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第十一章 不等式与不等式组
11.2 一元一次不等式
（第1课时）
1．通过类比一元一次方程的概念和解法，理解一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的解法．
2．在依据不等式的性质探究一元一次不等式的解法过程中，加深对化归思想和类比思想的体会．
请说一说不等式的三条性质，并用符号语言表示出来
性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
如果a＞b，那么a±c＞b±c
性质2 :不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
性质3 :不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc (或＞)
如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc (或＜)
不等式有多种类型．与学习了方程后重点研究一元一次方程类似，本节我们研究一类简单的不等式，探索它的解法.
思考：观察下面的不等式：
x－7＞26，3x＜2x＋1， x＞50，－4x＞3.
它们有哪些共同特征？
1.只含有一个未知数；
2.未知数的次数是 1；
3.不等式的左右两边都是整式．
你能给出这种形式的不等式的定义吗？
一元一次不等式
类比一元一次方程的定义，你能给出一元一次不等式的定义吗？
只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1的不等式，叫作一元一次不等式．
特点：
（1）不等号的两边都是整式；
（2）只含一个未知数；
（3）含未知数的项的次数是1．
探究：利用不等式的性质解不等式 x－7＞26．
解：根据不等式的性质 1，不等式两边都加 7，不等号的方向不变，所以
x－7＋7＞26＋7，
x＞33．
所以这个不等式的解集是 x＞33．
x＞26＋7
移项
解不等式时也可以“移项”，即把不等式一边的某项变号后移到另一边，而不改变不等号的方向．
想一想：解一元一次方程的依据和一般步骤是什么？
依据：等式的性质．
步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1．
一般地，利用不等式的性质，采取与解一元一次方程相类似的步骤，就可以求出一元一次不等式的解集．
例1：解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（1）3（x1）＜ x2 （2）
系数化为1，得
x＜
这个不等式的解集在数轴上表示如图所示.
解：（1）去括号，得
3x3＜x2
移项，得
3xx＜2+3
合并同类项，得
2x＜1
例1：解下列不等式，并在数轴上表示解集：
（1）3（x1）＜ x2 （2）
解：（2）去分母，得
3(x5)＋24≥2(5x＋1)
去括号，得
3x15＋24≥10x＋2
移项，得
3x10x≥2＋1524
合并同类项，得
x≥
系数化为1，得
x≤1
这个不等式的解集在数轴上表示如图所示.
解一元一次不等式的一般步骤：
去分母：在不等式两边乘各分母的最小公倍数；
去括号：把所有因式去括号展开；
移项：把含未知数的项移到不等号左边，常数项移到不等号右边；
合并同类项：化为 ax＞b（或 ax＜b）的形式（其中 a≠0）；
系数化为 1：不等式两边都除以 a，得到不等式的解集．
对比第（1）题和第（2）题的解题过程，系数化为 1 时应注意些什么？
要看未知数系数的符号，若未知数的系数是正数，则不等号的方向不变；若未知数系数是负数，则不等号的方向要改变．
思考：解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤和依据有什么类似之处？
解一元一次方程，要依据等式的性质，将方程逐步化为x=m的形式；
而解一元一次不等式，则要依据不等式的性质，将不等式逐步化为xm(x≥m)的形式.
【知识技能类练习】必做题：
1．下列不等式是一元一次不等式的是（ ）
A． B．
C． D．
A
【知识技能类练习】必做题：
2．定义一种运算：，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
D
【知识技能类练习】必做题：
3．解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
解：去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
这个不等式的解集在数轴表示为：
【知识技能类练习】选做题：
4．解不等式：，并写出最大整数解．
解：去分母得，，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
故不等式最大的整数解为0．
【综合拓展类练习】
5．已知x，y满足关系式．
(1)当时，求y的值；
(2)若x，y满足，求y的取值范围；
(3)若x，y满足，且，求k的取值范围．
解：（1）当时，可得，
解得；
（2）将变形为，
把代入，可得，
解得；
一元一次不等式的解法
一元一次不等式的概念
一元一次不等式的解法
【知识技能类作业】必做题：
1．下列各式是一元一次不等式的有（ ）个
（1）； （2）；
（3）； （4）
A．1 B．2 C．3 D．4
B
【知识技能类作业】必做题：
2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
A
【知识技能类作业】必做题：
3．解不等式：，并将解集表示在数轴上
解：去括号，得：
移项，得：
合并同类项，得：
系数化为1，得：，
这个不等式的解集在数轴表示为：
【知识技能类作业】选做题：
4．已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围．
解：，
，
，
，
方程的解是正数，
，
．
即的取值范围是．
【综合拓展类作业】
5．定义一种新运算“”为：当时，：当时，．例如：，．
(1)填空：=__________；
(2)若，求x的值；
(3)若，求m的取值范围．
解：（2）当，即时，
则，解得：，
当，即时，
则，
解得：不合题意，舍去，
综上，若，的值为；
【综合拓展类作业】
5．定义一种新运算“”为：当时，：当时，．例如：，．
(1)填空：=__________；
(2)若，求x的值；
(3)若，求m的取值范围．
（3）当，即时，
则，解得，
当，即时，
则，
解得舍去，不合题意，
综上，若，的取值范围为．中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 11.2一元一次不等式（第1课时） 单元 第十一章 学科 数学 年级 七年级
学习 目标 1．通过类比一元一次方程的概念和解法，理解一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的解法． 2．在依据不等式的性质探究一元一次不等式的解法过程中，加深对化归思想和类比思想的体会．
重点 一元一次不等式的解法．
难点 探究并确定解一元一次不等式的步骤．
探究过程
导入新课 【引入思考】 问题：请说一说不等式的三条性质，并用符号语言表示出来。
新知探究 本节课来研究： 本节我们类比一元一次方程的概念和解法，研究一元一次不等式及其解法。 思考：观察下面的不等式： x－7＞26，3x＜2x＋1，x＞50，－4x＞3. 它们有哪些共同特征？ 归纳：只含有_____个未知数，且含有未知数的式子都是____，未知数的次数是____的不等式，叫作一元一次不等式． 特点： （1）不等号的两边都是________； （2）只含____个未知数； （3）含未知数的项的次数是____． 探究：利用不等式的性质解不等式x－7＞26． 解：根据不等式的性质1，不等式两边都加____，不等号的方向____，所以 x－7＋7＞26＋7， 即：x＞26______（移项） x＞33． 所以这个不等式的解集是x＞33． 归纳：解不等式时也可以“移项”，即把不等式一边的某项______后移到另一边，而不改变不等号的方向． 说一说：解一元一次方程的依据和一般步骤是什么？ 归纳：一般地，利用不等式的性质，采取与解一元一次方程相类似的步骤，就可以求出一元一次不等式的解集． 例1：解下列不等式，并在数轴上表示解集： （1）3（x1）＜x2 （2） 归纳：解一元一次不等式的一般步骤： 去分母：在不等式两边乘各分母的____________； 去括号：把所有因式去括号展开； 移项：把含未知数的项移到不等号左边，常数项移到不等号右边； 合并同类项：化为ax＞b（或ax＜b）的形式（其中a≠0）； 系数化为1：不等式两边都除以a，得到不等式的解集． 思考1：对比第（1）题和第（2）题的解题过程，系数化为1时应注意些什么？ 归纳：要看未知数系数的符号，若未知数的系数是正数，则不等号的方向______；若未知数系数是负数，则不等号的方向要______． 思考2：解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤和依据有什么类似之处？ 归纳：解一元一次方程，要依据等式的性质，将方程逐步化为________的形式； 而解一元一次不等式，则要依据不等式的性质，将不等式逐步化为x课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列不等式是一元一次不等式的是（ ） A． B． C． D． 2．定义一种运算：，则不等式的解集是（ ） A．或 B． C．或 D． 3．解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 选做题： 4．解不等式：，并写出最大整数解． 【综合拓展类练习】 5．已知x，y满足关系式． (1)当时，求y的值； (2)若x，y满足，求y的取值范围； (3)若x，y满足，且，求k的取值范围．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列各式是一元一次不等式的有（）个 （1）；（2）；（3）；（4） A．1 B．2 C．3 D．4 2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（） A． B．C． D． 3．解不等式：，并将解集表示在数轴上 选做题： 4．已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围． 【综合拓展类作业】 5．定义一种新运算“”为：当时，：当时，．例如：，． (1)填空：=__________； (2)若，求x的值； (3)若，求m的取值范围．
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分课时教学设计
第四课时《11.2 一元一次不等式（第1课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课学习的内容是一元一次不等式的概念及解法．这是在研究了一元一次方程的概念和解法以及不等式的性质基础上进行的，是学生已经学习的不等式的基本性质，不等式的解集等知识的继续深入，也是后面学习一元一次不等式组的铺垫，本节课内容在本章中有着承上启下的作用，不仅是对已有知识的运用和深化，还为后续继学习打下基础。
学习者分析 本节课主要是通过类比一元一次方程的解法总结归纳出一元一次不等式的解法，并熟练运用不等式的性质解一元一次不等式。只有学生掌握 好了一元一次不等式的解法，才能更好学习后面的不等式组及不等式 （组）的应用。同时，学习本节课时涉及的类比思想、化归思想和数 形结合思想对后续学习也是十分有益的，所以本课的教学不能仅仅停 留在知识的探索上，更要注重数学方法和数学思想的渗透。
教学目标 1．通过类比一元一次方程的概念和解法，理解一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的解法． 2．在依据不等式的性质探究一元一次不等式的解法过程中，加深对化归思想和类比思想的体会．
教学重点 一元一次不等式的解法．
教学难点 探究并确定解一元一次不等式的步骤．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．通过类比一元一次方程的概念和解法，理解一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的解法． 2．在依据不等式的性质探究一元一次不等式的解法过程中，加深对化归思想和类比思想的体会．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 问题：请说一说不等式的三条性质，并用符号语言表示出来 预设：性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． 如果a＞b，那么a±c＞b±c 性质2 :不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc (或＞) 性质3 :不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc (或＜) 导入：不等式有多种类型．与学习了方程后重点研究一元一次方程类似，本节我们研究一类简单的不等式，探索它的解法.学生活动2： 学生独立思考回答活动意图说明： 通过复习不等式的性质，并关联一元一次方程，即巩固基础，为本节课学习“一元一次不等式的概念和解法”做准备．环节三：新知讲解教师活动3： 思考：观察下面的不等式： x－7＞26，3x＜2x＋1， x＞50，－4x＞3. 它们有哪些共同特征？ 预设：1.只含有一个未知数； 2.未知数的次数是 1； 3.不等式的左右两边都是整式． 追问1：你能给出这种形式的不等式的定义吗？ 预设：一元一次不等式 追问2：类比一元一次方程的定义，你能给出一元一次不等式的定义吗？ 归纳：只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1的不等式，叫作一元一次不等式． 特点： （1）不等号的两边都是整式； （2）只含一个未知数； （3）含未知数的项的次数是1． 探究：利用不等式的性质解不等式 x－7＞26． 解：根据不等式的性质 1，不等式两边都加 7，不等号的方向不变，所以 x－7＋7＞26＋7， 即：x＞26＋7（移项） x＞33． 所以这个不等式的解集是 x＞33． 归纳：解不等式时也可以“移项”，即把不等式一边的某项变号后移到另一边，而不改变不等号的方向． 想一想：解一元一次方程的依据和一般步骤是什么？ 预设： 依据：等式的性质． 步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为 1． 归纳：一般地，利用不等式的性质，采取与解一元一次方程相类似的步骤，就可以求出一元一次不等式的解集． 例1：解下列不等式，并在数轴上表示解集： （1）3（x1）＜ x2 （2） 解：（1）去括号，得 3x3＜x2 移项，得 3xx＜2+3 合并同类项，得 2x＜1 系数化为1，得 x＜ 这个不等式的解集在数轴上表示如图所示. （2）去分母，得 3(x5)＋24≥2(5x＋1) 去括号，得 3x15＋24≥10x＋2 移项，得 3x10x≥2＋1524 合并同类项，得 x≥ 系数化为1，得 x≤1 这个不等式的解集在数轴上表示如图所示. 归纳：解一元一次不等式的一般步骤： 去分母：在不等式两边乘各分母的最小公倍数； 去括号：把所有因式去括号展开； 移项：把含未知数的项移到不等号左边，常数项移到不等号右边； 合并同类项：化为ax＞b（或ax＜b）的形式（其中a≠0）； 系数化为1：不等式两边都除以a，得到不等式的解集． 追问：对比第（1）题和第（2）题的解题过程，系数化为 1 时应注意些什么？ 归纳：要看未知数系数的符号，若未知数的系数是正数，则不等号的方向不变；若未知数系数是负数，则不等号的方向要改变． 思考：解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤和依据有什么类似之处？ 归纳：解一元一次方程，要依据等式的性质，将方程逐步化为x=m的形式； 而解一元一次不等式，则要依据不等式的性质，将不等式逐步化为xm(x≥m)的形式.学生活动3： 学生认真观察，类比一元一次方程的概念，说出一元一次不等式的概念。然后独立尝试解一元一次不等式小组交流，班内汇报，然后讨论解一元一次不等式的步骤、依据及与解一元一次方程的异同。活动意图说明： 引导学生通过观察给出的不等式，归纳出它们的共同特征，进而得到一元一次不等式的定义，培养学生观察、归纳的能力．类比解一元一次方程的依据和一般步骤，学生通过思考、讨论，获得解一元一次不等式的思路及步骤，并通过例题加深对一元一次不等式解法的理解，体会化归思想和类比思想．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：11.2 一元一次不等式（第1课时） 一、一元一次不等式的概念 二、一元一次不等式的解法 教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列不等式是一元一次不等式的是（ ） A． B． C． D． 答案：A 2．定义一种运算：，则不等式的解集是（ ） A．或 B． C．或 D． 答案：D 3．解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下： 选做题： 4．解不等式：，并写出最大整数解． 解：去分母得，， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 故不等式最大的整数解为0． 【综合拓展类练习】 5．已知x，y满足关系式． (1)当时，求y的值； (2)若x，y满足，求y的取值范围； (3)若x，y满足，且，求k的取值范围． 解：（1）当时，可得， 解得； （2）将变形为， 把代入，可得， 解得； （3）， 解得， ， 解得．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列各式是一元一次不等式的有（ ）个 （1）；（2）；（3）；（4） A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B．C． D． 答案：A 3．解不等式：，并将解集表示在数轴上 解：去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 系数化为1，得： ， 这个不等式的解集在数轴表示为： 选做题： 4．已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围． 解：， ， ， ， 方程的解是正数， ， ． 即的取值范围是． 【综合拓展类作业】 5．定义一种新运算“”为：当时，：当时，．例如：，． (1)填空：=__________； (2)若，求x的值； (3)若，求m的取值范围． 解：（1）； 故答案为：； （2）当，即时， 则， 解得：， 当，即时， 则， 解得：不合题意，舍去， 综上，若，的值为； （3）当，即时， 则， 解得， 当，即时， 则， 解得舍去，不合题意， 综上，若，的取值范围为．
教学反思 本节课的教学过程中，注重学生的学习过程，从学生已有认知出发，让学生主动地建构其新的认知结构，提升学生的学习能力，让学生形成良好的思维习惯。
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