2025几何模型专项训练：一线三等角构造全等模型（含答案）

2025几何模型专项训练：一线三等角构造全等模型
一．选择题（共10小题）
1．如图，AC=CE，∠ACE=90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB=6cm,DE=2cm,则BD等于（　　）
A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm
2．如图，由AB=AC，∠B=∠C，便可证得△BAD≌△CAE，其全等的理由是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
3．如图，AC=AB=BD，∠ABD=90°，BC=8，则△BCD的面积为（　　）
A．8 B．12 C．14 D．16
4．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，0），点B的坐标是（0，3），把线段BA绕点B逆时针旋转90°后得到线段BC，则点C的坐标是（　　）
A．（3，4） B．（4，3） C．（4，7） D．（3，7）
5．如图，在△PMN中，PM=PN，PM⊥PN，P（0，2），N（2，-2），则M的坐标是（　　）
A．（-2，0） B．（-2，0） C．（-2，0） D．（-4，0）
6．如图，E为线段BC上一点，∠ABE=∠AED=∠ECD=90°，AE=ED，BC=20，AB=8，则BE的长度为（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
7．如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB，AC⊥BC，且AD=CD=AB=2，则BC为（　　）
A．1 B． C． D．
8．如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为AB边上一点，点F在BC边上，且BF=1，将点E绕着点F顺时针旋转90°得到点G，连接DG，则DG的长的最小值为（　　）
A．2 B．2 C．3 D．
9．如图，在等腰直角△ABC中，O是斜边BC的中点，P是OC上一点，分别过B，C作射线AP的垂线BD，CE，垂足分别为D，E，连结EO并延长交BD于F．若△ABC和△DEF的面积分别记作S1和S2，且S1-S2=12，则△AEC的面积是（　　）
A．4 B．6 C．9 D．12
10．如图，△ABC内接于圆O，已知∠ACB=90°，AC=BC，顶点A，B，C恰好分别落在一组平行线中的三条直线上，若相邻两条平行线间的距离是1cm,则图中阴影部分的面积为（　　）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
二．填空题（共6小题）
11．如图，一块含45°的三角板的一个顶点A与矩形ABCD的顶点重合，直角顶点E落在边BC上，另一顶点F恰好落在边CD的中点处，若BC=12，则AB的长为 ______．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，若AD=8cm,BE=3cm,则DE=______cm.
13．如图，等边△ABC中，CH⊥AB于点H，点D、E分别在边AB、BC上，连接DE，点F在CH上，连接EF，若DE=EF，∠DEF=60°，BE=2，CE=8，则DH=______．
14．如图，在正方形ABCD中，AB=6，E是对角线AC上的一点，连结BE，过点E作EF⊥BE交AD于点F．△BCE和△AEF的面积分别为S1和S2，若2S1=3S2，则CE的长为 ______．
15．如图，直线l上有三个边长分别为a,b,c的正方形，则有a2+c2______b2（填“＞”或“＜”或“=”）．
16．如图所示，已知△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，点D和点E分别是AB和AC边上的动点，满足AD=CE，连接DE，点F是DE的中点，则的最大值为 ______．
三．解答题（共5小题）
17．如图，在△ABC中，AB=AC，BC，AB边上的高AD，CE相交于点F，且AE=CE．
（1）求证：△AEF≌△CEB；
（2）若AF=12，求CD的长．
18．已知：如图，△ABC中，∠CAB=60°，D是BC的中点，延长AB到点E，使BE=AC，连接CE，AD．过点B作AC的平行线交AD的延长线于点F，连接EF．
①求证：△BEF是等边三角形；
②求证：CE=2AD．
19．已知：如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A（2，3），点B在第四象限，△ABO中，OA=OB，∠AOB=90°．
（1）求点B的坐标；
（2）求AB直线解析式．
20．问题1：如图①，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，P是BC上一点，PA=PD，AB+BP=BC．
求证：∠APD=90°；
问题2：如图②，在三角形ABC中，∠B=∠C=45°，P是AC上一点，PE=PD，且∠EPD=90°．
求的值．
21．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线MN，过点A作AM⊥MN于点M，过点B作BN⊥MN于点N．
（1）如图1，当直线MN在△ABC外时，证明：MN=AM+BN．
（2）如图2，当直线MN经过△ABC内部时，其他条件不变，则AM，BN与MN之间有怎样的数量关系？请说明理由．
2025几何模型专项训练：一线三等角构造全等模型
(参考答案)
一．选择题（共10小题）
1、B 2、C 3、D 4、D 5、D 6、A 7、B 8、C 9、B 10、C
二．填空题（共6小题）
11、8； 12、5； 13、1； 14、2； 15、=； 16、+1；
三．解答题（共5小题）
17、（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠B+∠BCE=90°，
∴∠EAF=∠ECB，
在△AEF和△CEB中，
，
∴△AEF≌△CEB（ASA）．
（2）解：∵△AEF≌△CEB，
∴AF=BC，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴CD=BD，BC=2CD，
∴AF=2CD，
∴CD=AF=×12=6．
18、证明：（1）∵BF∥AC，∴∠FBE=∠CAB=60°，∠DFB=∠DAC，在△DFB和△DAC中，
，
∴△DFB≌△DAC（AAS），
∴FB=AC，FD=AD，
∴FB=BE，
∴△BEF是等边三角形；
（2）∵∠FEA=60°，∠CAE=60°，
∴∠CAE=∠FEA，
∵EF=BE，BE=AC，
∴AC=EF，
在△ACE和△EFA中，
，
∴△ACE≌△EFA（SAS），
∴CE=FA=2AD．
19、解：（1）过A点作AC⊥y轴，垂足为C；过B点作BD⊥y轴，垂足为D，
∴∠ACO=∠BDO=90°，
∵A（2，3），
∴AC=2，OC=3，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∵∠AOC+∠CAO=90°，
∴∠BOD=∠OAC，
在△ACO和△ODB中，
，
∴△ACO≌△ODB（AAS），
∴OD=AC=2，BD=OC=3，
∴B坐标为（3，-2）；
（2）设AB直线解析式为：y=kx+b,
把（2，3）（3，-2）代入y=kx+b中可得：
，
解得：，
∴AB直线解析式为：y=-5x+13．
20、问题1：证明：∵BP+PC=BC，BP+AB=BC，
∴PC=AB，
在Rt△ABP与Rt△PCD中，
，
∴Rt△ABP≌Rt△PCD（HL），
∴∠APB=∠PDC，
∴∠APD=180°-∠APB-∠DPC=180°-（∠PDC+∠DPC）=180°-90°=90°；
问题2：过D点作DF⊥AC于点F，
在ABC中，∠A=180°-∠B-∠C=90°，
∴∠A=∠PFD，
∵∠APE+∠DPF=90°∠AEP+∠APE=90°，
∴∠DPF=∠AEP，
在△APE与△FDP中，
，
∴△APE≌△FDP（AAS），
∴AE=PF，AP=DF，
在△DPF中，∠FDC=90°-∠C=90°-45°=45°，
∴DF=FC，
∴AP=FC，
∴PC=PF+FC=AE+AP，
∴．
21、证明：（1）∵AM⊥MN，BN⊥MN，∠ACB=90°，
∴∠AMC=∠CNB=90°，
∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
在△AMC和△CNB中，
，
∴△AMC≌△CNB（AAS），
∴AM=NC，MC=BN，
∵MN=NC+MC，
∴MN=AM+BN；
（2）MN=BN-AM．
∵AM⊥MN，BN⊥MN，∠ACB=90°，
∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
在△AMC和△CNB中，
，
∴△AMC≌△CNB（AAS），
∴AM=CN，MC=NB，
∵MN=CM-CN，
∴MN=BN-AM．