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第19章 四边形 单元全优测评卷
一、单选题
1．下列命题正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的平行四边形是矩形
B．四条边相等的四边形是菱形
C．有一个角是直角的平行四边形是菱形
D．对角线相等的四边形是矩形
2．菱形的对角线不一定具有的性质是（ ）
A．互相平分 B．互相垂直
C．每一条对角线平分一组对角 D．相等
3．在中，D，E分别是边AB，AC的中点，按图中方法作图后，若四边形ABHG的周长与的周长相等，还需具备的条件是（ ）
A． B． C． D．
4．在四边形 中，设 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
5．小华在计算四个多边形的内角和时，得到下列四个答案，则他计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．顺次连四边形形各边中点得到四边形，若四边形的形状是矩形，则原四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．对角线垂直的四边形
7．下列命题中，真命题的个数有（ ）
①对角线相等的四边形是矩形；
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
④一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，已知是边长为3的等边三角形，点D是边上的一点，且，以为边作等边，过点E作交于点F，连接，则下列结论中：①； ②四边形是平行四边形；③； ④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在平行四边形中，平分与交于点E，平分与交于点F，若，则长为（ ）
A．8 B．10 C．13 D．16
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N'，则△MBN'周长的最小值为（ ）
A．15 B．5+5 C．10+5 D．18
二、填空题
11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=2cm，BC=16cm，则EF= cm.
12．如图，已知矩形中，点E在边的延长线上，且，连接交于F，如果，那么的度数为 .
13．如图，长方形，，，将长方形折叠，使得顶点落在边上的点处，连接、，动点在线段上点与点、不重合，动点在线段的延长线上，且，连接交于点，作于点．点、在移动过程中，线段的长度是 ．
14．如图，在矩形中，，，点在边上，若平分，则的长是 ．
15．如图，在矩形ABCD中，已知AD＝18，AB＝24．点E为边DC上的一个动点，与△ADE关于直线AE对称，当为直角三角形时，则DE的长为 ．
16．已知矩形，把矩形沿直线翻折，点A落在点E处，如果的长度等于该矩形的一条边长，那么 ．
三、综合题
17．在正方形ABCD中，AB＝4，点E是边AD上一动点，以CE为边，在CE的右侧作正方形CEFG，连结BF.
（1）如图1，当点E与点A重合时，则BF的长为 .
（2）如图2，当AE＝1时，求点F到AD的距离和BF的长.
（3）当BF最短时，请直接写出此时AE的长.
18．如图，在 中，经过A，C两点分别作 ， ，E，F为垂足.
（1）求证： ；
（2）求证：四边形AFCE是平行四边形
19．如图，在△ABC中，点D是AB边的中点，点E是CD边的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF.
（1）求证：DB=CF；
（2）如果AC=BC，试判断四边形BDCF的形状，并证明你的结论.
20．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形，使得它们的顶点均在小正方形的顶点上；
（1）①在图中画一个以AB为边的菱形ABCD，使得菱形ABCD的面积为24；
②画一个以点B为直角顶点的等腰直角三角形ABE；
（2）连接CE，请直接写出线段CE的长．
21．
（1）化简：
（2）如图，在四边形 中， ， ， ， 分别是 ， ， 的中点，连接 ， ．求证： ．
22．综合题：探索发现
（1）自主阅读：在三角形的学习过程，我们知道三角形一边上的中线将三角形分成了两个面积相等三角形，原因是两个三角形的底边和底边上的高都相等，在此基础上我们可以继续研究：如图1，AD∥BC，连接AB，AC，BD，CD，则S△ABC=S△BCD．
证明：分别过点A和D，作AF⊥BC于F．DE⊥BC于E，由AD∥BC，可得AF=DE，又因为S△ABC= ×BC×AF，S△BCD= ．
所以S△ABC=S△BCD
由此我们可以得到以下的结论：像图1这样
（2）问题解决：如图2，四边形ABCD中，AB∥DC，连接AC，过点B作BE∥AC，交DC延长线于点E，连接点A和DE的中点P，请你运用上面的结论证明：S ABCD=S△APD
（3）应用拓展：
如图3，按此方式将大小不同的两个正方形放在一起，连接AF，CF，若大正方形的面积是80cm2，则图中阴影三角形的面积是 cm2．
23．在菱形 中， ， 是对角线 上任意一点， 是线段 延长线上一点，且 ，连接 、 ．
（1）如图 ，当 是线段 的中点时，易证 ．
（2）如图 ，当点 不是线段 的中点，其它条件不变时，请你判断（ ）中的结论： （填“成立”或“不成立”）．
（3）如图 ，当点 不是线段 延长线上的任意一点，其它条件不变时，（ ）中的结论是否成立？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由．
24．如图
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=5 cm，BD=8 cm.则AC= cm；
（2）在宽为8 cm 的长方形纸带上，用图1中的四边形设计如图2所示的图案.
①如果用7个图1中的四边形设计图案，那么至少需要 cm长的纸带；
②设图1中的四边形有x个，所需的纸带长为y cm，求y与x之间的函数表达式；
③在长为40
cm的纸带上，按照这种方法，最多能设计多少个图1中的四边形？
25．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形.
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第19章 四边形 单元全优测评卷
一、单选题
1．下列命题正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的平行四边形是矩形
B．四条边相等的四边形是菱形
C．有一个角是直角的平行四边形是菱形
D．对角线相等的四边形是矩形
【答案】B
【解析】【解答】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故原命题错误；
B、四条边相等的四边形是菱形，故原命题正确；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原命题错误；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误.
故答案为：B.
【分析】根据矩形的判定方法及菱形的判定方法，逐项进行判断，即可求解.
2．菱形的对角线不一定具有的性质是（ ）
A．互相平分 B．互相垂直
C．每一条对角线平分一组对角 D．相等
【答案】D
【解析】【解答】解：∵菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，
∴菱形的对角线不一定具有的性质是相等.
故答案为：D.
【分析】根据菱形的性质“菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角”可判断求解.
3．在中，D，E分别是边AB，AC的中点，按图中方法作图后，若四边形ABHG的周长与的周长相等，还需具备的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC，DE∥BC，
∵AG∥HC，AE=EC，
∴
∴AG=HC，
∵AG∥BC，AB∥GH，
∴四边形ABHG为平行四边形，
∴四边形ABHG的周长=2AB+2BH，BH=AG=CH，
∵△ABC的周长=AB+AC+BC=AB+AC+2BH，
∴当AB=AC时，四边形ABHG的周长与△ABC的周长相等，
故答案为：B．
【分析】根据三角形中位线定理得到DE=BC，DE∥BC，证明四边形ABHG为平行四边形，根据平行四边形的性质、三角形的周长公式计算，得出结论。
4．在四边形 中，设 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：在四边形ABCD中，
，
， ，
，
.
故答案为：B.
【分析】根据四边形内角和为360°可得∠A+∠B+∠C+∠D=360°，再将已知条件代入，化简即可.
5．小华在计算四个多边形的内角和时，得到下列四个答案，则他计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵n（n≥3）边形的内角和是（n 2）180°，所以多边形的内角和一定是180的整数倍.
由 =2×180°， =4×180°， =5×180°，
∴在这四个选项中不是180的倍数的是 .
故答案为：B.
【分析】根据多边形的内角和公式(n-2)×180°可得多边形的内角和一定是180的整数倍，据此判断.
6．顺次连四边形形各边中点得到四边形，若四边形的形状是矩形，则原四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．对角线垂直的四边形
【答案】D
7．下列命题中，真命题的个数有（ ）
①对角线相等的四边形是矩形；
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
④一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
8．如图，已知是边长为3的等边三角形，点D是边上的一点，且，以为边作等边，过点E作交于点F，连接，则下列结论中：①； ②四边形是平行四边形；③； ④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
9．如图，在平行四边形中，平分与交于点E，平分与交于点F，若，则长为（ ）
A．8 B．10 C．13 D．16
【答案】A
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N'，则△MBN'周长的最小值为（ ）
A．15 B．5+5 C．10+5 D．18
【答案】B
【解析】【解答】解：过点N作EF∥AB，交AD、BC于E、 F，过点M作MG⊥EF于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴АВ∥СD，
∴AB∥EF∥CD，
∴四边形AMGE和BMGF都是矩形，
∴ ∠A=∠MGN=90°，
由旋转的性质得∠NMN'=90°，MN=MN'，
∴ ∠AMN=90°-∠NMG=∠GMN'，
∴△AMN≌△GMN'（AAS），
∴MG=AM，
∴点N在平行于AB，且与AB的距离为5的直线上运动，
作点M关于直线EF的对称点M'，连接M'B交直线E F于点N'，此时△MBN'周长取得最小值， 最小值为BM+BM'，
∵ВМ=АВ=5， MM'=5 +5=10，
∴ВМ + ВМ' .
故答案为：B.
【分析】 因为BM=5是定值，要求△MBN'周长最小，实际是求BN'+MN'最小，转化成“将军饮马”模型，先找出N运动轨迹，由线段旋转90°，可得三垂直全等，进而推出点N'在平行于AB，且与AB的距离为5的直线上运动，再作对称求解即可.
二、填空题
11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=2cm，BC=16cm，则EF= cm.
【答案】
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD，
∵AB=2cm，BC=16cm，
∴由勾股定理得：BD=AC= （cm），
∴OD= cm，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF= OD= .
【分析】根据矩形性质得出∠ABC=90°，然后根据勾股定理求出BD、AC，因为 BD=AC，BO=OD，求出OD = BD，再根据三角形中位线求出EF即可.
12．如图，已知矩形中，点E在边的延长线上，且，连接交于F，如果，那么的度数为 .
【答案】60°
【解析】【解答】解：如图，连接AC，交BD于点O，
ABCD是矩形，则BD=AC，
CE=BD，则CE=AC，
∠E=20°，则∠CAE=20°，
∴∠ACB=∠CAE+∠E=40°，
∵OB=BD，OC=AC，
∴OB=OC，∠OBC=∠OCB=40°，
∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=100°，
∴∠AOF=∠BOC=100°，
∵∠OAF=20°，
∴∠AFO=180°-∠OAF-∠AOF=60°，
∴∠AFB=60°，
故答案为：60°；
【分析】连接AC，交BD于点O，由矩形的性质可得CE=BD=AC，于是∠ACB=∠CAE+∠E=∠OBC，所以用三角形内角和定理可求得∠BOC=∠AOF的度数，在三角形AOF中，再由三角形内角和定理可求解.
13．如图，长方形，，，将长方形折叠，使得顶点落在边上的点处，连接、，动点在线段上点与点、不重合，动点在线段的延长线上，且，连接交于点，作于点．点、在移动过程中，线段的长度是 ．
【答案】
14．如图，在矩形中，，，点在边上，若平分，则的长是 ．
【答案】
15．如图，在矩形ABCD中，已知AD＝18，AB＝24．点E为边DC上的一个动点，与△ADE关于直线AE对称，当为直角三角形时，则DE的长为 ．
【答案】9或18
【解析】【解答】解：（1）当∠CED′=90°时，如图（1），
∵∠CED′=90°，
根据轴对称的性质得∠AED=∠AED′=×90°=45°，
∵∠D=90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE=AD=18；
（2）当∠ED′A=90°时，如图（2），
根据轴对称的性质得∠AD′E=∠D=90°，AD′=AD，DE=D′E，
△CD'E为直角三角形，
即∠CD′E=90°，
∴∠AD′E+∠CD′E=180°，
∴A、D′、C在同一直线上，
根据勾股定理得AC==30，
∴CD′=30-18=12，
设DE=D′E=x，则EC=CD-DE=24-x，
在Rt△D′EC中，D′E2+D′C2=EC2，
即x2+144=（24-x）2，
解得x=9，
即DE=9；
综上所述：DE的长为9或18；
故答案为：9或18．
【分析】分类讨论：①当∠CED′=90°时，②当∠ED′A=90°时，再分别画出图象并求解即可。
16．已知矩形，把矩形沿直线翻折，点A落在点E处，如果的长度等于该矩形的一条边长，那么 ．
【答案】6或
【解析】【解答】解：当AD< AB且CE =CB时，如下图所示，设EB交CD于点F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB= CD=3，AB//CD，∠BCD = 90° ，
∴∠ABD = ∠CDB，
由翻折得：AB = EB，∠ABD = ∠EBD，
∴CD = EB，∠CDB = ∠EBD，
∴DF=BF，
∴CD-DF=EB-BF，
∴CF = EF，
∴∠FCE = ∠FEC，
∴∠FCE+ ∠FEC = 2∠FEC = ∠DFE，∠CDB + ∠EBD =2∠EBD = ∠DFE，
∴2∠FEC =2∠EBD，
∴∠FEC = ∠EBD，
∵∠FEC = ∠CBE，∠CBE+ ∠EBD + ∠CDB= ∠CBD+∠CDB = 90°，
∴∠CBE = ∠EBD = ∠CDB =×90°=30°，
∴BC = BD，
∴，
∴；
当AD>AB且CE = CD时，如下图所示，设ED交CB于点G，
∵AD =CB，AD =ED，
∴CB= ED，
∵AD//CB，
∴∠ADB = ∠CBD，
∵∠ADB = ∠EDB，
∴∠CBD = ∠EDB，
∴BG=DG，
∴CB-GB=ED-DG，
∴CF=EG，
∴∠GCE = ∠GEC，
∴∠CBD+∠EDB =2∠CBD = ∠CGD，∠GCE+∠GEC=2∠GCE=∠CGD，
∴2∠CBD=2∠GCE，
∴∠CBD=∠GCE，
∵EB = AB =CD，
∴EB = CE，
∴∠GCE = ∠EBC，
∴∠CBD = ∠EBC= ∠EDB，
∵∠DEB= ∠A =90°，
∴∠CBD+∠EBC+∠EDB= ∠DBE+∠EDB = 90°，
∴∠CBD =x90°=30°，
∴BD=2CD=6，
综上所述：BD的长为6或.
故答案为：6或.
【分析】分类讨论，结合图形，利用矩形的性质，折叠的性质以及平行线的性质等计算求解即可。
三、综合题
17．在正方形ABCD中，AB＝4，点E是边AD上一动点，以CE为边，在CE的右侧作正方形CEFG，连结BF.
（1）如图1，当点E与点A重合时，则BF的长为 .
（2）如图2，当AE＝1时，求点F到AD的距离和BF的长.
（3）当BF最短时，请直接写出此时AE的长.
【答案】（1）
（2）解：如图，过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，FH⊥BC交BC的延长线于K，
∵四边形CEFG是正方形，∴EC=EF，∠FEC=90°，
∴∠DEC+∠FEH=90°，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，
∴∠DEC+∠ECD=90°，
∴∠ECD=∠FEH，
又∵∠EDC=∠FHE=90°，
在△ECD和△FEH中，
，
∴△ECD≌△FEH（AAS），
∴FH=ED，
∵AD=4，AE=1，
∴ED=AD-AE=4-1=3，
∴FH=3，即点F到AD的距离为3，
∴∠DHK=∠HDC=∠DCK=90°，
∴四边形CDHK为矩形，
∴HK=CD=4，
∴FK=FH+HK=3+4=7，
∵△ECD≌△FEH，
∴EH=CD=AD=4，
∴AE=DH=CK=1，
∴BK=BC+CK=4+1=5，
在Rt△BFK中，BF＝；
（3）解：AE=2.
【解析】【解答】解：（1）如图，连接DF，
∵∠CAF=90°，∠CAD=45°，
∴∠DAF=45°，
在△CAD和△FAD中，
，
∴△CAD≌△FAD（SAS），
∴DF=CD，
∴∠ADC=∠ADF=90°，
∴C，D，F共线，
∴BF2=BC2+CF2=42+82=80，
∴BF＝，
故答案为：；
（3）∵当A，D，F三点共线时，BF的最短，
∴∠CBF=45°，
∴FH=DH，
由（2）知FH=DE，EH=CD=4，
∴ED=DH=4÷2=2，
∴AE=2.
【分析】（1）连接DF，则∠DAF=∠CAF-∠CAD=45°，根据正方形的性质可得AF=AC，证明
△CAD≌△FAD，得到DF=CD，推出C，D，F共线，然后利用勾股定理进行计算；
（2）过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，FH⊥BC交BC的延长线于K，根据正方形的性质可得
EC=EF，∠FEC=90°，∠ADC=90°，根据同角的余角相等可得∠ECD=∠FEH，证明△ECD≌△FEH，得到FH=ED，易得ED=AD-AE=4-1=3，HK=CD=4，FK=FH+HK=7，EH=CD=AD=4，AE=DH=CK=1，BK=BC+CK=5，然后利用勾股定理进行计算；
（3）由题意可得∠CBF=45°，FH=DH，由（2）知FH=DE，EH=CD=4，则ED=DH=2，据此可得AE的长.
18．如图，在 中，经过A，C两点分别作 ， ，E，F为垂足.
（1）求证： ；
（2）求证：四边形AFCE是平行四边形
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在△AED和△CFB中
∴ .
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形AFCE是平行四边形.
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得 ，再根据 ， ，可得 ，即可证明 .（2）根据全等三角形的性质得 ，再根据 ， ，可得 ，即可证明四边形 是平行四边形.
19．如图，在△ABC中，点D是AB边的中点，点E是CD边的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF.
（1）求证：DB=CF；
（2）如果AC=BC，试判断四边形BDCF的形状，并证明你的结论.
【答案】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠DAE＝∠CFE．又∵DE＝CE，∠AED＝∠FEC，
∴△ADE≌△FCE，∴AD＝CF．∵AD＝DB，∴DB＝CF．
（2）解：四边形BDCF是矩形．
证明：由(1)知DB＝CF，又DB∥CF，
∴四边形BDCF为平行四边形．
∵AC＝BC，AD＝DB，∴CD⊥AB．
∴四边形BDCF是矩形．
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得出∠DAE＝∠CFE，根据AAS可证△ADE≌△FCE，可得AD＝CF．由AD＝DB，利用等量代换即得DB＝CF；
（2）四边形BDCF是矩形．理由：由(1)知DB＝CF，DB∥CF，可证四边形BDCF为平行四边形，根据等腰三角形三线合一的性质得出BD⊥AB，即得∠CDB=90°，根据矩形的判定定理即证.
20．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形，使得它们的顶点均在小正方形的顶点上；
（1）①在图中画一个以AB为边的菱形ABCD，使得菱形ABCD的面积为24；
②画一个以点B为直角顶点的等腰直角三角形ABE；
（2）连接CE，请直接写出线段CE的长．
【答案】（1）解：①如图，菱形ABCD即为所求作．
②如图，△ABE即为所求作．
（2）解： ．
【解析】【分析】（1）①作对角线分别为6、8的菱形即可；②根据等腰直角三角形的定义画出图形即可；
（2）利用勾股定理求得即可。
21．
（1）化简：
（2）如图，在四边形 中， ， ， ， 分别是 ， ， 的中点，连接 ， ．求证： ．
【答案】（1）解：原式
（2）证明：∵ ， 分别是 ， 的中点，
∴ ，
∵ ， 为 的中点，
∴ ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）根据平方差公式和多项式乘多项式法则计算即可；（2）根据三角形中位线定理和直角三角形斜边中线的性质证明即可．
22．综合题：探索发现
（1）自主阅读：在三角形的学习过程，我们知道三角形一边上的中线将三角形分成了两个面积相等三角形，原因是两个三角形的底边和底边上的高都相等，在此基础上我们可以继续研究：如图1，AD∥BC，连接AB，AC，BD，CD，则S△ABC=S△BCD．
证明：分别过点A和D，作AF⊥BC于F．DE⊥BC于E，由AD∥BC，可得AF=DE，又因为S△ABC= ×BC×AF，S△BCD= ．
所以S△ABC=S△BCD
由此我们可以得到以下的结论：像图1这样
（2）问题解决：如图2，四边形ABCD中，AB∥DC，连接AC，过点B作BE∥AC，交DC延长线于点E，连接点A和DE的中点P，请你运用上面的结论证明：S ABCD=S△APD
（3）应用拓展：
如图3，按此方式将大小不同的两个正方形放在一起，连接AF，CF，若大正方形的面积是80cm2，则图中阴影三角形的面积是 cm2．
【答案】（1）同底等高的两三角形面积相等
（2）证明：∵AB∥CE，BE∥AC，
∴四边形ABEC为平行四边形，
∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，
∴S△ABC=S△AEC，
∴S梯形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED
（3）40
【解析】【解答】解；（1）利用图形直接得出：同底等高的两三角形面积相等；
故答案为：同底等高的两三角形面积相等；（3）设正方形ABCD的边长为a，正方形DGFE的边长为b，
∵S△ACF=S四边形ACEF﹣S△CEF=S△AFG+S正方形DEFG+S△ADC﹣S△CEF= ×b×（a﹣b）+b×b+ ×a×a﹣ ×b×（b+a）= ab﹣ b2+b2+ a2﹣ b2﹣ ab= a2，
∴S△ACF= S正方形ABCD= ×80cm2=40cm2；
故答案为：40．
【分析】(2)可把梯形面积转化为三角形面积之和，在利用（1）的结论进行转化，证出结论；（3）设出大、小正方形边长，阴影面积S△ACF=S四边形ACEF﹣S△CEF，用边长表示空白三角形面积，化简后可得出结果.
23．在菱形 中， ， 是对角线 上任意一点， 是线段 延长线上一点，且 ，连接 、 ．
（1）如图 ，当 是线段 的中点时，易证 ．
（2）如图 ，当点 不是线段 的中点，其它条件不变时，请你判断（ ）中的结论： （填“成立”或“不成立”）．
（3）如图 ，当点 不是线段 延长线上的任意一点，其它条件不变时，（ ）中的结论是否成立？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由．
【答案】（1）解：∵菱形 ， ，
∴ ， ，
∵ 为 中点， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
（2）成立
（3）解：成立．
取 ，连 ，
由（ ）得： 、 均为等边三角形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ≌ ，
∴ ．
【解析】【解答】解：（ ）成立，取 ，连 ，
∵菱形 ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ 为等边三角形．
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ≌ ，
∴ ．
【分析】（1）由菱形的性质易得三角形ABC是等边三角形，E为AC的中点，根据等边三角形的性质可得∠BAC=，由题意有CF=AE=EF，所以可得∠CFE=，所以可得BE=EF；
（2）成立，取AH=AE，连HE，构造全等三角形，用边角边可证得△HBE≌△CEF；则可得BE=EF；
（3）延长AB至M，使AM=AE，连接ME，构造等边三角形AME，方法同（2），用边角边可证得△BHE≌△ECF，则结论可得。
24．如图
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=5 cm，BD=8 cm.则AC= cm；
（2）在宽为8 cm 的长方形纸带上，用图1中的四边形设计如图2所示的图案.
①如果用7个图1中的四边形设计图案，那么至少需要 cm长的纸带；
②设图1中的四边形有x个，所需的纸带长为y cm，求y与x之间的函数表达式；
③在长为40
cm的纸带上，按照这种方法，最多能设计多少个图1中的四边形？
【答案】（1）6
（2）20；解：由①中规律可得： ；解：将y≤40代入②的表达式中，可得x≤ . 所以最多能设计12个四边形
【解析】【解答】(1)设AC与BD的交点为O，
∵AB=BC=CD=DA=5 cm，
∴四边形ABCD为菱形，
∴OD= ，AB⊥AC，
∴OC= .
∴AC=6.
( 2 )①由图可知：1个四边形需要2×3=6cm，2个四边形需要3×3=9cm，3个四边形需要4×3=20cm……，
所以7个四边形需要8×3=24cm长的纸带.
【分析】(1)由题意得，四边形为菱形，根据菱形的性质利用勾股定理解出即可.(2)①通过前三个四边形寻找规律即可解出.②利用①中的规律表示出来即可.③令y≤40解出x的范围，即可找到最大的值.
25．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形.
【答案】（1）【解答】证明：∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB=2AF
∴AF=BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中
∴△AFE≌△BCA（HL），
∴AC=EF；
（2）【解答】∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°，AC=AD，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°
又∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∵AC=EF，AC=AD，
∴EF=AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
【解析】【分析】（1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又因为△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可证明△AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF；（2）根据（1）知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形．
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