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第19章 矩形、菱形与正方形 单元综合复习卷
一、单选题
1．在矩形中，对角线相交于点O，的角平分线交于点E，若，则用表示为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（ ）
A．测量一组对边是否平行且相等
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量其中的三个角是否都为直角
D．测量对角线是否相等
3．如图，在正方形中，点、分别在、上，连接、、，．若，则一定等于（ ）
A． B． C． D．
4．菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，sinA= ，则下列结论正确的个数有（ ）
①DE=3cm； ②BE=1cm； ③菱形的面积为15cm2； ④BD=2 cm.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．将矩形ABCD按如图方式折叠，点B，点C恰好落在点G处，且A，G，F在同一条直线上．若AB=4，BC=6，则CF的长是（ ）
A． B． C． D．3
6．如图，矩形ABCD中，点E在AD上，点F在AB上，且EF⊥EC，EF＝EC，DE＝2，矩形ABCD的周长为16，则AE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连结EF，若∠BEC=70°，那么∠CEF的度数为（ ）
A．20° B．25° C．40° D．45°
8．如图， 分别是正方形 的边 ， 上的点，且 ， ， ，如下结论：① ；② ；③ ；④ ．其中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．在平行四边形ABCD中，增加一个条件能使它成为矩形，则增加的条件是（ ）
A．对角线互相平分 B．AB=BC
C．AB= AC D．∠A+∠C=180°
10．如图以直角三角形ABC的斜边BC为边在三角形ABC的同侧作正方形BCEF．设正方形的中心为O，连接AO，如果，，则AC的值为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
二、填空题
11．如图，矩形纸片．如果点P在边上，将纸片沿折叠，使点B落在点E处，连接当是直角三角形时，那么的长为 ．
12．如图，在长方形纸片中，点分别在边，上，连接，将对折，使点落在直线上的点 处，得折痕；将对折，使点落在直线上的点 处，得折痕． 若，则 ．
13．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，BC=1，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为 ．
14．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=8，BD=6，则菱形ABCD的周长是 ．
15．已知一个底面为菱形的直棱柱，高为10cm，体积为150cm3，则这个棱柱的下底面积为 cm2；若该棱柱侧面展开图的面积为200cm2，记底面菱形的顶点依次为A，B，C，D，AE是BC边上的高，则CE的长为 cm．
16．正方形中，P是对角线所在直线上一点．若P在对角线上(如图1)，连接，过点P作交于点Q．若，，则的长为 ；
若P在的延长线上(如图2)，连接，过点P作交延长线于点E，连接，若，的面积是20，则的长为 ．
三、综合题
17．如图，四边形 中， 垂直平分 ，垂足为点 ， 为四边形 外一点，且 ， ．
（1）求证：四边形 是平行四边形．
（2）如果 平分 ， ， ，求 的长．
18．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
19．如图， 中， ， ， 是 上一动点（与 、 不重合），将 绕 点逆时针方向旋转 至 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2） 点在移动的过程中，四边形 是否能成为特殊四边形？若能，请指出 点的位置并证明你的结论；若不能，请说明理由．
20．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）后得直线l，直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）当α=30°时，求线段EF的长度．
21．如图1，O为正方形ABCD的中心，
分别延长OA、OD到点F、E，使OF＝2OA，OE＝2OD，连接EF.将△EOF绕点O逆时针旋转a角得到△E1OF1(如图2).
（1）探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明；
（2）当a＝30°时，求证：△AOE1为直角三角形.
22．在 ABCD中，E、F分别是AD、BC上的点，将平行四边形ABCD沿EF所在直线翻折，使点B与点D重合，且点A落在点A′处.
（1）求证：△A′ED≌△CFD；
（2）连结BE，若∠EBF＝60°，EF＝3，求四边形BFDE的面积.
23．如图，在平行四边形ABCD中，E，F为AB边上的两点，且AE＝BF，DF＝CE．求证：
（1）△ADF≌△BCE．
（2）平行四边形ABCD是矩形．
24．如图，平行四边形
ABCD 的对角线 AC、BD 交于 O 点，AE∥BD，∠AED＝∠AOD，连接 OE．
（1）求证：AE＝OB；
（2）求证：四边形
CDEO 是平行四边形．
25．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D，E是五个格点，请在所给的网格中按下列要求画出图形.
（1）从所给的五个格点中选出其中四个作为顶点做一个平行四边形.
（2）过剩余一个点做一条直线l，使得直线l平分（1）小题中所做的平行四边形的面积.
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第19章 矩形、菱形与正方形 单元综合复习卷
一、单选题
1．在矩形中，对角线相交于点O，的角平分线交于点E，若，则用表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
2．如图，诚诚用橡胶皮和布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其中合理的是（ ）
A．测量一组对边是否平行且相等
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量其中的三个角是否都为直角
D．测量对角线是否相等
【答案】C
3．如图，在正方形中，点、分别在、上，连接、、，．若，则一定等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
4．菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，sinA= ，则下列结论正确的个数有（ ）
①DE=3cm； ②BE=1cm； ③菱形的面积为15cm2； ④BD=2 cm.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】∵菱形ABCD的周长为20cm
∴AD=5cm
∵sinA=
∴DE=3cm（①正确）
∴AE=4cm
∵AB=5cm
∴BE=5﹣4=1cm（②正确）
∴菱形的面积=AB×DE=5×3=15cm2（③正确）
∵DE=3cm，BE=1cm
∴BD= cm（④不正确）
所以正确的有三个.
故答案为：C.
【分析】根据菱形的四边相等，可得AD=AB=5cm，在Rt△ADE中，由sinA== ，可得DE=3cm，由BE=AB-BE=1cm，据此判断①②；根据菱形的面积=底×高=AB×DE=15cm2，据此判断③；在Rt△BDE中，利用勾股定理求出BD=cm，据此判断④即可.
5．将矩形ABCD按如图方式折叠，点B，点C恰好落在点G处，且A，G，F在同一条直线上．若AB=4，BC=6，则CF的长是（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【解析】【解答】解：根据折叠的性质得出：AB=AG，BE=EG=CE=3，CF=GF，∠AEB=∠AEG，∠CEF=∠GEF，
∵∠AEB+∠AEG+∠CEF+∠GEF=180°，
∴∠AEG+∠GEF=∠AEF=90°，
∵A，G，F在同一条直线上 ，
∴AF=AG+GF=4+CF，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得AE=
在Rt△CEF中，根据勾股定理
得CE2+CF2=EF2，即32+CF2=EF2，
在Rt△AEF中，根据勾股定理
得AE2+EF2=AF2，
∴52+32+CF2=(4+CF)2，
解得CF=。
故答案为：A。
【分析】根据折叠的性质得出AB=AG，BE=EG=CE=3，CF=GF，∠AEB=∠AEG，∠CEF=∠GEF，根据平角的定义得出∠AEG+∠GEF=∠AEF=90°，在Rt△ABE中，根据勾股定理算出AE的长，在Rt△CEF中，根据勾股定理得CE2+CF2=EF2，即32+CF2=EF2，在Rt△AEF中，根据勾股定理得AE2+EF2=AF2，从而列出方程，求解即可。
6．如图，矩形ABCD中，点E在AD上，点F在AB上，且EF⊥EC，EF＝EC，DE＝2，矩形ABCD的周长为16，则AE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90°
∵EF⊥CE
∴∠CEF=90°
∴∠CED+∠AEF=90°
∵∠CED+∠DCE=90°
∴∠DCE=∠AEF
∵∠A=∠D，∠DCE=∠AEF ，CE=EF，
∴△AEF≌△DCE
∴AE=DC
由题意可知：2（AE+DE+CD）=16， 且DE=2
∴2AE=6
∴AE=3
故答案为：A.
【分析】根据矩形的性质得出∠A=∠D=90°，再利用全等三角形的性质得出AE=DC，由题意可知：2（AE+DE+CD）=16， 且DE=2，即可得出答案。
7．如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连结EF，若∠BEC=70°，那么∠CEF的度数为（ ）
A．20° B．25° C．40° D．45°
【答案】D
【解析】【解答】解：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCE=90°，
∵△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，
∴∠BCE=∠DCF=90°，且CE=CF，
∴∠CEF=45°，
故选D．
【分析】由旋转的性质可得∠BCE=∠DCF=90°，且CE=CF，可得∠CFE=45°．
8．如图， 分别是正方形 的边 ， 上的点，且 ， ， ，如下结论：① ；② ；③ ；④ ．其中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠B=∠C=∠D=90°
∵AG=CE，
∴BG=BE，
∴
∴ ，故①符合题意；
∵BG=BE，∠B=90°，
∴∠BGE=∠BEG=45°，
∴∠AGE=135°，
∴∠GAE+∠AEG=45°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∵∠BEG=45°，
∴∠AEG+∠FEC=45°，
∴∠GAE=∠FEC，
在△AGE和△ECF中，
∵
∴△AGE≌△ECF（SAS），∴②符合题意；
∴∠AGE=∠ECF=135°，
∴∠FCD=135°-90°=45°，∴③符合题意；
∵∠BGE=∠BEG=45°，∠AEG+∠FEC=45°，
∴∠FEC＜45°，
∴△GBE和△ECH不相似，∴④不符合题意；
故答案为：C．
【分析】由AG=CE知BG=BE，根据勾股定理可得 ，即可判断①；求出∠GAE+∠AEG=45°，推出∠GAE=∠FEC，根据SAS推出△AGE≌△ECF，即可判断②；求出∠AGE=∠ECF=135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH不相似，即可判断④．
9．在平行四边形ABCD中，增加一个条件能使它成为矩形，则增加的条件是（ ）
A．对角线互相平分 B．AB=BC
C．AB= AC D．∠A+∠C=180°
【答案】D
【解析】【解答】解：答案D中∠A与∠C为对角，∠A=∠C，又∠A+∠C=180°，
∴∠A=∠C=90°，又四边形为平行四边形，所以可得其为矩形；故该选项正确，
故选D．
【分析】根据矩形的判定（有一个角是直角的平行四边形是矩形），所以在平行四边形的基础上，只要满足一个角为直角即可．
10．如图以直角三角形ABC的斜边BC为边在三角形ABC的同侧作正方形BCEF．设正方形的中心为O，连接AO，如果，，则AC的值为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】D
二、填空题
11．如图，矩形纸片．如果点P在边上，将纸片沿折叠，使点B落在点E处，连接当是直角三角形时，那么的长为 ．
【答案】或
12．如图，在长方形纸片中，点分别在边，上，连接，将对折，使点落在直线上的点 处，得折痕；将对折，使点落在直线上的点 处，得折痕． 若，则 ．
【答案】
13．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，BC=1，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为 ．
【答案】 ﹣1
【解析】【解答】解：在菱形ABCD中，
∵∠BAD=120°，BC=1，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短“，即当点P与点A重合时，PD值最小，最小值为2；②若以边PC为底，∠PBC为顶角时，以点B为圆心，BC长为半径作圆，与BD相交于一点，则弧AC（除点C外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在BD上时，PD最小，最小值为 ﹣1；③若以边PB为底，∠PCB为顶角，以点C为圆心，BC为半径作圆，则弧BD上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点D重合时，PD最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；
综上所述，PD的最小值为 ﹣1．
【分析】分三种情形讨论①若以边BC为底．②若以边PC为底．③若以边PB为底．分别求出PD的最小值，即可判断．
14．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=8，BD=6，则菱形ABCD的周长是 ．
【答案】20
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD中，AC=6，BD=8，
∴OA= AC=3，OB= BD=4，AC⊥BD，
∴AB= =5，
∴菱形ABCD的周长是：20．
故答案为：20．
【分析】由菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=8，可求得OA与OB的长，然后由勾股定理求得边AB的长，继而求得答案．
15．已知一个底面为菱形的直棱柱，高为10cm，体积为150cm3，则这个棱柱的下底面积为 cm2；若该棱柱侧面展开图的面积为200cm2，记底面菱形的顶点依次为A，B，C，D，AE是BC边上的高，则CE的长为 cm．
【答案】15；1或9
【解析】【解答】解：∵底面为菱形的直棱柱，高为10cm，体积为150cm3，
∴这个棱柱的下底面积为：150÷10=15（cm2）；
∵该棱柱侧面展开图的面积为200cm2，高为10cm，
∴底面菱形的周长为：200÷10=20（cm），
∴AB=BC=CD=AD=20÷4=5（cm），
∴AE=S菱形ABCD÷BC=15÷5=3（cm），
∴BE= =4（cm），
∴如图1：EC=BC﹣BE=5﹣4=1（cm），
如图2：EC=BC+BE=5+4=9（cm），
故答案为：15；1或9．
【分析】由底面为菱形的直棱柱，高为10cm，体积为150cm3，由体积=底面积×高，即可求得这个棱柱的下底面积，又由该棱柱侧面展开图的面积为200cm2，即可求得底面菱形的周长与BC边上的高AE的长，由勾股定理求得BE的长，继而求得CE的长．
16．正方形中，P是对角线所在直线上一点．若P在对角线上(如图1)，连接，过点P作交于点Q．若，，则的长为 ；
若P在的延长线上(如图2)，连接，过点P作交延长线于点E，连接，若，的面积是20，则的长为 ．
【答案】；
【解析】【解答】解：过点作，
∵正方形中，是对角线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
由勾股定理可得：，
即，
解得：，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
同理可证：四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2．
过点作，如图，
∵正方形中，是对角线，点P在的平分线上，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中
∴，
∴，
∵四边形和均为正方形，
∴，
∴，
∴，
设小正方形的边长为，则大正方形的边长为，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】（1）过点作，则有，利用，可以得到，即可得到是等腰三角形，然后利用勾股定理得到，然后得到和是矩形，即可得到，求出，解题即可；
（2）过点作，得到是的角平分线，然后根据角平分线的性质得到，然后证明，得到，再根据正方形的性质得到，设小正方形的边长为，则大正方形的边长为，利用列等式求出，最后利用勾股定理解题即可．
三、综合题
17．如图，四边形 中， 垂直平分 ，垂足为点 ， 为四边形 外一点，且 ， ．
（1）求证：四边形 是平行四边形．
（2）如果 平分 ， ， ，求 的长．
【答案】（1）证明： ∵∠ADE=∠BAD，
∴AB∥DE，
， ，
AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形
（2）解： ∵DA平分∠BDE，
，
，
，
设BF=x，则DF=5-x，
，
，
∴x= ，
，
.
【解析】【分析】由已知条件易得四边形ABDE的两组对边分别平行，根据平行四边形的定义即可判断四边形ABDE是平行四边形；
（2）结合（1）中的结论易得四边形ABDE是菱形，所以可得BD=AB，设BF=x，则DF=5-x，直角三角形ADF和直角三角形ABF中，用勾股定理分别将AF的平方用含x的代数式表示出来，即可得关于x的方程，解方程即可求得x的值，则AF的值可求，所以AC=2AF。
18．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF，
在△BOE和△DOF中， ，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO=FO，
∴四边形BEDF是平行四边形
（2）解：当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，
设BE=x，则 DE=x，AE=6﹣x，
在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，
∴x2=42+（6﹣x）2，
解得：x= ，
∵BD= =2 ，
∴OB= BD= ，
∵BD⊥EF，
∴EO= = ，
∴EF=2EO=
【解析】【分析】（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长．
19．如图， 中， ， ， 是 上一动点（与 、 不重合），将 绕 点逆时针方向旋转 至 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2） 点在移动的过程中，四边形 是否能成为特殊四边形？若能，请指出 点的位置并证明你的结论；若不能，请说明理由．
【答案】（1）∵ 绕 点逆时针方向旋转 至 ，
∴ ， ，
而 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）当 点为 的中点时，四边形 能成为正方形．
理由如下：
当 点为 的中点时，而 ， ，
∴ ，即 ，
由 得 ，
而 ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
又∵ ，
∴四边形 能成为正方形．
【解析】【分析】（1） 绕 点逆时针方向旋转 至 ， 根据旋转的性质得出 ， ， 而 ， ， 得出 ，则，即可得出结论；
（2） 当 点为 的中点时，而 ， ， 则 ，即 ，由 得 ，由（1）得 ，而 ， 得出 四边形 为矩形， 由 ， 即可得出 四边形 能成为正方形．
20．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）后得直线l，直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）当α=30°时，求线段EF的长度．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AO=OC，
∴，
∴AE=CF，OE=OF，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF．
（2）解：当α=30°时，即∠AOE=30°，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴∠OAD=60°，
∴∠AEO=90°，
在Rt△AOB中，
sin∠ABO===，
∴AO=1，
在Rt△AEO中，
cos∠AOE=cos30°==，
∴OE=，
∴EF=2OE= ．
【解析】【分析】（1）首先证明AE=CF，OE=OF，结合AO=CO，利用SSS证明△AOE≌△COF；
（2）首先画出α=30°时的图形，根据菱形的性质得到EF⊥AD，解三角形即可求出OE的长，进而得到EF的长．
21．如图1，O为正方形ABCD的中心，
分别延长OA、OD到点F、E，使OF＝2OA，OE＝2OD，连接EF.将△EOF绕点O逆时针旋转a角得到△E1OF1(如图2).
（1）探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明；
（2）当a＝30°时，求证：△AOE1为直角三角形.
【答案】（1）解： ，证明如下.
证明： 为正方形 的中心，
，
， ，
，
将 绕点 逆时针旋转 角得到 ，
，
， ，
，
（2）证明： 取 中点 ，连接 ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
为直角三角形.
【解析】【分析】（1）利用旋转不变量找到相等的角和线段，证得 后即可证得结论；（2）利用已知角，得出 ，从而证明直角三角形.
22．在 ABCD中，E、F分别是AD、BC上的点，将平行四边形ABCD沿EF所在直线翻折，使点B与点D重合，且点A落在点A′处.
（1）求证：△A′ED≌△CFD；
（2）连结BE，若∠EBF＝60°，EF＝3，求四边形BFDE的面积.
【答案】（1）证明：由翻折可知：
AB=A′D，∠ABC=∠A′DF，∠EFB=∠EFD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠ABC=∠ADC，
∴∠ADC=∠A′DF，
∴∠FDC=∠A′DE，
∵AB=A′D，AB=CD，
∴A′D=CD.
∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB，
∵∠EFB=∠EFD，
∴∠DEF=∠EFD，
∴ED=DF，
∴△A′ED≌△CFD
（2）解：∵AD∥BC，A′B∥DF，
∴四边形EBFD为平行四边形.
由（1）DE=DF，
∴四边形EBFD为菱形.
∵∠EBF=60°，
∴△BEF为菱形.
∵EF=3，
∴BE=BF=3.
过点E作EH⊥BC于点H，
∴四边形BFDE的面积为：sin60°AE BF= .
【解析】【分析】（1）由折叠的性质得AB=A′D，∠ABC=∠A′DF，∠EFB=∠EFD，由平行四边形的性质得AB=CD，∠ABC=∠ADC，由平行四边形的性质和折叠的性质得A′D=CD，结合已知易得∠FDC=∠A′DE，ED=DF，所以用边角边可证△A′ED≌△CFD；
（2）由已知有AD∥BC，A′B∥DF，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形EBFD为平行四边形，结合（1）的结论DE=EF，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形EBFD为菱形，再根据一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形可得△BEF为等边三角形，由等边三角形的性质得BE=BF ，过点E作EH⊥BC于点H，解直角三角形可求得EH的长，根据S四边形BEDF=BF×EH可求解。
23．如图，在平行四边形ABCD中，E，F为AB边上的两点，且AE＝BF，DF＝CE．求证：
（1）△ADF≌△BCE．
（2）平行四边形ABCD是矩形．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
∵AE＝BF，
∴AF＝BE，
在和中，
∴．
（2）证明：∵，
∴．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形ABCD是矩形．
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定方法证明即可；
（2）先求出 ，再求出 ， 最后证明即可。
24．如图，平行四边形
ABCD 的对角线 AC、BD 交于 O 点，AE∥BD，∠AED＝∠AOD，连接 OE．
（1）求证：AE＝OB；
（2）求证：四边形
CDEO 是平行四边形．
【答案】（1）∵AE∥BD，
∴∠AED+∠EDO=180°，
∵∠AED=∠AOD，
∴∠AOD +∠EDO
=180°，
∴AO∥DE，
∴四边形DEAO是平行四边形，
∴AE=OD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∴AE=OB；
（2）∵AE=OB，且AE∥OB，
∴四边形AEOB是平行四边形，
∴AB=OE，AB∥OE，
∵AB=CD，AB∥CD，
∴OE = CD，OE∥CD，
∴四边形CDEO是平行四边形．
【解析】【分析】(1)首先证明四边形DEAO是平行四边形，推出AE=OD，再证明OB=OD即可；(2)只要证明EO∥CD，EO=CD即可．
25．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D，E是五个格点，请在所给的网格中按下列要求画出图形.
（1）从所给的五个格点中选出其中四个作为顶点做一个平行四边形.
（2）过剩余一个点做一条直线l，使得直线l平分（1）小题中所做的平行四边形的面积.
【答案】（1）解：由勾股定理与网格特点得：
则由点A、B、D、E作为顶点组成的四边形为平行四边形，顺次连接即可得平行四边形 ，如图所示：
（2）解：如图，连接AD、BE，相交于点O，过点O、C画直线即可得直线 ，理由如下：
四边形 是平行四边形
在 和 中，
，即
，即
则直线 平分平行四边形 的面积，即为所求.
【解析】【分析】（1）首先由勾股定理可得AB=DE，BD=AE，则四边形ABDE为平行四边形；
（2）连接AD、BE，相交于点O，过点O、C画直线即可得直线 l即可，由平行四边形的性质可得AE∥BD，OA=OD，S△ABD=S△AED，进而推出△AOM≌△DON，得到S△AOM=S△DON，由面积之间的和差关系可推出S四边形ODEM=S四边形OABN，据此证明即可.
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