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第9章 轴对称、平移与旋转 单元质量检测卷
一、单选题
1．点关于轴对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，∠C=36°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AED，AD与BC交于点F，则∠AFC的度数为（ ）
A．84° B．80° C．60° D．90°
3．已知：如图，点A、D、B、E在同一直线上，且，，增加下列条件不能推导出的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列数学符号中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B．> C． D．
5．下列选项中的车标图案可以看着是由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在 中， ，在同一平面内，将 绕点 旋转到 的位置，使得 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知，且，要判定最直接的方法是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠B的度数是（ ）
A．40° B．35° C．30° D．15°
9．以下四个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（ ）
A． B．2 C．2 D．3
二、填空题
11．若点P（﹣2，b）与点M（a，3）关于原点对称，则a+b＝ ．
12．将三角尺绕点 按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当第 秒时，直线恰好与直线垂直．
13．如图，AC、BD相交于点O，OA＝OB，OC＝OD，则图中全等三角形共有 对.
14．如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，则的度数 度，再沿折叠成图．则图中的的度数是度 ．
15．如图，与相交于点，，添加一个条件 ，使得．（填一个即可）
16．如图，∠DAB=∠EAC=65°，AB=AD，AC=AE，BE和CD相交于点O，AB和CD相交于P，AC和BE相交于F，则∠DOE的度数是 .
三、综合题
17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于点E，AD=AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G．求证：
（1）DF∥BC；
（2）FG=FE．
18．含有 的直角三角板和含有的直角三角板按如图1放置，和重合.
（1）【操作一】三角板保持不动，将三角板绕着点B以每秒的速度按逆时针方向旋转.当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为t秒.
①当时， ▲ 度.
②求t为何值时，.
（2）【操作二】如图2，在三角板绕着点B以每秒的速度按逆时针方向旋转的同时，三角板也绕着点B以每秒的速度按逆时针方向旋转，设旋转时间为t秒.
①求t为何值时，与重合.
②试探索：在两个三角板旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得与中其中一个角是另一个角的两倍 若存在，请求出所有满足题意的t的值；若不存在，请说明理由.
19．如图，点E，C在线段上，，.
（1）若要使，可以添加的条件是： ；
（2）请根据你所给的条件进行证明.
20．如图，点 、 、 、 在同一条直线上，且 ， ， .
（1）求证： .
（2）若 ，求 的度数.
21．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，将△ABC沿AB边所在直线向右平移3个单位，记平移后的对应三角形为△DEF，
（1）求DB的长；
（2）求此时梯形CAEF的面积．
22． 与 都是等边三角形，连接AD、BE．
（1）如图①，当点B、C、D在同一条直线上时，则 度；
（2）将图①中的 绕着点C逆时针旋转到如图②的位置，求证： ．
23．如图，AD、BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°．
（1）求证：△ACB≌△BDA；
（2）若∠ABC=35°，则∠CAO= °．
24．如图，在中，，，，沿方向平移至，若，．求：
（1）沿方向平移的距离；
（2）四边形的周长．
25．O为直线 上一点，以O为顶点作 ，射线 平分 ．
（1）如图①， 与 的数量关系为 ， 和 的数量关系为 ；
（2）若将 绕点O旋转至图②的位置， 依然平分 ，请写出 和 之间的数量关系，并说明理由；
（3）若将 绕点O旋转至图③的位置，射线 依然平分 ，请直接写出 和 之间的数量关系．
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第9章 轴对称、平移与旋转 单元质量检测卷
一、单选题
1．点关于轴对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
2．如图，在△ABC中，∠C=36°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AED，AD与BC交于点F，则∠AFC的度数为（ ）
A．84° B．80° C．60° D．90°
【答案】A
3．已知：如图，点A、D、B、E在同一直线上，且，，增加下列条件不能推导出的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵AD=BE，
∴AD+BD=BD+BE，
∴AB=DE，
∵AC//DF，
∴∠A=∠EDF，
A、由BC=EF无法推导出 ，符合题意；
B、∵BC//EF，
∴∠ABC=∠E，
又∵∠A=∠EDF，AB=DE，
∴，不符合题意；
C、∵AC=DF，∠A=∠EDF，AB=DE，
∴，不符合题意；
D、∵∠C=∠F，∠A=∠EDF，AB=DE，
∴，不符合题意；
故选：A.
【分析】结合图形和题意，利用全等三角形的判定与性质对每个选项一一判断即可。
4．下列数学符号中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B．> C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
5．下列选项中的车标图案可以看着是由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】A、D选项由图象的旋转可得，C选项由轴对称可得，B选项由平移可得，
故答案为：B。
【分析】利用图形平移的特征求解即可。
6．如图，在 中， ，在同一平面内，将 绕点 旋转到 的位置，使得 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC=AC′，
∴∠CAC′=180°-2∠ACC′=180°-2×65°=50°，
∴∠CAC′=∠BAB′=50°．
故答案为：C．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC′=∠CAB，根据旋转的性质可得AC=AC′，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答．
7．如图，已知，且，要判定最直接的方法是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
8．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠B的度数是（ ）
A．40° B．35° C．30° D．15°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵△COD是△AOB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，
∴∠AOD=∠BOC=30°，AO=DO，
∵∠AOC=100°，
∴∠BOD=100°﹣30°×2=40°，
∠ADO=∠A= （180°﹣∠AOD）= （180°﹣30°）=75°，
由三角形的外角性质得，∠B=∠ADO﹣∠BOD=75°﹣40°=35°．
故选B．
【分析】根据旋转的性质可得∠AOD=∠BOC=30°，AO=DO，再求出∠BOD，∠ADO，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
9．以下四个图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
10．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（ ）
A． B．2 C．2 D．3
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝ ，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴AC＝ ，
∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△BFD与△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
当直线l⊥AC时，最大值为 ，
综上所述，AE+BF的最大值为 .
故答案为：A.
【分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可.
二、填空题
11．若点P（﹣2，b）与点M（a，3）关于原点对称，则a+b＝ ．
【答案】﹣1
【解析】【解答】解：∵点P（﹣2，b）与Q（a，3）关于原点对称，
∴a＝2，b＝﹣3，
∴a+b的值为：2﹣3＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【分析】利用关于原点对称点的性质得出a，b的值进而得出答案．
12．将三角尺绕点 按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当第 秒时，直线恰好与直线垂直．
【答案】或
13．如图，AC、BD相交于点O，OA＝OB，OC＝OD，则图中全等三角形共有 对.
【答案】3
【解析】【解答】解：在△AOD与△BOC中，
∴△AOD≌△BOC（SAS）；
∴AD=BC，
而OA+OC=OD+OB，即AC=DB，
在△ABD与△BAC中，
∴△ABD≌△BAC（SSS），
在△ADC与△BCD中，
∴△ADC≌△BCD（SSS）.
故答案为3.
【分析】由OA=OB，OC=OD，∠AOD=∠BOC，根据“SAS”可判断△AOD≌△BOC，则AD=BC，然后根据“SSS”可判断△ABD≌△BAC，△ADC≌△BCD.
14．如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，则的度数 度，再沿折叠成图．则图中的的度数是度 ．
【答案】140°；120°
【解析】【解答】在图b中，由折叠性质得：∠DEF=∠DEF=20°
∴=180°-2∠DEF=140°，
∵AE∥BG，
∴∠BGE=180°-140°=40°，∠BFE=20°，
∴∠GFC=180°-2∠GFE=140°
∴∠CFE=∠GFC-∠EFB=140°-20°=120°．
故答案是：140°；120°．
【分析】根据折叠性质可得∠DEF=∠DEF=20°，进而得出=180°-2∠DEF=140°；根据平行线的性质得，∠EFB=∠DEF，从而求出∠GFC的度数，进而求解．
15．如图，与相交于点，，添加一个条件 ，使得．（填一个即可）
【答案】或或或（答案不唯一）
【解析】【解答】解：∵与相交于点，
∴，
又，
当添加时，
可用SAS证明；
当添加时，可用ASA证明；
当添加时，可用AAS证明；
当添加时，可得，，同理，
故答案为：或或或（答案不唯一）．
【分析】根据两直线相交对顶角相等，及，就有一边与一角相等，可添加一边构成SAS证明全等；可添加一角构成AAS或ASA证明全等.
16．如图，∠DAB=∠EAC=65°，AB=AD，AC=AE，BE和CD相交于点O，AB和CD相交于P，AC和BE相交于F，则∠DOE的度数是 .
【答案】115°
【解析】【解答】∵∠DAB=∠EAC=65°，
∴∠DAB+∠BAC=∠BAC+∠EAC，
∴∠DAC=∠EAB，
在△ADC和△AEB中，
，
∴△ADC≌△AEB(SAS)，
∴∠E=∠ACD，
又∵∠AFE=∠OFC，
∴∠EAF=∠COF=65°，
∴∠DOE=115°.
故答案为：115°.
【分析】先利用"SAS"证出三角形全等，再利用全等三角形的性质：对应角相等进行转换即可。
三、综合题
17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于点E，AD=AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G．求证：
（1）DF∥BC；
（2）FG=FE．
【答案】（1）证明：∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠DAF．
在△ACF和△ADF中，
∵ ，
∴△ACF≌△ADF（SAS）．
∴∠ACF=∠ADF．
∵∠ACB=90°，CE⊥AB，
∴∠ACE+∠CAE=90°，∠CAE+∠B=90°，
∴∠ACF=∠B，
∴∠ADF=∠B．
∴DF∥BC
（2）证明：∵DF∥BC，BC⊥AC，
∴FG⊥AC．
∵FE⊥AB，
又AF平分∠CAB，
∴FG=FE．
【解析】【分析】（1）根据已知，利用SAS判定△ACF≌△ADF，从而得到对应角相等，再根据同位角相等两直线平行，得到DF∥BC；（2）已知DF∥BC，AC⊥BC，则GF⊥AC，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到FG=EF．
18．含有 的直角三角板和含有的直角三角板按如图1放置，和重合.
（1）【操作一】三角板保持不动，将三角板绕着点B以每秒的速度按逆时针方向旋转.当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为t秒.
①当时， ▲ 度.
②求t为何值时，.
（2）【操作二】如图2，在三角板绕着点B以每秒的速度按逆时针方向旋转的同时，三角板也绕着点B以每秒的速度按逆时针方向旋转，设旋转时间为t秒.
①求t为何值时，与重合.
②试探索：在两个三角板旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得与中其中一个角是另一个角的两倍 若存在，请求出所有满足题意的t的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：①105；
②解：∵，
∴.
当在的上方时，如图，
∴，
∴，
∴（秒），
∴时，；
当在的下方时，如图，
，
解得.
综上可知，当秒或秒时，；
（2）解：①由旋转可知，的旋转角度为，旋转角度为，
当与重合时，比多旋转，
∴，
∴（），
∴当时，与重合；
②当与重合之前时，
∵（），
，
当时，，
∴（s），
当时，，
∴（），
当超过之后时，（），
，
当时，，（s），
当时，，（舍），
综上所述，t的值为2或4或12秒.
【解析】【解答】解：（1）①由题意知，，
，
∴当时，；
【分析】（1）①由题意可得∠ABC=∠CAB=45°，∠ABD=60°-∠DEB=30°，当t=0时，根据∠CBD=∠ABC+∠ABD就可求出∠CBD的度数；
②当BD在BC的上方时，∠ABD=∠CBD-∠ABC=45°，∠ABE=15°，据此不难求出t的值；当BD在BC的下方时，有15t=60+45+90，求解可得t的值；
（2）①由旋转可知：BD的旋转角度为15t，AB旋转角度为5t，当BD与AB重合时，BD比AB多旋转60°，据此可得t的值；
②当BD与AB重合之前时，∠ABD=60-10t，∠ABE=10t，然后分∠ABD=2∠ABE、∠ABE=2∠ABD进行计算可得t的值；当BD超过AB之后时，∠ABD=15t-5t-60，∠ABE=10t，同理可得t的值.
19．如图，点E，C在线段上，，.
（1）若要使，可以添加的条件是： ；
（2）请根据你所给的条件进行证明.
【答案】（1）AC=DF
（2）证明：∵BE=CF，
∴BC=EF，且AB=DE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）.
【解析】【解答】解：（1）∵BE=CF，
∴BC=EF，且AB=DE，
∴可添加AC=DF，利用SSS来证明三角形全等.
故答案为：AC=DF；
【分析】（1）直接根据全等三角形的判定定理进行解答；
（2）根据BE=CF以及线段的和差关系可得BC=EF，由已知条件可知AB=DE，AC=DF，然后根据全等三角形的判定定理进行解答.
20．如图，点 、 、 、 在同一条直线上，且 ， ， .
（1）求证： .
（2）若 ，求 的度数.
【答案】（1）证明： ，
.
即 ，
在 与 中，
；
（2）解： ，
，
，
，
，
∴ .
【解析】【分析】（1）由已知AC=BD，可证得AD=BC，再利用AAS证明△ADE≌△BCF。
（2）利用全等三角形的对应角相等，可得到∠BCF=∠ADE，即可求出∠ADE的度数，再利用三角形的外角性质，可求出∠DMF的度数；然后利用邻补角的定义可求出∠CMD的度数。
21．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，将△ABC沿AB边所在直线向右平移3个单位，记平移后的对应三角形为△DEF，
（1）求DB的长；
（2）求此时梯形CAEF的面积．
【答案】（1）解：∵将△ABC沿AB边所在直线向右平移3个单位到△DEF
∴AD=BE=3，
∵AB=5，
∴DB=AB-AD=2，
∴DB的长是2．
（2）解：作CG⊥AB于G，
在△ACB中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，由勾股定理得：
由三角形的面积公式得：CG AB=AC BC，
∴3×4=5×CG，
∴
∴梯形CAEF的面积为：
【解析】【分析】（1）根据平移的性质求出 AD=BE=3， 再根据AB=5计算求解即可；
（2）利用勾股定理求出BC=4，再根据三角形和梯形的面积公式进行计算求解即可。
22． 与 都是等边三角形，连接AD、BE．
（1）如图①，当点B、C、D在同一条直线上时，则 度；
（2）将图①中的 绕着点C逆时针旋转到如图②的位置，求证： ．
【答案】（1）120
（2）证明：∵ 与 都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE= ，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE +∠ACE，
∴∠BCE=∠ACD，
在 与 中，
，
∴ ，
∴BE=AD．
【解析】【解答】解：（1）∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵点B、C、D在同一条直线上，
∴ ，
∴
【分析】（1）先求出 ，再求出 ，最后计算求解即可；
（2）先求出 ∠BCE=∠ACD， 再利用SAS证明三角形全等，作答求解即可。
23．如图，AD、BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°．
（1）求证：△ACB≌△BDA；
（2）若∠ABC=35°，则∠CAO= °．
【答案】（1）证明：∵∠D=∠C=90°，
∴△ABC和△BAD都是Rt△，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）
（2）20
【解析】【解答】（2）证明：∵Rt△ABC≌Rt△BAD，
∴∠ABC=∠BAD=35°，
∵∠C=90°，
∴∠BAC=55°，
∴∠CAO=∠CAB﹣∠BAD=20°．
故答案为：20．
【分析】（1）根据HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD；（2）利用全等三角形的性质证明即可．
24．如图，在中，，，，沿方向平移至，若，．求：
（1）沿方向平移的距离；
（2）四边形的周长．
【答案】（1）解：∵沿方向平移至，
∴．
∵，
∴；
即沿方向平移的距离是．
（2）解：由平移的性质可得：，
∵，
∴四边形的周长 ．
∴四边形的周长是．
【解析】【分析】（1）根据平移的性质先求出 ，再计算求解即可；
（2）根据平移的性质先求出 ， 再求四边形的周长即可。
25．O为直线 上一点，以O为顶点作 ，射线 平分 ．
（1）如图①， 与 的数量关系为 ， 和 的数量关系为 ；
（2）若将 绕点O旋转至图②的位置， 依然平分 ，请写出 和 之间的数量关系，并说明理由；
（3）若将 绕点O旋转至图③的位置，射线 依然平分 ，请直接写出 和 之间的数量关系．
【答案】（1）互余；
（2）解： ；理由如下：
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ；
（3）解： ；理由如下：
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
【解析】【解答】解：（1）∵∠COE=90°，∠COE+∠AOC+∠DOE=180°，
∴∠AOC+∠DOE=90°，
∵射线OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF= ∠AOE，
∴∠COF=∠AOF-∠AOC= ∠AOE-（90°-∠DOE）= （180°-∠DOE）-90°+∠DOE= ∠DOE，
故答案为互余，∠COF= ∠DOE；
【分析】（1）先求出∠AOC+∠DOE=90°，再求出∠AOF=∠EOF= ∠AOE，最后求解即可；
（2）先求出 ， 再求出 ， 最后作答即可；
（3）根据角平分线求出 ， 再求解即可。
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