(共35张PPT)
2024七下数学
同步精品课件
北师大版七年级下册
北师大2024版七下数学 阶段性检测讲解课件
人教七下数学第五章检测卷
范围：第5章
（120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题共12题，每题3分，共36分)
1.下面四个图形中，是轴对称图形的是( )
A B C D
D
2.若等腰三角形的一个顶角为120°，则这个等腰三角形的底角为( )
A.30° B.60°
C.80° D.120°
3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D.若AC＝5，AD＝3，则点D到边AB的距离为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
第3题图
A
B
4.如图，△ABC是等边三角形，点D在边AC上，∠DBC＝40°，则∠ADB的度数为( )
A.25°
B.60°
C.90°
D.100°
第4题图
D
5.如图，四边形ABCD关于直线EF对称，∠BAD＝50°，∠B＝30°，那么∠BCD的度数是( )
A.70°
B.80°
C.110°
D.130°
第5题图
C
6.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，观察尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为( )
A.40°
B.45°
C.50°
D.60°
第6题图
C
7.如图，在△ABC中，AB＝AC＝20，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于点D.若△DBC的周长为35，则BC的长为( )
A.20
B.18
C.15
D.10
第7题图
C
8.如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A，B，C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离都相等，△ABC内部被河水填满无法施工，则可供选择的地址有( )
A.1处
B.2处
C.3处
D.4处
第8题图
C
9.如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AC＝BD.若∠B＝50°，则∠CAD的度数为( )
A.10°
B.15°
C.20°
D.25°
第9题图
B
10.如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝50°，D是BC上任一点，点E，F分别是点D关于AC，AB的对称点，连接AE，AF，则∠EAF的度数是( )
A.140°
B.135°
C.120°
D.100°
第10题图
A
11.如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，以 AB的中点O为顶点把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的平面图形一定是( )
A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形
D
12.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线.若P，Q分别是AD，AC上的动点，则PC＋PQ长的最小值是( )
A.4.8
B.9.6
C.10
D.12
第12题图
B
二、填空题(本大题共4题，每题4分，共16分)
13.如图，OA＝OB，则∠A的度数为_______.
第13题图
75°
14.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠BAD＝∠CAE.若BD＝9，则CE的长为____.
第14题图
9
15.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.已知S△ABC＝10，DE＝2，AB＝6，则AC的长是___.
第15题图
4
16.如图，已知AB＝A1B，A1C1＝A1A2，A2C2＝A2A3，A3C3＝A3A4，…，以此类推，若∠B＝20°，则∠C2 025A2 025A的度数为_______.
第16题图
三、解答题(本大题共9题，共98分)
17.(10分)请画出下列轴对称图形的所有对称轴.
解：如图所示.
18.(10分)如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝110°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，连接BD，求∠DBA的度数.
解：因为AB＝BC，∠ABC＝110°，
所以∠A＝∠C＝ (180°－∠ABC)＝35°.
因为DE是AB的垂直平分线，
所以AD＝BD，
所以∠DBA＝∠A＝35°.
解：因为AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，
所以DC＝DE，∠DEB＝90°＝∠C.
在△CDF和△EDB中，
因为CF＝EB，∠C＝∠DEB，DC＝DE，
所以△CDF≌△EDB(SAS)，
所以BD＝DF.
19.(10分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BE＝CF.试说明：BD＝DF.
20.(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，分别以AB，AC为边作等边三角形ABD和等边三角形ACE.
(1)求∠DBC的度数；
解：因为AB＝AC，∠BAC＝30°，
所以∠ABC＝∠ACB＝ (180°－∠BAC)＝75°.
因为△ABD为等边三角形，所以∠ABD＝60°，
所以∠DBC＝∠ABD＋∠ABC＝135°.
(2)试说明：BD＝CE.
解：因为△ABD和△ACE均为等边三角形，
所以AB＝BD，AC＝CE.
因为AB＝AC，所以BD＝CE.
解：延长EF，交BC于点G，过点A作AD⊥BC于点D.
因为AB＝AC，所以∠BAC＝2∠CAD.
因为∠E＋∠AFE＋∠EAF＝180°，
∠BAC＋∠EAF＝180°，
所以∠BAC＝∠E＋∠AFE.
又因为∠E＝∠AFE，所以∠BAC＝2∠E，所以∠CAD＝∠E，
所以EF∥AD，所以EF⊥BC.
21.(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点F在边AB上，点E在CA的延长线上，∠E＝∠AFE.试说明：EF⊥BC.
22.(10分)如图，在△ABC中，∠CAB＝36°，∠B＝48°，D，E分别是边AB，BC上的点，△ACE和△ADE关于直线AE对称，CD交AE于点F.
(1)求∠ADC的度数；
解：因为△ACE和△ADE关于直线AE对称，
所以AC＝AD，
所以∠ADC＝∠ACD＝ (180°－∠CAB)＝72°.
解：因为△ACE和△ADE关于直线AE对称，
所以EC＝DE，所以∠ECD＝∠EDC.
因为∠CAB＝36°，∠B＝48°，所以∠ACB＝180°－∠CAB－∠B＝96°，
所以∠ECD＝∠ACB－∠ACD＝24°，所以∠EDC＝∠ECD＝24°，
所以∠CED＝180°－∠ECD－∠EDC＝132°，所以∠DEB＝180°－∠CED＝48°.
(2)求∠DEB的度数.
23.(12分)如图，两条街道AB，CD相交于点O，F为邮局，邮局职工小赵家在点E处.
(1)在∠AOD内有一社区活动中心M，若活动中心M到两街道的距离相等，同时到点E和点F的距离也相等，请在图1中确定出点M的位置；
解：作∠AOD的平分线和线段EF的垂直平分线交于点M，则点M即为所求，如图1所示.
(2)若小赵每天从家里去上班时，分别经过AB，CD两条街道的邮筒G，H处，取出信件后再去邮局上班，为了使上班所走的路线最短，两个邮筒G，H应分别设在何处？请在图2中找出点G，H的位置.
解：作点E关于AB的对称点E′，作点F关于CD的对称点F′，连接E′F′，分别交OA，OD于点G，H，则点G，H即为所求，如图2所示.
24.(12分)如图，在等腰三角形ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于点B，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.
(1)试说明：CE＝CB；
解：因为AD＝CD，所以∠DAC＝∠DCA.
因为AB∥CD，所以∠DCA＝∠CAB，
所以∠DAC＝∠CAB，
所以AC是∠EAB的平分线.
因为CE⊥AE，CB⊥AB，所以CE＝CB.
解：AC垂直平分BE.理由如下：
设BE交AC于点F.
由(1)知∠EAC＝∠BAC.
因为CE⊥AE，CB⊥AB，所以∠AEC＝∠ABC＝90°.
在△CEA和△CBA中，
因为∠AEC＝∠ABC，∠EAC＝∠BAC，AC＝AC，
所以△CEA≌△CBA(AAS)，所以AE＝AB，
所以BF＝EF，AF⊥BE，即AC垂直平分BE.
(2)连接BE，请写出BE与AC的位置关系，并说明理由.
25.(14分)在△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°.
(1)如图，点D在边AB上，点E在边AC上，BD＝CE，BE与CD交于点F.试说明：∠FBC＝∠FCB；
解：因为AB＝AC，
所以∠ABC＝∠ACB.
在△BCD和△CBE中，
因为BC＝CB，∠DBC＝∠ECB，BD＝CE，
所以△BCD≌△CBE(SAS)，
所以∠FBC＝∠FCB.
(2)若D是边AB上的一个动点，E是边AC上的一个动点，且BD＝CE，BE与CD交于点F.当△BFD是等腰三角形时，求∠FBD的度数.
解：因为AB＝AC，∠A＝45°，
所以∠ABC＝∠ACB＝ (180－∠A)＝67.5°.
由(1)知∠FBC＝∠FCB，
所以∠FBD＝∠ECF.
设∠FBD＝∠ECF＝x，
则∠FBC＝∠FCB＝67.5°－x，∠ADC＝180°－(∠A＋∠ECF)＝135°－x，
所以∠BFC＝180°－(∠FBC＋∠FCB)＝45°＋2x，∠BDF＝180°－∠ADC＝45°＋x，
所以∠DFB＝180°－∠BFC＝135°－2x.
因为△BFD是等腰三角形，故分三种情况讨论：
①当BD＝BF时，∠BDF＝∠DFB，
所以x＋45°＝135°－2x，解得x＝30°，所以∠FBD＝30°；
②当BD＝DF时，∠FBD＝∠DFB，
所以x＝135°－2x，
解得x＝45°，即∠FBD＝45°；
③当BF＝DF时，∠FBD＝∠FDB，
所以x＝x＋45°，无解.
综上所述，∠FBD的度数为30°或45°.
谢谢
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2025春北师大新版七下数学第5章检测卷
(时间：120分钟 满分：150分)
班级： 姓名：
一、选择题(本大题共12题，每题3分，共36分)
1.下面四个图形中，是轴对称图形的是(D)
A B C D
2.若等腰三角形的一个顶角为120°，则这个等腰三角形的底角为(A)
A.30° B.60° C.80° D.120°
3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D.若AC＝5，AD＝3，则点D到边AB的距离为(B)
A.1 B.2 C.3 D.4
第3题图
4.如图，△ABC是等边三角形，点D在边AC上，∠DBC＝40°，则∠ADB的度数为(D)
A.25° B.60° C.90° D.100°
第4题图
5.如图，四边形ABCD关于直线EF对称，∠BAD＝50°，∠B＝30°，那么∠BCD的度数是(C)
A.70° B.80° C.110° D.130°
第5题图
6.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，观察尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为(C)
A.40° B.45° C.50° D.60°
第6题图
7.如图，在△ABC中，AB＝AC＝20，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于点D.若△DBC的周长为35，则BC的长为(C)
A.20 B.18 C.15 D.10
第7题图
8.如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A，B，C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离都相等，△ABC内部被河水填满无法施工，则可供选择的地址有(C)
A.1处 B.2处 C.3处 D.4处
第8题图
9.如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AC＝BD.若∠B＝50°，则∠CAD的度数为(B)
A.10° B.15° C.20° D.25°
第9题图
10.如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝50°，D是BC上任一点，点E，F分别是点D关于AC，AB的对称点，连接AE，AF，则∠EAF的度数是(A)
A.140° B.135° C.120° D.100°
第10题图
11.如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，以 AB的中点O为顶点把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的平面图形一定是(D)
A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形
12.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线.若P，Q分别是AD，AC上的动点，则PC＋PQ长的最小值是(B)
A.4.8 B.9.6 C.10 D.12
第12题图
二、填空题(本大题共4题，每题4分，共16分)
13.如图，OA＝OB，则∠A的度数为 75° .
第13题图
14.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠BAD＝∠CAE.若BD＝9，则CE的长为 9 .
第14题图
15.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.已知S△ABC＝10，DE＝2，AB＝6，则AC的长是 4 .
第15题图
16.如图，已知AB＝A1B，A1C1＝A1A2，A2C2＝A2A3，A3C3＝A3A4，…，以此类推，若∠B＝20°，则∠C2 025A2 025A的度数为 .
第16题图
三、解答题(本大题共9题，共98分)
17.(10分)请画出下列轴对称图形的所有对称轴.
解：如图所示.
18.(10分)如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝110°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，连接BD，求∠DBA的度数.
解：因为AB＝BC，∠ABC＝110°，
所以∠A＝∠C＝(180°－∠ABC)＝35°.
因为DE是AB的垂直平分线，
所以AD＝BD，
所以∠DBA＝∠A＝35°.
19.(10分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BE＝CF.试说明：BD＝DF.
解：因为AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，
所以DC＝DE，∠DEB＝90°＝∠C.
在△CDF和△EDB中，
因为CF＝EB，∠C＝∠DEB，DC＝DE，
所以△CDF≌△EDB(SAS)，
所以BD＝DF.
20.(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，分别以AB，AC为边作等边三角形ABD和等边三角形ACE.
(1)求∠DBC的度数；
(2)试说明：BD＝CE.
解：(1)因为AB＝AC，∠BAC＝30°，
所以∠ABC＝∠ACB＝(180°－∠BAC)＝75°.
因为△ABD为等边三角形，所以∠ABD＝60°，
所以∠DBC＝∠ABD＋∠ABC＝135°.
(2)因为△ABD和△ACE均为等边三角形，
所以AB＝BD，AC＝CE.
因为AB＝AC，所以BD＝CE.
21.(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点F在边AB上，点E在CA的延长线上，∠E＝∠AFE.试说明：EF⊥BC.
解：延长EF，交BC于点G，过点A作AD⊥BC于点D.
因为AB＝AC，
所以∠BAC＝2∠CAD.
因为∠E＋∠AFE＋∠EAF＝180°，∠BAC＋∠EAF＝180°，
所以∠BAC＝∠E＋∠AFE.
又因为∠E＝∠AFE，
所以∠BAC＝2∠E，所以∠CAD＝∠E，
所以EF∥AD，所以EF⊥BC.
22.(10分)如图，在△ABC中，∠CAB＝36°，∠B＝48°，D，E分别是边AB，BC上的点，△ACE和△ADE关于直线AE对称，CD交AE于点F.
(1)求∠ADC的度数；
(2)求∠DEB的度数.
解：(1)因为△ACE和△ADE关于直线AE对称，
所以AC＝AD，
所以∠ADC＝∠ACD＝(180°－∠CAB)＝72°.
(2)因为△ACE和△ADE关于直线AE对称，
所以EC＝DE，所以∠ECD＝∠EDC.
因为∠CAB＝36°，∠B＝48°，
所以∠ACB＝180°－∠CAB－∠B＝96°，
所以∠ECD＝∠ACB－∠ACD＝24°，所以∠EDC＝∠ECD＝24°，
所以∠CED＝180°－∠ECD－∠EDC＝132°，
所以∠DEB＝180°－∠CED＝48°.
23.(12分)如图，两条街道AB，CD相交于点O，F为邮局，邮局职工小赵家在点E处.
(1)在∠AOD内有一社区活动中心M，若活动中心M到两街道的距离相等，同时到点E和点F的距离也相等，请在图1中确定出点M的位置；
(2)若小赵每天从家里去上班时，分别经过AB，CD两条街道的邮筒G，H处，取出信件后再去邮局上班，为了使上班所走的路线最短，两个邮筒G，H应分别设在何处？请在图2中找出点G，H的位置.
图1 图2
解：(1)作∠AOD的平分线和线段EF的垂直平分线交于点M，则点M即为所求，如图1所示.
(2)作点E关于AB的对称点E′，作点F关于CD的对称点F′，连接E′F′，分别交OA，OD于点G，H，则点G，H即为所求，如图2所示.
24.(12分)如图，在等腰三角形ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于点B，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.
(1)试说明：CE＝CB；
(2)连接BE，请写出BE与AC的位置关系，并说明理由.
解：(1)因为AD＝CD，所以∠DAC＝∠DCA.
因为AB∥CD，所以∠DCA＝∠CAB，
所以∠DAC＝∠CAB，
所以AC是∠EAB的平分线.
因为CE⊥AE，CB⊥AB，所以CE＝CB.
(2)AC垂直平分BE.理由如下：
设BE交AC于点F.
由(1)知∠EAC＝∠BAC.
因为CE⊥AE，CB⊥AB，所以∠AEC＝∠ABC＝90°.
在△CEA和△CBA中，
因为∠AEC＝∠ABC，∠EAC＝∠BAC，AC＝AC，
所以△CEA≌△CBA(AAS)，所以AE＝AB，
所以BF＝EF，AF⊥BE，即AC垂直平分BE.
25.(14分)在△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°.
(1)如图，点D在边AB上，点E在边AC上，BD＝CE，BE与CD交于点F.试说明：∠FBC＝∠FCB；
(2)若D是边AB上的一个动点，E是边AC上的一个动点，且BD＝CE，BE与CD交于点F.当△BFD是等腰三角形时，求∠FBD的度数.
解：(1)因为AB＝AC，
所以∠ABC＝∠ACB.
在△BCD和△CBE中，
因为BC＝CB，∠DBC＝∠ECB，BD＝CE，
所以△BCD≌△CBE(SAS)，
所以∠FBC＝∠FCB.
(2)因为AB＝AC，∠A＝45°，
所以∠ABC＝∠ACB＝(180－∠A)＝67.5°.
由(1)知∠FBC＝∠FCB，
所以∠FBD＝∠ECF.
设∠FBD＝∠ECF＝x，
则∠FBC＝∠FCB＝67.5°－x，∠ADC＝180°－(∠A＋∠ECF)＝135°－x，
所以∠BFC＝180°－(∠FBC＋∠FCB)＝45°＋2x，∠BDF＝180°－∠ADC＝45°＋x，
所以∠DFB＝180°－∠BFC＝135°－2x.
因为△BFD是等腰三角形，故分三种情况讨论：
①当BD＝BF时，∠BDF＝∠DFB，
所以x＋45°＝135°－2x，
解得x＝30°，所以∠FBD＝30°；
②当BD＝DF时，∠FBD＝∠DFB，
所以x＝135°－2x，
解得x＝45°，即∠FBD＝45°；
③当BF＝DF时，∠FBD＝∠FDB，
所以x＝x＋45°，无解.
综上所述，∠FBD的度数为30°或45°.
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2025春北师大新版七下数学第5章检测卷
(时间：120分钟 满分：150分)
班级： 姓名：
一、选择题(本大题共12题，每题3分，共36分)
1.下面四个图形中，是轴对称图形的是(D)
A B C D
2.若等腰三角形的一个顶角为120°，则这个等腰三角形的底角为(A)
A.30° B.60° C.80° D.120°
3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D.若AC＝5，AD＝3，则点D到边AB的距离为(B)
A.1 B.2 C.3 D.4
第3题图
4.如图，△ABC是等边三角形，点D在边AC上，∠DBC＝40°，则∠ADB的度数为(D)
A.25° B.60° C.90° D.100°
第4题图
5.如图，四边形ABCD关于直线EF对称，∠BAD＝50°，∠B＝30°，那么∠BCD的度数是(C)
A.70° B.80° C.110° D.130°
第5题图
6.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，观察尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为(C)
A.40° B.45° C.50° D.60°
第6题图
7.如图，在△ABC中，AB＝AC＝20，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于点D.若△DBC的周长为35，则BC的长为(C)
A.20 B.18 C.15 D.10
第7题图
8.如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A，B，C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离都相等，△ABC内部被河水填满无法施工，则可供选择的地址有(C)
A.1处 B.2处 C.3处 D.4处
第8题图
9.如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AC＝BD.若∠B＝50°，则∠CAD的度数为(B)
A.10° B.15° C.20° D.25°
第9题图
10.如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝50°，D是BC上任一点，点E，F分别是点D关于AC，AB的对称点，连接AE，AF，则∠EAF的度数是(A)
A.140° B.135° C.120° D.100°
第10题图
11.如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，以 AB的中点O为顶点把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的平面图形一定是(D)
A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形
12.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线.若P，Q分别是AD，AC上的动点，则PC＋PQ长的最小值是(B)
A.4.8 B.9.6 C.10 D.12
第12题图
二、填空题(本大题共4题，每题4分，共16分)
13.如图，OA＝OB，则∠A的度数为 75° .
第13题图
14.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠BAD＝∠CAE.若BD＝9，则CE的长为 9 .
第14题图
15.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.已知S△ABC＝10，DE＝2，AB＝6，则AC的长是 4 .
第15题图
16.如图，已知AB＝A1B，A1C1＝A1A2，A2C2＝A2A3，A3C3＝A3A4，…，以此类推，若∠B＝20°，则∠C2 025A2 025A的度数为 .
第16题图
三、解答题(本大题共9题，共98分)
17.(10分)请画出下列轴对称图形的所有对称轴.
解：如图所示.
18.(10分)如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝110°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，连接BD，求∠DBA的度数.
解：因为AB＝BC，∠ABC＝110°，
所以∠A＝∠C＝(180°－∠ABC)＝35°.
因为DE是AB的垂直平分线，
所以AD＝BD，
所以∠DBA＝∠A＝35°.
19.(10分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BE＝CF.试说明：BD＝DF.
解：因为AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，
所以DC＝DE，∠DEB＝90°＝∠C.
在△CDF和△EDB中，
因为CF＝EB，∠C＝∠DEB，DC＝DE，
所以△CDF≌△EDB(SAS)，
所以BD＝DF.
20.(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，分别以AB，AC为边作等边三角形ABD和等边三角形ACE.
(1)求∠DBC的度数；
(2)试说明：BD＝CE.
解：(1)因为AB＝AC，∠BAC＝30°，
所以∠ABC＝∠ACB＝(180°－∠BAC)＝75°.
因为△ABD为等边三角形，所以∠ABD＝60°，
所以∠DBC＝∠ABD＋∠ABC＝135°.
(2)因为△ABD和△ACE均为等边三角形，
所以AB＝BD，AC＝CE.
因为AB＝AC，所以BD＝CE.
21.(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点F在边AB上，点E在CA的延长线上，∠E＝∠AFE.试说明：EF⊥BC.
解：延长EF，交BC于点G，过点A作AD⊥BC于点D.
因为AB＝AC，
所以∠BAC＝2∠CAD.
因为∠E＋∠AFE＋∠EAF＝180°，∠BAC＋∠EAF＝180°，
所以∠BAC＝∠E＋∠AFE.
又因为∠E＝∠AFE，
所以∠BAC＝2∠E，所以∠CAD＝∠E，
所以EF∥AD，所以EF⊥BC.
22.(10分)如图，在△ABC中，∠CAB＝36°，∠B＝48°，D，E分别是边AB，BC上的点，△ACE和△ADE关于直线AE对称，CD交AE于点F.
(1)求∠ADC的度数；
(2)求∠DEB的度数.
解：(1)因为△ACE和△ADE关于直线AE对称，
所以AC＝AD，
所以∠ADC＝∠ACD＝(180°－∠CAB)＝72°.
(2)因为△ACE和△ADE关于直线AE对称，
所以EC＝DE，所以∠ECD＝∠EDC.
因为∠CAB＝36°，∠B＝48°，
所以∠ACB＝180°－∠CAB－∠B＝96°，
所以∠ECD＝∠ACB－∠ACD＝24°，所以∠EDC＝∠ECD＝24°，
所以∠CED＝180°－∠ECD－∠EDC＝132°，
所以∠DEB＝180°－∠CED＝48°.
23.(12分)如图，两条街道AB，CD相交于点O，F为邮局，邮局职工小赵家在点E处.
(1)在∠AOD内有一社区活动中心M，若活动中心M到两街道的距离相等，同时到点E和点F的距离也相等，请在图1中确定出点M的位置；
(2)若小赵每天从家里去上班时，分别经过AB，CD两条街道的邮筒G，H处，取出信件后再去邮局上班，为了使上班所走的路线最短，两个邮筒G，H应分别设在何处？请在图2中找出点G，H的位置.
图1 图2
解：(1)作∠AOD的平分线和线段EF的垂直平分线交于点M，则点M即为所求，如图1所示.
(2)作点E关于AB的对称点E′，作点F关于CD的对称点F′，连接E′F′，分别交OA，OD于点G，H，则点G，H即为所求，如图2所示.
24.(12分)如图，在等腰三角形ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于点B，CE⊥AD，交AD的延长线于点E.
(1)试说明：CE＝CB；
(2)连接BE，请写出BE与AC的位置关系，并说明理由.
解：(1)因为AD＝CD，所以∠DAC＝∠DCA.
因为AB∥CD，所以∠DCA＝∠CAB，
所以∠DAC＝∠CAB，
所以AC是∠EAB的平分线.
因为CE⊥AE，CB⊥AB，所以CE＝CB.
(2)AC垂直平分BE.理由如下：
设BE交AC于点F.
由(1)知∠EAC＝∠BAC.
因为CE⊥AE，CB⊥AB，所以∠AEC＝∠ABC＝90°.
在△CEA和△CBA中，
因为∠AEC＝∠ABC，∠EAC＝∠BAC，AC＝AC，
所以△CEA≌△CBA(AAS)，所以AE＝AB，
所以BF＝EF，AF⊥BE，即AC垂直平分BE.
25.(14分)在△ABC中，AB＝AC，∠A＝45°.
(1)如图，点D在边AB上，点E在边AC上，BD＝CE，BE与CD交于点F.试说明：∠FBC＝∠FCB；
(2)若D是边AB上的一个动点，E是边AC上的一个动点，且BD＝CE，BE与CD交于点F.当△BFD是等腰三角形时，求∠FBD的度数.
解：(1)因为AB＝AC，
所以∠ABC＝∠ACB.
在△BCD和△CBE中，
因为BC＝CB，∠DBC＝∠ECB，BD＝CE，
所以△BCD≌△CBE(SAS)，
所以∠FBC＝∠FCB.
(2)因为AB＝AC，∠A＝45°，
所以∠ABC＝∠ACB＝(180－∠A)＝67.5°.
由(1)知∠FBC＝∠FCB，
所以∠FBD＝∠ECF.
设∠FBD＝∠ECF＝x，
则∠FBC＝∠FCB＝67.5°－x，∠ADC＝180°－(∠A＋∠ECF)＝135°－x，
所以∠BFC＝180°－(∠FBC＋∠FCB)＝45°＋2x，∠BDF＝180°－∠ADC＝45°＋x，
所以∠DFB＝180°－∠BFC＝135°－2x.
因为△BFD是等腰三角形，故分三种情况讨论：
①当BD＝BF时，∠BDF＝∠DFB，
所以x＋45°＝135°－2x，
解得x＝30°，所以∠FBD＝30°；
②当BD＝DF时，∠FBD＝∠DFB，
所以x＝135°－2x，
解得x＝45°，即∠FBD＝45°；
③当BF＝DF时，∠FBD＝∠FDB，
所以x＝x＋45°，无解.
综上所述，∠FBD的度数为30°或45°.
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