？并说明理由.
（2）如图2，已知 ，点 是线段 上一点， ， 和 的平分线交于点 ，请利用（1）的结论求图2中 的度数.
【答案】（1）解：结论：∠APC=∠PCD-∠PAB，理由如下：
如图1中，设AB与PC交于点H，
∵AB//CD，
∴∠PCD=∠AHC，
∵∠AHC=∠PAB+∠APC，
∴∠PCD=∠APC+∠PAB，
即∠APC=∠PCD-∠PAB；
（2）解：如图2中，设∠ABF=∠FBD=y，∠ACF=∠FCE=x，
由(1)可知∠F=x-y，
∵BD//CE，
∴∠BDC=∠DCE=2x，
∵∠BDC=∠ABD+∠A，
∴2x=2y+80°，
∴x-y=40°，
∴∠F=40°.
【解析】【分析】(1)结论：∠APC=∠PCD-∠PAB，根据平行线的性质以及三角形外角性质进行求解即可得；(2)如图2中，设∠ABF=∠FBD=y，∠ACF=∠FCE=x，由(1)可知∠F=x-y，求出x-y即可.
25．
（1）（问题情境）如图1， ， ， .求 的度数.
小明想到了以下方法（不完整），请完成填写理由或数学式：如图1，过点P作 ，
∴ .（ ▲ ）
又 ，（已知）
∴ .（ ▲ ）
∵ ，（已知）
∴ ，（ ▲）
∴ .（ ▲ ）
∵ ，∴ .
∴ .
即 .
（2）（问题迁移）如图2， ，点P在AB，CD外，问 ， ， 之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知 ， 的平分线和 的平分线交于点G，用含有 的式子表示 的度数.
【答案】（1）∴ .（ 两直线平行，内错角相等 ）
又 ，（已知）
∴ .（ 等量代换 ）
∵ ，（已知）
∴ ，（平行于同一条直线的两直线平行）
∴ .（两直线平行，同旁内角互补）
∵ ，∴ .
∴ .
即 .
（2）解：如图2，过P点作 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 .
（3）解：令 与 交点为 ，连接 如图3，在 中，
，
∵ ， ，
∴ ，
∵由（2）知 ，
∴ ，
而 ，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质与判断，即可解答；（2）过P点作 ，则 ，根据平行线的性质得出 ，进而得到 ；（3）令 与 交点为 ，连接 如图3，在 中，利用三角形内角和定理进行计算，由（2）知 ，得到 ，即可解答.
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