2025中考数学考前15天：第14天 锐角三角函数及应用（含答案）

第14天 锐角三角函数及应用
易错易混
1．解直角三角形的应用
（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．
如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
（2）解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
2．解直角三角形的应用-坡度坡角问题
（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等．
3．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
4．解直角三角形的应用-方向角问题
（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．
（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．
方法技巧
1．锐角三角函数的增减性
（1）锐角三角函数值都是正值．
（2）当角度在0°～90°间变化时，
①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；
②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；
③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．
（3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0．
　　 当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0．
2．互余两角三角函数的关系
在直角三角形中，∠A+∠B＝90°时，正余弦之间的关系为：
（1）一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）；
（2）一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）；
也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA．
3．特殊角的三角函数值
（1）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（2）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
4．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
强化训练
一．选择题（共12小题）
1．如图，在△ABC中，若∠B=90°，，BC=4，则AC=（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡AB的坡比是1：3，坝高BC=10m,则迎水坡AB的长度是（　　）
A．10m B． C． D．30m
3．如图，某大桥主塔的正面示意图是一个轴对称图形，小明测得桥面宽度AB=a米，∠OAB=70°，则点O到桥面的距离（单位：米）是（　　）
A． B．° C．atan70° D．°
4．如图，在边长为4正方形ABCD中，点E在以B为圆心的弧AC上，射线DE交AB于F，连接CE，若CE⊥DF，则DE=（　　）
A．2 B． C． D．
5．如图，等腰三角形ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AC上一点，，∠CBD=15°，则sin∠BDC的值为（　　）
A． B． C． D．
6．如某中学九年级数学活动小组应用解直角三角形的知识，测量学校一教学楼的高度．如图，小明在A处测得教学楼CD的顶部的仰角为30°，向前走20m到达E处，测得教学楼CD的顶部的仰角为45°，已知小明的身高AB为1.6m（眼睛到头顶的距离可忽略不计），则教学楼CD的高度约（　　）m（结果精确到0.1m,参考数据：）．
A．27.3 B．28.9 C．31.3 D．35.9
7．如图所示是一水库大坝的横截面的一部分，坝高h=6m,迎水坡AB=10m,斜坡的坡角为α，则该斜坡的坡度是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为边AB上一点，过点D作DE⊥AC，垂足为E，则下列结论中正确的是（　　）
A．sinA= B． C． D．
9．如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A′B′C′，使得B′与C重合，连接A′B，则tan∠A′BC′的值为（　　）
A．1 B． C． D．
10．（2025 乐东县一模）如图，某校九年级学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，在建筑物旁边有一高度为12米的小楼房，乐乐同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为45°（点A、B、C、D在同一平面内），则需测量的建筑物的高度是（　　）
A．18米 B．24米 C．米 D．米
11．如图，已知A，B两点的坐标分别为（5，0），（0，5），点C，F分别是直线x=-7和x轴上的动点，CF=14，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，sin∠EAO的值是（　　）
A． B． C． D．
12．如图，已知线段AB，按以下步骤作图：①过点B作BC⊥AB，使，连接AC；②以点C为圆心，以BC长为半径画弧，交AC于点D；③以点A为圆心，以AD长为半径画弧，交AB于点E．若AE=mAB，则m的值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题）
13．如图，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么cos∠ACB的值为______．
14．如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，其中AD∥BC，迎水坡AB的坡角∠ABC=45°，背水坡CD的坡比为，斜坡AB长，则背水坡CD的长为 ______m.
15．如图，小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADG=30°，在E处测得∠AFG=60°，CE=8米，仪器高度CD=1.5米，这棵树AB的高度为______米．
16．郑州市某中学体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶．已知看台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长为1米的不锈钢架杆AD和BC（杆子的底端分别为D，C），且∠DAB=66.5°．则所用不锈钢材料的总长度（即AD+AB+BC，结果精确到0.1米）为 ______米．（参考数据sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30）
17．数学实践小组要测量某路段上一处无标识的车辆限高杆MN的高度AB，如图，他们先用测倾器在C处测得点A的仰角∠AEG=30°，然后在距离C处2米的D处测得点A的仰角∠AFG=45°，已知测倾器的高度为1.6米，C、D、B在水平直线上，则车辆限高杆的高度为______米．（，结果保留两位小数）
三．解答题（共5小题）
18．如图，一艘海警船位于灯塔P的东北方向，距离灯塔海里的A处，接到一报警，一走私船正从灯塔P出发以40海里每小时的速度沿南偏东30°方向逃走，海警船立马沿正南方快速追击，于B点追上走私船，问海警船多长时间追上走私船，追击速度是多少？
19．如图，地面上的点A到两个山峰M，N的峰顶有两条索道AB，AC．在点A处测得峰顶B的仰角为30°，峰顶C的仰角为45°．已知索道AB的长度为2千米．为进一步方便游客，现准备新建一条与地面平行的索道BD，与索道AC相交于点D．求新建索道BD的长．（精确到0.01千米，参考数据：）
20．“五一”节期间，露营爱好者在阳澄湖半岛旅游区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB，用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，AC=AD=2m,BF=3m.
（1）天晴时打开“天幕”，若∠α=68°，求遮阳宽度CD的长；
（2）下雨时收拢“天幕”，若∠α从68°减少到45°，求点E下降的高度．（结果精确到0.1m,参考数据：sin68°≈0.90，cos68°≈0.44，tan68°≈2.00，）
21．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到来自故障船C的求救信号．已知A、B相距100（+1）海里，C在A的北偏东60°方向上，C在B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
（1）求AC和AD；（运算结果若有根号，保留根号）
（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触礁的危险？（参考数据：≈1.41，≈1.73）
22．如图，某景区为游客精心设计了两条游览路线，路线一：在A点登船，沿水路A→C→D游览沿途风光；路线二：先坐观光车从A至B，沿途游览，再在B点登船，沿水路BD游览沿途美景．已知点C在点A的东北方向，点C在点B的北偏东30°方向，点B在点D的南偏西75°方向，点D在点C的南偏东75°方向，BC相距20千米．（参考数据：，，）
（1）求AB的距离（结果保留根号）；
（2）小聪和小明同时从点A出发，分别选择路线一和路线二游览，若游船和观光车均保持匀速行驶，游船的速度为10千米/小时，观光车的速度为20千米/小时，上下车和上下船的时间忽略不计，请问小聪和小明谁先到达点D，并说明理由．
第14天 锐角三角函数及应用
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、C 2、B 3、D 4、C 5、A 6、B 7、D 8、B 9、B 10、D 11、B 12、A
二．填空题（共5小题）
13、； 14、16； 15、（1.5+4）； 16、5.0； 17、4.33；
三．解答题（共5小题）
18、解：根据题意得∠A=45°，∠B=30°，PC⊥AB，如图，
在Rt△APC中，
∵sin∠A=，
∴PC=40sin45°=40×=40（海里），
∴AC=PC=40海里，
在Rt△PCB中，
∵∠B=30°，
∴PB=2PC=80海里，BC=PC=40海里，
∵走私船正从灯塔P到B点所用的时间为=2（小时），
∴海警船追击走私船所用时间为2小时，
∴海警船追击走私船的速度为=（20+20）海里/时．
答：海警船2小时追上走私船，追击速度是（20+20）海里/时．
19、解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，
由题意可得：AB=2千米，∠ABE=30°．
∵，
∴AE=1千米，千米，
∵∠ADE=45°，
∴DE=AE=1千米，
∴（千米）．
答：新建索道BD的长约为2.73千米．
20、解：（1）由题意得：△ACD是轴对称图形，
∴，
∵AC=AD=2m,∠α=68°，
∴OD=AD sinα=2sin68°≈1.80（m），
∴CD=2OD≈3.6m,
答：遮阳宽度CD约为3.6m.
（2）如图，设点E下降到点E′，过点E作EM⊥AB于点M，过点E′作E′N⊥AB于点N，
则四边形BFEM和四边形BFE′N都是矩形，
∴EM=BF=3m,E′N=BF=3m,BM=EF，BN=E′F，
∴BM-BN=EF-E′F，即MN=EE′，
当∠α=68°时，，
当∠α=45°时，，
则EE′=MN=AN-AM≈1.5m,
答：点E下降的高度约为1.5m.
21、解：（1）如图，作CE⊥AB于E，
由题意得：∠ABC=45°，∠BAC=60°，
设AE=x海里，
在Rt△AEC中，CE=AE tan60°=x；
在Rt△BCE中，BE=CE=x.
∴AE+BE=x+x=100（+1），
解得：x=100．
AC=2x=200．
在△ACD中，∠DAC=60°，∠ADC=75°，则∠ACD=45°．
过点D作DF⊥AC于点F，
设AF=y,则DF=CF=y,
∴AC=y+y=200，
解得：y=100（-1），
∴AD=2y=200（-1）．
答：AC为200海里，AD为200（-1）海里．
（2）由（1）可知，DF=AF=×100（-1）≈127海里，
因为127＞100，
所以巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险．
22、解：（1）如图，过点C作CE⊥AB，交AB延长线于点E，
由题意得：∠CAE=45°，∠CBE=60°，BC=20千米，
BE=BC cos∠CBE=10千米，千米，
千米，
则千米，
答：AB的距离为千米；
（2）如图，设CE交BD于点M，过点C作CF⊥BD于点F，
由题意得：∠DCE=75°，∠BDG=75°，CE∥DG，
∴∠CMD=∠BDG=75°，
∴∠CDB=180°-∠CMD-∠DCE=30°，
由（1）可知，∠BCE=90°-∠CBE=30°，
∴∠CBD=180°-∠BCE-∠DCE-∠CDB=45°，
千米，千米，
千米，千米，
∴千米，
在Rt△ACE中，千米，
∴小聪选择路线一所需时间为（小时），
小明选择路线二所需时间为（小时），
因为4.225＜5.2，
所以小明先到达点D．