2016年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线（含解析）

2016年高考数学理试题分类汇编
圆锥曲线
一、选择题
1、（2016年四川高考）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线
上任意一点，M是线段PF上的点，且=2,则直线OM的斜率的最大值为
（A）
（B）
（C）
（D）1
【答案】C
【解析】设（不妨设），则
，故选C.
考点：1.抛物线的简单的几何性质；2.平面向量的线性运算.
2、（2016年天津高考）已知双曲线（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（
）
（A）（B）（C）（D）
【答案】D
【解析】渐近线
设，则，
∴，∴，∴，∴
∴
考点：双曲线渐近线
3、（2016年全国I高考）已知方程–=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是
（A）(–1,3)
（B）(–1,)
（C）(0,3)
（D）(0,)
【答案】A
【解析】由题意知：双曲线的焦点在轴上，所以，解得：，因为方程表示双曲线，所以，解得，所以的取值范围是，故选A．
考点：双曲线的性质
4、（2016年全国I高考）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|=，|DE|=，则C的焦点到准线的距离为
（A）2
（B）4
（C）6
（D）8
【答案】B
【解析】
试题分析：如图，设抛物线方程为，圆的半径为r,交轴于点，则，即点纵坐标为，则点横坐标为，即，由勾股定理知，，即，解得，即的焦点到准线的距离为4，故选B.
考点：抛物线的性质
5、（2016年全国II高考）圆的圆心到直线的距离为1，则a=（
）
（A）
（B）
（C）
（D）2
【答案】A
考点：
圆的方程、点到直线的距离公式.
6、（2016年全国II高考）圆已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则E的离心率为（
）
（A）
（B）
（C）
（D）2
【答案】A
【解析1】
离心率，由正弦定理得．
故选A．
【解析2】
考点：双曲线的性质.离心率.
7、（2016年全国III高考）已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P
为C上一点，且轴.过点A的直线l与线段交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中
点，则C的离心率为
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】A
考点：椭圆方程与几何性质．
8、（2016年浙江高考）
已知椭圆C1：+y2=1(m>1)与双曲线C2：–y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则
A．m>n且e1e2>1
B．m>n且e1e2<1
C．m1
D．m【答案】A
【解析】由题意知，即，，代入，得．故选A．
二、填空题
1、（2016年北京高考）双曲线（，）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则_______________.
【答案】2
【解析】不妨令为双曲线的右焦点，在第一象限，则双曲线图象如图
∵为正方形，∴，
∵直线是渐近线，方程为，∴
又∵∴
考点：双曲线的性质
2、（2016年山东高考）已知双曲线E：
（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______.
【答案】2
【解析1】由题意，所以，
于是点在双曲线上，代入方程，得，
在由得的离心率为，应填2.
【解析2】
考点：双曲线的几何性质，把涉及到的两个线段的长度表示出来是做题的关键.
3、（2016年上海高考）已知平行直线，则的距离_______________
【答案】
【解析】试题分析：
利用两平行线间距离公式得
考点：主要考查两平行线间距离公式.
4、（2016年浙江高考）若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_______．
【答案】
【解析】
三、解答题
1、（2016年北京高考）
已知椭圆C：
（）的离心率为
，，，，的面积为1.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设的椭圆上一点，直线与轴交于点M，直线PB与轴交于点N.
求证：为定值.
【答案】（1）；（2）详见解析.
【分析】
试题分析：（1）根据离心率为，即，的面积为1，即，椭圆中列方程求解；（2）根据已知条件分别求出，的值，求其乘积为定值.
【解析】⑴由已知，，又，
解得
∴椭圆的方程为.
⑵方法一：
设椭圆上一点，则.
直线：,令，得.
∴
直线：,令，得.
∴
将代入上式得
故为定值.
方法二：
设椭圆
上一点，
直线PA:,令，得.
∴
直线:,令，得.
∴
故为定值.
考点：1.椭圆方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系.
2、（2016年山东高考）平面直角坐标系中，椭圆C： 的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点.
（I）求椭圆C的方程；
（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
（i）求证：点M在定直线上;
（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求
的最大值及取得最大值时点P的坐标.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）（i）见解析；（ii）的最大值为，此时点的坐标为
【解析】(Ⅰ)
由离心率是，有，
又抛物线的焦点坐标为，所以，于是，
所以椭圆的方程为．
(Ⅱ)
（i）设点坐标为，
由得，所以在点处的切线的斜率为，
因此切线的方程为，
设，，
将代入，得
．
于是，，
又，
于是　直线的方程为．
联立方程与，得的坐标为．
所以点在定直线上．
（ii）在切线的方程为中，令，得，
即点的坐标为，又，，
所以；
再由，得
于是有
．
令，得
当时，即时，取得最大值．
此时，，所以点的坐标为．
所以的最大值为，取得最大值时点的坐标为．
考点：椭圆方程；直线和抛物线的关系；二次函数求最值；运算求解能力.
3、（2016年上海高考）
有一块正方形菜地,所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到点或河边运走。于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为（1,0），如图
求菜地内的分界线的方程
菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为。设是上纵坐标为1的点，请计算以为一边、另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的经验值
【答案】（1）（）．（2）五边形面积更接近于面积的“经验值”．
【解析】
试题分析：（1）由上的点到直线与到点的距离相等，知是以为焦点、以
为准线的抛物线在正方形内的部分．
（2）计算矩形面积，五边形面积．进一步计算矩形面积与“经验值”之差的绝对值，五边形面积与“经验值”之差的绝对值，比较二者大小即可．
试题解析：（1）因为上的点到直线与到点的距离相等，所以是以为焦点、以
为准线的抛物线在正方形内的部分，其方程为（）．
（2）依题意，点的坐标为．
所求的矩形面积为，而所求的五边形面积为．
矩形面积与“经验值”之差的绝对值为，而五边形面积与“经验值”之差
的绝对值为，所以五边形面积更接近于面积的“经验值”．
考点：1.抛物线的定义及其标准方程；2.面积.
4、（2016年上海高考）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点。
（1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设，若的斜率存在，且，求的斜率.
【答案】（1）．（2）.
【解析】
试题分析：（1）设．根据是等边三角形，得到，解得．
（2）（2）设，，直线与双曲线方程联立，得到一元二次方程，根据与双曲线交于两点，可得，且．
设的中点为．由，计算，从而．
得出的方程求解．
试题解析：（1）设．
由题意，，，，
因为是等边三角形，所以，
即，解得．
故双曲线的渐近线方程为．
（2）由已知，，．
设，，直线．显然．
由，得．
因为与双曲线交于两点，所以，且．
设的中点为．
由即，知，故．
而，，，
所以，得，故的斜率为．
考点：1.双曲线的几何性质；2.直线与双曲线的位置关系；3.平面向量的数量积.
5、（2016年四川高考）已知椭圆E：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l:y＝－x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.
（I）求椭圆E的方程及点T的坐标；
（II）设O是坐标原点，直线l’平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得∣PT∣2=λ∣PA∣·
∣PB∣，并求λ的值.
【答案】（I），点T坐标为（2,1）；（Ⅱ）.
有方程组
得.①
方程①的判别式为，由，得，
此方程①的解为，
所以椭圆E的方程为.
点T坐标为（2,1）.
由②得.
所以
，
同理，
所以
.
故存在常数，使得.
考点：椭圆的标准方程及其几何性质.
6、（2016年天津高考）设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中
为原点，为椭圆的离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（2）（Ⅱ）解：设直线的斜率为（），则直线的方程为.设，由方程组，消去，整理得.
解得，或，由题意得，从而.
由（Ⅰ）知，，设，有，.由，得，所以，解得.因此直线的方程为.
设，由方程组消去，解得.在中，，即，化简得，即，解得或.
所以，直线的斜率的取值范围为.
考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程
7、（2016年全国I高考）设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.
【答案】（Ⅰ）（）（II）
【解析】利用椭圆定义求方程；（II）把面积表示为关于斜率k的函数，再求最值。
试题解析：（Ⅰ）因为，，故，
所以，故.
又圆的标准方程为，从而，所以.
由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（）.
考点：圆锥曲线综合问题
8、（2016年全国II高考）已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于两点，点在上，．
（Ⅰ）当时，求的面积；
（Ⅱ）当时，求的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
⑴当时，椭圆E的方程为，A点坐标为，
则直线AM的方程为．
联立并整理得，
解得或，则
因为，所以
因为，，
所以，整理得，
无实根，所以．
所以的面积为．
⑵直线AM的方程为，
联立并整理得，
解得或，
所以
所以
因为
所以，整理得，．
因为椭圆E的焦点在x轴，所以，即，整理得
解得．
考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.
9、（2016年全国III高考）已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．
（I）若在线段上，是的中点，证明；
（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．
考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．
10、（2016年浙江高考）如图，设椭圆（a＞1）.
（I）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；
（II）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.
【试题解析】（I）设直线被椭圆截得的线段为，由得
，故，．
因此．
（II）假设圆与椭圆的公共点有个，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点，，满足
．
记直线，的斜率分别为，，且，，．