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2025春北师大版七下数学期末8大高频考点押题
目录
一 整式的化简与求值
二 乘法公式的运用
三 平行线的判定与性质
四 概率的计算
五 与三角形有关的角度计算
六 全等三角形的判定与性质
七 等腰三角形的性质
八 图象应用题
一 整式的化简与求值
1.计算：
(1)(12x2y3－8x3y2)÷4x2y2；
解：原式＝3y－2x.
(2)2a3b2·(－3a3b＋2ab－ab2)；
解：原式＝－6a6b3＋4a4b3－2a4b4.
(3)2(2m－1)(m＋4)－3m(m－5)；
解：原式＝2(2m2＋8m－m－4)－3m2＋15m
＝4m2＋14m－8－3m2＋15m
＝m2＋29m－8.
(4)4a3(ab－b2)－5a2b(2a2－3ab＋1)；
解：原式＝6a4b－4a3b2－10a4b＋15a3b2－5a2b
＝－4a4b＋11a3b2－5a2b.
(5)(－2＋y)(y＋2)－(y－1)(y＋5)；
解：原式＝y2－4－(y2＋5y－y－5)
＝y2－4－y2－4y＋5
＝－4y＋1.
(6)(x－1)2＋(x＋2)(x－2)；
解：原式＝x2＋1－2x＋x2－4
＝2x2－2x－3.
(7)(2a－b＋3c)(2a＋b－3c).
解：原式＝(2a)2－(b－3c)2
＝4a2－(b2－6bc＋9c2)
＝4a2－b2＋6bc－9c2.
2.先化简，再求值：
(1)(毕节大方县期末)(x－2)2－(2x＋1)·(2x－1)＋3x(x－1)，再选取一个你喜欢的数代替x求值；
解：原式＝x2－4x＋4－(4x2－1)＋3x2－3x
＝x2－4x＋4－4x2＋1＋3x2－3x
＝－7x＋5.
答案不唯一.如：选x＝1，
此时原式＝－7×1＋5＝－2.
(2)[(3a＋b)2－(b＋3a)(3a－b)－6b2]÷(－2b)，其中a，b满足3a－2b＝2 025；
解：原式＝(9a2＋6ab＋b2－9a2＋b2－6b2)÷(－2b)
＝(－4b2＋6ab)÷(－2b)
＝2b－3a.
当3a－2b＝2 025时，
原式＝－(3a－2b)＝－2 025.
(3)(贵阳云岩区期末)(m－n)2＋m(m＋n)－(2m－n)(m＋n)，其中m，n满足2(m－1)2＋|n＋2|＝0.
解：原式＝m2－2mn＋n2＋m2＋mn－(2m2＋2mn－mn－n2)
＝m2－mn＋n2＋m2－2m2－mn＋n2
＝－2mn＋2n2.
因为2(m－1)2＋|n＋2|＝0，
所以m－1＝0，n＋2＝0，
所以m＝1，n＝－2.
当m＝1，n＝－2时，
原式＝－2×1×(－2)＋2×(－2)2＝12.
期末复习二 乘法公式的运用
1.用简便方法计算：
(1)99×(－100)；
解：原式＝(100－)×(－100－)
＝
＝－10 000
＝－9 999.
(2)299×602＋2；
解：原式＝2(300－1)(300＋1)＋2
＝2×(90 000－1)＋2
＝180 000.
(3)1 0012＋9992；
解：原式＝(1 000＋1)2＋(1 000－1)2
＝1 0002＋2 000＋1＋1 0002－2 000＋1
＝2×1 0002＋2
＝2 000 002.
(4)101×99－99.52.
解：原式＝(100＋1)×(100－1)－(100－)2
＝1002－12－(1002－100＋)
＝1002－1－1002＋100－
＝98.
2.(铜仁万山区期末)已知x＋y＝3，xy＝－7，求下列各式的值：
(1)x2＋xy＋y2；
(2)(x－y)2.
解：因为x＋y＝3，
所以(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy＝9.
因为xy＝－7，所以x2＋y2＝23.
(1)原式＝23－7＝16.
(2)原式＝x2－2xy＋y2＝23＋14＝37.
3.(贵阳观山湖区期末)已知x2＋y2＝25，x＋y＝7.
(1)求xy的值；
(2)若y>x，求x－y的值.
解：(1)xy＝[(x＋y)2－(x2＋y2)]＝×(72－25)＝12.
(2)(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝72－4×12＝1.
因为y>x，
所以x－y<0，
所以x－y＝－1.
4.已知a－b＝2，ab＝3，求a4＋b4的值.
解：因为(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝4，
所以a2＋b2＝4＋2×3＝10.
因为(a2＋b2)2＝a4＋b4＋2a2b2＝100，
所以a4＋b4＝100－2×32＝82.
期末复习三 平行线的判定与性质
1.如图，EF⊥BC，∠1＝∠C，∠2＋∠3＝180°.试说明：∠ADC＝90°.请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据.
解：因为∠1＝∠C(已知)，
所以GD∥ AC ( 同位角相等，两直线平行 )，
所以∠2＝∠DAC( 两直线平行，内错角相等 ).
因为∠2＋∠3＝180°(已知)，
所以∠DAC＋∠3＝180°(等量代换)，
所以AD∥EF( 同旁内角互补，两直线平行 )，
所以∠ADC＝∠ EFC ( 两直线平行，同位角相等 ).
因为EF⊥BC(已知)，
所以∠EFC＝90°( 垂直的定义 )，
所以∠ADC＝90°(等量代换).
2.(铜仁印江县期末)如图，点D，E，F分别在△ABC的三条边上，DE∥AB，∠1＋∠2＝180°.
(1)试说明：DF∥AC；
(2)若∠1＝100°，DF平分∠BDE，求∠C的度数.
解：(1)因为DE∥AB，
所以∠A＝∠2.
因为∠1＋∠2＝180°，
所以∠1＋∠A＝180°，
所以DF∥AC.
(2)因为DE∥AB，∠1＝100°，
所以∠FDE＝180°－∠1＝80°.
因为DF平分∠BDE，
所以∠FDB＝∠FDE＝80°.
因为DF∥AC，
所以∠C＝∠FDB＝80°.
3.如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3＋60°，∠CBD＝70°.
(1)试说明：AB∥CD；
(2)求∠C的度数.
解：(1)因为AE⊥BC，
FG⊥BC，
所以AE∥GF，
所以∠2＝∠A.
因为∠1＝∠2，
所以∠1＝∠A，
所以AB∥CD.
(2)由(1)知AB∥CD，
所以∠D＋∠CBD＋∠3＝180°，∠C＝∠3.
因为∠D＝∠3＋60°，∠CBD＝70°，
所以2∠3＋130°＝180°，
所以∠3＝25°，
所以∠C＝∠3＝25°.
4.(遵义红花岗区期末)如图，已知点E，F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG相交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD.
(1)试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由；
(2)若∠EHF＝80°，∠D＝30°，求∠AEM的度数.
解：(1)∠AED＋∠D＝180°.
理由如下：
因为∠CED＝∠GHD，
所以CE∥GF，
所以∠C＝∠FGD.
因为∠C＝∠EFG，所以∠FGD＝∠EFG，
所以AB∥CD，所以∠AED＋∠D＝180°.
(2)由(1)知CE∥GF，AB∥CD，
所以∠CED＝∠EHF＝80°，∠DEB＝∠D＝30°，
所以∠CEB＝∠CED＋∠DEB＝110°，
所以∠AEM＝∠CEB＝110°.
5.如图，AB∥DC，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点，且∠DEF＝∠A.
(1)试说明：FE∥OC；
(2)若∠BOC比∠DFE大20°，求∠OFE的度数.
解：(1)因为AB∥DC，
所以∠C＝∠A.
因为∠DEF＝∠A，
所以∠DEF＝∠C，
所以FE∥OC.
(2)由(1)知FE∥OC，
所以∠DFE＝∠DOC.
因为∠BOC＋∠DOC＝180°，
所以∠BOC＋∠DFE＝180°.
因为∠BOC－∠DFE＝20°，
解得∠DFE＝80°，
所以∠OFE＝180°－∠DFE＝100°.
6.(毕节织金县期末)如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABD，交AD于点E.
(1)试说明：∠1＝∠3；
(2)若AD⊥BD于点D，∠CDA＝28°，求∠3的度数.
解：(1)因为BC平分∠ABD，所以∠1＝∠2.
因为AB∥CD，所以∠2＝∠3，
所以∠1＝∠3.
(2)因为AD⊥BD，
所以∠ADB＝90°.
因为∠CDA＝28°，
所以∠CDB＝∠CDA＋∠ADB＝28°＋90°＝118°.
因为AB∥CD，所以∠ABD＋∠CDB＝180°，
所以∠ABD＝180°－∠CDB＝62°.
因为BC平分∠ABD，
所以∠1＝∠2＝∠ABD＝×62°＝31°.
由(1)知∠1＝∠3，所以∠3＝31°.
7.(铜仁碧江区期末)如图1，点C，D在直线AB上，∠ACE＋∠BDF＝180°，EF∥AB.
(1)试说明：CE∥DF；
(2)如图2，∠DFE的平分线FG交AB于点G，过点F作FM⊥FG，交CE的延长线于点M.若∠CMF＝55°，求∠CDF的度数.
图1 图2
解：(1)因为∠ACE＋∠BDF＝180°，∠ACE＋∠BCE＝180°，
所以∠BDF＝∠BCE，
所以CE∥DF.
(2)由(1)知CE∥DF，
所以∠CMF＋∠DFM＝180°，
所以∠DFM＝180°－∠CMF＝125°.
因为FM⊥FG，
所以∠GFM＝90°，
所以∠DFG＝∠DFM－∠GFM＝35°.
因为FG是∠DFE的平分线，
所以∠DFE＝2∠DFG＝70°.
因为EF∥AB，
所以∠CDF＋∠DFE＝180°，
所以∠CDF＝180°－∠DFE＝110°.
期末复习四 概率的计算
1.在一个不透明的袋子中装有5个红球和10个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一个球.
(1)求摸出的球是红球的概率；
(2)为了使摸出两种球的概率相同，再放进9个同样的红球或黄球，那么这9个球中红球和黄球的数量分别应是多少？
解：(1)因为袋子中装有5个红球和10个黄球，
所以摸出的球是红球的概率是＝.
(2)设放入红球x个，则放入黄球(9－x)个.
由题意，得5＋x＝10＋9－x，
解得x＝7，则9－x＝2.
答：这9个球中红球有7个，黄球有2个.
2.甲、乙两人玩“锤子”“石头”“剪刀”“布”游戏，他们在不透明的袋子中放入形状、大小均相同的15张卡片，其中写有“锤子”“石头”“剪刀”“布”的卡片张数分别为2，3，4，6.两人各随机摸出一张卡片(先摸者不放回)来比胜负，并约定：“锤子”胜“石头”和“剪刀”，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“锤子”和“石头”，同种卡片不分胜负.
(1)若甲先摸，则他摸出“石头”的概率是多少？
(2)若甲先摸出了“石头”，则乙获胜的概率是多少？
解：(1)甲摸出“石头”的概率是＝.
(2)因为甲先摸出了“石头”，则乙摸出“锤子”或“布”才能获胜，
所以乙获胜的概率是＝.
3.(毕节织金县期末)某商场为了吸引顾客，设立了一个如图所示可以自由转动的转盘，并规定：顾客每购买200元的商品就能获得一次转动转盘的机会.如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以获得100元、50元、20元的购物券(转盘被等分成20个扇形)，已知甲顾客购物220元.
(1)他获得购物券的概率是多少？
(2)他获得100元、50元、20元购物券的概率分别是多少？
(3)若要让获得20元购物券的概率变为，则转盘的颜色应怎样修改？(直接写出修改方案即可)
解：(1)因为转盘被分成20等份，其中满足条件的有11份，
所以P(获得购物券)＝.
(2)因为转盘被分成20等份，其中获得100元购物券的有2种，获得50元购物券的有4种，获得20元购物券的有5种，
所以P(获得100元购物券)＝＝；
P(获得50元购物券)＝＝；
P(获得20元购物券)＝＝.
(3)将3个无色扇形涂为黄色.(答案不唯一)
期末复习五 与三角形有关的角度计算
1.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点E，DC⊥BC，垂足为C，∠D＝70°，∠AED＝130°，求∠A的度数.
解：因为DC⊥BC，
所以∠BCD＝90°.
因为∠D＝70°，
所以∠CBD＝180°－∠D－∠BCD＝20°.
因为BD平分∠ABC，
所以∠ABE＝∠CBD＝20°.
因为∠AED＝130°，
所以∠AEB＝180°－∠AED＝50°，
所以∠A＝180°－∠ABE－∠AEB＝110°.
2.如图，AD平分∠BAC，F是AD反向延长线上的一点，EF⊥BC，∠1＝40°，∠C＝65°.求∠B和∠F的度数.
解：因为AD平分∠BAC，
所以∠BAC＝2∠1＝80°.
因为∠C＝65°，
所以∠B＝180°－∠BAC－∠C＝
35°，
所以∠ADB＝180°－∠B－∠1＝105°，
所以∠EDF＝180°－∠ADB＝75°.
因为EF⊥BC，
所以∠DEF＝90°，
所以∠F＝180°－∠DEF－∠EDF＝15°.
3.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠B＝62°，∠C＝58°.
(1)求∠BAD的度数；
(2)若DE⊥AC于点E，求∠ADE的度数.
解：(1)因为∠B＝62°，∠C＝58°，
所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝60°.
因为AD是∠BAC的平分线，
所以∠BAD＝∠BAC＝30°.
(2)由(1)得∠CAD＝∠BAC＝30°.
因为DE⊥AC，
所以∠AED＝90°，
所以∠ADE＝90°－∠CAD＝60°.
4.(贵阳南明区期末)如图，在△ABC中，∠B＝25°，∠BAC＝31°，过点A作边BC上的高，交BC的延长线于点D，CE平分∠ACD，交AD于点E.
(1)求∠ACD的度数；
(2)求∠AEC的度数.
解：(1)因为∠B＝25°，∠BAC＝31°，
所以∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝124°，
所以∠ACD＝180°－∠ACB＝56°.
(2)由(1)知∠ACD＝56°.
因为AD⊥BD，
所以∠D＝90°，
所以∠CAD＝90°－∠ACD＝34°.
因为CE平分∠ACD，
所以∠ACE＝∠ACD＝28°，
所以∠AEC＝180°－∠ACE－∠CAD＝118°.
5.(遵义绥阳县期末)如图，在△ABC中，∠ACB＝110°，E为△ABC外一点，连接AE，CE，CD平分∠ACB，交AE于点D，且∠CDE＝75°.
(1)求∠DAC的度数；
(2)若CE＝CA，求∠DCE的度数.
解：(1)因为CD平分∠ACB，
所以∠ACD＝∠ACB＝55°.
因为∠CDE＝75°，
所以∠ADC＝180°－∠CDE＝105°，
所以∠DAC＝180°－∠ADC－∠ACD＝20°.
(2)由(1)知∠DAC＝20°.
因为CE＝CA，
所以∠E＝∠DAC＝20°，
所以∠DCE＝180°－∠CDE－∠E＝85°.
6.如图，∠MON＝90°，点A，B分别在OM，ON上，AE平分∠MAB，BE平分∠ABN.当点A，B在OM，ON上的位置变化时，∠E的大小是否变化？若不变，请说明理由；若变化，请求出变化范围.
解：∠E的大小保持不变，等于45°.理由如下：
因为∠MON＝90°，
所以∠OAB＋∠OBA＝90°.
因为∠OAB＋∠MAB＝180°，∠OBA＋∠ABN＝180°，
所以∠MAB＋∠ABN＝270°.
因为AE，BE分别平分∠MAB和∠ABN，
所以∠EAB＝∠MAB，∠EBA＝∠ABN，
所以∠EAB＋∠EBA＝(∠MAB＋∠ABN)＝135°，
所以∠E＝180°－(∠EAB＋∠EBA)＝45°，
所以∠E的大小保持不变，等于45°.
7.(毕节七星关区期末)如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC.
(1)如图1，若AE⊥BC于点E，∠C＝35°，求∠DAE的度数；
(2)如图2，P为CB延长线上一点，过点P作PF⊥AD于点F，试说明：∠P＝(∠ABC－∠C).
图1 图2
解：(1)因为∠ABC＝2∠C，∠C＝35°，
所以∠ABC＝70°，
所以∠BAC＝180°－(∠ABC＋∠C)＝75°.
因为AD平分∠BAC，
所以∠BAD＝∠BAC＝37.5°.
因为AE⊥BC，
所以∠AEB＝90°，
所以∠BAE＝90°－∠ABC＝20°，
所以∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝17.5°.
(2)因为AD平分∠BAC，
所以∠CAD＝∠BAC＝(180°－∠ABC－∠C).
因为∠ADP＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠C＋∠CAD＝180°，
所以∠PDF＝∠C＋∠CAD＝∠C＋(180°－∠ABC－∠C).
因为PF⊥AD，
所以∠PFD＝90°，
所以∠P＝90°－∠PDF＝90°－[∠C＋(180°－∠ABC－∠C)]＝(∠ABC－∠C).
期末复习六 全等三角形的判定与性质
1.(黔西南州期末)如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB∥DE，BC∥EF，AB＝DE.
(1)试说明：△ABC≌△DEF；
(2)若AF＝5，CF＝4，求AD的长.
解：(1)因为AB∥DE，BC∥EF，
所以∠A＝∠D，∠ACB＝∠DFE.
在△ABC和△DEF中，
因为∠A＝∠D，∠ACB＝∠DFE，AB＝DE，
所以△ABC≌△DEF(AAS).
(2)由(1)知△ABC≌△DEF，
所以AC＝DF，
所以AC－CF＝DF－CF，即CD＝AF＝5，
所以AD＝AF＋CF＋CD＝5＋4＋5＝14.
2.(铜仁万山区期末)如图，在△ABC中，D为BC上一点，E为△ABC外一点，DE交AC于点O，AC＝AE，AD＝AB，∠BAC＝∠DAE.
(1)试说明：△ABC≌△ADE；
(2)若∠BAD＝20°，求∠CDE的度数.
解：(1)在△ABC和△ADE中，
因为AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，AC＝AE，
所以△ABC≌△ADE(SAS).
(2)因为∠BAC＝∠DAE，
所以∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD，
所以∠CAE＝∠BAD＝20°.
由(1)知△ABC≌△ADE，
所以∠E＝∠C.
因为∠AOE＝∠DOC，
所以∠CDE＝∠CAE＝20°.
3.(遵义红花岗区期末)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AC，E是BD上一点，且∠ABD＝∠ACD，∠BAC＝∠EAD.
(1)试说明：AE＝AD；
(2)若BD＝8，CD＝5，求ED的长.
解：(1)因为∠BAC＝∠EAD，
所以∠BAC－∠EAC＝∠EAD－∠EAC，
即∠BAE＝∠CAD.
在△ABE和△ACD中，
因为∠ABE＝∠ACD，AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，
所以△ABE≌△ACD(ASA)，
所以AE＝AD.
(2)由(1)知△ABE≌△ACD，
所以BE＝CD＝5，
所以ED＝BD－BE＝8－5＝3.
4.(黔南州长顺县期末)如图，点E在CD上，BC与AE相交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2.
(1)试说明：AE＝CD；
(2)若∠1＝63°，求∠3的度数.
解：(1)因为∠1＝∠2，
所以∠1＋∠CBE＝∠2＋∠CBE，
即∠ABE＝∠CBD.
在△ABE和△CBD中，
因为AB＝CB，∠ABE＝∠CBD，BE＝BD，
所以△ABE≌△CBD(SAS)，
所以AE＝CD.
(2)因为∠2＝∠1＝63°，BE＝BD，
所以∠BED＝∠D＝×(180°－∠2)＝58.5°.
由(1)知△ABE≌△CBD，
所以∠AEB＝∠D＝58.5°，
所以∠3＝180°－∠AEB－∠BED＝63°.
5.如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，BE平分∠ABC，连接AE.若AD＝AE，∠DAE＝∠CAB.
(1)试说明：△ADC≌△AEB；
(2)若∠CAB＝36°，试说明：CD∥AB.
解：(1)因为∠DAE＝∠CAB，
所以∠DAE－∠CAE＝∠CAB－∠CAE，
即∠DAC＝∠EAB.
在△ADC和△AEB中，
因为AD＝AE，∠DAC＝∠EAB，AC＝AB，
所以△ADC≌△AEB(SAS).
(2)因为AB＝AC，∠CAB＝36°，
所以∠ABC＝∠ACB＝(180°－∠CAB)＝72°.
因为BE平分∠ABC，
所以∠EBA＝∠ABC＝36°.
由(1)知△ADC≌△AEB，
所以∠DCA＝∠EBA＝36°，
所以∠DCA＝∠CAB，
所以CD∥AB.
6.(安顺西秀区期末)如图，AB∥CD，AB＝CD，AD，BC相交于点O，BE∥CF，BE，CF分别交AD于点E，F.
(1)试说明：△ABO≌△DCO；
(2)试说明：BE＝CF.
解：(1)因为AB∥CD，
所以∠A＝∠D，∠ABO＝∠DCO.
在△ABO和△DCO中，
因为∠A＝∠D，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO，
所以△ABO≌△DCO(ASA).
(2)由(1)知△ABO≌△DCO，
所以OB＝OC.
因为BE∥CF，
所以∠OBE＝∠OCF，∠OEB＝∠OFC.
在△OBE和△OCF中，因为∠OBE＝∠OCF，∠OEB＝∠OFC，OB＝OC，
所以△OBE≌△OCF(AAS)，
所以BE＝CF.
7.在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，D为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CE＝BD，连接AD，DE，AE.
(1)如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，求∠ADE的度数；
(2)如图2，当点D落在线段BC上(不与点B，C重合)时，AC与DE相交于点F，请问(1)中的∠ADE的度数是否会改变？请说明理由.
图1 图2
解：(1)因为AB＝AC，
所以∠ACB＝∠B.
因为∠ACM＝∠ACB，
所以∠ACM＝∠B.
因为CE＝BD，
所以△ABD≌△ACE(SAS)，
所以∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
所以∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，
所以∠DAE＝∠BAC＝90°，
所以∠ADE＝(180°－∠DAE)＝45°.
(2)不变.
理由如下：
同(1)可得△ABD≌△ACE(SAS)，
所以AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
所以∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，
所以∠DAE＝∠BAC＝90°，
所以∠ADE＝(90°－∠DAE)＝45°.
期末复习七 等腰三角形的性质
1.如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB＝AC，∠CAD＝20°，求∠AEC的度数.
解：因为AD是△ABC的中线，AB＝AC，
所以∠CAB＝2∠CAD＝40°，
所以∠ACB＝(180°－∠CAB)＝70°.
因为CE是△ABC的角平分线，
所以∠ACE＝∠ACB＝35°，
所以∠AEC＝180°－∠BAC－∠ACE＝105°.
2.如图，△BCD，△ACE都是等边三角形，试说明：BE＝AD.
解：因为△BCD和△ACE都是等边三角形，
所以∠BCD＝∠ACE＝60°，BC＝DC，EC＝AC，
所以∠BCD＋∠ACB＝∠ACE＋∠ACB，
即∠BCE＝∠DCA.
在△BCE和△DCA中，
因为BC＝DC，∠BCE＝∠DCA，EC＝AC，
所以△BCE≌△DCA(SAS)，
所以BE＝AD.
3.如图，在△ABC中，AB＝BD＝DC，∠ABC＝105°，求∠A，∠C的度数.
解：因为BD＝DC，
所以∠C＝∠CBD.
设∠C＝∠CBD＝x，
则∠BDC＝180°－∠B－∠C＝180°－2x，
所以∠BDA＝180°－∠BDC＝2x.
因为AB＝BD，
所以∠A＝∠BDA＝2x，
所以∠ABD＝180°－∠A－∠BDA＝180°－4x，
所以∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝180°－4x＋x＝105°，
解得x＝25°，
所以∠A＝2x＝50°，∠C＝25°.
4.(贵阳乌当区期末)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线.以点A为圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF.
(1)试说明：△ADE≌△ADF；
(2)若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数.
解：(1)因为AD是△ABC的角平分线，
所以∠BAD＝∠CAD.
由作图知AE＝AF.
在△ADE和△ADF中，
因为AE＝AF，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，
所以△ADE≌△ADF(SAS).
(2)因为∠BAC＝80°，AD为△ABC的角平分线，所以∠EAD＝∠BAC＝40°.
由作图知AE＝AD，
所以∠ADE＝∠AED＝(180°－∠EAD)＝70°.
因为AB＝AC，AD为△ABC的角平分线，
所以AD⊥BC，
所以∠BDE＝90°－∠ADE＝20°.
5.(毕节赫章县期末)如图，在△ABC中，D是边BC上一点，AD＝BD＝AC，∠BAC＝63°，AE是△ACD的中线，求∠DAE的度数.
解：因为AD＝BD＝AC，
所以∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C.因为∠ADB＋∠ADC＝180°，∠ADB＋∠B＋∠BAD＝180°，所以∠ADC＝∠B＋∠BAD＝2∠B，
所以∠C＝2∠B.
因为∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，
所以∠C＋∠C＋63°＝180°，所以∠C＝78°，
所以∠DAC＝180°－∠C－∠ADC＝180°－2∠C＝24°.
因为AE是△ACD的中线，
所以∠DAE＝∠DAC＝12°.
6.(铜仁石阡县期末)如图，在△ABC中，∠ACB＝120，边AC的垂直平分线DE与AC，AB分别交于点D和点E.
(1)作出边AC的垂直平分线DE；
(2)当AE＝BC时，求∠A的度数.
解：(1)如图，DE即为所求作的边AC的垂直平分线.
(2)连接CE.
因为DE是AC的垂直平分线，
所以AE＝CE，所以∠A＝∠ACE.
因为AE＝BC，
所以CE＝BC，所以∠B＝∠CEB.
设∠A＝x，则∠ACE＝x，
所以∠AEC＝180°－∠A－∠ACE＝180°－2x，
所以∠CEB＝180°－∠AEC＝2x，
所以∠BCE＝180°－∠B－∠CEB＝180°－2∠B＝180°－4x，
所以∠ACB＝∠ACE＋∠BCE＝x＋180°－4x＝120°，
解得x＝20°，即∠A＝20°.
7.如图，在△ABC中，AB＝AC，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交CB于点E，连接AE.
图1 图2
(1)如图1，当点E在边CB上时，若∠BAE＝15°，求∠ABC的度数；
(2)如图2，当点E在CB的延长线上时，设∠EAB＝m°，用含m的式子表示∠ABC的度数.
解：(1)因为DE垂直平分AC，
所以EA＝EC，
所以∠C＝∠EAC.
因为AB＝AC，
所以∠B＝∠C，
所以设∠B＝∠C＝∠EAC＝x°，
则∠BAC＝∠EAC＋∠BAE＝x°＋15°.
在△ABC中，∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，
所以x＋x＋x＋15＝180，
解得x＝55，
所以∠B＝55°.
(2)由(1)知∠ABC＝∠C＝∠EAC.
设∠EAC＝y°，
则∠BAC＝∠EAC－∠EAB＝(y－m)°.
因为∠BAC＋∠C＋∠ABC＝180°，
所以y－m＋y＋y＝180，
解得y＝60＋，即∠ABC＝60°＋.
期末复习八 图象应用题
1.小明栽种了一棵20 cm高的玉米苗，它的生长高度y(cm)与时间x(天)之间的关系图象如图所示(BC∥x轴).
(1)这棵玉米从栽种开始到 70 天以后停止长高；
(2)这棵玉米从栽种开始到第85天共长高了多少厘米？
解：(75－20)÷25×70＝154(cm).
答：这棵玉米从栽种开始到第85天共长高了154 cm.
2.小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程s(m)和所用时间t(min)的关系图.
(1)小明跑步的速度是 120 m/min；
(2)小华乘坐公共汽车多少分钟到达小明吃早餐的地方？
解：1 200÷(14－8)＝200(m/min)，
480÷200＝2.4(min).
答：小华乘坐公共汽车2.4 min到达小明吃早餐的地方.
3.小明在游乐场坐过山车，某一分钟内过山车高度h(m)与时间t(s)之间的函数图象如图所示.请结合图象解答：
(1)①当t＝41 s时，h的值是多少？并说明它的实际意义；
②过山车所达到的最大高度是多少？
(2)请描述30 s后，高度h(m)随时间t(s)的变化情况.
解：(1)①当t＝41 s时，h的值是15 m.
它的实际意义为当时间为41 s时，过山车的高度为15 m.
②过山车所达到的最大高度为98 m.
(2)当304.(毕节金沙县期末)小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家.以下是她本次去舅舅家所用的时间与离家的距离的关系示意图，根据图中提供的信息解答下列问题：
(1)小红家与舅舅家的距离是 1 500 m，小红在商店停留了 4 min.
(2)在整个去舅舅家的途中，哪个时间段小红骑车速度最快？最快的速度是多少？
(3)本次去舅舅家的行程中，小红一共骑行了多少米？一共骑行了多少分钟？
解：(2)由图象可知，小红在12～14 min骑车速度最快，
最快的速度是＝450(m/min).
(3)1 200＋(1 200－600)＋(1 500－600)＝2 700(m)，
14－4＝10(min).
答：小红一共骑行了2 700 m，10 min.
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2025春北师大版七下数学期末8大高频考点押题
目录
一 整式的化简与求值
二 乘法公式的运用
三 平行线的判定与性质
四 概率的计算
五 与三角形有关的角度计算
六 全等三角形的判定与性质
七 等腰三角形的性质
八 图象应用题
一 整式的化简与求值
1.计算：
(1)(12x2y3－8x3y2)÷4x2y2；
解：原式＝3y－2x.
(2)2a3b2·(－3a3b＋2ab－ab2)；
解：原式＝－6a6b3＋4a4b3－2a4b4.
(3)2(2m－1)(m＋4)－3m(m－5)；
解：原式＝2(2m2＋8m－m－4)－3m2＋15m
＝4m2＋14m－8－3m2＋15m
＝m2＋29m－8.
(4)4a3(ab－b2)－5a2b(2a2－3ab＋1)；
解：原式＝6a4b－4a3b2－10a4b＋15a3b2－5a2b
＝－4a4b＋11a3b2－5a2b.
(5)(－2＋y)(y＋2)－(y－1)(y＋5)；
解：原式＝y2－4－(y2＋5y－y－5)
＝y2－4－y2－4y＋5
＝－4y＋1.
(6)(x－1)2＋(x＋2)(x－2)；
解：原式＝x2＋1－2x＋x2－4
＝2x2－2x－3.
(7)(2a－b＋3c)(2a＋b－3c).
解：原式＝(2a)2－(b－3c)2
＝4a2－(b2－6bc＋9c2)
＝4a2－b2＋6bc－9c2.
2.先化简，再求值：
(1)(毕节大方县期末)(x－2)2－(2x＋1)·(2x－1)＋3x(x－1)，再选取一个你喜欢的数代替x求值；
解：原式＝x2－4x＋4－(4x2－1)＋3x2－3x
＝x2－4x＋4－4x2＋1＋3x2－3x
＝－7x＋5.
答案不唯一.如：选x＝1，
此时原式＝－7×1＋5＝－2.
(2)[(3a＋b)2－(b＋3a)(3a－b)－6b2]÷(－2b)，其中a，b满足3a－2b＝2 025；
解：原式＝(9a2＋6ab＋b2－9a2＋b2－6b2)÷(－2b)
＝(－4b2＋6ab)÷(－2b)
＝2b－3a.
当3a－2b＝2 025时，
原式＝－(3a－2b)＝－2 025.
(3)(贵阳云岩区期末)(m－n)2＋m(m＋n)－(2m－n)(m＋n)，其中m，n满足2(m－1)2＋|n＋2|＝0.
解：原式＝m2－2mn＋n2＋m2＋mn－(2m2＋2mn－mn－n2)
＝m2－mn＋n2＋m2－2m2－mn＋n2
＝－2mn＋2n2.
因为2(m－1)2＋|n＋2|＝0，
所以m－1＝0，n＋2＝0，
所以m＝1，n＝－2.
当m＝1，n＝－2时，
原式＝－2×1×(－2)＋2×(－2)2＝12.
期末复习二 乘法公式的运用
1.用简便方法计算：
(1)99×(－100)；
解：原式＝(100－)×(－100－)
＝
＝－10 000
＝－9 999.
(2)299×602＋2；
解：原式＝2(300－1)(300＋1)＋2
＝2×(90 000－1)＋2
＝180 000.
(3)1 0012＋9992；
解：原式＝(1 000＋1)2＋(1 000－1)2
＝1 0002＋2 000＋1＋1 0002－2 000＋1
＝2×1 0002＋2
＝2 000 002.
(4)101×99－99.52.
解：原式＝(100＋1)×(100－1)－(100－)2
＝1002－12－(1002－100＋)
＝1002－1－1002＋100－
＝98.
2.(铜仁万山区期末)已知x＋y＝3，xy＝－7，求下列各式的值：
(1)x2＋xy＋y2；
(2)(x－y)2.
解：因为x＋y＝3，
所以(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy＝9.
因为xy＝－7，所以x2＋y2＝23.
(1)原式＝23－7＝16.
(2)原式＝x2－2xy＋y2＝23＋14＝37.
3.(贵阳观山湖区期末)已知x2＋y2＝25，x＋y＝7.
(1)求xy的值；
(2)若y>x，求x－y的值.
解：(1)xy＝[(x＋y)2－(x2＋y2)]＝×(72－25)＝12.
(2)(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝72－4×12＝1.
因为y>x，
所以x－y<0，
所以x－y＝－1.
4.已知a－b＝2，ab＝3，求a4＋b4的值.
解：因为(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝4，
所以a2＋b2＝4＋2×3＝10.
因为(a2＋b2)2＝a4＋b4＋2a2b2＝100，
所以a4＋b4＝100－2×32＝82.
期末复习三 平行线的判定与性质
1.如图，EF⊥BC，∠1＝∠C，∠2＋∠3＝180°.试说明：∠ADC＝90°.请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据.
解：因为∠1＝∠C(已知)，
所以GD∥ AC ( 同位角相等，两直线平行 )，
所以∠2＝∠DAC( 两直线平行，内错角相等 ).
因为∠2＋∠3＝180°(已知)，
所以∠DAC＋∠3＝180°(等量代换)，
所以AD∥EF( 同旁内角互补，两直线平行 )，
所以∠ADC＝∠ EFC ( 两直线平行，同位角相等 ).
因为EF⊥BC(已知)，
所以∠EFC＝90°( 垂直的定义 )，
所以∠ADC＝90°(等量代换).
2.(铜仁印江县期末)如图，点D，E，F分别在△ABC的三条边上，DE∥AB，∠1＋∠2＝180°.
(1)试说明：DF∥AC；
(2)若∠1＝100°，DF平分∠BDE，求∠C的度数.
解：(1)因为DE∥AB，
所以∠A＝∠2.
因为∠1＋∠2＝180°，
所以∠1＋∠A＝180°，
所以DF∥AC.
(2)因为DE∥AB，∠1＝100°，
所以∠FDE＝180°－∠1＝80°.
因为DF平分∠BDE，
所以∠FDB＝∠FDE＝80°.
因为DF∥AC，
所以∠C＝∠FDB＝80°.
3.如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3＋60°，∠CBD＝70°.
(1)试说明：AB∥CD；
(2)求∠C的度数.
解：(1)因为AE⊥BC，
FG⊥BC，
所以AE∥GF，
所以∠2＝∠A.
因为∠1＝∠2，
所以∠1＝∠A，
所以AB∥CD.
(2)由(1)知AB∥CD，
所以∠D＋∠CBD＋∠3＝180°，∠C＝∠3.
因为∠D＝∠3＋60°，∠CBD＝70°，
所以2∠3＋130°＝180°，
所以∠3＝25°，
所以∠C＝∠3＝25°.
4.(遵义红花岗区期末)如图，已知点E，F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG相交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD.
(1)试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由；
(2)若∠EHF＝80°，∠D＝30°，求∠AEM的度数.
解：(1)∠AED＋∠D＝180°.
理由如下：
因为∠CED＝∠GHD，
所以CE∥GF，
所以∠C＝∠FGD.
因为∠C＝∠EFG，所以∠FGD＝∠EFG，
所以AB∥CD，所以∠AED＋∠D＝180°.
(2)由(1)知CE∥GF，AB∥CD，
所以∠CED＝∠EHF＝80°，∠DEB＝∠D＝30°，
所以∠CEB＝∠CED＋∠DEB＝110°，
所以∠AEM＝∠CEB＝110°.
5.如图，AB∥DC，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点，且∠DEF＝∠A.
(1)试说明：FE∥OC；
(2)若∠BOC比∠DFE大20°，求∠OFE的度数.
解：(1)因为AB∥DC，
所以∠C＝∠A.
因为∠DEF＝∠A，
所以∠DEF＝∠C，
所以FE∥OC.
(2)由(1)知FE∥OC，
所以∠DFE＝∠DOC.
因为∠BOC＋∠DOC＝180°，
所以∠BOC＋∠DFE＝180°.
因为∠BOC－∠DFE＝20°，
解得∠DFE＝80°，
所以∠OFE＝180°－∠DFE＝100°.
6.(毕节织金县期末)如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABD，交AD于点E.
(1)试说明：∠1＝∠3；
(2)若AD⊥BD于点D，∠CDA＝28°，求∠3的度数.
解：(1)因为BC平分∠ABD，所以∠1＝∠2.
因为AB∥CD，所以∠2＝∠3，
所以∠1＝∠3.
(2)因为AD⊥BD，
所以∠ADB＝90°.
因为∠CDA＝28°，
所以∠CDB＝∠CDA＋∠ADB＝28°＋90°＝118°.
因为AB∥CD，所以∠ABD＋∠CDB＝180°，
所以∠ABD＝180°－∠CDB＝62°.
因为BC平分∠ABD，
所以∠1＝∠2＝∠ABD＝×62°＝31°.
由(1)知∠1＝∠3，所以∠3＝31°.
7.(铜仁碧江区期末)如图1，点C，D在直线AB上，∠ACE＋∠BDF＝180°，EF∥AB.
(1)试说明：CE∥DF；
(2)如图2，∠DFE的平分线FG交AB于点G，过点F作FM⊥FG，交CE的延长线于点M.若∠CMF＝55°，求∠CDF的度数.
图1 图2
解：(1)因为∠ACE＋∠BDF＝180°，∠ACE＋∠BCE＝180°，
所以∠BDF＝∠BCE，
所以CE∥DF.
(2)由(1)知CE∥DF，
所以∠CMF＋∠DFM＝180°，
所以∠DFM＝180°－∠CMF＝125°.
因为FM⊥FG，
所以∠GFM＝90°，
所以∠DFG＝∠DFM－∠GFM＝35°.
因为FG是∠DFE的平分线，
所以∠DFE＝2∠DFG＝70°.
因为EF∥AB，
所以∠CDF＋∠DFE＝180°，
所以∠CDF＝180°－∠DFE＝110°.
期末复习四 概率的计算
1.在一个不透明的袋子中装有5个红球和10个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一个球.
(1)求摸出的球是红球的概率；
(2)为了使摸出两种球的概率相同，再放进9个同样的红球或黄球，那么这9个球中红球和黄球的数量分别应是多少？
解：(1)因为袋子中装有5个红球和10个黄球，
所以摸出的球是红球的概率是＝.
(2)设放入红球x个，则放入黄球(9－x)个.
由题意，得5＋x＝10＋9－x，
解得x＝7，则9－x＝2.
答：这9个球中红球有7个，黄球有2个.
2.甲、乙两人玩“锤子”“石头”“剪刀”“布”游戏，他们在不透明的袋子中放入形状、大小均相同的15张卡片，其中写有“锤子”“石头”“剪刀”“布”的卡片张数分别为2，3，4，6.两人各随机摸出一张卡片(先摸者不放回)来比胜负，并约定：“锤子”胜“石头”和“剪刀”，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“锤子”和“石头”，同种卡片不分胜负.
(1)若甲先摸，则他摸出“石头”的概率是多少？
(2)若甲先摸出了“石头”，则乙获胜的概率是多少？
解：(1)甲摸出“石头”的概率是＝.
(2)因为甲先摸出了“石头”，则乙摸出“锤子”或“布”才能获胜，
所以乙获胜的概率是＝.
3.(毕节织金县期末)某商场为了吸引顾客，设立了一个如图所示可以自由转动的转盘，并规定：顾客每购买200元的商品就能获得一次转动转盘的机会.如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以获得100元、50元、20元的购物券(转盘被等分成20个扇形)，已知甲顾客购物220元.
(1)他获得购物券的概率是多少？
(2)他获得100元、50元、20元购物券的概率分别是多少？
(3)若要让获得20元购物券的概率变为，则转盘的颜色应怎样修改？(直接写出修改方案即可)
解：(1)因为转盘被分成20等份，其中满足条件的有11份，
所以P(获得购物券)＝.
(2)因为转盘被分成20等份，其中获得100元购物券的有2种，获得50元购物券的有4种，获得20元购物券的有5种，
所以P(获得100元购物券)＝＝；
P(获得50元购物券)＝＝；
P(获得20元购物券)＝＝.
(3)将3个无色扇形涂为黄色.(答案不唯一)
期末复习五 与三角形有关的角度计算
1.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点E，DC⊥BC，垂足为C，∠D＝70°，∠AED＝130°，求∠A的度数.
解：因为DC⊥BC，
所以∠BCD＝90°.
因为∠D＝70°，
所以∠CBD＝180°－∠D－∠BCD＝20°.
因为BD平分∠ABC，
所以∠ABE＝∠CBD＝20°.
因为∠AED＝130°，
所以∠AEB＝180°－∠AED＝50°，
所以∠A＝180°－∠ABE－∠AEB＝110°.
2.如图，AD平分∠BAC，F是AD反向延长线上的一点，EF⊥BC，∠1＝40°，∠C＝65°.求∠B和∠F的度数.
解：因为AD平分∠BAC，
所以∠BAC＝2∠1＝80°.
因为∠C＝65°，
所以∠B＝180°－∠BAC－∠C＝
35°，
所以∠ADB＝180°－∠B－∠1＝105°，
所以∠EDF＝180°－∠ADB＝75°.
因为EF⊥BC，
所以∠DEF＝90°，
所以∠F＝180°－∠DEF－∠EDF＝15°.
3.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠B＝62°，∠C＝58°.
(1)求∠BAD的度数；
(2)若DE⊥AC于点E，求∠ADE的度数.
解：(1)因为∠B＝62°，∠C＝58°，
所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝60°.
因为AD是∠BAC的平分线，
所以∠BAD＝∠BAC＝30°.
(2)由(1)得∠CAD＝∠BAC＝30°.
因为DE⊥AC，
所以∠AED＝90°，
所以∠ADE＝90°－∠CAD＝60°.
4.(贵阳南明区期末)如图，在△ABC中，∠B＝25°，∠BAC＝31°，过点A作边BC上的高，交BC的延长线于点D，CE平分∠ACD，交AD于点E.
(1)求∠ACD的度数；
(2)求∠AEC的度数.
解：(1)因为∠B＝25°，∠BAC＝31°，
所以∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝124°，
所以∠ACD＝180°－∠ACB＝56°.
(2)由(1)知∠ACD＝56°.
因为AD⊥BD，
所以∠D＝90°，
所以∠CAD＝90°－∠ACD＝34°.
因为CE平分∠ACD，
所以∠ACE＝∠ACD＝28°，
所以∠AEC＝180°－∠ACE－∠CAD＝118°.
5.(遵义绥阳县期末)如图，在△ABC中，∠ACB＝110°，E为△ABC外一点，连接AE，CE，CD平分∠ACB，交AE于点D，且∠CDE＝75°.
(1)求∠DAC的度数；
(2)若CE＝CA，求∠DCE的度数.
解：(1)因为CD平分∠ACB，
所以∠ACD＝∠ACB＝55°.
因为∠CDE＝75°，
所以∠ADC＝180°－∠CDE＝105°，
所以∠DAC＝180°－∠ADC－∠ACD＝20°.
(2)由(1)知∠DAC＝20°.
因为CE＝CA，
所以∠E＝∠DAC＝20°，
所以∠DCE＝180°－∠CDE－∠E＝85°.
6.如图，∠MON＝90°，点A，B分别在OM，ON上，AE平分∠MAB，BE平分∠ABN.当点A，B在OM，ON上的位置变化时，∠E的大小是否变化？若不变，请说明理由；若变化，请求出变化范围.
解：∠E的大小保持不变，等于45°.理由如下：
因为∠MON＝90°，
所以∠OAB＋∠OBA＝90°.
因为∠OAB＋∠MAB＝180°，∠OBA＋∠ABN＝180°，
所以∠MAB＋∠ABN＝270°.
因为AE，BE分别平分∠MAB和∠ABN，
所以∠EAB＝∠MAB，∠EBA＝∠ABN，
所以∠EAB＋∠EBA＝(∠MAB＋∠ABN)＝135°，
所以∠E＝180°－(∠EAB＋∠EBA)＝45°，
所以∠E的大小保持不变，等于45°.
7.(毕节七星关区期末)如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC.
(1)如图1，若AE⊥BC于点E，∠C＝35°，求∠DAE的度数；
(2)如图2，P为CB延长线上一点，过点P作PF⊥AD于点F，试说明：∠P＝(∠ABC－∠C).
图1 图2
解：(1)因为∠ABC＝2∠C，∠C＝35°，
所以∠ABC＝70°，
所以∠BAC＝180°－(∠ABC＋∠C)＝75°.
因为AD平分∠BAC，
所以∠BAD＝∠BAC＝37.5°.
因为AE⊥BC，
所以∠AEB＝90°，
所以∠BAE＝90°－∠ABC＝20°，
所以∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝17.5°.
(2)因为AD平分∠BAC，
所以∠CAD＝∠BAC＝(180°－∠ABC－∠C).
因为∠ADP＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠C＋∠CAD＝180°，
所以∠PDF＝∠C＋∠CAD＝∠C＋(180°－∠ABC－∠C).
因为PF⊥AD，
所以∠PFD＝90°，
所以∠P＝90°－∠PDF＝90°－[∠C＋(180°－∠ABC－∠C)]＝(∠ABC－∠C).
期末复习六 全等三角形的判定与性质
1.(黔西南州期末)如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB∥DE，BC∥EF，AB＝DE.
(1)试说明：△ABC≌△DEF；
(2)若AF＝5，CF＝4，求AD的长.
解：(1)因为AB∥DE，BC∥EF，
所以∠A＝∠D，∠ACB＝∠DFE.
在△ABC和△DEF中，
因为∠A＝∠D，∠ACB＝∠DFE，AB＝DE，
所以△ABC≌△DEF(AAS).
(2)由(1)知△ABC≌△DEF，
所以AC＝DF，
所以AC－CF＝DF－CF，即CD＝AF＝5，
所以AD＝AF＋CF＋CD＝5＋4＋5＝14.
2.(铜仁万山区期末)如图，在△ABC中，D为BC上一点，E为△ABC外一点，DE交AC于点O，AC＝AE，AD＝AB，∠BAC＝∠DAE.
(1)试说明：△ABC≌△ADE；
(2)若∠BAD＝20°，求∠CDE的度数.
解：(1)在△ABC和△ADE中，
因为AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，AC＝AE，
所以△ABC≌△ADE(SAS).
(2)因为∠BAC＝∠DAE，
所以∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD，
所以∠CAE＝∠BAD＝20°.
由(1)知△ABC≌△ADE，
所以∠E＝∠C.
因为∠AOE＝∠DOC，
所以∠CDE＝∠CAE＝20°.
3.(遵义红花岗区期末)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AC，E是BD上一点，且∠ABD＝∠ACD，∠BAC＝∠EAD.
(1)试说明：AE＝AD；
(2)若BD＝8，CD＝5，求ED的长.
解：(1)因为∠BAC＝∠EAD，
所以∠BAC－∠EAC＝∠EAD－∠EAC，
即∠BAE＝∠CAD.
在△ABE和△ACD中，
因为∠ABE＝∠ACD，AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，
所以△ABE≌△ACD(ASA)，
所以AE＝AD.
(2)由(1)知△ABE≌△ACD，
所以BE＝CD＝5，
所以ED＝BD－BE＝8－5＝3.
4.(黔南州长顺县期末)如图，点E在CD上，BC与AE相交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2.
(1)试说明：AE＝CD；
(2)若∠1＝63°，求∠3的度数.
解：(1)因为∠1＝∠2，
所以∠1＋∠CBE＝∠2＋∠CBE，
即∠ABE＝∠CBD.
在△ABE和△CBD中，
因为AB＝CB，∠ABE＝∠CBD，BE＝BD，
所以△ABE≌△CBD(SAS)，
所以AE＝CD.
(2)因为∠2＝∠1＝63°，BE＝BD，
所以∠BED＝∠D＝×(180°－∠2)＝58.5°.
由(1)知△ABE≌△CBD，
所以∠AEB＝∠D＝58.5°，
所以∠3＝180°－∠AEB－∠BED＝63°.
5.如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，BE平分∠ABC，连接AE.若AD＝AE，∠DAE＝∠CAB.
(1)试说明：△ADC≌△AEB；
(2)若∠CAB＝36°，试说明：CD∥AB.
解：(1)因为∠DAE＝∠CAB，
所以∠DAE－∠CAE＝∠CAB－∠CAE，
即∠DAC＝∠EAB.
在△ADC和△AEB中，
因为AD＝AE，∠DAC＝∠EAB，AC＝AB，
所以△ADC≌△AEB(SAS).
(2)因为AB＝AC，∠CAB＝36°，
所以∠ABC＝∠ACB＝(180°－∠CAB)＝72°.
因为BE平分∠ABC，
所以∠EBA＝∠ABC＝36°.
由(1)知△ADC≌△AEB，
所以∠DCA＝∠EBA＝36°，
所以∠DCA＝∠CAB，
所以CD∥AB.
6.(安顺西秀区期末)如图，AB∥CD，AB＝CD，AD，BC相交于点O，BE∥CF，BE，CF分别交AD于点E，F.
(1)试说明：△ABO≌△DCO；
(2)试说明：BE＝CF.
解：(1)因为AB∥CD，
所以∠A＝∠D，∠ABO＝∠DCO.
在△ABO和△DCO中，
因为∠A＝∠D，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO，
所以△ABO≌△DCO(ASA).
(2)由(1)知△ABO≌△DCO，
所以OB＝OC.
因为BE∥CF，
所以∠OBE＝∠OCF，∠OEB＝∠OFC.
在△OBE和△OCF中，因为∠OBE＝∠OCF，∠OEB＝∠OFC，OB＝OC，
所以△OBE≌△OCF(AAS)，
所以BE＝CF.
7.在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，D为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CE＝BD，连接AD，DE，AE.
(1)如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，求∠ADE的度数；
(2)如图2，当点D落在线段BC上(不与点B，C重合)时，AC与DE相交于点F，请问(1)中的∠ADE的度数是否会改变？请说明理由.
图1 图2
解：(1)因为AB＝AC，
所以∠ACB＝∠B.
因为∠ACM＝∠ACB，
所以∠ACM＝∠B.
因为CE＝BD，
所以△ABD≌△ACE(SAS)，
所以∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
所以∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，
所以∠DAE＝∠BAC＝90°，
所以∠ADE＝(180°－∠DAE)＝45°.
(2)不变.
理由如下：
同(1)可得△ABD≌△ACE(SAS)，
所以AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
所以∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，
所以∠DAE＝∠BAC＝90°，
所以∠ADE＝(90°－∠DAE)＝45°.
期末复习七 等腰三角形的性质
1.如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB＝AC，∠CAD＝20°，求∠AEC的度数.
解：因为AD是△ABC的中线，AB＝AC，
所以∠CAB＝2∠CAD＝40°，
所以∠ACB＝(180°－∠CAB)＝70°.
因为CE是△ABC的角平分线，
所以∠ACE＝∠ACB＝35°，
所以∠AEC＝180°－∠BAC－∠ACE＝105°.
2.如图，△BCD，△ACE都是等边三角形，试说明：BE＝AD.
解：因为△BCD和△ACE都是等边三角形，
所以∠BCD＝∠ACE＝60°，BC＝DC，EC＝AC，
所以∠BCD＋∠ACB＝∠ACE＋∠ACB，
即∠BCE＝∠DCA.
在△BCE和△DCA中，
因为BC＝DC，∠BCE＝∠DCA，EC＝AC，
所以△BCE≌△DCA(SAS)，
所以BE＝AD.
3.如图，在△ABC中，AB＝BD＝DC，∠ABC＝105°，求∠A，∠C的度数.
解：因为BD＝DC，
所以∠C＝∠CBD.
设∠C＝∠CBD＝x，
则∠BDC＝180°－∠B－∠C＝180°－2x，
所以∠BDA＝180°－∠BDC＝2x.
因为AB＝BD，
所以∠A＝∠BDA＝2x，
所以∠ABD＝180°－∠A－∠BDA＝180°－4x，
所以∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝180°－4x＋x＝105°，
解得x＝25°，
所以∠A＝2x＝50°，∠C＝25°.
4.(贵阳乌当区期末)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线.以点A为圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF.
(1)试说明：△ADE≌△ADF；
(2)若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数.
解：(1)因为AD是△ABC的角平分线，
所以∠BAD＝∠CAD.
由作图知AE＝AF.
在△ADE和△ADF中，
因为AE＝AF，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，
所以△ADE≌△ADF(SAS).
(2)因为∠BAC＝80°，AD为△ABC的角平分线，所以∠EAD＝∠BAC＝40°.
由作图知AE＝AD，
所以∠ADE＝∠AED＝(180°－∠EAD)＝70°.
因为AB＝AC，AD为△ABC的角平分线，
所以AD⊥BC，
所以∠BDE＝90°－∠ADE＝20°.
5.(毕节赫章县期末)如图，在△ABC中，D是边BC上一点，AD＝BD＝AC，∠BAC＝63°，AE是△ACD的中线，求∠DAE的度数.
解：因为AD＝BD＝AC，
所以∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C.因为∠ADB＋∠ADC＝180°，∠ADB＋∠B＋∠BAD＝180°，所以∠ADC＝∠B＋∠BAD＝2∠B，
所以∠C＝2∠B.
因为∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，
所以∠C＋∠C＋63°＝180°，所以∠C＝78°，
所以∠DAC＝180°－∠C－∠ADC＝180°－2∠C＝24°.
因为AE是△ACD的中线，
所以∠DAE＝∠DAC＝12°.
6.(铜仁石阡县期末)如图，在△ABC中，∠ACB＝120，边AC的垂直平分线DE与AC，AB分别交于点D和点E.
(1)作出边AC的垂直平分线DE；
(2)当AE＝BC时，求∠A的度数.
解：(1)如图，DE即为所求作的边AC的垂直平分线.
(2)连接CE.
因为DE是AC的垂直平分线，
所以AE＝CE，所以∠A＝∠ACE.
因为AE＝BC，
所以CE＝BC，所以∠B＝∠CEB.
设∠A＝x，则∠ACE＝x，
所以∠AEC＝180°－∠A－∠ACE＝180°－2x，
所以∠CEB＝180°－∠AEC＝2x，
所以∠BCE＝180°－∠B－∠CEB＝180°－2∠B＝180°－4x，
所以∠ACB＝∠ACE＋∠BCE＝x＋180°－4x＝120°，
解得x＝20°，即∠A＝20°.
7.如图，在△ABC中，AB＝AC，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交CB于点E，连接AE.
图1 图2
(1)如图1，当点E在边CB上时，若∠BAE＝15°，求∠ABC的度数；
(2)如图2，当点E在CB的延长线上时，设∠EAB＝m°，用含m的式子表示∠ABC的度数.
解：(1)因为DE垂直平分AC，
所以EA＝EC，
所以∠C＝∠EAC.
因为AB＝AC，
所以∠B＝∠C，
所以设∠B＝∠C＝∠EAC＝x°，
则∠BAC＝∠EAC＋∠BAE＝x°＋15°.
在△ABC中，∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，
所以x＋x＋x＋15＝180，
解得x＝55，
所以∠B＝55°.
(2)由(1)知∠ABC＝∠C＝∠EAC.
设∠EAC＝y°，
则∠BAC＝∠EAC－∠EAB＝(y－m)°.
因为∠BAC＋∠C＋∠ABC＝180°，
所以y－m＋y＋y＝180，
解得y＝60＋，即∠ABC＝60°＋.
期末复习八 图象应用题
1.小明栽种了一棵20 cm高的玉米苗，它的生长高度y(cm)与时间x(天)之间的关系图象如图所示(BC∥x轴).
(1)这棵玉米从栽种开始到 70 天以后停止长高；
(2)这棵玉米从栽种开始到第85天共长高了多少厘米？
解：(75－20)÷25×70＝154(cm).
答：这棵玉米从栽种开始到第85天共长高了154 cm.
2.小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程s(m)和所用时间t(min)的关系图.
(1)小明跑步的速度是 120 m/min；
(2)小华乘坐公共汽车多少分钟到达小明吃早餐的地方？
解：1 200÷(14－8)＝200(m/min)，
480÷200＝2.4(min).
答：小华乘坐公共汽车2.4 min到达小明吃早餐的地方.
3.小明在游乐场坐过山车，某一分钟内过山车高度h(m)与时间t(s)之间的函数图象如图所示.请结合图象解答：
(1)①当t＝41 s时，h的值是多少？并说明它的实际意义；
②过山车所达到的最大高度是多少？
(2)请描述30 s后，高度h(m)随时间t(s)的变化情况.
解：(1)①当t＝41 s时，h的值是15 m.
它的实际意义为当时间为41 s时，过山车的高度为15 m.
②过山车所达到的最大高度为98 m.
(2)当304.(毕节金沙县期末)小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家.以下是她本次去舅舅家所用的时间与离家的距离的关系示意图，根据图中提供的信息解答下列问题：
(1)小红家与舅舅家的距离是 1 500 m，小红在商店停留了 4 min.
(2)在整个去舅舅家的途中，哪个时间段小红骑车速度最快？最快的速度是多少？
(3)本次去舅舅家的行程中，小红一共骑行了多少米？一共骑行了多少分钟？
解：(2)由图象可知，小红在12～14 min骑车速度最快，
最快的速度是＝450(m/min).
(3)1 200＋(1 200－600)＋(1 500－600)＝2 700(m)，
14－4＝10(min).
答：小红一共骑行了2 700 m，10 min.
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2024七下数学
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北师大2024版七下数学 期末复习讲解课件
七下数学期末高频考点押题
（共8大考点）
一 整式的化简与求值
1.计算：
(1)(12x2y3－8x3y2)÷4x2y2；
解：原式＝3y－2x.
(2)2a3b2·(－3a3b＋2ab－ab2)；
解：原式＝－6a6b3＋4a4b3－2a4b4.
(3)2(2m－1)(m＋4)－3m(m－5)；
解：原式＝2(2m2＋8m－m－4)－3m2＋15m
＝4m2＋14m－8－3m2＋15m
＝m2＋29m－8.
解：原式＝6a4b－4a3b2－10a4b＋15a3b2－5a2b
＝－4a4b＋11a3b2－5a2b.
(5)(－2＋y)(y＋2)－(y－1)(y＋5)；
解：原式＝y2－4－(y2＋5y－y－5)
＝y2－4－y2－4y＋5
＝－4y＋1.
(6)(x－1)2＋(x＋2)(x－2)；
解：原式＝x2＋1－2x＋x2－4
＝2x2－2x－3.
(7)(2a－b＋3c)(2a＋b－3c).
解：原式＝(2a)2－(b－3c)2
＝4a2－(b2－6bc＋9c2)
＝4a2－b2＋6bc－9c2.
2.先化简，再求值：
(1)(毕节大方县期末)(x－2)2－(2x＋1)·(2x－1)＋3x(x－1)，再选取一个你喜欢的数代替x求值；
解：原式＝x2－4x＋4－(4x2－1)＋3x2－3x
＝x2－4x＋4－4x2＋1＋3x2－3x
＝－7x＋5.
答案不唯一.如：选x＝1，
此时原式＝－7×1＋5＝－2.
(2)[(3a＋b)2－(b＋3a)(3a－b)－6b2]÷(－2b)，其中a，b满足3a－2b＝2 025；
解：原式＝(9a2＋6ab＋b2－9a2＋b2－6b2)÷(－2b)
＝(－4b2＋6ab)÷(－2b)
＝2b－3a.
当3a－2b＝2 025时，
原式＝－(3a－2b)＝－2 025.
(3)(贵阳云岩区期末)(m－n)2＋m(m＋n)－(2m－n)(m＋n)，其中m，n满足2(m－1)2＋|n＋2|＝0.
解：原式＝m2－2mn＋n2＋m2＋mn－(2m2＋2mn－mn－n2)
＝m2－mn＋n2＋m2－2m2－mn＋n2
＝－2mn＋2n2.
因为2(m－1)2＋|n＋2|＝0，
所以m－1＝0，n＋2＝0，
所以m＝1，n＝－2.
当m＝1，n＝－2时，
原式＝－2×1×(－2)＋2×(－2)2＝12.
二 乘法公式的运用
1.用简便方法计算：
(2)299×602＋2；
解：原式＝2(300－1)(300＋1)＋2
＝2×(90 000－1)＋2
＝180 000.
(3)1 0012＋9992；
解：原式＝(1 000＋1)2＋(1 000－1)2
＝1 0002＋2 000＋1＋1 0002－2 000＋1
＝2×1 0002＋2
＝2 000 002.
(4)101×99－99.52.
2.(铜仁万山区期末)已知x＋y＝3，xy＝－7，求下列各式的值：
(1)x2＋xy＋y2；
解：因为x＋y＝3，
所以(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy＝9.
因为xy＝－7，所以x2＋y2＝23.
原式＝23－7＝16.
(2)(x－y)2.
解：因为x＋y＝3，
所以(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy＝9.
因为xy＝－7，所以x2＋y2＝23.
原式＝x2－2xy＋y2＝23＋14＝37.
3.(贵阳观山湖区期末)已知x2＋y2＝25，x＋y＝7.
(1)求xy的值；
(2)若y＞x，求x－y的值.
解：(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝72－4×12＝1.
因为y＞x，
所以x－y<0，
所以x－y＝－1.
4.已知a－b＝2，ab＝3，求a4＋b4的值.
解：因为(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝4，
所以a2＋b2＝4＋2×3＝10.
因为(a2＋b2)2＝a4＋b4＋2a2b2＝100，
所以a4＋b4＝100－2×32＝82.
三 平行线的判定与性质
1.如图，EF⊥BC，∠1＝∠C，∠2＋∠3＝180°.试说明：∠ADC＝90°.请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据.
解：因为∠1＝∠C(已知)，
所以GD∥_____(____________________________)，
所以∠2＝∠DAC(________________________).
因为∠2＋∠3＝180°(已知)，
所以∠DAC＋∠3＝180°(等量代换)，
AC
同位角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
所以AD∥EF(___________________________)，
所以∠ADC＝∠_____ (________________________).
因为EF⊥BC(已知)，
所以∠EFC＝90°(____________)，
所以∠ADC＝90°(等量代换).
同旁内角互补，两直线平行
EFC
垂直的定义
两直线平行，同位角相等
2.(铜仁印江县期末)如图，点D，E，F分别在△ABC的三条边上，DE∥AB，∠1＋∠2＝180°.
(1)试说明：DF∥AC；
解：因为DE∥AB，
所以∠A＝∠2.
因为∠1＋∠2＝180°，
所以∠1＋∠A＝180°，
所以DF∥AC.
(2)若∠1＝100°，DF平分∠BDE，求∠C的度数.
解：因为DE∥AB，∠1＝100°，
所以∠FDE＝180°－∠1＝80°.
因为DF平分∠BDE，
所以∠FDB＝∠FDE＝80°.
因为DF∥AC，
所以∠C＝∠FDB＝80°.
3.如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3＋60°，∠CBD＝70°.
(1)试说明：AB∥CD；
解：因为AE⊥BC，
FG⊥BC，
所以AE∥GF，
所以∠2＝∠A.
因为∠1＝∠2，
所以∠1＝∠A，
所以AB∥CD.
(2)求∠C的度数.
解：由(1)知AB∥CD，
所以∠D＋∠CBD＋∠3＝180°，∠C＝∠3.
因为∠D＝∠3＋60°，∠CBD＝70°，
所以2∠3＋130°＝180°，
所以∠3＝25°，
所以∠C＝∠3＝25°.
4.(遵义红花岗区期末)如图，已知点E，F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG相交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD.
(1)试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由；
解：∠AED＋∠D＝180°.
理由如下：
因为∠CED＝∠GHD，
所以CE∥GF，
所以∠C＝∠FGD.
因为∠C＝∠EFG，所以∠FGD＝∠EFG，
所以AB∥CD，所以∠AED＋∠D＝180°.
(2)若∠EHF＝80°，∠D＝30°，求∠AEM的度数.
解：由(1)知CE∥GF，AB∥CD，
所以∠CED＝∠EHF＝80°，∠DEB＝∠D＝30°，
所以∠CEB＝∠CED＋∠DEB＝110°，
所以∠AEM＝∠CEB＝110°.
5.如图，AB∥DC，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点，且∠DEF＝∠A.
(1)试说明：FE∥OC；
解：因为AB∥DC，
所以∠C＝∠A.
因为∠DEF＝∠A，
所以∠DEF＝∠C，
所以FE∥OC.
(2)若∠BOC比∠DFE大20°，求∠OFE的度数.
解：由(1)知FE∥OC，
所以∠DFE＝∠DOC.
因为∠BOC＋∠DOC＝180°，
所以∠BOC＋∠DFE＝180°.
因为∠BOC－∠DFE＝20°，
解得∠DFE＝80°，
所以∠OFE＝180°－∠DFE＝100°.
6.(毕节织金县期末)如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABD，交AD于点E.
(1)试说明：∠1＝∠3；
解：因为BC平分∠ABD，所以∠1＝∠2.
因为AB∥CD，所以∠2＝∠3，
所以∠1＝∠3.
(2)若AD⊥BD于点D，∠CDA＝28°，求∠3的度数.
解：因为AD⊥BD，
所以∠ADB＝90°.
因为∠CDA＝28°，
所以∠CDB＝∠CDA＋∠ADB＝28°＋90°＝118°.
因为AB∥CD，所以∠ABD＋∠CDB＝180°，
所以∠ABD＝180°－∠CDB＝62°.
7.(铜仁碧江区期末)如图1，点C，D在直线AB上，∠ACE＋∠BDF＝180°，EF∥AB.
(1)试说明：CE∥DF；
解：因为∠ACE＋∠BDF＝180°，∠ACE＋∠BCE＝180°，
所以∠BDF＝∠BCE，
所以CE∥DF.
(2)如图2，∠DFE的平分线FG交AB于点G，过点F作FM⊥FG，交CE的延长线于点M.若∠CMF＝55°，求∠CDF的度数.
图2
解：由(1)知CE∥DF，
所以∠CMF＋∠DFM＝180°，
所以∠DFM＝180°－∠CMF＝125°.
因为FM⊥FG，
所以∠GFM＝90°，
所以∠DFG＝∠DFM－∠GFM＝35°.
因为FG是∠DFE的平分线，
所以∠DFE＝2∠DFG＝70°.
因为EF∥AB，
所以∠CDF＋∠DFE＝180°，
所以∠CDF＝180°－∠DFE＝110°.
图2
四 概率的计算
1.在一个不透明的袋子中装有5个红球和10个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一个球.
(1)求摸出的球是红球的概率；
(2)为了使摸出两种球的概率相同，再放进9个同样的红球或黄球，那么这9个球中红球和黄球的数量分别应是多少？
解：设放入红球x个，则放入黄球(9－x)个.
由题意，得5＋x＝10＋9－x，
解得x＝7，则9－x＝2.
答：这9个球中红球有7个，黄球有2个.
2.甲、乙两人玩“锤子”“石头”“剪刀”“布”游戏，他们在不透明的袋子中放入形状、大小均相同的15张卡片，其中写有“锤子”“石头”“剪刀”“布”的卡片张数分别为2，3，4，6.两人各随机摸出一张卡片(先摸者不放回)来比胜负，并约定：“锤子”胜“石头”和“剪刀”，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“锤子”和“石头”，同种卡片不分胜负.
(1)若甲先摸，则他摸出“石头”的概率是多少？
(2)若甲先摸出了“石头”，则乙获胜的概率是多少？
3.(毕节织金县期末)某商场为了吸引顾客，设立了一个如图所示可以自由转动的转盘，并规定：顾客每购买200元的商品就能获得一次转动转盘的机会.如果转盘停止后，指针正好对准红、绿或黄色区域，顾客就可以获得100元、50元、20元的购物券(转盘被等分成20个扇形)，已知甲顾客购物220元.
(1)他获得购物券的概率是多少？
解：因为转盘被分成20等份，其中满足条件的有11份，
所以P(获得购物券)＝ .
(2)他获得100元、50元、20元购物券的概率分别是多少？
(3)若要让获得20元购物券的概率变为，则转盘的颜色应怎样修改？(直接写出修改方案即可)
解：将3个无色扇形涂为黄色.(答案不唯一)
五 与三角形有关的角度计算
1.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点E，DC⊥BC，垂足为C，∠D＝70°，∠AED＝130°，求∠A的度数.
解：因为DC⊥BC，
所以∠BCD＝90°.
因为∠D＝70°，
所以∠CBD＝180°－∠D－∠BCD＝20°.
因为BD平分∠ABC，
所以∠ABE＝∠CBD＝20°.
因为∠AED＝130°，
所以∠AEB＝180°－∠AED＝50°，
所以∠A＝180°－∠ABE－∠AEB＝110°.
2.如图，AD平分∠BAC，F是AD反向延长线上的一点，EF⊥BC，∠1＝40°，∠C＝65°.求∠B和∠F的度数.
解：因为AD平分∠BAC，
所以∠BAC＝2∠1＝80°.
因为∠C＝65°，
所以∠B＝180°－∠BAC－∠C＝35°，
所以∠ADB＝180°－∠B－∠1＝105°，
所以∠EDF＝180°－∠ADB＝75°.
因为EF⊥BC，
所以∠DEF＝90°，
所以∠F＝180°－∠DEF－∠EDF＝15°.
3.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠B＝62°，∠C＝58°.
(1)求∠BAD的度数；
解：因为∠B＝62°，∠C＝58°，
所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝60°.
因为AD是∠BAC的平分线，
所以∠BAD＝ ∠BAC＝30°.
(2)若DE⊥AC于点E，求∠ADE的度数.
解：由(1)得∠CAD＝ ∠BAC＝30°.
因为DE⊥AC，
所以∠AED＝90°，
所以∠ADE＝90°－∠CAD＝60°.
4.(贵阳南明区期末)如图，在△ABC中，∠B＝25°，∠BAC＝31°，过点A作边BC上的高，交BC的延长线于点D，CE平分∠ACD，交AD于点E.
(1)求∠ACD的度数；
解：因为∠B＝25°，∠BAC＝31°，
所以∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝124°，
所以∠ACD＝180°－∠ACB＝56°.
(2)求∠AEC的度数.
解：由(1)知∠ACD＝56°.
因为AD⊥BD，
所以∠D＝90°，
所以∠CAD＝90°－∠ACD＝34°.
因为CE平分∠ACD，
所以∠ACE＝ ∠ACD＝28°，
所以∠AEC＝180°－∠ACE－∠CAD＝118°.
5.(遵义绥阳县期末)如图，在△ABC中，∠ACB＝110°，E为△ABC外一点，连接AE，CE，CD平分∠ACB，交AE于点D，且∠CDE＝75°.
(1)求∠DAC的度数；
解：因为CD平分∠ACB，
所以∠ACD＝ ∠ACB＝55°.
因为∠CDE＝75°，
所以∠ADC＝180°－∠CDE＝105°，
所以∠DAC＝180°－∠ADC－∠ACD＝20°.
(2)若CE＝CA，求∠DCE的度数.
解：由(1)知∠DAC＝20°.
因为CE＝CA，
所以∠E＝∠DAC＝20°，
所以∠DCE＝180°－∠CDE－∠E＝85°.
6.如图，∠MON＝90°，点A，B分别在OM，ON上，AE平分∠MAB，BE平分∠ABN.当点A，B在OM，ON上的位置变化时，∠E的大小是否变化？若不变，请说明理由；若变化，请求出变化范围.
解：∠E的大小保持不变，等于45°.理由如下：
因为∠MON＝90°，
所以∠OAB＋∠OBA＝90°.
因为∠OAB＋∠MAB＝180°，∠OBA＋∠ABN＝180°，
所以∠MAB＋∠ABN＝270°.
因为AE，BE分别平分∠MAB和∠ABN，
7.(毕节七星关区期末)如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC.
(1)如图1，若AE⊥BC于点E，∠C＝35°，求∠DAE的度数；
图1
解：因为∠ABC＝2∠C，∠C＝35°，
所以∠ABC＝70°，
所以∠BAC＝180°－(∠ABC＋∠C)＝75°.
因为AD平分∠BAC，
所以∠BAD＝ ∠BAC＝37.5°.
因为AE⊥BC，
所以∠AEB＝90°，
所以∠BAE＝90°－∠ABC＝20°，
所以∠DAE＝∠BAD－∠BAE＝17.5°.
图1
(2)如图2，P为CB延长线上一点，过点P作PF⊥AD于点F，试说明：∠P＝
(∠ABC－∠C).
图2
图2
六 全等三角形的判定与性质
1.(黔西南州期末)如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB∥DE，BC∥EF，AB＝DE.
(1)试说明：△ABC≌△DEF；
解：因为AB∥DE，BC∥EF，
所以∠A＝∠D，∠ACB＝∠DFE.
在△ABC和△DEF中，
因为∠A＝∠D，∠ACB＝∠DFE，AB＝DE，
所以△ABC≌△DEF(AAS).
(2)若AF＝5，CF＝4，求AD的长.
解：由(1)知△ABC≌△DEF，
所以AC＝DF，
所以AC－CF＝DF－CF，即CD＝AF＝5，
所以AD＝AF＋CF＋CD＝5＋4＋5＝14.
2.(铜仁万山区期末)如图，在△ABC中，D为BC上一点，E为△ABC外一点，DE交AC于点O，AC＝AE，AD＝AB，∠BAC＝∠DAE.
(1)试说明：△ABC≌△ADE；
解：在△ABC和△ADE中，
因为AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，AC＝AE，
所以△ABC≌△ADE(SAS).
(2)若∠BAD＝20°，求∠CDE的度数.
解：因为∠BAC＝∠DAE，
所以∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD，
所以∠CAE＝∠BAD＝20°.
由(1)知△ABC≌△ADE，
所以∠E＝∠C.
因为∠AOE＝∠DOC，
所以∠CDE＝∠CAE＝20°.
3.(遵义红花岗区期末)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AC，E是BD上一点，且∠ABD＝∠ACD，∠BAC＝∠EAD.
(1)试说明：AE＝AD；
解：因为∠BAC＝∠EAD，
所以∠BAC－∠EAC＝∠EAD－∠EAC，
即∠BAE＝∠CAD.
在△ABE和△ACD中，
因为∠ABE＝∠ACD，AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，
所以△ABE≌△ACD(ASA)，
所以AE＝AD.
(2)若BD＝8，CD＝5，求ED的长.
解：由(1)知△ABE≌△ACD，
所以BE＝CD＝5，
所以ED＝BD－BE＝8－5＝3.
4.(黔南州长顺县期末)如图，点E在CD上，BC与AE相交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2.
(1)试说明：AE＝CD；
解：因为∠1＝∠2，
所以∠1＋∠CBE＝∠2＋∠CBE，
即∠ABE＝∠CBD.
在△ABE和△CBD中，
因为AB＝CB，∠ABE＝∠CBD，BE＝BD，
所以△ABE≌△CBD(SAS)，
所以AE＝CD.
(2)若∠1＝63°，求∠3的度数.
解：因为∠2＝∠1＝63°，BE＝BD，
所以∠BED＝∠D＝ ×(180°－∠2)＝58.5°.
由(1)知△ABE≌△CBD，
所以∠AEB＝∠D＝58.5°，
所以∠3＝180°－∠AEB－∠BED＝63°.
5.如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，BE平分∠ABC，连接AE.若AD＝AE，∠DAE＝∠CAB.
(1)试说明：△ADC≌△AEB；
解：因为∠DAE＝∠CAB，
所以∠DAE－∠CAE＝∠CAB－∠CAE，
即∠DAC＝∠EAB.
在△ADC和△AEB中，
因为AD＝AE，∠DAC＝∠EAB，AC＝AB，
所以△ADC≌△AEB(SAS).
(2)若∠CAB＝36°，试说明：CD∥AB.
解：因为AB＝AC，∠CAB＝36°，
所以∠ABC＝∠ACB＝ (180°－∠CAB)＝72°.
因为BE平分∠ABC，
所以∠EBA＝ ∠ABC＝36°.
由(1)知△ADC≌△AEB，
所以∠DCA＝∠EBA＝36°，
所以∠DCA＝∠CAB，
所以CD∥AB.
6.(安顺西秀区期末)如图，AB∥CD，AB＝CD，AD，BC相交于点O，BE∥CF，BE，CF分别交AD于点E，F.
(1)试说明：△ABO≌△DCO；
解：因为AB∥CD，
所以∠A＝∠D，∠ABO＝∠DCO.
在△ABO和△DCO中，
因为∠A＝∠D，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO，
所以△ABO≌△DCO(ASA).
(2)试说明：BE＝CF.
解：由(1)知△ABO≌△DCO，
所以OB＝OC.
因为BE∥CF，
所以∠OBE＝∠OCF，∠OEB＝∠OFC.
在△OBE和△OCF中，因为∠OBE＝∠OCF，∠OEB＝∠OFC，OB＝OC，
所以△OBE≌△OCF(AAS)，
所以BE＝CF.
7.在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，D为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CE＝BD，连接AD，DE，AE.
(1)如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，求∠ADE的度数；
图1
解：因为AB＝AC，
所以∠ACB＝∠B.
因为∠ACM＝∠ACB，
所以∠ACM＝∠B.
因为CE＝BD，
所以△ABD≌△ACE(SAS)，
所以∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
所以∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，
所以∠DAE＝∠BAC＝90°，
所以∠ADE＝ (180°－∠DAE)＝45°.
图1
(2)如图2，当点D落在线段BC上(不与点B，C重合)时，AC与DE相交于点F，请问(1)中的∠ADE的度数是否会改变？请说明理由.
图2
解：不变.
理由如下：
同(1)可得△ABD≌△ACE(SAS)，
所以AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
所以∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，
所以∠DAE＝∠BAC＝90°，
所以∠ADE＝ (90°－∠DAE)＝45°.
七 等腰三角形的性质
1.如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB＝AC，∠CAD＝20°，求∠AEC的度数.
解：因为AD是△ABC的中线，AB＝AC，
所以∠CAB＝2∠CAD＝40°，
所以∠ACB＝ (180°－∠CAB)＝70°.
因为CE是△ABC的角平分线，
所以∠ACE＝ ∠ACB＝35°，
所以∠AEC＝180°－∠BAC－∠ACE＝105°.
2.如图，△BCD，△ACE都是等边三角形，试说明：BE＝AD.
解：因为△BCD和△ACE都是等边三角形，
所以∠BCD＝∠ACE＝60°，BC＝DC，EC＝AC，
所以∠BCD＋∠ACB＝∠ACE＋∠ACB，
即∠BCE＝∠DCA.
在△BCE和△DCA中，
因为BC＝DC，∠BCE＝∠DCA，EC＝AC，
所以△BCE≌△DCA(SAS)，
所以BE＝AD.
3.如图，在△ABC中，AB＝BD＝DC，∠ABC＝105°，求∠A，∠C的度数.
解：因为BD＝DC，
所以∠C＝∠CBD.
设∠C＝∠CBD＝x，
则∠BDC＝180°－∠B－∠C＝180°－2x，
所以∠BDA＝180°－∠BDC＝2x.
因为AB＝BD，
所以∠A＝∠BDA＝2x，
所以∠ABD＝180°－∠A－∠BDA＝180°－4x，
所以∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝180°－4x＋x＝105°，
解得x＝25°，
所以∠A＝2x＝50°，∠C＝25°.
4.(贵阳乌当区期末)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线.以点A为圆心，AD长为半径画弧，与AB，AC分别交于点E，F，连接DE，DF.
(1)试说明：△ADE≌△ADF；
解：因为AD是△ABC的角平分线，
所以∠BAD＝∠CAD.
由作图知AE＝AF.
在△ADE和△ADF中，
因为AE＝AF，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，
所以△ADE≌△ADF(SAS).
(2)若∠BAC＝80°，求∠BDE的度数.
解：因为∠BAC＝80°，AD为△ABC的角平分线，
所以∠EAD＝ ∠BAC＝40°.
由作图知AE＝AD，
所以∠ADE＝∠AED＝ (180°－∠EAD)＝70°.
因为AB＝AC，AD为△ABC的角平分线，
所以AD⊥BC，
所以∠BDE＝90°－∠ADE＝20°.
5.(毕节赫章县期末)如图，在△ABC中，D是边BC上一点，AD＝BD＝AC，∠BAC＝63°，AE是△ACD的中线，求∠DAE的度数.
解：因为AD＝BD＝AC，
所以∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C.因为∠ADB＋∠ADC＝180°，
∠ADB＋∠B＋∠BAD＝180°，所以∠ADC＝∠B＋∠BAD＝2∠B，
所以∠C＝2∠B.
因为∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，
所以 ∠C＋∠C＋63°＝180°，所以∠C＝78°，
所以∠DAC＝180°－∠C－∠ADC＝180°－2∠C＝24°.
因为AE是△ACD的中线，
所以∠DAE＝ ∠DAC＝12°.
6.(铜仁石阡县期末)如图，在△ABC中，∠ACB＝120，边AC的垂直平分线DE与AC，AB分别交于点D和点E.
(1)作出边AC的垂直平分线DE；
解：如图，DE即为所求作的边AC的垂直平分线.
(2)当AE＝BC时，求∠A的度数.
解：连接CE.
因为DE是AC的垂直平分线，
所以AE＝CE，所以∠A＝∠ACE.
因为AE＝BC，
所以CE＝BC，所以∠B＝∠CEB.
设∠A＝x，则∠ACE＝x，
所以∠AEC＝180°－∠A－∠ACE＝180°－2x，
所以∠CEB＝180°－∠AEC＝2x，
所以∠BCE＝180°－∠B－∠CEB＝180°－2∠B＝180°－4x，
所以∠ACB＝∠ACE＋∠BCE＝x＋180°－4x＝120°，
解得x＝20°，即∠A＝20°.
7.如图，在△ABC中，AB＝AC，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交CB于点E，连接AE.
图1
图2
(1)如图1，当点E在边CB上时，若∠BAE＝15°，求∠ABC的度数；
图1
解：因为DE垂直平分AC，
所以EA＝EC，
所以∠C＝∠EAC.
因为AB＝AC，
所以∠B＝∠C，
所以设∠B＝∠C＝∠EAC＝x°，
则∠BAC＝∠EAC＋∠BAE＝x°＋15°.
在△ABC中，∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，
所以x＋x＋x＋15＝180，
解得x＝55，
所以∠B＝55°.
图1
(2)如图2，当点E在CB的延长线上时，设∠EAB＝m°，用含m的式子表示∠ABC的度数.
图2
解：由(1)知∠ABC＝∠C＝∠EAC.
设∠EAC＝y°，
则∠BAC＝∠EAC－∠EAB＝(y－m)°.
因为∠BAC＋∠C＋∠ABC＝180°，
所以y－m＋y＋y＝180，
八 图象应用题
1.小明栽种了一棵20 cm高的玉米苗，它的生长高度y(cm)与时间x(天)之间的关系图象如图所示(BC∥x轴).
(1)这棵玉米从栽种开始到_____ 天以后停止长高；
70
(2)这棵玉米从栽种开始到第85天共长高了多少厘米？
解：(75－20)÷25×70＝154(cm).
答：这棵玉米从栽种开始到第85天共长高了154 cm.
2.小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程s(m)和所用时间t(min)的关系图.
(1)小明跑步的速度是______ m/min；
120
(2)小华乘坐公共汽车多少分钟到达小明吃早餐的地方？
解：1 200÷(14－8)＝200(m/min)，
480÷200＝2.4(min).
答：小华乘坐公共汽车2.4 min到达小明吃早餐的地方.
3.小明在游乐场坐过山车，某一分钟内过山车高度h(m)与时间t(s)之间的函数图象如图所示.请结合图象解答：
(1)①当t＝41 s时，h的值是多少？并说明它的实际意义；
解：当t＝41 s时，h的值是15 m.
它的实际意义为当时间为41 s时，过山车的高度为15 m.
②过山车所达到的最大高度是多少？
解：过山车所达到的最大高度为98 m.
(2)请描述30 s后，高度h(m)随时间t(s)的变化情况.
解：当30＜t≤41时，高度h(m)随时间t(s)的增大而减小；当41＜t≤53时，高度h(m)随时间t(s)的增大而增大；当53＜t≤60时，高度h(m)随时间t(s)的增大而
减小.
4.(毕节金沙县期末)小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家.以下是她本次去舅舅家所用的时间与离家的距离的关系示意图，根据图中提供的信息解答下列问题：
(1)小红家与舅舅家的距离是______m，小红
在商店停留了_____ min.
1 500
4
(2)在整个去舅舅家的途中，哪个时间段小红骑车速度最快？最快的速度是
多少？
解：由图象可知，小红在12～14 min骑车速度最快，
最快的速度是 ＝450(m/min).
(3)本次去舅舅家的行程中，小红一共骑行了多少米？一共骑行了多少分钟？
解：1 200＋(1 200－600)＋(1 500－600)＝2 700(m)，
14－4＝10(min).
答：小红一共骑行了2 700 m，10 min.
谢谢
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