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第2章 电势能与电势差
章末整合提升
2门世2有
3厚
特点：只与始、末位置有关，与路径无关
电场力做功
功与电势能变化的关系：WAB=EpA一EpB
大小：等于静电力把电荷从该点移到零势能位置所做的功
电势能
电势能与电势差
公式：Ep=q9
定义：电荷在电场中某点的电势能与它的电荷量之比
电势{公式：
Ep
q
标量：有正负，与零电势点的选取有关
定义：UAB=PA-PB
电势差{与电场力做功的关系：UA
WAB
3
q
标量：有正负
电势能与电势差
等势面：形象地描述电场中电势的分布
电场强度与
沿场强的方向电势降落最快
电势差的关系
)在匀强电场中：E=第2章 电势能与电势差
第1节 静电力做功与电势能
核心素养：1.知道静电力做功与路径无关. 2.掌握电势能和电势的概念、公式，认识电势能和电势的相对性. 3.通过比较静电力做功与重力做功都与路径无关的特点，引入电势能的概念，培养“通过某种力做功来研究与它相关能量”的科学方法. 4.利用知识类比和迁移激发学习兴趣，培养灵活运用知识和对科学的求知欲.
静电力做功的特点
合作 讨论
如图所示，在场强为E的匀强电场中有相距为l的A、B两点，连线AB与电场线的夹角为θ，将一电荷量为q的正电荷从A点移到B点，若沿直线AB移动该电荷，电场力做的功是多少？若沿路径ACB移动该电荷，电场力做的功是多少？若沿曲线ADB移动该电荷，电场力做的功又是多少？
提示：qElcos θ qElcos θ qElcos θ
教材 认知
1.静电力做功：在匀强电场中，静电力做功W＝qE·lcos θ.其中θ为静电力方向与位移方向之间的夹角.
2.特点：在静电场中移动电荷时，静电力做的功与电荷的 起始位置 和 终止位置 有关，与电荷 经过的路径 无关.以上结论不仅适用于匀强电场，而且也适用于非匀强电场.
[思考] 如图所示，两辆完全相同的小汽车从山脚下的同一地点，沿不同的路径到山顶，重力做功一样吗？重力做功与静电力做功特点一样吗？
提示：重力做功一样多，重力做功与静电力做功特点是一样的，静电力做的功与电荷的起始位置和终止位置有关，与电荷经过的路径无关.
核心 归纳
1.匀强电场中电场力做功的计算
W＝qElcos θ，其中θ为电场力与位移间的夹角.
2.电场力做功的正、负判断
（1）根据电场力和位移方向的夹角判断：夹角为锐角，电场力做正功；夹角为钝角，电场力做负功；电场力和位移方向垂直时不做功.此法常用于匀强电场中恒定电场力做功情况的判断.
（2）根据电场力和瞬时速度方向的夹角判断：夹角为锐角时，电场力做正功；夹角为钝角时，电场力做负功；电场力和瞬时速度方向垂直时不做功.此法常用于判断曲线运动中变化电场力的做功情况.
研习 经典
[典例1] 两带电小球，电荷量分别为＋q和－q，固定在一长度为l的绝缘细杆的两端，置于电场强度为E的匀强电场中，杆与场强方向平行，其位置如图所示.若此杆绕过O点垂直于杆的轴线转过180°，则在此转动过程中电场力做的功为（ ）
A.0 B. qEl
C.2qEl D.πqEl
[解析] 电场力对两小球均做正功，大小与路径无关，对每个小球做的功均为qEl，共为2qEl，故C正确.
[答案] C
电场力做功的特点
（1）电场力做功只与电荷的初、末位置有关，与运动路径无关，这一特点适用于任何电场.
（2）在匀强电场中，电场力做功W＝qEd，其中d为沿电场线方向的位移.
[训练1] 如图所示，匀强电场的场强E＝100 N/C，ab＝dc＝4 cm，bc＝ad＝3 cm，e是dc边的中点.试求：
（1）将q＝－5×10－3 C的点电荷沿路径abc从a移动到c，静电力做的功；
（2）将q＝－5×10－2 C的点电荷沿任意路径从a移动到e，静电力做的功；
（3）将q＝－5×10－3 C的点电荷沿路径abcda移动一周，静电力做的功.
解析：根据静电力做功的特点可得
（1）点电荷从a移动到c，静电力做的功W1＝qEdab＝－5×10－3×100×0.04 J＝－0.02 J.
（2）点电荷从a移动到e，静电力做的功
W2＝qEdde＝－5×10－3×100×0.02 J＝－0.01 J.
（3）点电荷移动一周，静电力做的功为零.
答案：（1）－0.02 J （2）－0.01 J （3）0
电势能
合作 讨论
如图所示是某种静电矿料分选器的原理示意图，带电矿粉经漏斗落入水平匀强电场后，分落在收集板中央的两侧.在矿粉分离的过程中，静电力对矿粉做正功还是做负功？矿粉的电势能如何变化？
提示：静电力对矿粉做正功；矿粉的电势能减少.
教材 认知
1.电势能的含义
功是能量转化的 量度 .重力做的功量度了 重力势能 的变化：当重力做负功时，物体的重力势能 增大 ；当重力做正功时，物体的重力势能 减小 .电荷在电场中也具有势能，这种势能称为 电势能 .
2.电势能的变化与电场力做功的关系
（1）定性关系：静电力做正功，电势能 减小 ，静电力做负功，电势能 增大 .
（2）定量关系：用WAB表示电荷从A点移到B点的过程中静电力所做的功，EpA和EpB分别表示电荷在A点和B点的电势能，那么WAB＝ EpA－EpB ＝ －ΔEp .
3.电势能大小：电荷在电场中某点的电势能等于 电荷从该点移到零电势能点静电力所做的功 .
4.电势能的相对性：选择不同的零电势能点，电荷在电场中同一点的电势能的值是 不同的 .在实际应用中，通常将电荷在 大地表面 的电势能规定为零，或者将电荷在离场源电荷 无穷远处 的电势能规定为零.
[思考] 如图所示电场中A、B两点，选择不同的零电势能点，电荷在电场中A点（或B点）的电势能的值相同吗？电荷在A、B两点间的电势能之差相同吗？
提示：电荷在A点（或B点）的电势能与零电势能点的选取有关.无论选择电荷在哪点为零电势能点，移动电荷电场力做的功是相同的，即电荷在A、B两点间的电势能之差（即电势能的变化）是相同的.
核心 归纳
1.电势能的特性
系统性 电势能是由电场和电荷共同决定的，是属于电荷和电场所共有的，我们习惯上说成电荷的电势能
相对性 电势能是相对的，其大小与选定的参考点有关.确定电荷的电势能，首先应确定参考点，也就是零势能点的位置
标量性 电势能是标量，有正负但没有方向.电势能为正值表示电势能大于参考点的电势能，电势能为负值表示电势能小于参考点的电势能
2.电场力做功与电势能变化量的关系
（1）公式
（2）电场力做正功，电势能减少，电场力做了多少正功，电荷的电势能就减少多少；反之，电场力做负功即电荷克服电场力做功，电势能增加，电荷克服电场力做了多少功，电荷的电势能就增加多少.
研习 经典
[典例2] 将带电荷量为6×10－6 C的负电荷从电场中的A点移到B点，克服静电力做了3×10－5 J的功，再从B移到C，静电力做了1.2×10－5 J的功，则：
（1）该电荷从A移到B，再从B移到C的过程中，电势能共改变了多少？
（2）如果规定A点的电势能为零，则该电荷在B点和C点的电势能分别为多少？
[解析] （1）从A移到C，静电力做的功WAC＝－3×10－5 J＋1.2×10－5 J＝－1.8×10－5 J，电势能增加1.8×10－5 J.
（2）WAB＝EpA－EpB＝－3×10－5 J，又EpA＝0，则EpB＝3×10－5 J
WAC＝EpA－EpC＝－1.8×10－5 J，则EpC＝1.8×10－5 J.
[答案] （1）增加1.8×10－5 J
（2）3×10－5 J 1.8×10－5 J
电势能增减的判断方法
做功 判断法 无论正、负电荷，只要电场力做正功，电荷的电势能一定减小；反之，做负功则增大
电场线 判断法 正电荷顺着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小；逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大.负电荷的情况正好相反
[训练2] （多选）如图所示，固定在Q点的正点电荷的电场中有M、N两点，已知＜.下列叙述正确的是（ ）
A.若把一正点电荷从M点沿直线移到N点，则静电力对该电荷做正功，电势能减少
B.若把一正点电荷从M点沿直线移到N点，则该电荷克服静电力做功，电势能增加
C.若把一负点电荷从M点沿直线移到N点，则静电力对该电荷做正功，电势能减少
D.若把一负点电荷从M点沿直线移到N点，再从N点沿不同路径移回到M点，则该电荷电势能不变
解析：在正点电荷形成的电场中，正电荷受到的静电力沿电场线方向，从M点移到N点，静电力做正功，电势能减少，A正确，B错误；在正点电荷形成的电场中，负点电荷受到的静电力与电场线方向相反，负点电荷从M点移到N点，静电力做负功，电势能增加，C错误；把一负点电荷从M点沿直线移到N点，再从N点沿不同路径移回到M点，静电力做的总功为零，电势能不变，D正确.
答案：AD
深刻剖析提升能力
基础 题组
1.思维辨析
（1）只要电荷在电场中移动，电场力一定做功.（ × ）
（2）电场力做功与重力做功类似，与初、末位置有关，与路径无关.（ √ ）
（3）电势能是相对的，规定不同的零势能点，电荷在电场中某点的电势能不同.（ √ ）
2.关于电势能下列说法正确的是（ ）
A.电荷在电场中某一位置时，其电势能一定不变
B.电势能是矢量
C.电荷在某点的电势能等于电场力把它从该点移动到零势能位置时所做的功
D.电势能的数值是绝对的，但有正负值
解析：电荷在电场中某一位置时，其电势能与所选零电势能点有关，而零电势能点的选取是任意的，即电荷在某点的电势能的数值不是一个固定的值，A项错误，C项正确；电势能是标量，无方向，有正负值，电势能的数值是相对的，与所选零电势能点有关，B、D项错误.
答案：C
3.如图所示是以电荷＋Q为圆心的一组同心圆（虚线），电场中有A、B、C、D四点.现将一带正电的点电荷由A点沿不同的路径移动到D点.沿路径①静电力做功为W1，沿路径②静电力做功为W2，沿路径③静电力做功为W3，则（ ）
A. W2＜W3＜W1
B. W1＝W2＝W3
C. W2＞W3＞W1
D.因不知道＋Q的具体数值，故无法进行判断
解析：因为静电力做功只与初、末位置有关，而与电荷运动的路径无关，故沿三条路径将点电荷由A点移动到D点的过程中，静电力做功相等，选项B正确.
答案：B
中档 题组
1.（多选）如图所示，一带负电粒子以某速度进入水平向右的匀强电场中，仅在电场力作用下形成图中所示的运动轨迹，M和N是轨迹上的两点，其中M点在轨迹的最右端。粒子从N到M的过程中（ ）
A.在M点的速率最大
B.所受电场力沿电场方向向右
C.加速度不变
D.电势能始终在增加
解析：由图可知，粒子从N到M的过程，电场力一直做负功，则粒子的动能减小，速度减小，到达轨迹的最右端M时，速率最小，电势能始终在增加，故A错误，D正确；粒子带负电，所受电场力与电场方向相反，沿电场方向向左，故B错误；粒子在匀强电场中运动，所受电场力不变，则加速度不变，故C正确.
答案：CD
2.（多选）如图所示，在y轴上关于O点对称的A、B两点有等量同种点电荷＋Q，在x轴上C点有点电荷－Q，且CO＝OD，∠ADO＝60°.下列判断正确的是（ ）
A. O点电场强度为零
B. D点电场强度为零
C.若将点电荷＋q从O移向C，电势能增大
D.若将点电荷－q从O移向C，电势能增大
解析：两正点电荷在O点产生的合场强为零，负点电荷在O点产生的场强即为O点的合场强，选项A错误；两正电荷在D点产生的合场强方向沿x轴正向，大小为2×kcos 60°＝k，与负电荷在D点产生的场强大小相等，方向相反，所以D点的合场强为零，选项B正确；OC间的电场方向由O指向C，＋q由O移向C，电场力做正功，电势能减小，－q从O移向C，电场力做负功，电势能增大，选项C错误，D正确.
答案：BD
3.如图所示，在场强E＝1×104 N/C的水平匀强电场中，有一根长l＝15 cm的细线，一端固定在O点，另一端系一个质量m＝3 g、电荷量q＝2×10－6 C的带正电小球，当细线处于水平位置时，将小球从静止开始释放，g取10 m/s2.则：
（1）小球到达最低点B的过程中重力势能变化量、电势能变化量分别为多少？
（2）若取A点电势能为零，小球在B点的电势能为多大？
（3）小球到B点时速度为多大？细线的张力为多大？
解析：（1）重力势能变化量ΔEp＝－mgl＝－4.5×10－3 J
电势能的变化量ΔEp电＝qEl＝3×10－3 J.
（2）小球在B点的电势能EpB＝3×10－3 J.
（3）小球从A到B由动能定理得
mgl－Eql＝m
得vB＝1 m/s
在B点，对小球有T－mg＝
解得T＝5×10－2 N.
答案：（1）重力势能减少4.5×10－3 J 电势能增加3×10－3 J
（2）3×10－3 J （3）1 m/s 5×10－2 N
课时作业（七） 静电力做功与电势能
[基础训练]
1.下列说法正确的是（ ）
A.电荷从电场中的A点运动到B点，路径不同，电场力做功的大小就可能不同
B.电荷从电场中的某点开始出发，运动一段时间后，又回到了该点，则电场力做功为零
C.电荷沿着电场线运动，电场力对电荷做正功
D.电荷在电场中运动，因为电场力可能对电荷做功，所以能量守恒定律在电场中并不成立
解析：电场力做功和电荷的运动路径无关，A错误；电场力做功只与电荷的初、末位置有关，所以电荷从某点出发又回到了该点，电场力做功为零，B正确；正电荷沿电场线的方向运动，则正电荷受到的电场力与电荷的位移方向相同，故电场力对正电荷做正功，同理，负电荷逆着电场线的方向运动，电场力对负电荷做正功，C错误；电荷在电场中虽然有电场力做功，但是电荷的电势能与其他形式的能之间的转化满足能量守恒定律，D错误.
答案：B
2.关于静电力做功与电势能的关系，下列说法正确的是（ ）
A.静电力做正功，电势能一定增加
B.静电力做正功，电势能一定减少
C.静电力只有对正电荷做正功时，电势能才增加
D.静电力只有对负电荷做正功时，电势能才增加
解析：根据功能关系，可知静电力做正功，电荷的电势能减少；静电力做负功，电荷的电势能增加，与电荷的电性无关，故B正确.
答案：B
3.（多选）如图所示，在点电荷电场中的一条电场线上依次有A、B、C三点，分别把电荷量为＋q和－q的点电荷依次放在这三点上，关于它们所具有的电势能，下列说法中正确的是（ ）
A.放上＋q时，它们的电势能EpA＞EpB＞EpC
B.放上＋q时，它们的电势能EpA＜EpB＜EpC
C.放上－q时，它们的电势能EpA＞EpB＞EpC
D.放上－q时，它们的电势能EpA＜EpB＜EpC
解析：若将＋q从A移到B，再由B移到C，都是电场力做正功，电荷的电势能都是减少，可见EpA＞EpB＞EpC，A项正确，B项错误；若将－q从A移到B，再由B移到C，都是电场力做负功，电荷的电势能都是增加，可见EpA＜EpB＜EpC，D项正确，C项错误.
答案：AD
4.（多选）如图实线是水平向右匀强电场的电场线，虚线是一带电粒子在电场中的运动轨迹，M、N是轨迹上的两点.若带电粒子运动过程中只受静电力作用，据此可知（ ）
A.该粒子带正电
B.该粒子带负电
C.该粒子在M点速度小于在N点速度
D.该粒子在M点的电势能小于在N点的电势能
解析：根据做曲线运动的物体所受合外力指向曲线内侧，知静电力方向向左，与场强方向相反，故该粒子带负电，A错误，B正确；若粒子从M点到N点，则静电力做负功，电势能增加，若粒子从N点到M点，则静电力做正功，电势能减少，所以粒子在M点的电势能小于在N点的电势能，粒子在M点的动能大于在N点的动能，故该粒子在M点的速度大于在N点的速度，C错误，D正确.
答案：BD
5.如图，竖直向上的匀强电场中，有一质量为m的带正电小球，施加拉力F使小球向上加速运动一段距离，在此过程中拉力、重力和电场力所做功的绝对值分别为W1、W2和W3，不计空气阻力，则小球（ ）
A.电势能增加了W3
B.重力势能减小了W2
C.动能增加了W1＋W2＋W3
D.机械能增加了W1＋W3
解析：电场力对小球做的功等于电势能的减小量，电场力做正功为W3，所以小球电势能增加量为－W3，即减少了W3，A错误；重力做负功，为－W2，小球重力势能增加W2，B错误；由动能定理知W1－W2＋W3＝ΔEk，C错误；由小球机械能增加量等于除重力以外其他力做功之和，知机械能增加量为W1＋W3，D正确.
答案：D
6.某点电荷仅在电场力作用下由A点运动到B点，电场线、点电荷在A点的初速度v0及运动轨迹如图所示，可以判定（ ）
A.点电荷在A点的加速度大于它在B点的加速度
B.点电荷在A点的动能小于它在B点的动能
C.点电荷在A点的电势能小于它在B点的电势能
D.点电荷可能带正电，也可能带负电
解析：电场线的疏密表示电场强度大小，A处的电场强度小于B处的电场强度，根据a＝知，点电荷在A处的加速度小于它在B处的加速度，故A错误；点电荷受到的静电力指向运动轨迹弯曲的内侧，即点电荷受到的静电力是沿电场线方向的，所以点电荷带正电，故D错误；点电荷从A到B的过程中，静电力做正功，点电荷的电势能减小，动能增加，所以点电荷在A点的动能小于它在B点的动能，在A点的电势能大于它在B点的电势能，故B正确，C错误.
答案：B
7.在如图所示的匀强电场中，沿电场线方向有A、B两点，A、B两点间的距离s＝0.10 m.一个电荷量q＝＋2.0×10－8 C的点电荷所受电场力的大小F＝4.0×10－4 N.求：
（1）电场强度E的大小；
（2）将该点电荷从A点移至B点的过程中，电场力所做的功W；
（3）将该点电荷从A点移至B点的过程中，电荷的电势能增加还是减少？电势能改变多少？
解析：（1）根据电场强度的定义式可得E＝＝2×104 N/C.
（2）点电荷所受电场力沿电场线方向，将该点电荷从A点移至B点的过程中，电场力所做的功为W＝Fs＝4×10－5 J.
（3）将该点电荷从A点移至B点的过程中，电场力做正功，电荷的电势能减少了4×10－5 J.
答案：（1）2×104 N/C （2）4×10－5 J
（3）减少 4×10－5 J
[能力提升]
8.如图所示，一绝缘细杆的两端各固定着一个小球，两小球带有等量异种电荷，处于匀强电场中，电场方向如图中箭头所示.开始时，细杆与电场方向垂直，即在图中所示的位置Ⅰ；接着使细杆绕其中心转过90°到达图中所示的位置Ⅱ；最后，使细杆移到图中所示的位置Ⅲ.以W1表示细杆由位置Ⅰ到位置Ⅱ过程中电场力对两小球所做的功，W2表示细杆由位置Ⅱ到位置Ⅲ过程中电场力对两小球所做的功，则有（ ）
A. W1＝0 W2≠0 B. W1＝0 W2＝0
C. W1≠0 W2＝0 D. W1≠0 W2≠0
解析：设细杆长为L，电场强度为E，细杆由位置Ⅰ转到位置Ⅱ，电场力对两小球都做正功，大小都为qEL，所以W1＝qEL≠0；杆由位置Ⅱ移动到位置Ⅲ，电场力对带正电的小球做正功，对带负电的小球做负功，设上移距离为x，则功的大小都为qEx，故W2＝0.综上可知，选项C正确.
答案：C
9.（多选）光滑绝缘水平面上放置有距离为d的两个带电小球M、N，在此空间加一平行于M、N连线的电场强度为E的匀强电场后，M、N恰好静止，如图所示.已知静电力常量为k.下列说法正确的是（ ）
A. M、N可能为同种电荷
B. M、N电荷量的绝对值相等，且为
C.变换M、N的位置，M、N仍能恰好静止
D.交换M、N的位置，M、N系统的电势能增加
解析：两电荷保持静止，则M为负电荷、N为正电荷，故A错误；根据M、N的受力平衡列式有qME＝k，qNE＝k，则qM＝qN＝，故B正确；交换M、N的位置，M、N均受力不平衡，不可能处于静止状态，故C错误；交换M、N的位置，静电力对M、N均做负功（－qEd），则系统的电势能增加，故D正确.故选BD.
答案：BD
10.如图所示，用轻绳连接的A、B两物体质量分别为m1＝2 kg、m2＝0.5 kg，电荷量分别为q1＝＋3×10－5 C、q2＝＋2×10－5 C. B与所接触的平台竖直面间的动摩擦因数为μ＝0.2，A为光滑物体.现锁定A、B使二者静止，再加上水平向左的匀强电场E＝5×105 N/C，同时解除锁定.设平台足够长，物体B不会碰到滑轮，不计滑轮质量以及与转轴之间摩擦，重力加速度g＝10 m/s2.
（1）求加上电场后，A、B两物体的加速度大小；
（2）求加上电场Δt＝2 s后，物体A电势能的变化量.
解析：（1）由牛顿第二定律
对A有q1E－T＝m1a
对B有T－m2g－μq2E＝m2a
由以上二式可解得a＝3.2 m/s2.
（2）Δt＝2 s，A发生的位移大小为
x＝aΔt2＝6.4 m
A向左运动，电场力做功为
W＝q1Ex＝96 J
所以A的电势能变化量为ΔEp＝－96 J，
即A的电势能减小了96 J.
答案：（1）3.2 m/s2 （2）－96 J
第2节 电势与等势面
核心素养：1.理解电势的含义，知道其定义式、单位. 2.类比电场强度的定义，进一步了解用比值定义电势的思想方法，理解电势的含义. 3.理解等势面的概念，知道电场线一定垂直等势面，了解几种典型电场的等势面的分布.
电势
合作 讨论
如图所示的匀强电场，电场强度为E，取O点为零势能点，A点距O点为l，AO连线与电场线的夹角为θ.
（1）电荷量分别为q和2q的试探电荷在A点的电势能为多少？
（2）电势能与电荷量的比值各是多少？
提示：（1）将电荷q由A点移到O点，由EpA－EpO＝WAO＝Eqlcos θ，得：EpA＝Eqlcos θ，2q在A点具有的电势能为EpA'＝2Eqlcos θ.
（2）电势能与电荷量的比值均为Elcos θ.
教材 认知
1.概念：电荷在电场中某点的 电势能 跟 电荷量 的比值.电势是 标 （填“矢”或“标”）量.
2.公式和单位：φ＝，即电场中某点的电势在数值上等于单位正电荷在该点所具有的电势能.单位： 伏特 ，符号是V，1 V＝1 J/C.
3.电势的相对性：只有规定了电场中某处的电势为零，才能确定电场中各点的电势值.通常选距离电荷无穷远处或地球为零电势位置.
核心 归纳
1.电势的性质
相对性 电势是相对的，电场中某点的电势高低与零电势点的选取有关.通常将离场源电荷无穷远处或大地选为零电势点
固有性 电场中某点的电势大小是由电场本身的性质决定的，与在该点是否放有电荷及所放电荷的电荷量和电势能均无关
标量性 电势是只有大小、没有方向的物理量，在规定了零电势点后，电场中各点的电势可能是正值，也可能是负值.正值表示该点的电势高于零电势点；负值表示该点的电势低于零电势点.电势的正负只表示大小，不表示方向
2.电势高低的判断方法
（1）电场线判断法：沿电场线方向，电势越来越低.
（2）场源电荷判断法：离场源正电荷越近的点，电势越高；离场源负电荷越近的点，电势越低.
（3）电势能判断法：对于正电荷，电势能越大，所在位置的电势越高；对于负电荷，电势能越小，所在位置的电势越高.
研习 经典
[典例1] 如图所示为某电场的电场线，现将一电荷量q＝－3.0×10－9 C的负电荷从A点移到B点、从B点移到C点、从C点移到D点，电场力做功分别为WAB＝3.0×10－8 J、WBC＝1.5×10－8 J、WCD＝9.0×10－9 J.若取C点电势为零，试求A、B、D三点电势.
[解析] A点的电势φA＝＝＝ V＝－15 V
B点的电势φB＝＝＝ V＝－5 V
D点的电势φD＝＝＝＝ V＝3 V.
[答案] －15 V －5 V 3 V
计算电势的方法
（1）先选零电势点.
（2）再算出电荷在某点的电势能.
（3）由φ＝求电势，注意将各物理量的正负直接代入计算，这样更直接、方便.
[训练1] 有一电场的电场线如图所示.电场中a、b两点的电场强度的大小和电势分别用Ea、Eb和φa、φb表示，则（ ）
A. Ea＞Eb，φa＞φb
B. Ea＞Eb，φa＜φb
C. Ea＜Eb，φa＞φb
D. Ea＜Eb，φa＜φb
解析：电场线越密，电场强度越大，所以Ea＞Eb；由题图所示电场线分布特点，结合沿电场线方向电势降低，可知a点的电势高于b点的电势，即φa＞φb，A正确.
答案：A
等势面
合作 讨论
（1）类比地图上的等高线，简述什么是等势面.
（2）当电荷从同一等势面上的A点沿等势面移到B点时，电荷的电势能是否变化？静电力做功情况如何？
提示：（1）电场中的电势相等的各点构成的面.
（2）电势能不发生变化；静电力不做功.
教材 认知
1.定义：电场中 电势相同 的各点构成的面.
2.等势面的特点
（1）在同一等势面上移动电荷时静电力 不做功 （填“做功”或“不做功”）.
（2）等势面一定跟电场线 垂直 ，即跟电场强度的方向 垂直 .
（3）电场线总是由 电势高 的等势面指向 电势低 的等势面.
（4）两个不同的等势面不相交.
[思考] 为什么等势面一定跟电场线垂直？
提示：在同一等势面上移动电荷时，电势能不变，所以电场力不做功，即电场力方向与等势面垂直，如果不垂直，电场强度就有一个沿着等势面的分量，在等势面上移动电荷时静电力就要做功，所以等势面一定跟电场线垂直.
核心 归纳
1.等势面的性质
（1）在同一等势面内任意两点间移动电荷时，静电力不做功.
（2）空间内两等势面不相交.
（3）电场线总是和等势面垂直，且从电势较高的等势面指向电势较低的等势面.
（4）在电场线密集的地方，等差等势面密集；在电场线稀疏的地方，等差等势面稀疏.等势面的疏密也可定性描述电场的强弱.
2.几种常见的典型电场的等势面的对比分析
电场 等势面（实线）图样 重要描述
匀强电场 垂直于电场线的一簇等间距平面
点电荷的电场 以点电荷为球心的一簇球面
等量异种点电荷的电场 两点电荷连线的中垂面上的电势为零
等量正点电荷的电场 两点电荷连线上，中点电势最低，而在两点电荷连线的中垂线上，中点电势最高.关于中点对称的点电势相等
研习 经典
[典例2] （多选）某带电体周围的电场线和等势面如图所示，图中A、B两点的电场强度大小分别为EA、EB，电势分别为φA、φB，则（ ）
A. EA＞EB B. EA＜EB
C. φA. ＞ φB D.φA＜φB
[解析] 电场线的疏密程度反映电场强度的大小，A点所在处的电场线较B点的稀疏，所以EA＜EB，A错误，B正确；沿电场线方向电势逐渐降低，所以越靠外侧的等势面上电势越低，A点所在的等势面较B点的靠外，则φA＜φB，C错误，D正确.
[答案] BD
（1）熟悉几种典型电场的等势面的形状和特点是解决此类问题的基础和关键.
（2）电场力总是指向带电粒子运动轨迹的凹侧.
（3）等势面（线）和电场线一样，也是描述电场的重要工具，解决此类问题，可根据电场线与等势线的关系，大致作出电场线的空间分布，比直接应用等势线要直观、方便.
[训练2] 点电荷Q1、Q2产生的静电场的等势面与纸面的交线如图中实线所示，图中标在等势面上的数值分别表示该等势面的电势，a、b、c、d、e、f等表示等势面上的点，下列说法正确的有（ ）
A.位于d点的点电荷不受静电力作用
B. a点的电场强度与b点的电场强度大小一定相等
C.把电荷量为q的正电荷先从b点移到d点，再从d点移到f点，静电力做的总功为零
D.把单位正电荷从e点移到c点过程中，静电力做正功
解析：位于d点的位置电场线的方向垂直于等势面向左，电场强度不为零，所以点电荷受静电力作用，故A错误；a点处的等差等势面比b点处的等差等势面密，所以a点处的电场强度大，故B错误；从题图中可以看到b点的电势低于d点，d点的电势又低于f点的电势，所以把电荷量为q的正电荷先从b点移到d点，再从d点移到f点，电势能增加，静电力做负功，故C错误；把单位正电荷从e点移到c点过程中，电势降低，电势能减小，静电力做正功，故D正确.
答案：D
深刻剖析提升能力
基础 题组
1.关于电势和电势能，下列说法正确的是（ ）
A.在电场中电势高的地方电荷具有的电势能大
B.在电场中放在某点的电荷的电荷量越大，它所具有的电势能也越大
C.在电场中的任意一点，正电荷具有的电势能一定大于负电荷具有的电势能
D.取无穷远处电势为零，在负点电荷所产生的电场中的任意一点，正电荷具有的电势能一定小于负电荷具有的电势能
解析：根据公式Ep＝qφ可知，正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势高的地方电势能小，故A错误；若放在电场中某点的电荷为正电荷，当该点电势小于零时，电荷量越大，电荷具有的电势能越小，故B错误；根据电势能Ep＝qφ，正电荷在电势小于零处的电势能为负值，小于负电荷在该处的电势能，故C错误；取无穷远处电势为零，顺着电场线方向电势降低，可知在负点电荷所产生的电场中的任意一点电势均为负，正电荷在任意一点具有的电势能为负值，而负电荷在任意一点具有的电势能为正值，则正电荷具有的电势能小于负电荷具有的电势能，故D正确.
答案：D
2.把一个电荷量为－q的试探电荷，从电场中的无限远处移到电场中的A点时，静电力做的功为W.规定无限远处电势为零.则A点的电势φA及试探电荷在A点的电势能EpA分别为（ ）
A.φA＝，EpA＝－W
B.φA＝－，EpA＝W
C.φA＝，EpA＝W
D.φA＝－，EpA＝－W
解析：根据功能关系有W＝－ΔEp＝－EpA，解得EpA＝－W，根据电势的定义有φA＝＝，故A正确.
答案：A
中档 题组
1.如图所示，M、N为电场中两个等势面，直线GH是其中的一条电场线，则下列说法中正确的是（ ）
A.负电荷由H点移动到G点时电场力做负功
B.正电荷由H点移动到G点时电场力做正功
C.电势φG＞φH
D.电势φG＜φH
解析：由图可知由H点移动到G点，负电荷所受电场力做正功，正电荷所受电场力做负功，故A、B错误；沿电场线电势降低，由图可知φG＞φH，故C正确，D错误.
答案：C
2.（多选）如图，一圆心为O的圆中有两条互相垂直的直径AC和BD，电荷量分别为＋Q、－Q的点电荷放在圆周上，它们的位置关于AC对称。两个点电荷的连线与AC的交点为P，取无穷远电势为零，则下列说法正确的是（ ）
A. P点的场强和电势都为0
B.在B点放一个点电荷可能使O点的电场强度变为零
C. O点和C点场强相同，且点电荷＋q沿直线从O到C运动的过程中电势能先增大后减小
D.点电荷－q在B点具有的电势能小于在D点具有的电势能
解析：＋Q在P点产生的场强方向向右，－Q在P点产生的场强方向也向右，根据场强叠加原理可知P点的场强不为0，P点位于等量异种点电荷连线的中垂线上，电势为零，故A错误；AC是等量异种点电荷电场中一条等势线，故A、C两点的电势相等，点电荷＋q沿直线从O到C的过程中电势能不变，故C错误；根据场强叠加原理可知，O点的场强水平向右，故在B点放一个电量合适的负点电荷，可能使O点的电场强度为零，故B正确；根据顺着电场线方向电势降低，结合电场线的分布情况可知，B点的电势高于D点的电势，由电势能公式Ep＝qφ可知，点电荷－q在B点的电势能小于在D点具有的电势能，故D正确.
答案：BD
3.如图所示，匀强电场的电场线（方向未画出）与AC平行，把带电荷量为－1×10－8 C的电荷从A点移到B点，静电力做功6×10－8 J. B处电势为1 V，求：
（1）匀强电场的场强方向；
（2）A点的电势；
（3）电子在A点的电势能.
解析：（1）将负电荷从A点移至B点，静电力做正功，所以负电荷所受静电力方向由A点指向C点，又匀强电场的场强方向与负电荷受力方向相反，所以场强方向由C点指向A点.
（2）由静电力做功与电势能变化的关系可知
WAB＝EpA－EpB＝q（φA－φB）
则φA＝＋φB＝（＋1） V＝－5 V.
（3）电子在A点的电势能
EpA'＝eφA＝（－1.6×10－19）×（－5） J＝8×10－19 J.
答案：（1）由C点指向A点 （2）－5 V （3）8×10－19 J
课时作业（八） 电势与等势面
[基础训练]
1.关于电势和电势能，下列说法正确的是（ ）
A.在负点电荷形成的电场中，离场源电荷越近电势越高
B.在负点电荷形成的电场中，沿着电场线的方向电势逐渐升高
C.在正点电荷形成的电场中，负电荷离场源电荷越远电势能越大
D.在匀强电场中，负电荷沿着电场线的方向移动，电势能逐渐减小
解析：在负点电荷形成的电场中，根据沿着电场线的方向电势逐渐降低，知离场源电荷越近电势越低，故A、B错误；在正点电荷形成的电场中，离场源电荷越远电势越低，负电荷的电势能越大，故C正确；在匀强电场中，负电荷沿着电场线的方向移动，电场力做负功，电势能逐渐增大，故D错误.
答案：C
2.如图所示是带电荷量不同的正、负点电荷的电场线，线框为等势线，其中A、B、C三点的位置如图所示.下列说法正确的是（ ）
A. A点的电场强度小于B点的电场强度
B. A点的电势大于C点的电势
C.电子在A点受到电场力的方向向右
D.电子从A点移动到C点，电场力做正功
解析：电场线越密的地方电场强度越大，故EA＞EB，A错误；沿着电场线方向，电势降低，所以φA＜φC，B错误；电子受力方向与电场线的方向相反，C错误；从A到C电势升高，电子的电势能降低，电场力做正功，D正确.
答案：D
3.（多选）带电荷量分别为＋Q1和－Q2（Q1＞Q2）的两个点电荷固定放置，两电荷连线中点为O，M、N两点位于两电荷连线上，P点位于两点电荷连线中垂线上，如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A. O点的电场强度大于P点的电场强度
B. O点的电势高于M点的电势
C.负试探电荷在N点的电势能大于其在P点的电势能
D.将正点电荷由M点移到N点，电场力做正功
解析：由于O点离两点电荷的距离比P点离两点电荷的距离小，可知两点电荷在O点产生的电场强度都比在P点产生的电场强度大，且两点电荷在O点产生的电场强度方向相同，根据叠加原理可知，O点的电场强度大于P点的电场强度，故A正确；两点电荷连线之间的电场方向由正电荷指向负电荷，根据沿电场强度方向电势降低可知，O点的电势高于M点的电势，故B正确；由于N点的电势大于P点的电势，根据Ep＝qφ，可知负试探电荷在N点的电势能小于其在P点的电势能，故C错误；由于N点的电势大于M点的电势，将正点电荷由M点移到N点，电场力做负功，故D错误.故选AB.
答案：AB
4.下列关于等势面的说法正确的是（ ）
A.电荷在等势面上移动时，由于不受电场力作用，所以说电场力不做功
B.在同一个等势面上各点的场强大小相等
C.两个不等电势的等势面可能相交
D.若相邻两等势面的电势差相等，则等势面的疏密程度能反映场强的大小
解析：等势面处的电场线跟等势面垂直，因此电荷在等势面上移动时，电场力不做功，但并不是不受电场力的作用，A错误；等势面上各点场强大小不一定相等，不等电势的等势面不可能相交，B、C错误；等差等势面的疏密反映场强的大小，D正确.
答案：D
5.如图所示，在两个等量负点电荷形成的电场中，O点是两电荷连线的中点，a、b是该线上的两点，c、d是两电荷连线中垂线上的两点，acbd为一菱形.则下列说法正确的是（ ）
A. a点的场强Ea一定大于b点的场强Eb
B. a点的场强Ea一定大于O点的场强EO
C.负粒子从c点运动到d点，电场力做负功
D.负粒子从c点运动到d点，电场力不做功
解析：由等量同种电荷电场的分布可知，Ea与Eb大小相等，Ea大于EO，故A错误，B正确；由等量同种电荷等势面的分布可知，φc＝φd，从c到d，电势先降低后升高，负粒子从c点运动到d点，其电势能先增大后减小，所以电场力先做负功后做正功，总功为0，故C、D错误.
答案：B
6.如图所示，虚线a、b、c代表电场中的三个等势面，相邻等势面之间的电势差相等，实线为一带负电的质点仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹，P、R、Q是这条轨迹上的三点，R同时在等势面b上，据此可知（ ）
A.三个等势面中，c的电势最低
B.带电质点在P点的电势能比在Q点的小
C.带电质点在P点的动能与电势能之和比在Q点的小
D.带电质点在R点的加速度方向垂直于等势面b
解析：质点所受电场力方向指向轨迹凹侧，且垂直于等势面向下，又因为质点带负电，所以电场强度方向垂直于等势面向上，根据沿电场线方向电势降低可知三个等势面中，c的电势最高，故A错误；根据前面分析可推知P点电势低于Q点电势，所以带电质点在P点的电势能比在Q点的大，故B错误；根据能量守恒定律可知带电质点在P、Q两点的动能与电势能之和相等，故C错误；电场强度方向垂直于等势面，则带电质点在R点所受电场力方向垂直于等势面b，所以加速度方向垂直于等势面b，故D正确.
答案：D
7.一枕形带电导体周围的电场线与等势线分布如图所示，A、C是同一等势线上的两点，B是另一等势线上的一点.一带电粒子仅在静电力的作用下沿虚线ABC运动，下列说法正确的是（ ）
A.导体内部，左端电场强度的值大于右端的电场强度的值
B.粒子在B点的加速度值大于在A点的加速度值
C.从A到B的运动过程中，静电力对粒子做正功
D.从B到C的运动过程中，粒子的电势能一直减小
解析：导体处于静电平衡状态，内部为等势体，电场强度处处为零，故A错误；电场线越密集的位置电场强度越大，粒子在该位置所受电场力越大，所以粒子在B点的加速度值小于在A点的加速度值，故B错误；粒子所受电场力指向轨迹凹侧，所以粒子带负电，从A到B的运动过程中，静电力对粒子做负功；从B到C的运动过程中，静电力对粒子做正功，粒子的电势能一直减小，故C错误，D正确.
答案：D
8.将带电荷量为6×10－6 C的负电荷从电场中A点移到B点，该电荷克服静电力做了3×10－5 J的功，再从B点移到C点，静电力做了1.2×10－5 J的功.
（1）如果规定A点的电势为零，则C点的电势是多少？
（2）如果规定B点的电势为零，则C点的电势是多少？
解析：（1）负电荷从A点移到C点，静电力做的功WAC＝WAB＋WBC＝－3×10－5 J＋1.2×10－5 J＝－1.8×10－5 J
静电力做1.8×10－5 J的负功表示电荷电势能增加了1.8×10－5 J，
如果规定A点电势为零，则电荷在C点的电势能为EpC＝1.8×10－5 J
C点电势φC＝＝＝－3 V.
（2）如果规定B点的电势为零，则电荷在B点电势能为零，由题意知，负电荷由B点移到C点，静电力做功
WBC＝EpB'－EpC'＝1.2×10－5 J
得EpC'＝－1.2×10－5 J
则C点的电势φC'＝＝＝2 V.
答案：（1）－3 V （2）2 V
[能力提升]
9.一根竖直向上的避雷针发生尖端放电时在空间形成的电场如图所示，在空间取一条水平线abc和一条圆弧线adc，bd连线为ac连线的中垂线，图中所画电场线关于直线bd对称，以下说法正确的是（ ）
A. adc是一条等势线
B.沿abc移动与沿adc移动点电荷电场力做的功均为零
C. a、c两点的电场强度相同
D.正点电荷在b点比在d点受到的电场力大，且在b点比在d点的电势能大
解析：假设有一正电荷从d点沿圆弧运动到a点，则电场力做正功，则a、d两点电势不相等，圆弧adc不是一条等势线，选项A错误；因a、c两点电势相等，可知沿abc移动与沿adc移动点电荷电场力做的功均为零，选项B正确；a、c两点的电场强度大小相等，但是方向不同，选项C错误；b点电场线较d点密集，所以b点场强比d点大，正点电荷在b点比在d点受到的电场力大；沿电场线电势降低，可知d点电势高于b点，正电荷在b点比在d点的电势能小，选项D错误.
答案：B
10.（多选）如图所示，真空中有一个固定的点电荷，电荷量为＋Q.图中的虚线表示该点电荷形成的电场中的等势线.有两个一价离子M、N（不计重力，也不计它们之间的电场力）先后从a点以相同的速率v0射入该电场，运动轨迹分别为曲线apb和aqc，其中p、q分别是它们离固定点电荷最近的位置.下列说法正确的是（ ）
A. M是正离子，N是负离子
B. M在p点的速率大于N在q点的速率
C. M在b点的速率大于N在c点的速率
D. M从p点运动到b点的过程中电势能的变化量小于N从a点运动到q点的过程中电势能的变化量
解析：由题图可知，离子N受到斥力作用，离子M受到引力作用，由于Q带正电，因此M是负离子，N是正离子，A错误；M离子从a点运动到p点的过程中电场力做正功，动能增加，N离子从a点运动到q点的过程中电场力做负功，动能减小，所以M在p点的速率大于N在q点的速率，B正确；由于a、b、c三点在同一等势面上，故M离子在从a向b运动的过程中电场力所做的总功为0，N离子从a向c运动的过程中电场力所做的总功为0，由于两离子以相同的速率从a点飞入电场，故两离子分别经过b、c两点时速率一定相等，C错误；根据正点电荷的等势面分布特点可知，φa＝φb，φp＜φq，因此φp－φb＜φq－φa，又M、N离子所带电荷量大小相等，所以M离子从p点运动到b点的过程中电势能的变化量小于N离子从a点运动到q点的过程中电势能的变化量，D正确.
答案：BD
11.空中P、Q两点处各固定一个点电荷，其中P点处为正点电荷，P、Q两点附近电场的等势面分布如题图所示，a、b、c、d为电场中的四个点，则（ ）
A. P、Q两点处的电荷等量同种
B. a点和b点的电场强度相同
C. c点的电势高于d点的电势
D.负电荷从a到c，电势能增加
解析：由题图中等势面的对称性可知，P、Q两点处的电荷等量异种，A错误；a点和b点的电场强度大小相同，方向不同，B错误；因P点处为正点电荷，电势由P点向外逐渐降低，所以c点的电势高于d点的电势，C正确；因a点电势比c点低，所以负电荷从a到c，电势能减少，D错误.
答案：C
12.如图所示，在平行金属带电极板MN的电场中将电荷量为4×10－6 C的负点电荷从A点移到M板，静电力做功8×10－4 J，把该点电荷从A点移到N板，克服静电力做功为4×10－4 J，其中M板带正电，N板带负电且接地.求：
（1）M板的电势φM；
（2）该点电荷在A点的电势能EpA.
解析：（1）N板接地，φN＝0，EpN＝0，若把负点电荷从M移到N，根据题意知，电场力做功WMN＝WMA＋WAN＝－WAM＋WAN
又WMN＝EpM－EpN
联立得EpM＝－8×10－4 J－4×10－4 J＋0＝－1.2×10－3 J
则φM＝＝＝300 V.
（2）根据WAN＝EpA－EpN得
该电荷在A点的电势能EpA＝WAN＋EpN＝－4×10－4 J＋0＝－4×10－4 J.
答案：（1）300 V （2）－4×10－4 J
第3节 电势差与电场强度的关系
第1课时 电势差与静电力做功
核心素养：1.理解电势差的概念，知道电势差与零电势点的选择无关. 2.掌握电势差的表达式以及静电力做功与电势差的关系. 3.电势差类比高度差，等势面类比等高线，体现类比的科学方法. 4.通过静电力做功与电势能的关系、电势能与电势的关系推导静电力做功与电势差的关系，培养严谨的推理习惯. 5.利用知识类比和迁移，激发学习兴趣，培养分析问题、解决问题的能力.
电势差
合作 讨论
仔细观察下列两图，回答各问题.
甲 乙
（1）甲图的意义是什么？
（2）乙图中选D点为零电势点，A、B两点的电势差是多少？选C点为零电势点，A、B两点的电势差是多少？
提示：（1）零高度的选取不一样，地面和楼顶的高度数值也不一样，但是地面和楼顶的高度差始终是一定的.
（2）以D点为零电势点，A、B两点的电势差为1 V.以C点为零电势点，A、B两点的电势差仍为1 V.
教材 认知
电势差
（1）定义：电场中两点间 电势 的差值，用符号U表示.
（2）与电势的关系式：UAB＝ φA－φB .
（3）单位：与电势单位相同，国际单位是 伏特 ，符号为 V .
（4）标矢性：电势差是 标量 ，但有正负之分. UAB＞0，表示A点电势比B点电势 高 .
核心 归纳
1.电势差的理解
（1）电势差反映了电场的能的性质，决定于电场本身，与试探电荷无关.
（2）电势差可以是正值也可以是负值，电势差的正负表示两点电势的高低；UAB＝－UBA，与零电势点的选取无关.
（3）电场中某点的电势在数值上等于该点与零电势点之间的电势差.
2.电势差与电势的比较
电势φ 电势差U
区别 定义 电势能与电量比值：φ＝ 电场力做功与电量比值：U＝
决定因素 由电场和在电场中的位置决定 由电场和场内两点位置决定
相对性 有，与零势能点选取有关 无，与零势能点选取无关
联系 数值关系 UAB＝φA－φB，当φB＝0时，UAB＝φA
单位 相同，均是伏特（V），常用还有kV，mV等
标矢性 都是标量，但均具有正负
物理意义 均是描述电场能的性质的物理量
研习 经典
[典例1] 如图所示，如果B板接地（取大地的电势为零，则与大地相连的导体的电势也为零），则A板电势为8 V，M点电势为6 V，N点电势为2 V.
（1）求M、N两点间的电势差是多少？
（2）如果改为A板接地，B点的电势是多大？M、N两点的电势各是多大？M、N两点间的电势差是多少？
[解析] （1）M、N两点间的电势差UMN＝φM－φN＝4 V.
（2）若A板接地，则根据UAB＝φA－φB，得φB＝－UAB＝UBA＝－8 V，
M、N两点的电势，φM＝UMA＝－2 V，φN＝UNA＝－6 V，
UMN＝φM－φN＝4 V.
[答案] （1）4 V （2）－8 V －2 V －6 V 4 V
电势差求解技巧
（1）采用直接代入符号运算的方法，会更加便捷，但要注意正负号的运用.
（2）电场中各点间的电势差可依次用代数方法相加，但要注意角标的排序，如UAD＝UAB＋UBC＋UCD，UAB＝－UBA.
[训练1] 在某电场中，A、B两点间的电势差UAB＝60 V，B、C两点间的电势差UBC＝－50 V，则A、B、C三点电势高低关系是（ ）
A.φA＞φB＞φC B.φA＜φC＜φB
C.φA＞φC＞φB D.φC＞φB＞φA
解析：因为UAB＝φA－φB＝60 V＞0，所以φA＞φB，又UBC＝φB－φC＝－50 V＜0，所以φB＜φC，又UAC＝UAB＋UBC＝60 V＋（－50 V）＝10 V＞0，所以φA＞φC，故φA＞φC＞φB，C正确.
答案：C
静电力做功与电势差的关系
合作 讨论
如图所示的电场中有A、B两点，若选取无穷远处为零电势点，A、B两点的电势分别为φA、φB.
（1）A、B两点的电势差UAB是多少？若把某电荷q从A移到B，电荷的电势能变化了多少？
（2）根据静电力做功与电势能变化的关系，求静电力对该电荷做的功.
提示：（1）UAB＝φA－φB，电势能的变化量为ΔEp＝EpB－EpA＝q（φB－φA）.
（2）WAB＝EpA－EpB＝qφA－qφB＝q（φA－φB）＝qUAB.
教材 认知
静电力做功
（1）公式：WAB＝ EpA－EpB ＝ qUAB .
（2）电子伏特：1 eV＝ 1.60×10－19 J，表示一个电子在电势差为1 V的两点间移动时 静电力 所做的功.
说明：电势差UAB＝φA－φB，UBA＝φB－φA，所以有UAB＝－UBA.
[思考] 有同学说：根据公式UAB＝可得，两点间的电势差与静电力做的功WAB成正比，与q成反比.他的说法对吗？为什么？
提示：这种说法不对.公式UAB＝是一种用比值定义法定义的物理量，只要电场确定，UAB也就确定了，与静电力做的功WAB和电荷量q没有直接的关系.
核心 归纳
1.对公式WAB＝qUAB和UAB＝的理解
（1）电势差UAB仅与电场中A、B两点的位置有关，不能认为UAB与WAB成正比，与q成反比，只是可以利用来计算A、B两点间的电势差.
（2）WAB、UAB、q均可正可负，但代表的意义不同. WAB取正号，表示静电力做正功；UAB取正号，表示φA＞φB；q取正号，表示试探电荷为正电荷. WAB取负号，表示静电力做负功；UAB取负号，表示φA＜φB；q取负号，表示试探电荷为负电荷.
（3）WAB＝qUAB中，静电力做的功WAB与移动电荷q的路径无关，只与初、末位置的电势差有关.
2.静电力做功的四种求法
四种求法 表达式 注意问题
功的定义 W＝Fd＝qEd （1）适用于匀强电场 （2）d表示沿电场线方向的距离
功能关系 WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp （1）既适用于匀强电场，也适用于非匀强电场 （2）既适用于只受电场力的情况，也适用于受多种力的情况
电势差法 WAB＝qUAB
动能定理 W静电力＋W其他力＝ΔEk
研习 经典
[典例2] 如图所示，光滑绝缘细杆竖直放置，它与以正电荷Q为圆心的某圆交于B、C两点，质量为m、带电荷量为－q的有孔小球从杆上A点无初速度下滑.已知q Q，AB＝h，小球滑到B点时的速度大小为，求：
（1）小球由A到B的过程中静电力做的功；
（2）A、C两点间的电势差.
[解析] （1）因为杆是光滑的，所以小球从A到B的过程中只有两个力做功：静电力和重力做功，由动能定理得：
WAB＋mgh＝
代入已知条件vB＝，得
WAB＝m·（）2－mgh＝mgh.
（2）因为B、C在同一等势面上，所以φB＝φC
即UAC＝UAB＝＝－.
[答案] （1）mgh （2）－
应用公式WAB＝qUAB时正负号的处理方法
方法一：带正负号计算
WAB的正负号表示静电力做正功还是负功，UAB的正负号表示A点电势高于或低于B点电势，q的正负号表示是正电荷还是负电荷.
方法二：带绝对值计算
该方式没有负号，静电力做正功还是负功，通过电荷的正负以及电荷移动的方向与电场的方向关系来判断.
一般来说方法一更简便一些.
[训练2] 电场中有A、B两点，A点的电势φA＝30 V，B点的电势φB＝10 V，一个电子由A点运动到B点的过程中，下列说法中正确的是（ ）
A.静电力对电子做功20 eV，电子的电势能减少了20 eV
B.电子克服静电力做功20 eV，电子的电势能减少了20 eV
C.静电力对电子做功20 eV，电子的电势能增加了20 eV
D.电子克服静电力做功20 eV，电子的电势能增加了20 eV
解析：根据静电力做功公式得静电力做功为：WAB＝qUAB＝q（φA－φB）＝－e·20 V＝—20 eV，即电子克服静电力做功20 eV，则电子的电势能增加了20 eV，故D正确，A、B、C错误.
答案：D
深刻剖析提升能力
基础 题组
1.思维辨析
（1）以点电荷为球心、r为半径的球面上各点的电势、电场强度均相同.（ × ）
（2）鸟儿落在高压线上却安然无恙，这是因为鸟体不导电.（ × ）
（3）电势差与电势一样，是相对量，与零电势点的选取有关.（ × ）
（4）电势差是一个标量，但是有正值和负值之分.（ √ ）
（5）公式WAB＝qUAB适用于任何电场，不必考虑静电力的大小和电荷移动的路径，对于静电力是变力时，也同样适用.（ √ ）
2.下列关于电势差的说法中正确的是（ ）
A.两点间的电势差等于电荷从其中一点移到另一点时，静电力所做的功
B.1 C电荷从电场中一点移动到另一点，如果静电力做了1 J的功，这两点间的电势差就是1 V
C.在两点间移动电荷时，静电力做功的多少跟这两点间的电势差无关
D.两点间的电势差的大小跟放入这两点的电荷的电荷量成反比
答案：B
3.如图所示，某电场的等势面用实线表示，各等势面的电势分别为10 V、6 V和－2 V，则UAB＝ ，UBC＝ ，UCA＝ .
解析：因为A、B两点在同一等势面上，故UAB＝0；UBC＝φB－φC＝10－（－2） V＝12 V；UCA＝φC－φA＝－2 V－10 V＝－12 V.
答案：0 12 V －12 V
中档 题组
1.（多选）关于电势差UAB和电势φA、φB的理解，正确的是（ ）
A. UAB表示B点相对于A点的电势差，即UAB＝φB－φA
B. UAB和UBA是不同的，它们有关系UAB＝－UBA
C.φA、φB都可以有正、负，所以电势是矢量
D.电势零点的规定是任意的，但人们通常规定大地或无穷远处为电势零点
解析：UAB表示A点相对于B点的电势差，UAB＝φA－φB，A错误；UBA表示B点相对于A点的电势差，UBA＝φB－φA，故UAB＝－UBA，B正确；电势是标量，正负号是相对于零电势点而言的，正号表示高于零电势点，负号表示低于零电势点，C错误；零电势点理论上是可以任意选取的，但通常取无穷远处或大地为零电势点，D正确.
答案：BD
2.电场中等势面如图所示，下列关于该电场的描述正确的是（ ）
A. A点的电场强度比C点的小
B.负电荷在A点的电势能比在C点的电势能大
C.电荷沿等势面AB移动的过程中，电场力始终不做功
D.正电荷由A移动到C，电场力做负功
解析：A点的等势面比C点的等势面密，则A点的电场强度比C点的大，故A错误；负电荷在高电势点电势能小，在低电势点电势能大，故B错误；沿着等势面移动点电荷，静电力不做功，故C正确；正电荷由A到C，电势能减小，则静电力做正功，故D错误.
答案：C
3.（多选）如图，实线为一正点电荷的电场线，虚线为其等势面. A、B是同一等势面上的两点，C为另一等势面上的一点，下列判断正确的是（ ）
A. A点电场强度大小等于B点电场强度大小
B. C点电势低于B点电势
C.将电子从A点移到B点，静电力不做功
D.将质子从A点移到C点，其电势能增加
解析：由点电荷场强公式知A、B两点场强大小相等，A项正确；沿电场线方向，电势降低，B项正确；由图可知A、B两点电势差为0，所以将电子从A点移到B点，静电力不做功，故C正确；A点的等势面的电势高于C点的等势面的电势，将质子从A点移到C点，静电力做正功，其电势能减小，故D错误.
答案：ABC
4.金属板和板前一正点电荷形成的电场线分布如图所示，A、B两点到正点电荷的距离相等且A点非常靠近金属板上表面，C点靠近正点电荷，则（ ）
A. A点的电场强度比C点的大
B. A、B两点的电场强度相等
C. B、C两点的电场强度方向相同
D. C点的电势比A点的高
解析： A点处电场线比C点处电场线稀疏，所以A点的电场强度比C点的小，同理A点的电场强度大于B点的电场强度，故A、B错误；B、C两点的电场强度方向与电场线相切，它们的电场强度方向不相同，故C错误；沿着电场线电势逐渐降低，则C点的电势比A点的电势高，故D正确.故选D.
答案：D
5.（多选）现代避雷针是美国科学家富兰克林发明的.避雷针，又名防雷针、接闪杆，是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置.如图所示为避雷针周围的等势面分布情况，电场中有M、N、P三点，则下列说法正确的是（ ）
A. P、M两点电势差UPM＝2 kV
B. P点的场强大小比M点的小
C. M、N两点的场强相同
D.电子在P点的电势能大于其在N点的电势能
解析：由题图可知，P、M两点电势差UPM ＝ φP－φM ＝ －2 kV，故A错误；因M点比P点等势面密集，可知电场线密集，则P点的场强大小比M点的小，故B正确；M、N两点的等势线密集程度相同，可知电场线密集程度相同，则两点场强大小相同，但是方向不同，故C错误；因P点的电势比N点的低，可知电子在P点的电势能大于其在N点的电势能，故D正确.故选BD.
答案：BD
课时作业（九） 电势差与静电力做功
[基础训练]
1.电场中两点间电势差U＝的意义是（ ）
A.它是由两点的位置决定的，与移送的电荷的种类和数量有关
B.电势差与静电力做功成正比，与被移送的电荷量成反比
C.电势差的大小等于移动单位正电荷时静电力所做的功
D.电场中两点间没有电荷移动，则电势差为零
解析：电势差是描述电场性质的物理量，与移送的电荷无关，A、B、D错误；电势差的大小可以用静电力做功与电荷量的比值计算，数值上等于移动单位正电荷时静电力所做的功，C正确.
答案：C
2.如图所示为某静电场等势面的分布，电量为1.6×10－9 C的正点电荷从A经B、C到达D点，从A至D，电场力对电荷做的功为（ ）
A.4.8×10－8 J B.－4.8×10－8 J
C.8.0×10－8 J D.－8.0×10－8 J
解析：由于UAD＝φA－φD＝－40 V－（－10） V＝－30 V，所以从A至D，电场力对电荷做的功：WAD＝qUAD＝1.6×10－9×（－30） J＝－4.8×10－8 J，B正确.
答案：B
3.如图所示，在处于O点的点电荷＋Q形成的电场中，试探电荷＋q由A点移到B点静电力做功为W1，以OA为半径画弧交OB于C，再把试探电荷由A点移到C点静电力做功为W2，由C点移到B点静电力做功为W3，则三次静电力做功的大小关系为 （ ）
A. W1＝W2＝W3＜0
B. W1＞W2＝W3＞0
C. W1＝W3＞W2＝0
D. W3＞W1＝W2＝0
解析：点电荷形成电场的等势面是以该电荷为中心的球面，由题意知，三点的电势关系φA＝φC＞φB，所以电势差UAB＝UCB＞0，UAC＝0，而W1＝qUAB，W2＝qUAC，W3＝qUCB，所以W1＝W3＞W2＝0，选项C正确.
答案：C
4.如图所示，一正点电荷固定在圆心，M、N是圆上的两点，下列说法正确的是（ ）
A. M点和N点电势相同
B. M点和N点电场强度相同
C.负电荷由M点到N点，电势能始终增大
D.负电荷由M点到N点，电场力始终做正功
解析：M、N是同一圆上的两点，则电势相同，场强大小相等、方向不同，A正确，B错误；由于两点电势相等，负电荷由M点到N点，电场力做功为零，电势能变化量为零，C、D错误.
答案：A
5.一个带正电荷的质点，电荷量q＝2.0×10－9 C，在静电场中由a点移到b点，在这个过程中，除静电力外，其他力做功6.0×10－5 J，质点的动能增加了8.0×10－5 J，则a、b两点的电势差φa－φb为（ ）
A.3×104 V B.1×104 V
C.4×104 V D.7×104 V
解析：由动能定理，外力对物体做功的代数和等于物体动能的增量，得静电力对物体做的功
W＝8.0×10－5 J－6.0×10－5 J＝2.0×10－5 J
由W＝q（φa－φb）得φa－φb＝ V＝1.0×104 V.
答案：B
6.如图所示，实线为电场线，虚线为等势线，且相邻两等势线间的电势差相等.一仅受静电力的正电荷在φ3上时，具有动能20 J，它运动到等势线φ1上时，速度为零.令φ2＝0，那么该电荷的电势能为4 J时，其动能大小为（ ）
A.16 J B.10 J C.6 J D.4 J
解析：由题意得运动到φ2上时动能为10 J，又φ2＝0，故在φ2上时电势能为零，因此动能与势能的和为10 J，故所求动能为10 J－4 J＝6 J.
答案：C
7.如图所示，实线为某孤立点电荷产生的电场的几条电场线，虚线是某一带电粒子通过该电场区域的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点.若带电粒子在运动中只受电场力的作用，下列说法中正确的是（ ）
A.该电场是由负点电荷所激发的电场
B.电场中a点的电势比b点的电势高
C.带电粒子在a点的加速度比在b点的加速度小
D.带电粒子在a点的动能比在b点的动能大
解析：由于粒子的电性未知，所以无法判断电场线的方向，进而无法判断场源电荷的电性以及a、b两点电势的高低，故A、B错误；电场线越密的地方电场强度越大，所以带电粒子在b点的加速度一定比在a点的加速度小，故C错误；带电粒子所受电场力方向沿电场线方向指向轨迹凹侧，若粒子从a运动到b，则电场力方向与速度方向夹角大于90°，电场力做负功，粒子动能减小；若粒子从b运动到a，则电场力方向与速度方向夹角小于90°，电场力做正功，粒子动能增加，综上所述可知，带电粒子在a点的动能一定比在b点的动能大，故D正确.故选D.
答案：D
8.如图所示，已知AC⊥BC，∠ABC＝60°，BC＝20 cm，A、B、C三点都在匀强电场中，且A、B、C所在平面与电场线平行，把一个电荷量q＝1×10－5 C的正电荷从A移到B，电场力做功为零；从B移到C，电场力做功为－×10－3 J.
（1）求A、C间的电势差；
（2）若规定B点电势为零，求C点的电势.
解析：（1）根据W＝Uq得，UAB＝＝0，即φA＝φB，UBC＝＝－×102 V
UAC＝φA－φC＝φB－φC＝UBC＝－×102 V.
（2）φB＝0，UBC＝φB－φC，所以φC＝φB－UBC＝×102 V.
答案：（1）－×102 V （2）×102 V
[能力提升]
9.（多选）如图所示，三个同心圆是固定的点电荷Q周围的三个等势面，A、B、C分别是这三个等势面上的点，且这三个点在同一条电场线上.已知这三个圆的半径关系是rA∶rB∶rC＝1∶2∶3.现将一电荷量为＋q（q＞0）的试探电荷从A点由静止释放，试探电荷只在点电荷Q的静电力作用下开始运动，则（ ）
A.三点的电场强度大小关系是EA∶EB∶EC＝3∶2∶1
B.三点的电势大小关系是φA－φB＞φB－φC
C.该试探电荷在三点的电势能大小关系是EpA＜EpB＜EpC
D.该试探电荷在三点的动能大小关系是EkC－EkB＜EkB－EkA
解析：因为rA∶rB∶rC＝1∶2∶3，根据公式E＝，得EA∶EB∶EC＝36∶9∶4，故A错误；根据点电荷场强公式可知，AB段场强大于BC段场强，AB间距离等于BC间距离，根据W＝Eqx可定性分析得WAB＞WBC，而W＝qU，可知AB间电势差UAB大于BC间电势差UBC，即φA－φB＞φB－φC，故B正确；根据动能定理WAB＝qUAB＝EpA－EpB＝EkB－EkA，可知＋q的试探电荷从A点由静止释放运动，电场力做正功，电势能减小，且WAB＞WBC，所以EpA＞EpB＞EpC，EkC－EkB＜EkB－EkA，故C错误，D正确.故选BD.
答案：BD
10.（多选）如图所示，虚线表示两个固定的等量异种点电荷形成的电场中的等势线.一带电粒子以某一速度从图中a点沿实线abcde运动.若粒子只受静电力作用，则下列判断正确的是（ ）
A.粒子带负电
B.速度先减小后增大
C.电势能先减小后增大
D.经过b点和d点时的速度大小和方向均相同
解析：根据两个固定的等量异种点电荷所形成电场的等势线的特点可得，正电荷在上方，负电荷在下方，从粒子运动轨迹看出，轨迹向上弯曲，可知带电粒子受到了向上的力的作用，所以粒子带负电，故A正确；粒子从a→b→c过程中，电场力做负功，c→d→e过程中，电场力做正功.粒子在静电场中电场力先做负功后做正功，电势能先增大后减小，速度先减小后增大，故B正确，C错误；由于b、d两点处于同一个等势面上，所以粒子在b、d两点的电势能相同，粒子经过b点和d点时的速度大小相同，方向不同，故D错误.故选AB.
答案：AB
11.如图所示，匀强电场的电场线与水平虚线夹角θ＝37°，把一带电荷量为q＝10－8 C的正电荷从C点移至A点的过程中，电场力做功WCA＝－3.6×10－8 J，AC长x＝6 cm，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
（1）A、C两点的电势差UAC；
（2）匀强电场的场强E的大小.
解析：（1）由电场力做功与电势差关系得UCA＝＝V＝－3.6 V，UAC＝－UCA＝3.6 V.
（2）由WAC＝－WCA＝Eqd
其中d为沿电场线方向的位移为
d＝xsin θ＝0.036 m
所以E＝＝ V/m＝100 V/m.
答案：（1）3.6 V （2）100 V/m
第2课时 匀强电场中电场强度与电势差的关系
核心素养：1.理解匀强电场中电势差与电场强度的关系式，知道其适用条件及各物理量的意义. 2.通过所学知识推导电势差与电场强度的关系式. 3.通过电势差与电场强度的关系式解决相关问题，养成多角度、多方面看问题的思维习惯. 4.从试探电荷在电场中的移动，领会匀强电场中电势差与电场强度关系的推导过程.
匀强电场中电场强度与电势差的关系
合作 讨论
如图所示，沿哪个方向电势降落最快？电势降落最快的方向与电场强度方向具有怎样的关系？
提示：沿A→C方向电势降落最快；电场强度的方向就是电势降落最快的方向.
教材 认知
1.匀强电场中电场强度与电势差的关系： E＝ .
2.物理意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的 电势差 与这两点沿电场强度方向的距离之比.也就是说，电场强度在数值上等于沿电场方向 每单位距离 上降低的电势.
3.场强的另一个单位：伏特每米，符号 V/m ，1 N/C＝1 V/m.
4. UAB＝Ed，其物理意义：匀强电场中两点间的电势差等于 电场强度 与这两点 沿电场方向的距离 的乘积.
[思考] 公式UAB＝Ed是在匀强电场中得到的，在非匀强电场中能否适用？
提示：在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题.
核心 归纳
1.电场强度和电势差的关系
大小关系 由E＝可知，电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势
方向关系 电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向
物理意义 电场强度是电势差对空间位置的变化率，反映了电势随空间变化的快慢
2.应用U＝Ed解决问题应注意以下四点
（1）此式只适用于匀强电场，对非匀强电场可定性讨论.
（2）d是电场中两点在电场方向的距离.
（3）单位“V/m”与“N/C”是相等的.
（4）公式说明了匀强电场中的电势分布是均匀的.
研习 经典
[典例1] 如图所示，在匀强电场中，电荷量q＝5.0×10－10 C的正电荷，由a点移到b点和由a点移到c点，电场力做功都是3.0×10－8 J.已知a、b、c三点的连线组成直角三角形，ab＝20 cm，∠a＝37°，∠c＝90°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求：
（1）a、b两点的电势差Uab；
（2）匀强电场的场强大小和方向.
[解析] （1）因为正电荷q从a到b和从a到c电场力做功相等，所以由W＝qU可得Uab＝Uac，b、c两点在同一等势面上，根据电场线与等势面垂直，得到场强方向与ac平行，
Uab＝＝ V＝60 V.
由于Uab＞0，所以场强方向由a垂直指向bc.
（2）由U＝Ed可得
E＝＝＝ V/m＝375 V/m
场强方向平行于ac，由a垂直指向bc边.
[答案] （1）60 V （2）375 V/m 方向与ac边平行且由a垂直指向bc边
匀强电场中两点间电势差的三种求法
（1）应用定义式UAB＝φA－φB来求解.
（2）应用关系式UAB＝来求解.
（3）应用关系式UAB＝Ed（匀强电场）来求解.
[训练1] 如图所示，三个同心圆是一个点电荷周围的三个等势面，已知这三个圆的半径成等差数列. A、B、C分别是这三个等势面上的点，且这三点在同一条电场线上. A、C两点的电势依次为φA＝10 V和φC＝2 V，则B点的电势（ ）
A.一定等于6 V B.一定低于6 V
C.一定高于6 V D.无法确定
解析：根据点电荷电场强度公式可知，EA＞EB＞EC，又AB＝BC，由U＝Ed可以判断UAB＞UBC，所以φB＜6 V，故选B.
答案：B
匀强电场的性质及应用
合作 讨论
如图所示，A、B、C为匀强电场中的三个点，已知φA＝12 V，φB＝6 V，φC＝－6 V.试画出该电场的电场线，并保留作图时所用的辅助线（用虚线表示）.
提示：连接A、C，将线AC三等分，等分点为D、E，则φD＝6 V，连接BD即为电场中的一个等势面，过A、E、C三点分别作BD的平行线得到另外三个等势面，过A、B、C三点分别作等势面的垂线，即为三条电场线，方向由高电势指向低电势，如图所示.
核心 归纳
1.两个重要结论
甲 乙
结论1：在匀强电场中，长度相等且相互平行的两线段端点间的电势差相等，如图甲所示，则UAB＝UDC（或φA－φB＝φD－φC），同理可知，UAD ＝UBC.
结论2：匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势为φC＝，如图乙所示.
2.确定电场方向的方法
先由等分法确定电势相等的点，画出等势线，然后根据电场线与等势面垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面指向电势低的等势面.
研习 经典
[典例2] 如图所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0，点A处的电势为6 V，点B处的电势为3 V，则电场强度的大小为（ ）
A.200 V/m B.200 V/m
C.100 V/m D.100 V/m
[解析] 由匀强电场的特点得OA的中点C的电势φC＝3 V，φC＝φB，即B、C在同一等势面上，如图所示，由电场线与等势面的关系和几何关系知：OD＝1.5 cm，则E＝＝ V/m＝200 V/m，A正确.
[答案] A
用等分法找等势点的技巧
（1）在匀强电场中，将电势最高点和电势最低点连接后，根据需要等分成若干段，必能找到第三点的等势点.
（2）在匀强电场中，两等势点的连线一定是等势线，与等势线垂直、由高电势指向低电势的方向一定是电场方向.
（3）等分法的关键是找到电势相等的点，进而画出电场线.
（4）用等分法确定电势或电场强度方向只适用于匀强电场.
[训练2] （多选）一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、12 V、18 V.下列说法正确的是（ ）
A.电场强度的大小为 V/cm
B.坐标原点处的电势为6 V
C.电子从b点运动到c点，电场力做功为6 eV
D.电子在a点的电势能比在b点的低2 eV
解析：将电场强度分解为x轴方向和y轴方向，x轴方向Ex＝＝＝1 V/cm
沿y轴方向Ey＝＝＝1 V/cm
则合场强E＝＝ V/cm，故A正确；
在匀强电场中，平行等距的两线段电势差相等，故φc－φa＝φb－φO
解得坐标原点处的电势为4 V，故B错误；
电子在c点的电势能Epc＝－eφc＝－18 eV
电子在b点的电势能Epb＝－eφb＝－12 eV
电子在b点的电势能比在c点的高6 eV，故电子从b点运动到c点，电场力做功为6 eV，故C正确；
电子在a点电势能Epa＝－eφa＝－10 eV，电子在a点的电势能比在b点的高2 eV，故D错误.故选AC.
答案：AC
电场中的三类图像
研习 经典
一、图像1：φ－x图像
1.电场强度的大小等于φ－x图线斜率的绝对值，电场强度为零处，φ－x图线存在极值，其切线的斜率为零.
2.在φ－x图像中可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势高低关系确定电场强度的方向.
3.在φ－x图像中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后作出判断.
[典例3] 如图甲所示，空间存在着平行于纸面的匀强电场，但方向未知，现用仪器在纸面内沿互成90°角的x、y两个方向探测各点的电势情况，设O点的电势为零，得到各点电势φ与到O点距离的函数关系图像，分别如图乙、图丙所示，下列关于该电场的电场强度E的说法，正确的是（ ）
甲 乙 丙
A. E＝100 V/m，与x轴负方向成45°角斜向左上
B. E＝100 V/m，与x轴负方向成45°角斜向左下
C. E＝100 V/m，与y轴正方向成30°角斜向右上
D. E＝200 V/m，与y轴负方向成30°角斜向左下
[解析] 根据电势φ与到O点距离的图像斜率代表场强可知，Ex＝＝100 V/m，其方向沿x轴负方向，Ey＝＝100 V/m，其方向沿y轴负方向，E＝＝200 V/m，其方向与y轴负方向成θ角，tan θ＝＝，所以θ＝30°，斜向左下，D正确.
[答案] D
二、图像2：E－x图像
1. E－x图像中E的正负反映E的方向，E为正表示其方向与规定的正方向相同.
2. E的数值反映电场强度的大小，由此可以确定电场的强弱分布.
3. E－x图线与x轴所围的面积表示“两点之间的电势差U”，电势差的正负由沿电场强度方向电势降低判断.
[典例4] （多选）空间中存在沿x轴正方向的电场，x轴上各点的电场强度随x的变化情况如图所示.下列叙述正确的是（ ）
A. x1、x2两处的电势相同
B.电子在x1处的电势能小于在x2处的电势能
C. x＝0处与x1处两点之间的电势差为U＝
D.电子沿x轴从x1处运动到x2处，电场力一直做负功
[解析] 沿电场方向电势降低，因电场方向指向x轴正方向，故x轴相当于一条电场线，故＞，A错误；电子受到的电场力方向和电场方向相反，故从x1到x2电场力做负功，电势能增大，电子在x1处的电势能小于在x2处的电势能，B、D正确；因为从x＝0处到x1处的电场强度是均匀增大的，所以从x＝0处到x1处的电场强度平均值为，根据公式E＝，可得x＝0处和x1处的电势差为U＝，C正确.
[答案] BCD
三、图像3：Ep－x图像
1.由Ep－x图像可知带电粒子在不同位置的电势能，在已知带电粒子带电量q的情况下，可由φ＝求出任一位置的电势.
2.由Ep－x图像可求出任意两位置对应的电势能的变化量，进而确定静电力做功情况.
3.由功能关系可得ΔEp＝qE·Δx，即qE＝，所以Ep－x图像切线的斜率表示带电粒子在该位置所受静电力的大小.
[典例5] 同一空间中分别施加两个不同的电场，试探电荷－q（q＞0）具有的电势能Ep沿x轴正方向的变化分别如图甲、乙所示，则下列说法正确的是（ ）
甲 乙
A.图甲中，试探电荷在O点受到的电场力为零
B.图甲中，电场强度沿x轴正方向
C.图乙中，x1处的电场强度小于x2处的电场强度
D.图乙中，x1处的电势高于x2处的电势
[解析] 根据ΔEp＝－W电＝－Fx可知，Ep－x图像斜率的绝对值表示电场力的大小，故图甲中，试探电荷在O点受到的电场力不为零，沿x轴正方向电势能增大，则电场力做负功，可知电场力有沿x轴负方向的分量，试探电荷带负电，则电场强度有沿x轴正方向的分量，选项A、B错误.结合前面分析及F＝qE可知，图乙中，x1处的电场强度大于x2处的电场强度，选项C错误.图乙中，试探电荷在x1处的电势能小于在x2处的电势能，试探电荷带负电，根据Ep＝qφ，可知x1处的电势高于x2处的电势，选项D正确.
[答案] D
深刻剖析提升能力
基础 题组
1.思维辨析
（1）公式U＝Ed适用于所有电场.（ × ）
（2）由U＝Ed可知，匀强电场中两点的电势差与这两点的距离成正比.（ × ）
（3）匀强电场的场强值等于沿电场线方向每单位长度上的电势差值.（ √ ）
（4）只有沿电场线方向，电势才降低.（ × ）
（5）沿电场线方向电势降低得最快.（ √ ）
2.下列关于匀强电场中场强和电势差关系的说法正确的是（ ）
A.在相同距离上，电势差大的其场强也必定大
B.任意两点的电势差，等于场强与这两点间距离的乘积
C.沿着电场线方向，相同距离上的电势降落必定相等
D.电势降低的方向，必定是电场强度的方向
答案：C
3.（多选）在场强为E＝1.0×102 V/m的匀强电场中，有相距d＝2.0×10－2 m的a、b两点，则a、b两点间的电势差可能为（ ）
A.1.0 V B.2.0 V
C.3.0 V D.4.0 V
解析：由U＝Ed可知当d最大时，U最大，代入数值可得U最大值为2.0 V；当a、b位于同一等势面上时，Uab＝0，则最小值为零，故A、B可能，C、D不可能.
答案：AB
中档 题组
1.如图所示，在沿x轴正向的匀强电场E中，有一动点A以O为圆心，r为半径做逆时针转动，当OA与x轴正向成θ角时，O、A两点间的电势差为（ ）
A. UOA＝Er B. UOA＝Ersin θ
C. UOA＝Ercos θ D. UOA＝－Ercos θ
解析：由题图可知OA沿场强方向的距离d＝OAcos θ＝rcos θ，故UOA＝Ed＝Ercos θ，故C正确.
答案：C
2.在水深超过200 m的深海，光线极少，能见度极低，有一种电鳗具有特殊的适应性，能通过自身发出的生物电获取食物、威胁敌害、保护自己.若该电鳗的头尾相当于两个电极，它在海水中产生的电场强度达到103 N/C，可击昏敌害.则身长50 cm的电鳗，在放电时产生的瞬间电压可达（ ）
A.50 V B.500 V
C.5 000 V D.50 000 V
解析：根据电势差与电场强度之间的关系，可知放电时产生的瞬间电压可达U＝Ed＝1 000×0.5 V＝500 V，故选B.
答案：B
3.如图所示，在△ABC中，∠B为直角，∠A＝60°，AB＝4 cm，空间中存在一匀强电场，其方向平行于△ABC所在的平面，A、B、C三点的电势分别为0 V、2 V、8 V，则该电场的电场强度为（ ）
A.50 V/m B.50 V/m
C.100 V/m D. V/m
解析：如图所示，过B点作AC的垂线，则垂足D为AC的四等分点，因A、C两点的电势分别为0 V、8 V，可知D点的电势为2 V，则BD为等势面；根据E＝可得电场强度E＝＝ V/m＝100 V/m，故选C.
答案：C
4.（多选）如图所示，实线为电场线，虚线为等势线，且AB＝BC，电场中A、B、C三点的电场强度分别为EA、EB、EC，电势分别为φA、φB、φC，AB、BC间的电势差分别为UAB、UBC，则下列关系中正确的有（ ）
A.φA＞φB＞φC B. EA＞EB＞EC
C. UAB＜UBC D. UAB＝UBC
解析：沿电场线方向，电势越来越低，所以A点电势最高，C点电势最低，A正确；电场线越密集的地方电场强度越强，由图可知，C点电场强度最强，A点电场强度最弱，B错误；由于BC间的电场强度大于AB间的电场强度，由U＝Ed可知，UAB＜UBC，C正确，D错误.
答案：AC
5.（多选）在x轴上有两个点电荷q1、q2，其静电场的电势φ在x轴上分布如图所示.下列说法正确的有（ ）
A. q1和q2带有异种电荷
B. x1处的电场强度为零
C.负电荷从x1移到x2，电势能减小
D.负电荷从x1移到x2，受到的电场力增大
解析：从图中看到，中间电势高，两边电势低，且图形左右不对称，电势有正有负，判断q1和q2带有异种不等量电荷，A项正确；从图线斜率看，x1处的电场强度不为零，B项错误；负电荷从x1移到x2，即由低电势到高电势，电场力做正功，电势能减小，C项正确；x2处电场强度为零，所以负电荷从x1移到x2，受到的电场力减小，D项错误.
答案：AC
课时作业（十） 匀强电场中电场强度与电势差的关系
[基础训练]
1.下列对关系式Uab＝Ed的理解，正确的是（ ）
A.式中的d是a、b两点间的距离
B. a、b两点间距离越大，电势差越大
C. d是a、b两个等势面的距离
D.此式适用于任何电场
解析：公式Uab＝Ed只适用于匀强电场，其中d为沿电场强度方向上的距离，C正确，A、B、D错误.
答案：C
2.如图所示为某匀强电场的等势面分布图，每两个相邻等势面相距2 cm，则该匀强电场的场强大小和方向分别为（ ）
A. E＝100 V/m，竖直向下
B. E＝100 V/m，竖直向上
C. E＝100 V/m，水平向左
D. E＝100 V/m，水平向右
解析：电场方向与等势面垂直且指向电势降低的方向，故电场方向水平向左，由U＝Ed可得E＝＝ V/m＝100 V/m，C正确.
答案：C
3.如图所示，场强为E的匀强电场中有A、B、C三点，且AB＝BC＝d，则（ ）
A. UAB＝UBC B. UAB＝UBC
C. UAC＝UAB D. UAC＝3UBC
解析：由U＝Ed可求出UBC＝Edcos 60°＝Ed，UAB＝Ed＝2UBC，UAC＝UAB＋UBC＝UAB＝3UBC，故D项正确.
答案：D
4.如图所示，在平面直角坐标系xOy中存在一匀强电场，a、b两点分别在两个坐标轴上，它们到坐标原点O的距离均为10 cm，将一带电荷量q＝0.2 C的正点电荷从原点O分别移动到a、b两点，电场力做功均为1 J，则该匀强电场的电场强度大小为（ ）
A.50 N/C B.50 N/C
C.10 N/C D.10 N/C
解析：由公式U＝，解得U＝5 V，依题意，a、b两点为一条等势线，由几何关系可知，O到a、b两点连线的距离为d＝sin 45°＝5 cm，则该匀强电场的电场强度大小为E＝＝50 N/C，故选A.
答案：A
5.如图所示的匀强电场场强为1×103 N/C，abcd为矩形，且ab平行于电场线，ab＝cd＝4 cm，ad＝bc＝3 cm.则下述计算结果正确的是（ ）
A. ab之间的电势差为40 V
B. ad之间的电势差为50 V
C.将q＝－5×10－3 C的点电荷沿矩形路径abcd移动一周，电场力做的功是－0.25 J
D.将q＝－5×10－3 C的点电荷从a移到c，电场力做的功是0.25 J
解析：由U＝Ed得Uab＝1×103×0.04 V＝40 V，A正确；a、d在同一等势面上，所以Uad＝0，B错误；将电荷沿abcd移动一周，位移为零，故电场力做功为零，C错误；Wac＝Wab＝qUab＝（－5×10－3）×40 J＝－0.2 J，D错误.
答案：A
6.如图所示，在匀强电场中，以A点为坐标原点，AB方向为位移x的正方向，图中能正确反映电势φ随位移x变化的图像是（ ）
解析：在匀强电场中，沿任意一条直线电势均匀变化，沿AB方向的电势均匀降低，C正确.
答案：C
7.某静电场中的x轴上，一个带电粒子在O点由静止释放，仅在电场力作用下沿x轴正向运动，带电粒子的电势能随粒子在x轴上的位置变化规律如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A.带电粒子带负电
B.带电粒子先做加速运动后做减速运动
C.带电粒子运动的加速度不断减小
D.带电粒子的电势能先减小后增大
解析：由于电场方向不确定，因此粒子的电性无法确定，故A错误；由图像可知粒子的电势能一直减小，所以粒子的动能一直增加，即粒子一直做加速运动，故B、D错误；由于电场力F＝－，因此图像的切线斜率大小反映电场力大小也反映加速度大小，由图像可知粒子运动过程中加速度一直减小，故C正确.故选C.
答案：C
8.平行的带电金属板A、B间是匀强电场，如图所示，两板间距离是5 cm，两板间的电压是 60 V.试问：
（1）两板间的电场强度是多大？
（2）电场中有P1和P2两点，P1点离A板0.5 cm，P2点离B板也是0.5 cm，P1和P2两点间的电势差为多大？
（3）若B板接地，P1和P2两点的电势各是多大？
解析：（1）根据公式E＝，代入数据得
E＝ V/m＝1 200 V/m.
（2）P1、P2沿电场方向的距离为
d12＝5 cm－（0.5 cm＋0.5 cm）＝4 cm
根据公式U＝Ed得
U12＝Ed12＝1 200×4×1 V＝48 V.
（3）由φ1－φB＝Ed1B＝1 200×4.5×1 V＝54 V
得φ1＝54 V.
同理φ2－φB＝Ed2B＝1 200×0.5×1 V＝6 V
得φ2＝6 V.
答案：（1）1 200 V/m （2）48 V （3）54 V 6 V
[能力提升]
9.如图所示为电子束焊接机，K为阴极，A为阳极，两极之间的距离为d，在两极之间加上高电压U，两极之间形成了辐向分布的电场，图中带箭头的虚线代表电场线，B、C是电场中两点.有一电子在K极由静止被加速，不考虑电子重力，元电荷为e，则下列说法正确的是（ ）
A. A、K之间的电场强度均为
B. C点电势高于B点电势
C. B点电场强度大于C点电场强度
D.电子由K到A的过程中电势能增加了eU
解析：电场线的疏密表示场强大小，因此A、K之间的电场强度不均匀，B点电场强度小于C点电场强度，A、C错误；沿电场线，电势逐渐降低，因此C点电势高于B点电势，B正确；根据W＝Uq可知，电子由K到A的过程中电场力做正功eU，电势能减少了eU，D错误.故选B.
答案：B
10.（多选）如图所示，匀强电场平行于xOy平面坐标系，矩形ABCD的顶点B和D均落在y轴上，顶点A在x轴上，OB＝5 cm，AB＝10 cm，A、B、C三点的电势分别为3 V、33 V、63 V，下列说法正确的是（ ）
A. D点的电势为33 V
B.匀强电场平行于y轴，且沿着y轴负方向
C.匀强电场的电场强度的大小为200 V/m
D.将一电子从D点移动到B点，电子克服电场力做的功为30 eV
解析：连接AC，设AC与BD交于点E，过点C做BD的垂线，交于点F.根据对称性可知点E的电势为φE＝＝33 V＝φB，则BE为等势面，D点在直线BE上，故D点的电势为33 V，故A正确；根据沿电场线电势降低，可知匀强电场方向为CF方向，即匀强电场平行于x轴，且沿着x轴负方向，故B错误；根据几何关系有CF＝AO＝＝5 cm，匀强电场的电场强度的大小为E＝＝ V/m＝200 V/m故C正确；B点、D点为等势面上的两点，将一电子从D点移动到B点，电场力不做功，故D错误.故选AC.
答案：AC
11.（多选）电子透镜两极间的电场线分布如图，中间的一条电场线为直线，其他电场线对称分布，a、b、c、d为电场中的四个点，其中b、d点和b、c点分别关于x、y轴对称.一离子仅在电场力作用下从a点运动到b点，轨迹如图中虚线所示，下列说法正确的是（ ）
A.若将离子从b点移到d点，电场力做功为零
B.离子在a、b两点的电势能满足Epa＞Epb
C.离子在a、b两点时动能满足Eka＞Ekb
D.由对称性可知，b、c两点的场强相同
解析：由题图及对称性可知φa＞φb＝φd＞φc，故Ubd＝0，即b、d两点间的电势差为零，由W＝qU可知，将离子从b点移到d点，电场力做功为零，A正确；由离子运动轨迹可知该离子带负电，而负电荷在电势高处电势能小，故Epa＜Epb，B错误；离子运动过程中仅受电场力，即动能与电势能之和不变，又Epa＜Epb，故Eka＞Ekb，C正确；电场线的切线方向表示场强方向，故b、c两点的场强方向不同，D错误.
答案：AC
12.匀强电场的场强为40 N/C，在同一条电场线上有A、B两点，把质量为2×10－9 kg、带电荷量为－2×10－9 C的微粒从A点移到B点，静电力做了1.5×10－7 J的正功.求：
（1）A、B两点间的电势差UAB；
（2）A、B两点间的距离；
（3）若微粒在A点具有与电场线同向的速度为10 m/s，在只有静电力作用的情况下，求经过B点时的速度.
解析：（1）WAB＝UAB·q
UAB＝＝ V＝－75 V.
（2）由题意知，场强方向由B→A，故UBA＝Ed，d＝＝ m＝1.875 m.
（3）由动能定理有WAB＝m－m
解得vB＝5 m/s，方向与电场线反向.
答案：（1）－75 V （2）1.875 m （3）5 m/s，方向与电场线反向
第4节 带电粒子在电场中的运动
核心素养：1.会分析带电粒子在电场中的运动情况. 2.了解示波管的结构和原理. 3.会从力和能量的角度分析、计算带电粒子在电场中的加速问题. 4.能够用类平抛运动知识分析带电粒子在电场中的偏转问题. 5.通过对示波管的构造和工作原理的认识，进一步理解加速和偏转问题.
带电粒子加速
合作 讨论
电子被加速器加速后轰击重金属靶时，会产生射线，可用于放射治疗.图中展示了一台医用电子直线加速器.
（1）电子在加速器中是受到什么力的作用而加速的呢？
（2）加速的最大速度可能受到哪些关系的影响？
提示：（1）电子在加速器中受到静电力而加速.
（2）最大速度会受到加速距离、加速电压等因素的影响.
教材 认知
1.基本粒子的受力特点
对于质量很小的基本粒子，如电子、质子等，虽然它们也会受到万有引力（重力）的作用，但万有引力（重力）一般 远远小于 静电力，可以 忽略不计 .
2.带电粒子加速问题的处理方法
（1）利用动能定理分析
初速度为零的带电粒子，经过电势差为U的电场加速后， qU＝mv2 ，则v＝.
（2）在匀强电场中也可利用牛顿定律结合运动学公式分析.
[思考] 在真空中有一对平行金属板，由于接上电池组而带电，两板间电势差为U，若一个质量为m、带正电荷为q的粒子，以初速度v0从正极板向负极板沿直线运动.
（1）怎样计算它到达负极板时的速度？
（2）若粒子带的是负电荷（初速度为v0），将做匀减速直线运动，如果能到达负极板，其速度如何？
提示：（1）由动能定理有：qU＝mv2－m，得v＝.
（2）由动能定理有：－qU＝mv2－m，得v＝.
核心 归纳
1.带电粒子的加速：当带电粒子以很小的速度进入电场中，在静电力作用下做加速运动，示波器、电视显像管中的电子枪都是利用电场对带电粒子加速的.
2.处理方法
可以从动力学和功能关系两个角度进行分析，其比较如下：
项目 动力学角度 功能关系角度
涉及知识 应用牛顿第二定律结合匀变速直线运动公式 功的公式及动能定理
选择条件 匀强电场，静电力是恒力 可以是匀强电场，也可以是非匀强电场，电场力可以是恒力，也可以是变力
研习 经典
[典例1] 如图为示波管中电子枪的原理示意图，示波管内被抽成真空. A为发射电子的阴极，K为接在高电势点的加速阳极，A、K间电压为U，电子离开阴极时的速度可以忽略，电子经加速后从K的小孔中射出时的速度为v.下列说法中正确的是（ ）
A.如果A、K间距离不变而电压变为2U，则电子离开K时的速度仍为v
B.如果A、K间距离不变而电压变为2U，则电子离开K时的速度变为2v
C.如果A、K间距离减半而电压仍为U，则电子离开K时的速度仍为v
D.如果A、K间距离加倍而电压仍为U，则电子离开K时的速度变为v
[解析] 电子在示波管中只受静电力作用，静电力做功W＝qU，故由动能定理可得：qU＝mv2；如果A、K间距离不变而电压变为2U，则静电力做功为原来的两倍，故电子离开K时的动能为原来的两倍，速度v'＝v，故A、B错误；如果A、K间距离减半而电压仍为U，则静电力做功不变，故电子离开K时的动能不变，速度不变，故C正确；如果A、K间距离加倍而电压仍为U，则静电力做功不变，故电子离开K时的动能不变，速度不变，故D错误.
[答案] C
若电场为非匀强电场，带电粒子在电场中两点间的运动为变加速运动，不能通过力和运动的途径解出该题，但电场力做功W＝qU这一关系对匀强电场和非匀强电场都适用，因此从能量的角度入手，由动能定理来解该题很方
