华东师大版九年级下 第26章 二次函数 单元巩固卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 华东师大版九年级下 第26章 二次函数 单元巩固卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 135.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-24 11:44:42 | ||
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文档简介
华东师大版九年级下 第26章 二次函数 单元巩固卷
一．选择题（共12小题）
1．抛物线y=（x+2）2+3的对称轴是直线（ ）
A．x=2 B．x=-2 C．x=3 D．x=-3
2．已知二次函数y=x2-4x图象上有两点A（-4，y1），B（1，y2），则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1=y2 C．y1＜y2 D．无法确定
3．将抛物线y=3x2向下平移2个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y=3（x-2）2 B．y=3（x+2）2 C．y=3x2-2 D．y=3x2+2
4．将抛物线y=2x2经过怎样的平移可得到抛物线y=2（x+3）2+4（ ）
A．先向左平移3个单位，再向上平移4个单位
B．先向左平移3个单位，再向下平移4个单位
C．先向右平移3个单位，再向上平移4个单位
D．先向右平移3个单位，再向下平移4个单位
5．若二次函数y=x2-4x+k的图象经过点（-1，y1），（3，y2），则y1与y2的大小关系为（ ）
A．y1＞y2 B．y1=y2 C．y1＜y2 D．不能确定
6．二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a≠0）的图象过点（3，-1），图象的对称轴是直线x=1，且c＜-1，则下列结论正确的是（ ）
A．a＜0 B．b＞0 C．b2＜4ac D．a-b+c=-1
7．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则b,c,b2-4ac,a+b+c这四个式子中，值为正数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．函数y=ax+a与y=ax2（a≠0）的图象在同一平面直角坐标系中可能是（ ）
A． B． C． D．
9．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，菱形OABC的边长为2，点C在y轴的负半轴上，抛物线y=ax2过点B．若∠AOC=60°，则a为（ ）
A．-1 B．-2 C． D．1
11．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）图象的一部分，经过点（1，0），且与y轴的交点在点（0，-2）与（0，-3）之间，函数图象的对称轴为直线x=-1．下列判断正确的是（ ）
A．b2＜4ac B．2a+b=0 C．a-3b+c＞0 D．
12．如图，抛物线与交于点B（1，-2），且分别与y轴交于点D，E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论错误的是（ ）
A．无论x取何值，y2总是负数
B．抛物线y2可由抛物线y1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到
C．当-3＜x＜1时，随着x的增大，y1-y2的值先增大后减小
D．若依次连接AE、EC、CD、DA，则四边形AECD为正方形
二．填空题（共5小题）
13．已知点P（0，m2-4），Q（m,0），若线段PQ与抛物线y=x2+3x-4恰有一个交点，则m的取值范围是______．
14．我们把a,b,c三个数的中位数记作Z{a,b,c}，直线y=kx+（k＞0）与函数y=Z{x2-1，x+1，-x+1}的图象有且只有2个交点，则k的取值为______．
15．如图，抛物线y=ax2+c与直线y=kx+b交于点A（-4，p），B（2，q），则关于x的不等式ax2+c＜kx+b的解集是 ______．
16．如图，抛物线y=-x2+2x与x轴的另一个交点为A，现将抛物线向右平移m（m＞2）个单位长度，所得抛物线与x轴交于C，D，与原抛物线交于点P，设△APD的面积为S，则S可用含m的式子表示为______．
17．函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（-1，n），其中n＞0．
①当0＜c＜1时，则-＜a＜0；
②若方程ax2+bx+c-n-k=0有两根，则k＜0；
③点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上不同于A，B的两个点，当|x1+1|＞|x2+1|＞3时，y1＜y2；
④函数y=kx+1的图象与y=ax2+bx+c（a≠0）的函数图象总有两个不同交点．
以上结论正确的序号是 ______．
三．解答题（共5小题）
18．已知：抛物线y=ax2-（a+3）x+1．
（1）求证：抛物线与x轴总有两个交点；
（2）若点A（a-1，m），点B（a+1，m）是该抛物线上两点，求代数式2a3-a2-3a+1的值．
19．（2025春 玄武区校级期中）在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4（实数a为常数）的图象为图象T．
（1）求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；
（2）是否存在整数a,使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明理由．
20．已知二次函数y=x2-（m-1）x-1（m是常数）的图象过点（m,2m）．
（1）求m的值；
（2）设抛物线y=x2-（m-1）x-1与x轴的交点为（k,0），设，请判断S＞0，S=0，S＜0哪个成立？并说明理由．
21．在节假日期间，濮阳龙湖论语广场的音乐喷泉上演了绚丽的灯光秀．随着音乐的节拍，喷泉的水线起伏跳跃，勾勒出迷人的抛物线图案．假设喷泉的出水口为坐标原点，出水口离岸边18米．随着音乐的变化，抛物线的顶点在直线y=kx（k≠0）上变动，从而产生一组不同的抛物线，设这组抛物线的统一形式为y=ax2+bx（a＜0）．
（1）若，
①若喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线形水线最大高度是多少米？
②若喷出的抛物线形水线最大高度为4m,求a、b的值；
（2）当音乐节奏加快，抛物线的顶点在直线y=x上，喷出的水不能触及岸边．请直接写出此时a的取值范围．
22．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-1，0），B（4，0），C（0，4）三点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，且在直线BC的上方．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如图1，过点P作PD⊥x轴，交直线BC于点E，连接PB若，求点P的坐标．
（3）如图2，连接AC，PC，AP，AP与BC交于点G，过点P作PF∥AC交BC于点F．记△ACG，△PCG，△PGF的面积分别为S1，S2，S3．求的最小值．
华东师大版九年级下 第26章 二次函数 单元巩固卷
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、B 2、A 3、C 4、A 5、A 6、D 7、D 8、C 9、B 10、A 11、D 12、C
二．填空题（共5小题）
13、m=0或m≥1或m≤-4； 14、＜k≤1或k=； 15、x＜-4或x＞2； 16、-1； 17、①③；
三．解答题（共5小题）
18、（1）证明：当ax2-（a+3）x+1=0时，
Δ=[-（a+3）]2-4a
=a2+2a+9
=（a+1）2+8，
∵（a+1）2≥0，
∴（a+1）2+8＞0，即Δ＞0；
∴抛物线与x轴总有两个交点；
（2）解：∵点A（a-1，m），点B（a+1，m）是抛物线上关于对称轴对称的两个点，
∴，
∴，
∴2a2-a=3，
∴2a3-a2-3a+1=a（2a2-a）-3a+1=3a-3a+1=1．
19、解：当时，函数表达式为y=12x+6，令y=0，得，不符合题意，
当时，在y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4中，令y=0，得0=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4，
解得或，
∵，a是整数，
∴当2a+1是6的因数时，是整数，
∴2a+1=-6或2a+1=-3或2a+1=-2或2a+1=-1或2a+1=1或2a+1=2或2a+1=3或2a+1=6，
解得或a=-2或或a=-1或a=0或或a=1或，
∵a是整数，
∴a=-2或a=-1或a=0或a=1．
20、解：（1）把点（m,2m）代入，得：
m2-m（m-1）-1=2m,
解得：m=-1；
（2）S=0，理由如下：
由（1）得y=x2+2x-1，
因为抛物线与x轴的交点为（k,0），
∴k2+2k-1=0，
从而可得k2+2k=1，k2=1-2k,，
∴，
，
=
=
=
=．
=
=
=
∴S=0．
21、解：（1）由条件可知，
①∵喷出的水恰好达到岸边，
∴抛物线过（18，0），
∵抛物线过原点（0，0），
∴抛物线的对称轴是直线，
∵抛物线的顶点在直线上，
∴当x=9时，，
∴抛物线水线最大高度是米；
②由条件可知抛物线顶点的纵坐标为4m,
当 y=4时，，
解得：x=8，
∴抛物线的顶点是（8，4），
∴y=ax2+bx=a（x-8）2+4，
∵抛物线过原点（0，0），
∴64a+4=0，
解得，
∴，
∴，b=1．
（2）∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线的顶点在直线y=x上，
∴，
解得：b=2，
由条件可知，即，
解得．
22、解：（1）由题意得：，
解得，
∴y=-x2+3x+4；
（2）设直线BC的解析式为y=kx+b,则有：
，解得：，
∴直线BC的解析式为：y=-x+4，
设点P（m,-m2+3m+4），
∵PD⊥x轴，
∴PD∥y轴，
∴E（m,-m+4），D（m,0），
∴PE=-m2+3m+4-（-m+4）=-m2+4m,ED=-m+5，
∵，，
∴3PE=4ED，
∴3（-m2+4m）=4（-m+4），
解得：，m2=4（此时B，P重合，不合题意舍去），
∴；
（3）∵PF∥AC，
∴△ACG∽△PFG，
∴，，
∴，
作AN∥BC交y轴于N，作PQ∥y轴交BC于Q，
∵直线BC的解析式为y=-x+4，AN∥BC，
∴直线AN的解析式为y=-x+n,
由条件可得n=-1，
∴直线AN的解析式为y=-x-1，
当x=0时，y=-1，
∴N（0，-1），
∴ON=1，CN=OC+ON=5，
由条件可知∠PQF=∠NCB=∠ANC，∠PFC=∠ACF，
∵∠PFC=∠FPQ+∠PQF，∠ACF=∠NCB+∠ACN，∠PQF=∠NCB=45°，
∴∠FPQ=∠ACN，
∴△CAN∽△PFQ，
∴，
设P（t,-t2+3t+4），则Q（t,-t+4），PQ=-t2+4t,
∴，
∴，
∴当t=2时，有最小值．
一．选择题（共12小题）
1．抛物线y=（x+2）2+3的对称轴是直线（ ）
A．x=2 B．x=-2 C．x=3 D．x=-3
2．已知二次函数y=x2-4x图象上有两点A（-4，y1），B（1，y2），则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2 B．y1=y2 C．y1＜y2 D．无法确定
3．将抛物线y=3x2向下平移2个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y=3（x-2）2 B．y=3（x+2）2 C．y=3x2-2 D．y=3x2+2
4．将抛物线y=2x2经过怎样的平移可得到抛物线y=2（x+3）2+4（ ）
A．先向左平移3个单位，再向上平移4个单位
B．先向左平移3个单位，再向下平移4个单位
C．先向右平移3个单位，再向上平移4个单位
D．先向右平移3个单位，再向下平移4个单位
5．若二次函数y=x2-4x+k的图象经过点（-1，y1），（3，y2），则y1与y2的大小关系为（ ）
A．y1＞y2 B．y1=y2 C．y1＜y2 D．不能确定
6．二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a≠0）的图象过点（3，-1），图象的对称轴是直线x=1，且c＜-1，则下列结论正确的是（ ）
A．a＜0 B．b＞0 C．b2＜4ac D．a-b+c=-1
7．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则b,c,b2-4ac,a+b+c这四个式子中，值为正数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．函数y=ax+a与y=ax2（a≠0）的图象在同一平面直角坐标系中可能是（ ）
A． B． C． D．
9．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，菱形OABC的边长为2，点C在y轴的负半轴上，抛物线y=ax2过点B．若∠AOC=60°，则a为（ ）
A．-1 B．-2 C． D．1
11．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）图象的一部分，经过点（1，0），且与y轴的交点在点（0，-2）与（0，-3）之间，函数图象的对称轴为直线x=-1．下列判断正确的是（ ）
A．b2＜4ac B．2a+b=0 C．a-3b+c＞0 D．
12．如图，抛物线与交于点B（1，-2），且分别与y轴交于点D，E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论错误的是（ ）
A．无论x取何值，y2总是负数
B．抛物线y2可由抛物线y1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到
C．当-3＜x＜1时，随着x的增大，y1-y2的值先增大后减小
D．若依次连接AE、EC、CD、DA，则四边形AECD为正方形
二．填空题（共5小题）
13．已知点P（0，m2-4），Q（m,0），若线段PQ与抛物线y=x2+3x-4恰有一个交点，则m的取值范围是______．
14．我们把a,b,c三个数的中位数记作Z{a,b,c}，直线y=kx+（k＞0）与函数y=Z{x2-1，x+1，-x+1}的图象有且只有2个交点，则k的取值为______．
15．如图，抛物线y=ax2+c与直线y=kx+b交于点A（-4，p），B（2，q），则关于x的不等式ax2+c＜kx+b的解集是 ______．
16．如图，抛物线y=-x2+2x与x轴的另一个交点为A，现将抛物线向右平移m（m＞2）个单位长度，所得抛物线与x轴交于C，D，与原抛物线交于点P，设△APD的面积为S，则S可用含m的式子表示为______．
17．函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（-1，n），其中n＞0．
①当0＜c＜1时，则-＜a＜0；
②若方程ax2+bx+c-n-k=0有两根，则k＜0；
③点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上不同于A，B的两个点，当|x1+1|＞|x2+1|＞3时，y1＜y2；
④函数y=kx+1的图象与y=ax2+bx+c（a≠0）的函数图象总有两个不同交点．
以上结论正确的序号是 ______．
三．解答题（共5小题）
18．已知：抛物线y=ax2-（a+3）x+1．
（1）求证：抛物线与x轴总有两个交点；
（2）若点A（a-1，m），点B（a+1，m）是该抛物线上两点，求代数式2a3-a2-3a+1的值．
19．（2025春 玄武区校级期中）在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4（实数a为常数）的图象为图象T．
（1）求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；
（2）是否存在整数a,使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明理由．
20．已知二次函数y=x2-（m-1）x-1（m是常数）的图象过点（m,2m）．
（1）求m的值；
（2）设抛物线y=x2-（m-1）x-1与x轴的交点为（k,0），设，请判断S＞0，S=0，S＜0哪个成立？并说明理由．
21．在节假日期间，濮阳龙湖论语广场的音乐喷泉上演了绚丽的灯光秀．随着音乐的节拍，喷泉的水线起伏跳跃，勾勒出迷人的抛物线图案．假设喷泉的出水口为坐标原点，出水口离岸边18米．随着音乐的变化，抛物线的顶点在直线y=kx（k≠0）上变动，从而产生一组不同的抛物线，设这组抛物线的统一形式为y=ax2+bx（a＜0）．
（1）若，
①若喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线形水线最大高度是多少米？
②若喷出的抛物线形水线最大高度为4m,求a、b的值；
（2）当音乐节奏加快，抛物线的顶点在直线y=x上，喷出的水不能触及岸边．请直接写出此时a的取值范围．
22．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-1，0），B（4，0），C（0，4）三点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，且在直线BC的上方．
（1）求抛物线的表达式．
（2）如图1，过点P作PD⊥x轴，交直线BC于点E，连接PB若，求点P的坐标．
（3）如图2，连接AC，PC，AP，AP与BC交于点G，过点P作PF∥AC交BC于点F．记△ACG，△PCG，△PGF的面积分别为S1，S2，S3．求的最小值．
华东师大版九年级下 第26章 二次函数 单元巩固卷
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、B 2、A 3、C 4、A 5、A 6、D 7、D 8、C 9、B 10、A 11、D 12、C
二．填空题（共5小题）
13、m=0或m≥1或m≤-4； 14、＜k≤1或k=； 15、x＜-4或x＞2； 16、-1； 17、①③；
三．解答题（共5小题）
18、（1）证明：当ax2-（a+3）x+1=0时，
Δ=[-（a+3）]2-4a
=a2+2a+9
=（a+1）2+8，
∵（a+1）2≥0，
∴（a+1）2+8＞0，即Δ＞0；
∴抛物线与x轴总有两个交点；
（2）解：∵点A（a-1，m），点B（a+1，m）是抛物线上关于对称轴对称的两个点，
∴，
∴，
∴2a2-a=3，
∴2a3-a2-3a+1=a（2a2-a）-3a+1=3a-3a+1=1．
19、解：当时，函数表达式为y=12x+6，令y=0，得，不符合题意，
当时，在y=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4中，令y=0，得0=（4a+2）x2+（9-6a）x-4a+4，
解得或，
∵，a是整数，
∴当2a+1是6的因数时，是整数，
∴2a+1=-6或2a+1=-3或2a+1=-2或2a+1=-1或2a+1=1或2a+1=2或2a+1=3或2a+1=6，
解得或a=-2或或a=-1或a=0或或a=1或，
∵a是整数，
∴a=-2或a=-1或a=0或a=1．
20、解：（1）把点（m,2m）代入，得：
m2-m（m-1）-1=2m,
解得：m=-1；
（2）S=0，理由如下：
由（1）得y=x2+2x-1，
因为抛物线与x轴的交点为（k,0），
∴k2+2k-1=0，
从而可得k2+2k=1，k2=1-2k,，
∴，
，
=
=
=
=．
=
=
=
∴S=0．
21、解：（1）由条件可知，
①∵喷出的水恰好达到岸边，
∴抛物线过（18，0），
∵抛物线过原点（0，0），
∴抛物线的对称轴是直线，
∵抛物线的顶点在直线上，
∴当x=9时，，
∴抛物线水线最大高度是米；
②由条件可知抛物线顶点的纵坐标为4m,
当 y=4时，，
解得：x=8，
∴抛物线的顶点是（8，4），
∴y=ax2+bx=a（x-8）2+4，
∵抛物线过原点（0，0），
∴64a+4=0，
解得，
∴，
∴，b=1．
（2）∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线的顶点在直线y=x上，
∴，
解得：b=2，
由条件可知，即，
解得．
22、解：（1）由题意得：，
解得，
∴y=-x2+3x+4；
（2）设直线BC的解析式为y=kx+b,则有：
，解得：，
∴直线BC的解析式为：y=-x+4，
设点P（m,-m2+3m+4），
∵PD⊥x轴，
∴PD∥y轴，
∴E（m,-m+4），D（m,0），
∴PE=-m2+3m+4-（-m+4）=-m2+4m,ED=-m+5，
∵，，
∴3PE=4ED，
∴3（-m2+4m）=4（-m+4），
解得：，m2=4（此时B，P重合，不合题意舍去），
∴；
（3）∵PF∥AC，
∴△ACG∽△PFG，
∴，，
∴，
作AN∥BC交y轴于N，作PQ∥y轴交BC于Q，
∵直线BC的解析式为y=-x+4，AN∥BC，
∴直线AN的解析式为y=-x+n,
由条件可得n=-1，
∴直线AN的解析式为y=-x-1，
当x=0时，y=-1，
∴N（0，-1），
∴ON=1，CN=OC+ON=5，
由条件可知∠PQF=∠NCB=∠ANC，∠PFC=∠ACF，
∵∠PFC=∠FPQ+∠PQF，∠ACF=∠NCB+∠ACN，∠PQF=∠NCB=45°，
∴∠FPQ=∠ACN，
∴△CAN∽△PFQ，
∴，
设P（t,-t2+3t+4），则Q（t,-t+4），PQ=-t2+4t,
∴，
∴，
∴当t=2时，有最小值．