【江苏省各地区真题汇编】平面解析几何考前专题特训-2025年高考数学（含解析）

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【江苏省各地区真题汇编】平面解析几何考前专题特训-2025年高考数学
一．选择题（共8小题）
1．（2025 武进区校级一模）若直线l：y＝kx（k＞0）与双曲线有两个不同交点，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025 滨海县校级模拟）已知抛物线y2＝2px的焦点为F，点A，B，C在抛物线上，F为△ABC的重心，且，则p的值为（　　）
A．3 B．4 C．5| D．61
3．（2025 江苏一模）圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣1＝0的所有经过坐标原点的弦中最短弦长为（　　）
A． B．2 C． D．4
4．（2025 南通模拟）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，A为C的左支上一点，AF1与C的一条渐近线平行．若|AF2|＝|F1F2|，则C的离心率为（　　）
A．2 B． C．3 D．
5．（2024秋 无锡校级期中）已知圆，圆，若圆C2平分圆C1的周长，则n2﹣m的最小值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．9
6．（2025 江苏三模）已知点A（0，2），若圆（x﹣a）2+（y﹣a+4）2＝1上存在点P，使得|PO|2+|PA|2＝34（O为坐标原点），则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，0]∪[5，+∞）
B．[0，5]
C．[，﹣3]∪[0，]
D．
7．（2025 如皋市模拟）已知椭圆C：1，称点P（x0，y0）和直线l：1是椭圆C的一对极点和极线，每一对极点与极线是一一对应关系．当P在椭圆外时，其极线l是椭圆从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）．结合阅读材料回答下面的问题：已知P是直线yx+4上的一个动点，过点P向椭圆C：1引两条切线，切点分别为M，N，直线MN恒过定点T，当时，直线MN的方程为（　　）
A．x+2y﹣4＝0 B．x+2y+4＝0 C．2x﹣y﹣4＝0 D．2x+y﹣4＝0
8．（2025春 海安市校级月考）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点F1发出的光线经过椭圆上的P点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点F2，且在P点处的切线垂直于法线（即∠F1PF2的角平分线）．已知椭圆C：上点P处的法线l交x轴于点Q，且，入射角∠F1PQ，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 南通校级模拟）已知圆Γ：x2+y2﹣2ax﹣2by＝0（ab≠0），直线l：xcosθ+ysinθ＝0，则（　　）
A．对任意满足条件的实数a，b与θ，直线l与圆Γ始终相切
B．对任意满足条件的实数a，b与θ，直线l与圆Γ有公共点
C．对任意实数θ，必存在满足条件的实数a，b，使得直线l与圆Γ相切
D．对任意满足条件的实数a，b，必存在实数θ，使得直线l与圆Γ相切
（多选）10．（2024秋 海州区校级期末）已知椭圆C：1的右焦点为F，抛物线Γ以F为焦点，过F的直线l交抛物线Γ于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，下列说法正确的是（　　）
A．若x1+x2＝8，则|AB|＝10
B．当时，直线l的倾斜角为45°
C．若M（4，2），P为抛物线Γ上一点，则|PM|+|PF|的最小值为
D．4|AF|+|BF|的最小值为9
（多选）11．（2024秋 新吴区校级月考）在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线C：y2＝2px（p＞0）绕其顶点分别逆时针旋转90°，180°，270°后所得三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A，B为C与其中两条曲线的交点，若：p＝2，则（　　）
A．开口向上的抛物线的方程为y＝4x2
B．|AB|＝8
C．直线x+y＝t截第一象限花瓣的弦长最大值为
D．阴影区域的面积不大于32
三．填空题（共3小题）
12．（2024秋 玄武区校级月考）若直线y＝k（x﹣3）与双曲线只有一个公共点，则k的一个取值为 　 　 ．
13．（2024秋 江苏月考）设F1，F2是双曲线C：的左、右焦点，点A是C右支上一点，若△AF1F2的内切圆的圆心为M，半径为a，且 λ∈R，使得，则C的离心率为 　 　 ．
14．（2010 连云港模拟）直线x+2y﹣2＝0经过椭圆1（a＞b＞0）的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于　 　 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025 南通校级模拟）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，经过点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若等腰直角三角形ABC的三个顶点均在双曲线C上，求△ABC面积的最小值．
16．（2024秋 南京期末）已知椭圆长轴长为4，且椭圆C的离心率，其左右焦点分别为F1，F2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设斜率为且过F2的直线l与椭圆C交于P，Q两点，求△F1PQ的面积．
17．（2024秋 邗江区校级月考）已知⊙C的圆心在直线3x﹣y﹣3＝0上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，⊙C被直线l：x﹣y+3＝0截得的弦长为2．
（1）求⊙C的方程；
（2）设点D在⊙C上运动，且点T满足，（O为原点）记点T的轨迹为E．
①求曲线E的方程；
②过点M（1，0）的直线与曲线E交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（2025 江苏校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，设点P（x，y），若点Q满足，其中M（m，n）为定点，则称点Q是点P关于点M的“λ相关点”．
（1）已知点A（1，0），B（0，1），若点C是点A关于点B的“λ相关点”，且，求λ的值．
（2）已知圆O：x2+y2＝1，点M（2，0），点P是圆O上的动点，点Q是点P关于点M的“λ相关点”，若点Q的轨迹与圆O有公共点，求正数λ的取值范围．
19．（2025 秦淮区校级二模）已知点F（1，0）和直线l：x＝2，点P到l的距离d|PF|，记点P的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）过点Q（2，0）作斜率不为0的直线与曲线E交于A，B不同的两点，再过点F（1，0）作直线AB的平行线与曲线E交于不同的两点C，D．
①证明：为定值；
②求△QCD面积的取值范围．
【江苏省各地区真题汇编】平面解析几何考前专题特训-2025年高考数学
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B B C D B A D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BD AD BCD
一．选择题（共8小题）
1．（2025 武进区校级一模）若直线l：y＝kx（k＞0）与双曲线有两个不同交点，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为的渐近线方程为，
与直线l：y＝kx（k＞0）有两个不同的交点，
又直线l过原点，则
则k的取值范围是．
故选：B．
2．（2025 滨海县校级模拟）已知抛物线y2＝2px的焦点为F，点A，B，C在抛物线上，F为△ABC的重心，且，则p的值为（　　）
A．3 B．4 C．5| D．61
【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，
不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），
此时x1x2x3（x1+x2+x3），
因为F为△ABC 的重心，所以，所以，
则|AF|+|BF|+|CF|＝3p＝12，解得 p＝4．
故选：B．
3．（2025 江苏一模）圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣1＝0的所有经过坐标原点的弦中最短弦长为（　　）
A． B．2 C． D．4
【解答】解：由x2+y2﹣2x﹣2y﹣1＝0知，圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝3，如下图：
其中O为坐标原点，圆心为M（1，1），AB是过原点的一条弦，
所以，
当AB⊥MO时，AB是所有经过坐标原点的弦中最短的弦，此时．
故选：B．
4．（2025 南通模拟）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，A为C的左支上一点，AF1与C的一条渐近线平行．若|AF2|＝|F1F2|，则C的离心率为（　　）
A．2 B． C．3 D．
【解答】解：已知|AF2|＝|F1F2|＝2c，
设|AF1|＝m，由双曲线定义可得|AF2|﹣|AF1|＝2a，
所以m＝2c﹣2a，
由于AF1与渐近线平行，可得tan∠AF1F2，
则，
在△AF1F2中，由余弦定理可得，
整理得c2﹣4ac+3a2＝0，双曲线离心率为，
则e2﹣4e+3＝0，解得e＝3，
因此，双曲线的离心率为3．
故选：C．
5．（2024秋 无锡校级期中）已知圆，圆，若圆C2平分圆C1的周长，则n2﹣m的最小值为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．9
【解答】解：∵方程x2+y2+mx+ny＝0表示圆，
∴m2+n2﹣4×0＞0，即m2+n2＞0．
圆，圆，
两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在直线l的方程：（m+2）x+（n+4）y＝0．
若圆C2平分圆C1的周长，则圆C1的圆心在直线l上，
∵圆的圆心为（1，2），
∴（m+2）+2（n+4）＝0，即m＝﹣2n﹣10，
∴n2﹣m＝n2+2n+10＝（n+1）2+9，
当n＝﹣1时，n2﹣m取最小值9．
故选：D．
6．（2025 江苏三模）已知点A（0，2），若圆（x﹣a）2+（y﹣a+4）2＝1上存在点P，使得|PO|2+|PA|2＝34（O为坐标原点），则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，0]∪[5，+∞）
B．[0，5]
C．[，﹣3]∪[0，]
D．
【解答】解：设P（x，y），点A（0，2），使得|PO|2+|PA|2＝34（O为坐标原点），
可得P的轨迹方程为：x2+y2+x2+（y﹣2）2＝34，
即：x2+（y﹣1）2＝16，由题意可得：4﹣1＝34+1＝5，
解得a∈[0，5]．
故选：B．
7．（2025 如皋市模拟）已知椭圆C：1，称点P（x0，y0）和直线l：1是椭圆C的一对极点和极线，每一对极点与极线是一一对应关系．当P在椭圆外时，其极线l是椭圆从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）．结合阅读材料回答下面的问题：已知P是直线yx+4上的一个动点，过点P向椭圆C：1引两条切线，切点分别为M，N，直线MN恒过定点T，当时，直线MN的方程为（　　）
A．x+2y﹣4＝0 B．x+2y+4＝0 C．2x﹣y﹣4＝0 D．2x+y﹣4＝0
【解答】解：设，则MN的直线方程为：1，
整理得x0（x﹣2y）+16y﹣16＝0，
由.解得，定点T（2，1），
，则T为MN中点，，所以，
，即x+2y﹣4＝0．
故选：A．
8．（2025春 海安市校级月考）古希腊数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点F1发出的光线经过椭圆上的P点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点F2，且在P点处的切线垂直于法线（即∠F1PF2的角平分线）．已知椭圆C：上点P处的法线l交x轴于点Q，且，入射角∠F1PQ，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由，可得：|F1Q|＝3|QF2|，
由角平分线的性质可得：，
所以|PF1|＝3|PF2|，
设|PF1|＝3|PF2|＝3x，
由题意，因为，
所以，
由余弦定理可得，
解得，
又|PF1|+|PF2|＝2a，
所以，
得：．
故选：D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 南通校级模拟）已知圆Γ：x2+y2﹣2ax﹣2by＝0（ab≠0），直线l：xcosθ+ysinθ＝0，则（　　）
A．对任意满足条件的实数a，b与θ，直线l与圆Γ始终相切
B．对任意满足条件的实数a，b与θ，直线l与圆Γ有公共点
C．对任意实数θ，必存在满足条件的实数a，b，使得直线l与圆Γ相切
D．对任意满足条件的实数a，b，必存在实数θ，使得直线l与圆Γ相切
【解答】解：因为圆Γ的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝a2+b2，圆心为（a，b），半径为，
又圆心到直线l：xcosθ+ysinθ＝0的距离为，其中，
因为，故A错误，B正确；
若直线与圆相切，则有，
得到，
则，
对于C，当θ＝0，显然不存在实数a，b，使，故C错误；
对于D，因为对任意满足条件的实数a，b，总有确定的角φ，使，
则必然实数存在θ，使，故D正确．
故选：BD．
（多选）10．（2024秋 海州区校级期末）已知椭圆C：1的右焦点为F，抛物线Γ以F为焦点，过F的直线l交抛物线Γ于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，下列说法正确的是（　　）
A．若x1+x2＝8，则|AB|＝10
B．当时，直线l的倾斜角为45°
C．若M（4，2），P为抛物线Γ上一点，则|PM|+|PF|的最小值为
D．4|AF|+|BF|的最小值为9
【解答】解：对于A选项，由题意得F（1，0），故抛物线方程为y2＝4x，
过F的直线l交抛物线Γ于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
由抛物线定义得|AB|＝x1+x2+p＝x1+x2+2＝8+2＝10，A正确；
对于B选项，由于直线l的斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不合要求，舍去，
设直线AB：x＝my+1，联立y2＝4x，得y2﹣4my﹣4＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y2＝﹣4y1，
由韦达定理得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，
故，解得，
故直线l的斜率为，倾斜角不为45°，B错误；
对于C选项，由题意得，准线方程为x＝﹣1，过点P作PG⊥准线（x＝﹣1）于点G，
由抛物线定义得|PM|＝|PG|，
故|PM|+|PF|＝|PG|+|PF|，
要想求得|PM|+|PF|的最小值，则过点M作MQ⊥准线（x＝﹣1）于点Q，
故|PM|+|PF|的最小值为|MQ|，最小值为4+1＝5，C错误；
对于D选项，由题意得|AF|＝x1+1，|BF|＝x2+1，
由于y1y2＝﹣4，故，
4|AF|+|BF|＝4x1+4+x2+1＝4x1+x2+5，
因为x1，x2＞0，由基本不等式得，
当且仅当4x1＝x2时，等号成立，
故4|AF|+|BF|的最小值为9，D正确．
故选：AD．
（多选）11．（2024秋 新吴区校级月考）在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线C：y2＝2px（p＞0）绕其顶点分别逆时针旋转90°，180°，270°后所得三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A，B为C与其中两条曲线的交点，若：p＝2，则（　　）
A．开口向上的抛物线的方程为y＝4x2
B．|AB|＝8
C．直线x+y＝t截第一象限花瓣的弦长最大值为
D．阴影区域的面积不大于32
【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）绕其顶点分别逆时针旋转90°，180°，270°后所得三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A，B为C与其中两条曲线的交点，
对于选项A，开口向右的抛物线方程为C：y2＝4x，顶点在原点，
焦点为F1（1，0），
将其逆时针旋转90°后得到的抛物线开口向上，焦点为F2（0，1），则其方程为x2＝4y，
即，故A选项错误；
对于选项B，根据A选项分析，由可解得，x＝0或x＝4，即xA＝4，
代入可得yA＝4，
由图象的对称性，可得A（4，4）、B（4，﹣4），故|AB|＝8，即B选项正确；
对于选项C，
设直线y＝x+m1与抛物线y2＝4x相切，联立可得y2﹣4y+4m1＝0，
由Δ＝16﹣16m1＝0可得m1＝1，且方程y2﹣4y+4m1＝0即为y2﹣4y+4＝0，
解得y＝2，x＝1，此时，切点坐标为（1，2），
设直线y＝x+m2与抛物线x2＝4y相切，联立可得x2﹣4x﹣4m2＝0，
由Δ＝16+16m2＝0可得m2＝﹣1，此时方程x2﹣4x﹣4m2＝0即为x2﹣4x+4＝0，
解得x＝2，y＝1，此时，切点坐标为（2，1），
两切点连线的斜率为，即切点的连线与直线x+y＝t垂直，
故当M（1，2）、N（2，1）时，|MN|取最大值，
且其最大值为，C选项正确；
对于选项D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值．
如图，
对函数求导得，则抛物线在点A（4，4）处的切线斜率为，
所以，抛物线在点A处的切线方程为y﹣4＝2（x﹣4），即y＝2x﹣4，
该切线交x轴于点E（2，0），
所以，半个花瓣的面积必小于，
故原图中的阴影部分面积必小于8S△AOE＝8×4＝32，故D选项正确．
故选：BCD．
三．填空题（共3小题）
12．（2024秋 玄武区校级月考）若直线y＝k（x﹣3）与双曲线只有一个公共点，则k的一个取值为 　（答案不唯一）　 ．
【解答】解：双曲线，
则双曲线的渐近线方程为y，
直线y＝k（x﹣3）过定点（3，0），
因为点（3，0）在双曲线开口之内，
所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点，即该直线与双曲线的渐近线平行，
故k．
故答案为：（答案不唯一）．
13．（2024秋 江苏月考）设F1，F2是双曲线C：的左、右焦点，点A是C右支上一点，若△AF1F2的内切圆的圆心为M，半径为a，且 λ∈R，使得，则C的离心率为 　2　 ．
【解答】解：不妨设点A在第一象限，
此时点M也在第一象限，
设A（x1，y1），M（xM，a），F2（c，0），
因为，
所以（xM﹣x1，a﹣y1）+2（xM，a）＝λ（c，0），
解得3a＝y1，
此时，
因为，
所以，
解得|AF1|+|AF2|＝4c，
易知|AF1|﹣|AF2|＝2a，
所以|AF1|＝a+2c，|AF2|＝2c﹣a，
因为
，
又x1＞a，
所以，
则，
因为|AF2|＝2c﹣a，
所以，x1＝2a，
即A（2a，3a），
因为点A在双曲线上，
所以，
解得，
则双曲线C的离心率为．
故答案为：2．
14．（2010 连云港模拟）直线x+2y﹣2＝0经过椭圆1（a＞b＞0）的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于　　 ．
【解答】解：由题意知椭圆的焦点在x轴上，又直线x+2y﹣2＝0与x轴、y轴的交点分别为（2，0）、（0，1），它们分别是椭圆的焦点与顶点，∴b＝1，c＝2，
∴a，e．
故答案为
四．解答题（共5小题）
15．（2025 南通校级模拟）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，经过点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若等腰直角三角形ABC的三个顶点均在双曲线C上，求△ABC面积的最小值．
【解答】解：（1）设双曲线C的焦距为2c，
因为双曲线的离心率为，
所以，c2＝a2+b2，
解得a＝b，
因为双曲线经过点，
所以，
则双曲线C的方程为x2﹣y2＝1；
（2）若等腰直角三角形ABC的三个顶点均在双曲线C上，
设A（x0，y0）为等腰直角三角形的直角顶点，
易知直线AB的斜率存在，
设直线AB的斜率为k（k＞0且k≠1），
此时直线AC的斜率为，
联立，消去y并整理得，
此时，
所以，
即，
可得ky0≠x0，
因为，
所以，
则，
同理得，
因为△ABC为等腰直角三角形，
所以|AB|＝|AC|，
所以|ky0﹣x0|＝|y0+kx0|，
对等式两边平方可得，
因为，
所以，
此时
，
令，k∈（0，1）∪（1，+∞），
此时，
设f（t）＝2t﹣8t3，，
可得f′（t）＝2（1+2t）（1﹣2t），
当时，f′（t）＞0，f（t）单调递增；
当时，f′（t）＜0，f（t）单调递减，
所以，
所以，
当且仅当时，等号成立，
当时，
由，
可得，无解，
同理得时无解，
当时，Δ＞0．
故△ABC面积的最小值为．
16．（2024秋 南京期末）已知椭圆长轴长为4，且椭圆C的离心率，其左右焦点分别为F1，F2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设斜率为且过F2的直线l与椭圆C交于P，Q两点，求△F1PQ的面积．
【解答】解：（1）由题意可知：2a＝4，则a＝2，
∵，∴，∴，
∴椭圆；
（2）由已知可得：，，
∴直线l：，
联立方程组，消去y得，
解得x＝0或，所以P（0，1），，
所以，
又点F1到直线PQ的距离，
∴．
17．（2024秋 邗江区校级月考）已知⊙C的圆心在直线3x﹣y﹣3＝0上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，⊙C被直线l：x﹣y+3＝0截得的弦长为2．
（1）求⊙C的方程；
（2）设点D在⊙C上运动，且点T满足，（O为原点）记点T的轨迹为E．
①求曲线E的方程；
②过点M（1，0）的直线与曲线E交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）不妨设圆C的圆心C的坐标为（1，b），
因为圆C的圆心C在直线3x﹣y﹣3＝0上，
所以3﹣b﹣3＝0，
解得b＝0，
则圆心为（1，0），
而圆心到直线l的距离为，
不妨设圆C的半径为r，
易知弦长为2，
解得r2＝9，
所以圆C的标准方程为（x﹣1）2+y2＝9；
（2）①不妨设T（x，y），D（x′，y′），
易知，
此时，
可知，
解得，
因为D在圆C上运动，（3x﹣1）2+（3y）2＝9，
整理得点T的轨迹方程E为；
②当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB，
当直线AB斜率存在时，不妨设直线AB的方程为y＝k（x﹣1），
联立，消去y并整理得，
此时，
不妨设N（t，0），A（x1，y1），B（x2，y2），
由韦达定理得，
若x轴平分∠ANB，
此时kAN+kBN＝0，
所以，
因为y1＝k（x1﹣1），y2＝k（x2﹣1），
所以2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t＝0，
可得，
整理得，
即，
解得，
则当时，能使x轴平分∠ANB．
18．（2025 江苏校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，设点P（x，y），若点Q满足，其中M（m，n）为定点，则称点Q是点P关于点M的“λ相关点”．
（1）已知点A（1，0），B（0，1），若点C是点A关于点B的“λ相关点”，且，求λ的值．
（2）已知圆O：x2+y2＝1，点M（2，0），点P是圆O上的动点，点Q是点P关于点M的“λ相关点”，若点Q的轨迹与圆O有公共点，求正数λ的取值范围．
【解答】解：（1）因为点C是点A关于点B的“λ相关点”，
所以，，
结合A（1，0），B（0，1），可得，即C（λ，1﹣λ）．
由，可得cos∠AOC，
结合，，λ，可得，
两边平方，化简得2λ2＝λ2+（1﹣λ）2，即2λ2＝λ2+1﹣2λ+λ2，解得．
（2）设P（x0，y0），可得，
若点Q是点P关于点M（2，0）的“λ相关点”，则，，
可得，即Q（λx0+2（1﹣λ），λy0）．
设Q（x，y），则，可得．
结合，化简得，即[x﹣2（1﹣λ）]2+y2＝λ2．
因为点Q的轨迹与圆O有公共点，所以两圆的圆心距d满足||λ|﹣1|≤d≤|λ|+1，
可得，即||λ|﹣1|≤2|1﹣λ|≤|λ|+1．
平方化简得（|λ|﹣1）2≤4（1﹣λ）2≤λ2+2|λ|+1，
结合λ＞0，整理得3λ2﹣10λ+3≤0，解得，可知原不等式的解集为．
综上所述，实数λ的取值范围是．
19．（2025 秦淮区校级二模）已知点F（1，0）和直线l：x＝2，点P到l的距离d|PF|，记点P的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）过点Q（2，0）作斜率不为0的直线与曲线E交于A，B不同的两点，再过点F（1，0）作直线AB的平行线与曲线E交于不同的两点C，D．
①证明：为定值；
②求△QCD面积的取值范围．
【解答】解：（1）设点P（x，y），因为点P到l的距离d|PF|，
所以|x﹣2|，即（x﹣2）2＝2[（x﹣1）2+y2]，
整理得：x2+2y2＝2；
（2）①证明：设直线AB：x＝my+2，则直线CD：x＝my+1，
A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
联立直线AB和曲线E方程，得（m2+2）y2+4my+2＝0，
故y1+y2，y1y2，
且Δ＝16m2﹣8（m2+2）＝8m2﹣16＞0，得m2＞2，
联立直线CD和曲线E方程，得（m2+2）y2+2my﹣1＝0，
得y3+y4，y3y4，
2，故为定值2；
②由①，△QCD面积S|FQ||y3﹣y4|1
，
因为m2＞2，所以y∈（，+∞），
所以S∈（0，）．
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