向量专题 期末复习
一、选择题
1.下列命题正确的是( )
A.单位向量都相等
B.若,则
C.零向量没有方向
D.模为0的向量与任意非零向量共线
2.如图,在平行四边形中,( )
A. B. C. D.
3.在平行四边形中,,,,,则( )
A.1 B. C.2 D.3
4.在中,角所对的边分别为.若,则( )
A. B. C. D.
5.如图,在中,已知,,P是线段与的交点,若,则的值为( )
A. B. C.1 D.
6.已知点是所在平面内的动点,且满足,射线与边交于点,若,,则的最小值为( )
A. B.2 C. D.
7.若向量满足,且向量与向量的夹角为,则的最大值是( )
A. B.40 C.64 D.
8.人脸识别,是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术,在人脸识别中,主要应用距离测试检测样本之间的相似度,常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设,则曼哈顿距离,余弦距离(为坐标原点).已知,则的最大近似值为( )(参考数据:)
A.0.052 B.0.104 C.0.896 D.0.948
二、多项选择题
9.已知三点在以为圆心,1为半径的圆上运动,且,为圆所在平面内一点,且,则下列结论正确的是( )
A.的最小值是1 B.为定值
C.的最大值是10 D.的最小值是8
10.下列说法正确的是( )
A.在△ABC中,,E为AC的中点,则
B.已知,若与的夹角是钝角,则
C.在边长为4的正方形ABCD中,点E在边BC上,且,点F是CD中点,则
D.在△ABC中,若与满足,则△ABC是等腰三角形
11.若平面向量,,其中,,则下列说法正确的是( )
A.若,则
B.若,则与同向的单位向量为
C.若,且与的夹角为锐角,则实数的取值范围为
D.若,则的最小值为
三、填空题
12.已知向量满足,,则 (1) .
13.在圆内接四边形中,已知,,平分.则的值为 .
14.已知外接圆的半径为2,是的面积,分别是三个内角的对边,若不等式恒成立,则的最大值为 ;点为外接圆上的任意一点,当取得最大值时,的取值范围是 .
四、解答题
15.已知、、在同一平面内,且,.
(1)若,且与共线,求的坐标;
(2)若向量与向量共线,求的值,此时与同向还是反向?
16.内角的对边分别为,已知.
(1)求角;
(2)若,的面积为.求的周长.
17.在中,点是内一点,
(1)如图,若,过点的直线交直线分别于两点,且,已知为非零实数.试求的值.
(2)若,且,设,试将表示成关于的函数,并求其最小值.
18.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量,,且.
(1)若边,,的平分线交BC边于点D.求AD的长;
(2)若E为BC边上任意一点,,.
(ⅰ)用,表示;
(ⅱ)求的最小值.
19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题,该问题是:“在一个三角形内求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答:当的三个内角均小于时,使得的点即为费马点;当有一个内角大于或等于时,最大内角的顶点为费马点.已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,.
(1)求;
(2)若,,且点为的费马点,求;
(3)设点为的费马点,,求的最小值.
参考答案
1.D
2.B
3.D
4.A
5.B
6.C
7.D
8.B
解:设,
由题意可得:,即,
可知表示正方形,其中,
即点在正方形的边上运动,其中三点共线,
因为,由图可知:
当取到最小值,即最大,点有如下两种可能:
①点为点A,则,可得;
②点在线段上运动时,此时与同向,不妨取,
则,
因为,
所以的最大值为.
9.A,B,C
10.A,C,D
11.B,C,D
12.
13.
14.;
15.(1)或
(2),同向.
16.(1)解:由,
可得,
因为,所以,
又因为,所以;
(2)解:的面积为 ,则,即,解得,
由余弦定理,可得,整理得,
则,解得,即的周长为.
17.(1)解:由图可知:,
因为,所以,
因为M,P,N三点共线,所以,
所以,即,消去整理可得,则;
(2)解:由,可得,
因为,所以,所以;
由,可得;
则
当目仅当,即时等号成立,
故;.
18.【(1)解: 向量,,
由,可得,整理可得,
由余弦定理可得,因为,所以,
若,则,
由余弦定理得,即,得,
因为为的平分线,所以,
则,即,解得;
(2)解:(i)由题意可得:,即,则;
(ii)易知,
因为,所以,
又因为,所以,即,
则,
当且仅当时等号成立,故的最小值为.
19.(1)解:由,可得,
则,即,故;
(2)解:由(1)知,所以的三个角都小于,
由费马点定义知,
设,,,由,
整理得,整理得,
则;
(3)解:因为点为的费马点,所以,
设,,,,,,
由,得,
由余弦定理得,
,
,
由,得,
,又,,所以,
当且仅当,结合,解得时等号成立,
又,所以,解得,
故的最小值为.
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