【考前最后一练】集合-2025年高考数学专题突破（含解析）
文档属性
| 名称 | 【考前最后一练】集合-2025年高考数学专题突破（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 312.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-26 21:29:00 | ||
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文档简介
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【考前最后一练】集合-2025年高考数学专题突破
一．选择题（共8小题）
1．（2025 重庆校级模拟）已知集合A＝{a，0，1}，B＝{x∈R|x2≤1}，则“a＝﹣1”是“A B”的（ ）
A．充要条件
B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件
D．必要不充分条件
2．（2025 天津一模）已知集合U＝{﹣2，0，1，2，3}，M＝{﹣2，2}，N＝{x|﹣1≤x≤2，x∈N}，则（ UM）∩N＝（ ）
A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，0，3} C．{0，1} D．{0，1，2}
3．（2025 邢台二模）已知集合A＝{﹣2，2，﹣2i3}，B＝{x∈C|x2+4＝0}（其中i为虚数单位，C为复数集），则A∩B＝（ ）
A．{﹣2i} B．{﹣2} C．{2i} D．{﹣2，2}
4．（2025 重庆模拟）下列集合之间关系正确的是（ ）
A．{x|x2＝1}＝{x|x3＝x}
B．{x∈R|x2+1＝0} {x∈R|x2﹣1＝0}
C．{1，2} {（x，y）|x+y＝3}
D．{（x，y）|x+y＝3} {（x，y）|}
5．（2025 江岸区校级模拟）设集合A＝{y|y＝x2+3，x∈R}，B＝{x∈N*|x2﹣2x﹣8≤0}，则A∩B＝（ ）
A．[3，4] B．{3，4} C．[3，+∞） D．[﹣2，4]
6．（2025 中山区校级模拟）已知集合A＝{x||x|＞1}，B＝{x|x2﹣2x＜0}，则A∪B＝（ ）
A．（﹣∞，0）∪（2，+∞） B．（1，2）
C．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） D．（﹣1，1）
7．（2025 和平区三模）设全集U＝Z，集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝3k﹣1，k∈Z}， U（A∪B）＝（ ）
A． B．{x|x＝3k+1，k∈Z}
C．{x|x＝3k+2，k∈Z} D．{x|x＝3k+3，k∈Z}
8．（2025 武功县校级模拟）已知{a，b} {﹣1，0，1，2，3，4}，（a，b）∈{（x，y）|x2+y2≤4}，则（a，b）可能的取值的个数为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 新乡三模）已知非空数集M具有如下性质：
①若x，y∈M，则；
②若x，y∈M，则x+y∈M．
下列说法中正确的有（ ）
A．﹣1∈M B．2025∈M
C．若x，y∈M，则xy∈M D．若x，y∈M，则x﹣y∈M
（多选）10．（2025 河南模拟）已知全集U＝{x||x|＜4，x∈Z}，集合M＝{﹣1，2，a2}，N＝{﹣1，1，2，a}，P＝{﹣3，﹣1，2，3}，若M N，则（ ）
A．a的取值有3个
B．M∩P＝{﹣1，2}
C．P∪N＝{﹣3，﹣1，0，1，2，3}
D．（ UM）∩（ UP）所有子集的个数为4
（多选）11．（2025 郑州模拟）群论，是代数学的分支学科，群的定义如下：设G是一个非空集合，“ ”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的a，b∈G，有a b∈G；②对任意的a，b，c∈G，有（a b） c＝a （b c）；③存在e∈G，使得对任意的a∈G，有e a＝a e＝a，e称为单位元；④对任意的a∈G，存在b∈G，使a b＝b a＝e，称a与b互为逆元．则称G关于“ ”新构成一个群．则下列说法正确的有（ ）
A．G＝{﹣1，1，﹣i，i}（i为虚数单位）关于数的乘法构成群
B．有理数集Q关于数的加法构成群
C．关于数的除法构成群
D．正实数集R+关于数的乘法构成群
三．填空题（共3小题）
12．（2025 河北模拟）已知集合M＝{x|x＜﹣1或x＞2}，N＝{x|ax2﹣bx﹣2 0}，若M＝ RN，则a﹣b＝ ．
13．（2025 凉山州模拟）已知集合A，B {1，2，3，4，5，6}，则满足A B的有序集组（A，B）的个数为 ．（用数字作答）
14．（2025 芜湖二模）已知有限集合A＝{a1，a2，a3， ，an}，定义集合中的元素的个数为集合A的“容量”，记为|A|．若集合A＝{x∈N*|1≤x≤n}，且|A|＝4047，则正整数n的值是 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 东城区校级期中）已知集合A＝{x∈R|x（2x﹣1）＜0}，B＝{x∈R|ax﹣1＞0}．
（1）当a＝3时，求 RA及A∪B；
（2）若B RA，求实数a的取值范围．
16．（2025春 广东期中）已知集合A＝{x|1﹣a≤x≤1+a}，B＝{x|x2﹣x﹣6≥0}．
（1）当a＝2时，求A∪（ RB）；
（2）若a＞0，且“x∈A”是“x∈ RB”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
17．（2024秋 苏州期末）已知全集U＝R，集合A＝{x|2x2﹣x﹣1＜0}，B＝{x|﹣2a﹣1＜x＜a，a∈R}．
（1）若a＝0，求 UA及A∪B；
（2）若A∩B＝B，求a的取值范围．
18．（2025春 崂山区校级期中）已知S是全体复数集C的一个非空子集，如果 x，y∈S，总有x+y，x﹣y，x y∈S，则称S是数环．设F是数环，如果①F内含有一个非零复数；② x，y∈F且y≠0，有，则称F是数域．由定义知有理数集Q是数域．
（1）求元素个数最小的数环；
（2）记，证明：是数域；
（3）若F1，F2是数域，判断F1∪F2是否是数域，请说明理由．
19．（2025春 浙江期中）设集合U＝{a1，a2， ，an}为实数集，其中a1＜a2＜ ＜an，对U的非空子集A，若满足：①若ai∈A，则an+1﹣i∈A，i＝1，2， ，n；②A中所有元素之和的算术平均数与U中所有元素之和的算术平均数相等，则称A为U的“平衡子集”．
（1）若U1＝{1，2，3}，U2＝{1，2，3，4}，直接写出U1，U2的所有“平衡子集”；
（2）若U＝{1，2，3， ，2n}（n∈N*），
（ⅰ）求U的所有“平衡子集”的个数；
（ⅱ）用f（m）表示U的元素个数为m的“平衡子集”的个数，1≤m≤2n，m∈N*，用g（n）表示U的元素个数为n的子集个数，求[f（1）]2+[f（2）]2+ +[f（2n）]2﹣g（n）的值，并说明理由．
【考前最后一练】集合-2025年高考数学专题突破
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C C B B C B D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BC BCD ABD
一．选择题（共8小题）
1．（2025 重庆校级模拟）已知集合A＝{a，0，1}，B＝{x∈R|x2≤1}，则“a＝﹣1”是“A B”的（ ）
A．充要条件
B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件
D．必要不充分条件
【解答】解：B＝{x∈R|﹣1≤x≤1}，
∴a＝﹣1时，A B；
而A B时，得不出a＝﹣1，比如a，仍满足A B，
∴“a＝﹣1“是“A B“的充分不必要条件．
故选：C．
2．（2025 天津一模）已知集合U＝{﹣2，0，1，2，3}，M＝{﹣2，2}，N＝{x|﹣1≤x≤2，x∈N}，则（ UM）∩N＝（ ）
A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，0，3} C．{0，1} D．{0，1，2}
【解答】解：集合U＝{﹣2，0，1，2，3}，M＝{﹣2，2}，N＝{x|﹣1≤x≤2，x∈N}＝{0，1，2}，
则（ UM）∩N＝{0，1，3}∩{0，1，2}＝{0，1}．
故选：C．
3．（2025 邢台二模）已知集合A＝{﹣2，2，﹣2i3}，B＝{x∈C|x2+4＝0}（其中i为虚数单位，C为复数集），则A∩B＝（ ）
A．{﹣2i} B．{﹣2} C．{2i} D．{﹣2，2}
【解答】解：∵集合A＝{﹣2，2，﹣2i3}＝{﹣2，2，2i}，B＝{x∈C|x2+4＝0}＝{﹣2i，2i}，
∴A∩B＝{2i}．
故选：C．
4．（2025 重庆模拟）下列集合之间关系正确的是（ ）
A．{x|x2＝1}＝{x|x3＝x}
B．{x∈R|x2+1＝0} {x∈R|x2﹣1＝0}
C．{1，2} {（x，y）|x+y＝3}
D．{（x，y）|x+y＝3} {（x，y）|}
【解答】解：{x|x2＝1}＝{﹣1，1}，{x|x3＝x}＝{0，﹣1，1}，A错误；
{x∈R|x2+1＝0}＝ ，B正确；
{1，2}是数集，{（x，y）|x+y＝3}是点集，这两个集合没有关系，C错误；
{（x，y）|x+y＝3}表示直线x+y＝3上的点形成的集合，有无数个元素；{（x，y）|}表示直线x+y＝3和直线2x﹣y＝1交点形成的集合，只有一个元素，D错误．
故选：B．
5．（2025 江岸区校级模拟）设集合A＝{y|y＝x2+3，x∈R}，B＝{x∈N*|x2﹣2x﹣8≤0}，则A∩B＝（ ）
A．[3，4] B．{3，4} C．[3，+∞） D．[﹣2，4]
【解答】解：因为B＝{x∈N*|x2﹣2x﹣8≤0}＝{x∈N*|﹣2≤x≤4}＝{1，2，3，4}，
A＝{y|y＝x2+3，x∈R}＝{y|y≥3}＝[3，+∞），
所以A∩B＝{3，4}．
故选：B．
6．（2025 中山区校级模拟）已知集合A＝{x||x|＞1}，B＝{x|x2﹣2x＜0}，则A∪B＝（ ）
A．（﹣∞，0）∪（2，+∞） B．（1，2）
C．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） D．（﹣1，1）
【解答】解：集合A＝{x||x|＞1}＝{x|x＞1或x＜﹣1}，B＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，
则A∪B＝（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．
故选：C．
7．（2025 和平区三模）设全集U＝Z，集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝3k﹣1，k∈Z}， U（A∪B）＝（ ）
A． B．{x|x＝3k+1，k∈Z}
C．{x|x＝3k+2，k∈Z} D．{x|x＝3k+3，k∈Z}
【解答】解：A∪B＝{x|x＝3k，或x＝3k﹣1，k∈Z}；
∵A U，B U；
∴ U（A∪B）＝{x|x＝3k﹣2＝3（k﹣1）+1，k∈Z}．
故选：B．
8．（2025 武功县校级模拟）已知{a，b} {﹣1，0，1，2，3，4}，（a，b）∈{（x，y）|x2+y2≤4}，则（a，b）可能的取值的个数为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【解答】解：a＝﹣1时，则b∈{0，1}，
所以（a，b）为（﹣1，0）或（﹣1，1），
当a＝0时，则b∈{﹣1，1，2}，
所以（a，b）为（0，﹣1）或（0，1）或（0，2），
当a＝1时，则b∈{﹣1，0}，
所以（a，b）为（1，﹣1）或（1，0），
当a＝2，则b＝0，
所以（a，b）为（2，0），
综上所述，（a，b）可能的取值的个数为8个．
故选：D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 新乡三模）已知非空数集M具有如下性质：
①若x，y∈M，则；
②若x，y∈M，则x+y∈M．
下列说法中正确的有（ ）
A．﹣1∈M B．2025∈M
C．若x，y∈M，则xy∈M D．若x，y∈M，则x﹣y∈M
【解答】解：A．若﹣1∈M，则，则1+（﹣1）＝0∈M，显然0 M，A错误；
B．M是非空集合，若x∈M，，1+1＝2∈M，1+2＝3∈M，所以2025∈M，B正确；
C．因为1∈M，y∈M，所以，所以，C正确；
D．若x＝1，y＝2，则x﹣y＝﹣1 M，D错误．
故选：BC．
（多选）10．（2025 河南模拟）已知全集U＝{x||x|＜4，x∈Z}，集合M＝{﹣1，2，a2}，N＝{﹣1，1，2，a}，P＝{﹣3，﹣1，2，3}，若M N，则（ ）
A．a的取值有3个
B．M∩P＝{﹣1，2}
C．P∪N＝{﹣3，﹣1，0，1，2，3}
D．（ UM）∩（ UP）所有子集的个数为4
【解答】解：对于A，若M N，则a2＝1或a2＝a，
解得a＝0，1或﹣1，
当a＝1或﹣1时，不满足元素的互异性，舍去，
所以a＝0，故A错误；
对于B，由A可知，集合M＝{﹣1，2，0}，N＝{﹣1，1，2，0}，
又因为P＝{﹣3，﹣1，2，3}，
所以M∩P＝{﹣1，2}，故B正确；
对于C，由A可知，集合M＝{﹣1，2，0}，N＝{﹣1，1，2，0}，
又因为P＝{﹣3，﹣1，2，3}，
所以P∪N＝{﹣3，﹣1，0，1，2，3}，故C正确；
对于D，由A可知，集合M＝{﹣1，2，0}，N＝{﹣1，1，2，0}，
又全集U＝{x||x|＜4，x∈Z}＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，因为P＝{﹣3，﹣1，2，3}，
所以 UM＝{﹣3，﹣2，1，3}，） UP＝{﹣2，0，1}，
所以（ UM）∩（ UP）＝{﹣2，1}，
所以（ UM）∩（ UP）所有子集的个数为22＝4，故D正确．
故选：BCD．
（多选）11．（2025 郑州模拟）群论，是代数学的分支学科，群的定义如下：设G是一个非空集合，“ ”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的a，b∈G，有a b∈G；②对任意的a，b，c∈G，有（a b） c＝a （b c）；③存在e∈G，使得对任意的a∈G，有e a＝a e＝a，e称为单位元；④对任意的a∈G，存在b∈G，使a b＝b a＝e，称a与b互为逆元．则称G关于“ ”新构成一个群．则下列说法正确的有（ ）
A．G＝{﹣1，1，﹣i，i}（i为虚数单位）关于数的乘法构成群
B．有理数集Q关于数的加法构成群
C．关于数的除法构成群
D．正实数集R+关于数的乘法构成群
【解答】解：对A：
∵G＝{﹣1，1，﹣i，i}，又任意两个元素的乘积结果都属于集合G，
∵数的乘法满足结合律，对于复数也不例外，
存在e＝1∈G，对于 a∈G，当a＝﹣1时，1×（﹣1）＝（﹣1）×1＝﹣1．
当a＝i时，1×i＝i×1＝i；当a＝﹣i时，1×（﹣i）＝（﹣i）×1＝﹣i．
集合G也满足逆元，关于数的乘法能够构成群，故A正确．
对B：
∵对于任意两个有理数，它们的和仍为有理数；有理数的加法也满足结合律．
存在e＝0∈Q，对于 a∈Q，有0+a＝a+0＝a．
对于任意的a∈Q，存在b＝﹣a∈Q，使得a+（﹣a）＝（﹣a）+a＝0．
∴有理数集Q关于数的加法构成群，故B正确．
对C：
取，无意义，不满足对任意的，
有，∴不满足封闭性，故C错误．
对D：
∵任意两个正实数的乘积仍然是正实数；实数的乘法满足结合律．
∴对于任意的a∈R+，存在，使得．
满足a b＝b a＝e．故D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025 河北模拟）已知集合M＝{x|x＜﹣1或x＞2}，N＝{x|ax2﹣bx﹣2 0}，若M＝ RN，则a﹣b＝ 0 ．
【解答】解：因为M＝ RN，所以 RM＝N，
因为M＝{x|x＜﹣1或x＞2}，所以 RM＝{x|﹣1≤x≤2}，
所以﹣1和2是方程ax2﹣bx﹣2＝0的两根，
所以，解得，所以a﹣b＝0．
故答案为：0．
13．（2025 凉山州模拟）已知集合A，B {1，2，3，4，5，6}，则满足A B的有序集组（A，B）的个数为 729 ．（用数字作答）
【解答】解：①当A空集时，B可以是空集，单元素集，2个元素的集合，…，6个元素的集合，共有...26＝64个，
②当A为单元素集合时，B中必有A中的元素，可以是单元素集，2个元素的集合，…，5个元素的集合，共有25＝192个，
③当A为2个元素集合时，同理可得，符合条件的集合B有 24＝240个，
④当A为3个元素集合时，同理可得，符合条件的集合B有 23＝160个，
⑤当A为4个元素集合时，同理可得，符合条件的集合B有 22＝60个，
⑥当A为5个元素集合时，符合条件的集合B有 2＝12个，
⑦当A为6个元素集合时，符合条件的集合B＝A，有1个；
综上，符合条件的集合B共有64+192+240+160+60+12+1＝729个．
故答案为：729．
14．（2025 芜湖二模）已知有限集合A＝{a1，a2，a3， ，an}，定义集合中的元素的个数为集合A的“容量”，记为|A|．若集合A＝{x∈N*|1≤x≤n}，且|A|＝4047，则正整数n的值是 2025 ．
【解答】解：因为A＝{x∈N*|1≤x≤n}，所以B＝{3，4， ，2n﹣1}，
故|A|＝2n﹣1﹣2＝2n﹣3＝4047，解得n＝2025．
故答案为：2025．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 东城区校级期中）已知集合A＝{x∈R|x（2x﹣1）＜0}，B＝{x∈R|ax﹣1＞0}．
（1）当a＝3时，求 RA及A∪B；
（2）若B RA，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由x（2x﹣1）＜0得，
即所以 ，
当a＝3时，由3x﹣1＞0得，即．
所以A∪B＝{x|x＞0}；
（2）因为，
若a＞0，则，由B RA得： 0＜a≤2；
若a＝0，则B＝ ，B RA成立；
若a＜0，则，由B RA得： a＜0．
综上，实数a的取值范围是：（﹣∞，2]．
16．（2025春 广东期中）已知集合A＝{x|1﹣a≤x≤1+a}，B＝{x|x2﹣x﹣6≥0}．
（1）当a＝2时，求A∪（ RB）；
（2）若a＞0，且“x∈A”是“x∈ RB”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝2时，A＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|x2﹣x﹣6≥0}＝{x|x≤﹣2或x≥3}，
则 RB＝{x|﹣2＜x＜3}，故A∪（ RB）＝{x|﹣2＜x≤3}；
（2）a＞0，且“x∈A”是“x∈ RB”的充分不必要条件，
故A RB，
故，解得0＜a＜2，
即实数a的取值范围（0，2）．
17．（2024秋 苏州期末）已知全集U＝R，集合A＝{x|2x2﹣x﹣1＜0}，B＝{x|﹣2a﹣1＜x＜a，a∈R}．
（1）若a＝0，求 UA及A∪B；
（2）若A∩B＝B，求a的取值范围．
【解答】解：（1），且全集U＝R，
那么补集．
由于a＝0，因此B＝{x|﹣1＜x＜0}，因此A∪B＝{x|﹣1＜x＜1}．
（2）由于A∩B＝B，那么B A．
当﹣2a﹣1＜a，即时，B≠ ，则，可得；
当﹣2a﹣1≥a，即时，B＝ ，合乎题意．
综上所述，实数a的取值范围是．
18．（2025春 崂山区校级期中）已知S是全体复数集C的一个非空子集，如果 x，y∈S，总有x+y，x﹣y，x y∈S，则称S是数环．设F是数环，如果①F内含有一个非零复数；② x，y∈F且y≠0，有，则称F是数域．由定义知有理数集Q是数域．
（1）求元素个数最小的数环；
（2）记，证明：是数域；
（3）若F1，F2是数域，判断F1∪F2是否是数域，请说明理由．
【解答】解：（1）因为为数环，可知不是空集，即中至少有一个元素，a∈C，
若a＝0，则0+0＝0﹣0＝0×0＝0∈S，可知{0}为数环；
若a≠0，则a﹣a＝0，可知中不止一个元素，不是元素个数最少的数环；
综上所述：元素个数最少的数环为；
（2）证明：设，，a，b，c，d∈Q，可知，
则有：，
，
，
因为a，b，c，d∈Q，则a+c，b+d，a﹣c，b﹣d，ac+2bd，ad+bc∈Q，
可知x+y，x﹣y，xy∈Q（），所以是数环；
若c2+d2≠0，可知y≠0，满足，①
若y≠0，则，
因为a，b，c，d∈Q，则，，
可知，满足，②；
综上所述：是数域，
（3）不一定是数域，理由如下：①若F1＝Q，F2＝R，显然F1，F2均为数域，且F1∪F2＝R是数域；
②设，，a，b，c，d∈Q，可知，
则有：，
，
，
因为a，b，c，d∈Q，则a+c，b+d，a﹣c，b﹣d，ac+3bd，ad+bc∈Q，
可知x+y，x﹣y，，所以是数环；
若c2+d2≠0，可知y≠0，满足①；
若y≠0，则，
因为a，b，c，d∈Q，则，
可知，满足②；
综上所述：是数域．
例如：，，例如，，
但，
所以F1∪F2不是数域；
综上所述：F1∪F2不一定是数域．
19．（2025春 浙江期中）设集合U＝{a1，a2， ，an}为实数集，其中a1＜a2＜ ＜an，对U的非空子集A，若满足：①若ai∈A，则an+1﹣i∈A，i＝1，2， ，n；②A中所有元素之和的算术平均数与U中所有元素之和的算术平均数相等，则称A为U的“平衡子集”．
（1）若U1＝{1，2，3}，U2＝{1，2，3，4}，直接写出U1，U2的所有“平衡子集”；
（2）若U＝{1，2，3， ，2n}（n∈N*），
（ⅰ）求U的所有“平衡子集”的个数；
（ⅱ）用f（m）表示U的元素个数为m的“平衡子集”的个数，1≤m≤2n，m∈N*，用g（n）表示U的元素个数为n的子集个数，求[f（1）]2+[f（2）]2+ +[f（2n）]2﹣g（n）的值，并说明理由．
【解答】解：若满足：①若ai∈A，则an+1﹣i∈A，i＝1，2， ，n；②A中所有元素之和的算术平均数与U中所有元素之和的算术平均数相等，则称A为U的“平衡子集”，
（1）由题可得U1的平衡子集为：{1，2，3}，{1，3}，{2}；
由题可得U2的平衡子集为：{1，4}，{2，3}，{1，2，3，4}；
（2）（ⅰ）由题可得，U中所有元素之和的算术平均数为：
，又注意到1+2n＝2+2n﹣1＝3+2n﹣2＝ ＝n+n+1，
而这样的相加为1+2n的组合，U中有n组，
注意到这些组合的算术平均数及这些组合相加的算术平均数均为，
又U的所有“平衡子集”都由这些组合所组成．
则U的所有“平衡子集”的个数为：，
（ⅱ）由（ⅰ）可得U的所有元素的算术平均数为，
则“平衡子集”的元素个数应为偶数，则．
又注意到f（m）表示从（ⅰ）中涉及的相加为1+2n的n个组合中，选择个的个数，
则，
则．
又由题可得，
则[f（1）]2+[f（2）]2+ +[f（2n）]2﹣g（n）．
因，则，
一方面从2n个元素中选n个元素，有种方法．
另一方面，可将2n个元素分为2组，每组n个元素，则从2n个元素中选n个元素，
可先从第一组取k个，再从第二组取n﹣k个，其中0≤k≤n，k∈N，则有种方法．
两种方法是等价的，则．
又，
则[f（1）]2+[f（2）]2+ +[f（2n）]2﹣g（n）．
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【考前最后一练】集合-2025年高考数学专题突破
一．选择题（共8小题）
1．（2025 重庆校级模拟）已知集合A＝{a，0，1}，B＝{x∈R|x2≤1}，则“a＝﹣1”是“A B”的（ ）
A．充要条件
B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件
D．必要不充分条件
2．（2025 天津一模）已知集合U＝{﹣2，0，1，2，3}，M＝{﹣2，2}，N＝{x|﹣1≤x≤2，x∈N}，则（ UM）∩N＝（ ）
A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，0，3} C．{0，1} D．{0，1，2}
3．（2025 邢台二模）已知集合A＝{﹣2，2，﹣2i3}，B＝{x∈C|x2+4＝0}（其中i为虚数单位，C为复数集），则A∩B＝（ ）
A．{﹣2i} B．{﹣2} C．{2i} D．{﹣2，2}
4．（2025 重庆模拟）下列集合之间关系正确的是（ ）
A．{x|x2＝1}＝{x|x3＝x}
B．{x∈R|x2+1＝0} {x∈R|x2﹣1＝0}
C．{1，2} {（x，y）|x+y＝3}
D．{（x，y）|x+y＝3} {（x，y）|}
5．（2025 江岸区校级模拟）设集合A＝{y|y＝x2+3，x∈R}，B＝{x∈N*|x2﹣2x﹣8≤0}，则A∩B＝（ ）
A．[3，4] B．{3，4} C．[3，+∞） D．[﹣2，4]
6．（2025 中山区校级模拟）已知集合A＝{x||x|＞1}，B＝{x|x2﹣2x＜0}，则A∪B＝（ ）
A．（﹣∞，0）∪（2，+∞） B．（1，2）
C．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） D．（﹣1，1）
7．（2025 和平区三模）设全集U＝Z，集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝3k﹣1，k∈Z}， U（A∪B）＝（ ）
A． B．{x|x＝3k+1，k∈Z}
C．{x|x＝3k+2，k∈Z} D．{x|x＝3k+3，k∈Z}
8．（2025 武功县校级模拟）已知{a，b} {﹣1，0，1，2，3，4}，（a，b）∈{（x，y）|x2+y2≤4}，则（a，b）可能的取值的个数为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 新乡三模）已知非空数集M具有如下性质：
①若x，y∈M，则；
②若x，y∈M，则x+y∈M．
下列说法中正确的有（ ）
A．﹣1∈M B．2025∈M
C．若x，y∈M，则xy∈M D．若x，y∈M，则x﹣y∈M
（多选）10．（2025 河南模拟）已知全集U＝{x||x|＜4，x∈Z}，集合M＝{﹣1，2，a2}，N＝{﹣1，1，2，a}，P＝{﹣3，﹣1，2，3}，若M N，则（ ）
A．a的取值有3个
B．M∩P＝{﹣1，2}
C．P∪N＝{﹣3，﹣1，0，1，2，3}
D．（ UM）∩（ UP）所有子集的个数为4
（多选）11．（2025 郑州模拟）群论，是代数学的分支学科，群的定义如下：设G是一个非空集合，“ ”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的a，b∈G，有a b∈G；②对任意的a，b，c∈G，有（a b） c＝a （b c）；③存在e∈G，使得对任意的a∈G，有e a＝a e＝a，e称为单位元；④对任意的a∈G，存在b∈G，使a b＝b a＝e，称a与b互为逆元．则称G关于“ ”新构成一个群．则下列说法正确的有（ ）
A．G＝{﹣1，1，﹣i，i}（i为虚数单位）关于数的乘法构成群
B．有理数集Q关于数的加法构成群
C．关于数的除法构成群
D．正实数集R+关于数的乘法构成群
三．填空题（共3小题）
12．（2025 河北模拟）已知集合M＝{x|x＜﹣1或x＞2}，N＝{x|ax2﹣bx﹣2 0}，若M＝ RN，则a﹣b＝ ．
13．（2025 凉山州模拟）已知集合A，B {1，2，3，4，5，6}，则满足A B的有序集组（A，B）的个数为 ．（用数字作答）
14．（2025 芜湖二模）已知有限集合A＝{a1，a2，a3， ，an}，定义集合中的元素的个数为集合A的“容量”，记为|A|．若集合A＝{x∈N*|1≤x≤n}，且|A|＝4047，则正整数n的值是 ．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 东城区校级期中）已知集合A＝{x∈R|x（2x﹣1）＜0}，B＝{x∈R|ax﹣1＞0}．
（1）当a＝3时，求 RA及A∪B；
（2）若B RA，求实数a的取值范围．
16．（2025春 广东期中）已知集合A＝{x|1﹣a≤x≤1+a}，B＝{x|x2﹣x﹣6≥0}．
（1）当a＝2时，求A∪（ RB）；
（2）若a＞0，且“x∈A”是“x∈ RB”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
17．（2024秋 苏州期末）已知全集U＝R，集合A＝{x|2x2﹣x﹣1＜0}，B＝{x|﹣2a﹣1＜x＜a，a∈R}．
（1）若a＝0，求 UA及A∪B；
（2）若A∩B＝B，求a的取值范围．
18．（2025春 崂山区校级期中）已知S是全体复数集C的一个非空子集，如果 x，y∈S，总有x+y，x﹣y，x y∈S，则称S是数环．设F是数环，如果①F内含有一个非零复数；② x，y∈F且y≠0，有，则称F是数域．由定义知有理数集Q是数域．
（1）求元素个数最小的数环；
（2）记，证明：是数域；
（3）若F1，F2是数域，判断F1∪F2是否是数域，请说明理由．
19．（2025春 浙江期中）设集合U＝{a1，a2， ，an}为实数集，其中a1＜a2＜ ＜an，对U的非空子集A，若满足：①若ai∈A，则an+1﹣i∈A，i＝1，2， ，n；②A中所有元素之和的算术平均数与U中所有元素之和的算术平均数相等，则称A为U的“平衡子集”．
（1）若U1＝{1，2，3}，U2＝{1，2，3，4}，直接写出U1，U2的所有“平衡子集”；
（2）若U＝{1，2，3， ，2n}（n∈N*），
（ⅰ）求U的所有“平衡子集”的个数；
（ⅱ）用f（m）表示U的元素个数为m的“平衡子集”的个数，1≤m≤2n，m∈N*，用g（n）表示U的元素个数为n的子集个数，求[f（1）]2+[f（2）]2+ +[f（2n）]2﹣g（n）的值，并说明理由．
【考前最后一练】集合-2025年高考数学专题突破
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C C B B C B D
二．多选题（共3小题）
题号 9 10 11
答案 BC BCD ABD
一．选择题（共8小题）
1．（2025 重庆校级模拟）已知集合A＝{a，0，1}，B＝{x∈R|x2≤1}，则“a＝﹣1”是“A B”的（ ）
A．充要条件
B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件
D．必要不充分条件
【解答】解：B＝{x∈R|﹣1≤x≤1}，
∴a＝﹣1时，A B；
而A B时，得不出a＝﹣1，比如a，仍满足A B，
∴“a＝﹣1“是“A B“的充分不必要条件．
故选：C．
2．（2025 天津一模）已知集合U＝{﹣2，0，1，2，3}，M＝{﹣2，2}，N＝{x|﹣1≤x≤2，x∈N}，则（ UM）∩N＝（ ）
A．{﹣1，0，1} B．{﹣1，0，3} C．{0，1} D．{0，1，2}
【解答】解：集合U＝{﹣2，0，1，2，3}，M＝{﹣2，2}，N＝{x|﹣1≤x≤2，x∈N}＝{0，1，2}，
则（ UM）∩N＝{0，1，3}∩{0，1，2}＝{0，1}．
故选：C．
3．（2025 邢台二模）已知集合A＝{﹣2，2，﹣2i3}，B＝{x∈C|x2+4＝0}（其中i为虚数单位，C为复数集），则A∩B＝（ ）
A．{﹣2i} B．{﹣2} C．{2i} D．{﹣2，2}
【解答】解：∵集合A＝{﹣2，2，﹣2i3}＝{﹣2，2，2i}，B＝{x∈C|x2+4＝0}＝{﹣2i，2i}，
∴A∩B＝{2i}．
故选：C．
4．（2025 重庆模拟）下列集合之间关系正确的是（ ）
A．{x|x2＝1}＝{x|x3＝x}
B．{x∈R|x2+1＝0} {x∈R|x2﹣1＝0}
C．{1，2} {（x，y）|x+y＝3}
D．{（x，y）|x+y＝3} {（x，y）|}
【解答】解：{x|x2＝1}＝{﹣1，1}，{x|x3＝x}＝{0，﹣1，1}，A错误；
{x∈R|x2+1＝0}＝ ，B正确；
{1，2}是数集，{（x，y）|x+y＝3}是点集，这两个集合没有关系，C错误；
{（x，y）|x+y＝3}表示直线x+y＝3上的点形成的集合，有无数个元素；{（x，y）|}表示直线x+y＝3和直线2x﹣y＝1交点形成的集合，只有一个元素，D错误．
故选：B．
5．（2025 江岸区校级模拟）设集合A＝{y|y＝x2+3，x∈R}，B＝{x∈N*|x2﹣2x﹣8≤0}，则A∩B＝（ ）
A．[3，4] B．{3，4} C．[3，+∞） D．[﹣2，4]
【解答】解：因为B＝{x∈N*|x2﹣2x﹣8≤0}＝{x∈N*|﹣2≤x≤4}＝{1，2，3，4}，
A＝{y|y＝x2+3，x∈R}＝{y|y≥3}＝[3，+∞），
所以A∩B＝{3，4}．
故选：B．
6．（2025 中山区校级模拟）已知集合A＝{x||x|＞1}，B＝{x|x2﹣2x＜0}，则A∪B＝（ ）
A．（﹣∞，0）∪（2，+∞） B．（1，2）
C．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） D．（﹣1，1）
【解答】解：集合A＝{x||x|＞1}＝{x|x＞1或x＜﹣1}，B＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，
则A∪B＝（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．
故选：C．
7．（2025 和平区三模）设全集U＝Z，集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝3k﹣1，k∈Z}， U（A∪B）＝（ ）
A． B．{x|x＝3k+1，k∈Z}
C．{x|x＝3k+2，k∈Z} D．{x|x＝3k+3，k∈Z}
【解答】解：A∪B＝{x|x＝3k，或x＝3k﹣1，k∈Z}；
∵A U，B U；
∴ U（A∪B）＝{x|x＝3k﹣2＝3（k﹣1）+1，k∈Z}．
故选：B．
8．（2025 武功县校级模拟）已知{a，b} {﹣1，0，1，2，3，4}，（a，b）∈{（x，y）|x2+y2≤4}，则（a，b）可能的取值的个数为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【解答】解：a＝﹣1时，则b∈{0，1}，
所以（a，b）为（﹣1，0）或（﹣1，1），
当a＝0时，则b∈{﹣1，1，2}，
所以（a，b）为（0，﹣1）或（0，1）或（0，2），
当a＝1时，则b∈{﹣1，0}，
所以（a，b）为（1，﹣1）或（1，0），
当a＝2，则b＝0，
所以（a，b）为（2，0），
综上所述，（a，b）可能的取值的个数为8个．
故选：D．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．（2025 新乡三模）已知非空数集M具有如下性质：
①若x，y∈M，则；
②若x，y∈M，则x+y∈M．
下列说法中正确的有（ ）
A．﹣1∈M B．2025∈M
C．若x，y∈M，则xy∈M D．若x，y∈M，则x﹣y∈M
【解答】解：A．若﹣1∈M，则，则1+（﹣1）＝0∈M，显然0 M，A错误；
B．M是非空集合，若x∈M，，1+1＝2∈M，1+2＝3∈M，所以2025∈M，B正确；
C．因为1∈M，y∈M，所以，所以，C正确；
D．若x＝1，y＝2，则x﹣y＝﹣1 M，D错误．
故选：BC．
（多选）10．（2025 河南模拟）已知全集U＝{x||x|＜4，x∈Z}，集合M＝{﹣1，2，a2}，N＝{﹣1，1，2，a}，P＝{﹣3，﹣1，2，3}，若M N，则（ ）
A．a的取值有3个
B．M∩P＝{﹣1，2}
C．P∪N＝{﹣3，﹣1，0，1，2，3}
D．（ UM）∩（ UP）所有子集的个数为4
【解答】解：对于A，若M N，则a2＝1或a2＝a，
解得a＝0，1或﹣1，
当a＝1或﹣1时，不满足元素的互异性，舍去，
所以a＝0，故A错误；
对于B，由A可知，集合M＝{﹣1，2，0}，N＝{﹣1，1，2，0}，
又因为P＝{﹣3，﹣1，2，3}，
所以M∩P＝{﹣1，2}，故B正确；
对于C，由A可知，集合M＝{﹣1，2，0}，N＝{﹣1，1，2，0}，
又因为P＝{﹣3，﹣1，2，3}，
所以P∪N＝{﹣3，﹣1，0，1，2，3}，故C正确；
对于D，由A可知，集合M＝{﹣1，2，0}，N＝{﹣1，1，2，0}，
又全集U＝{x||x|＜4，x∈Z}＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，因为P＝{﹣3，﹣1，2，3}，
所以 UM＝{﹣3，﹣2，1，3}，） UP＝{﹣2，0，1}，
所以（ UM）∩（ UP）＝{﹣2，1}，
所以（ UM）∩（ UP）所有子集的个数为22＝4，故D正确．
故选：BCD．
（多选）11．（2025 郑州模拟）群论，是代数学的分支学科，群的定义如下：设G是一个非空集合，“ ”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的a，b∈G，有a b∈G；②对任意的a，b，c∈G，有（a b） c＝a （b c）；③存在e∈G，使得对任意的a∈G，有e a＝a e＝a，e称为单位元；④对任意的a∈G，存在b∈G，使a b＝b a＝e，称a与b互为逆元．则称G关于“ ”新构成一个群．则下列说法正确的有（ ）
A．G＝{﹣1，1，﹣i，i}（i为虚数单位）关于数的乘法构成群
B．有理数集Q关于数的加法构成群
C．关于数的除法构成群
D．正实数集R+关于数的乘法构成群
【解答】解：对A：
∵G＝{﹣1，1，﹣i，i}，又任意两个元素的乘积结果都属于集合G，
∵数的乘法满足结合律，对于复数也不例外，
存在e＝1∈G，对于 a∈G，当a＝﹣1时，1×（﹣1）＝（﹣1）×1＝﹣1．
当a＝i时，1×i＝i×1＝i；当a＝﹣i时，1×（﹣i）＝（﹣i）×1＝﹣i．
集合G也满足逆元，关于数的乘法能够构成群，故A正确．
对B：
∵对于任意两个有理数，它们的和仍为有理数；有理数的加法也满足结合律．
存在e＝0∈Q，对于 a∈Q，有0+a＝a+0＝a．
对于任意的a∈Q，存在b＝﹣a∈Q，使得a+（﹣a）＝（﹣a）+a＝0．
∴有理数集Q关于数的加法构成群，故B正确．
对C：
取，无意义，不满足对任意的，
有，∴不满足封闭性，故C错误．
对D：
∵任意两个正实数的乘积仍然是正实数；实数的乘法满足结合律．
∴对于任意的a∈R+，存在，使得．
满足a b＝b a＝e．故D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共3小题）
12．（2025 河北模拟）已知集合M＝{x|x＜﹣1或x＞2}，N＝{x|ax2﹣bx﹣2 0}，若M＝ RN，则a﹣b＝ 0 ．
【解答】解：因为M＝ RN，所以 RM＝N，
因为M＝{x|x＜﹣1或x＞2}，所以 RM＝{x|﹣1≤x≤2}，
所以﹣1和2是方程ax2﹣bx﹣2＝0的两根，
所以，解得，所以a﹣b＝0．
故答案为：0．
13．（2025 凉山州模拟）已知集合A，B {1，2，3，4，5，6}，则满足A B的有序集组（A，B）的个数为 729 ．（用数字作答）
【解答】解：①当A空集时，B可以是空集，单元素集，2个元素的集合，…，6个元素的集合，共有...26＝64个，
②当A为单元素集合时，B中必有A中的元素，可以是单元素集，2个元素的集合，…，5个元素的集合，共有25＝192个，
③当A为2个元素集合时，同理可得，符合条件的集合B有 24＝240个，
④当A为3个元素集合时，同理可得，符合条件的集合B有 23＝160个，
⑤当A为4个元素集合时，同理可得，符合条件的集合B有 22＝60个，
⑥当A为5个元素集合时，符合条件的集合B有 2＝12个，
⑦当A为6个元素集合时，符合条件的集合B＝A，有1个；
综上，符合条件的集合B共有64+192+240+160+60+12+1＝729个．
故答案为：729．
14．（2025 芜湖二模）已知有限集合A＝{a1，a2，a3， ，an}，定义集合中的元素的个数为集合A的“容量”，记为|A|．若集合A＝{x∈N*|1≤x≤n}，且|A|＝4047，则正整数n的值是 2025 ．
【解答】解：因为A＝{x∈N*|1≤x≤n}，所以B＝{3，4， ，2n﹣1}，
故|A|＝2n﹣1﹣2＝2n﹣3＝4047，解得n＝2025．
故答案为：2025．
四．解答题（共5小题）
15．（2025春 东城区校级期中）已知集合A＝{x∈R|x（2x﹣1）＜0}，B＝{x∈R|ax﹣1＞0}．
（1）当a＝3时，求 RA及A∪B；
（2）若B RA，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由x（2x﹣1）＜0得，
即所以 ，
当a＝3时，由3x﹣1＞0得，即．
所以A∪B＝{x|x＞0}；
（2）因为，
若a＞0，则，由B RA得： 0＜a≤2；
若a＝0，则B＝ ，B RA成立；
若a＜0，则，由B RA得： a＜0．
综上，实数a的取值范围是：（﹣∞，2]．
16．（2025春 广东期中）已知集合A＝{x|1﹣a≤x≤1+a}，B＝{x|x2﹣x﹣6≥0}．
（1）当a＝2时，求A∪（ RB）；
（2）若a＞0，且“x∈A”是“x∈ RB”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝2时，A＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|x2﹣x﹣6≥0}＝{x|x≤﹣2或x≥3}，
则 RB＝{x|﹣2＜x＜3}，故A∪（ RB）＝{x|﹣2＜x≤3}；
（2）a＞0，且“x∈A”是“x∈ RB”的充分不必要条件，
故A RB，
故，解得0＜a＜2，
即实数a的取值范围（0，2）．
17．（2024秋 苏州期末）已知全集U＝R，集合A＝{x|2x2﹣x﹣1＜0}，B＝{x|﹣2a﹣1＜x＜a，a∈R}．
（1）若a＝0，求 UA及A∪B；
（2）若A∩B＝B，求a的取值范围．
【解答】解：（1），且全集U＝R，
那么补集．
由于a＝0，因此B＝{x|﹣1＜x＜0}，因此A∪B＝{x|﹣1＜x＜1}．
（2）由于A∩B＝B，那么B A．
当﹣2a﹣1＜a，即时，B≠ ，则，可得；
当﹣2a﹣1≥a，即时，B＝ ，合乎题意．
综上所述，实数a的取值范围是．
18．（2025春 崂山区校级期中）已知S是全体复数集C的一个非空子集，如果 x，y∈S，总有x+y，x﹣y，x y∈S，则称S是数环．设F是数环，如果①F内含有一个非零复数；② x，y∈F且y≠0，有，则称F是数域．由定义知有理数集Q是数域．
（1）求元素个数最小的数环；
（2）记，证明：是数域；
（3）若F1，F2是数域，判断F1∪F2是否是数域，请说明理由．
【解答】解：（1）因为为数环，可知不是空集，即中至少有一个元素，a∈C，
若a＝0，则0+0＝0﹣0＝0×0＝0∈S，可知{0}为数环；
若a≠0，则a﹣a＝0，可知中不止一个元素，不是元素个数最少的数环；
综上所述：元素个数最少的数环为；
（2）证明：设，，a，b，c，d∈Q，可知，
则有：，
，
，
因为a，b，c，d∈Q，则a+c，b+d，a﹣c，b﹣d，ac+2bd，ad+bc∈Q，
可知x+y，x﹣y，xy∈Q（），所以是数环；
若c2+d2≠0，可知y≠0，满足，①
若y≠0，则，
因为a，b，c，d∈Q，则，，
可知，满足，②；
综上所述：是数域，
（3）不一定是数域，理由如下：①若F1＝Q，F2＝R，显然F1，F2均为数域，且F1∪F2＝R是数域；
②设，，a，b，c，d∈Q，可知，
则有：，
，
，
因为a，b，c，d∈Q，则a+c，b+d，a﹣c，b﹣d，ac+3bd，ad+bc∈Q，
可知x+y，x﹣y，，所以是数环；
若c2+d2≠0，可知y≠0，满足①；
若y≠0，则，
因为a，b，c，d∈Q，则，
可知，满足②；
综上所述：是数域．
例如：，，例如，，
但，
所以F1∪F2不是数域；
综上所述：F1∪F2不一定是数域．
19．（2025春 浙江期中）设集合U＝{a1，a2， ，an}为实数集，其中a1＜a2＜ ＜an，对U的非空子集A，若满足：①若ai∈A，则an+1﹣i∈A，i＝1，2， ，n；②A中所有元素之和的算术平均数与U中所有元素之和的算术平均数相等，则称A为U的“平衡子集”．
（1）若U1＝{1，2，3}，U2＝{1，2，3，4}，直接写出U1，U2的所有“平衡子集”；
（2）若U＝{1，2，3， ，2n}（n∈N*），
（ⅰ）求U的所有“平衡子集”的个数；
（ⅱ）用f（m）表示U的元素个数为m的“平衡子集”的个数，1≤m≤2n，m∈N*，用g（n）表示U的元素个数为n的子集个数，求[f（1）]2+[f（2）]2+ +[f（2n）]2﹣g（n）的值，并说明理由．
【解答】解：若满足：①若ai∈A，则an+1﹣i∈A，i＝1，2， ，n；②A中所有元素之和的算术平均数与U中所有元素之和的算术平均数相等，则称A为U的“平衡子集”，
（1）由题可得U1的平衡子集为：{1，2，3}，{1，3}，{2}；
由题可得U2的平衡子集为：{1，4}，{2，3}，{1，2，3，4}；
（2）（ⅰ）由题可得，U中所有元素之和的算术平均数为：
，又注意到1+2n＝2+2n﹣1＝3+2n﹣2＝ ＝n+n+1，
而这样的相加为1+2n的组合，U中有n组，
注意到这些组合的算术平均数及这些组合相加的算术平均数均为，
又U的所有“平衡子集”都由这些组合所组成．
则U的所有“平衡子集”的个数为：，
（ⅱ）由（ⅰ）可得U的所有元素的算术平均数为，
则“平衡子集”的元素个数应为偶数，则．
又注意到f（m）表示从（ⅰ）中涉及的相加为1+2n的n个组合中，选择个的个数，
则，
则．
又由题可得，
则[f（1）]2+[f（2）]2+ +[f（2n）]2﹣g（n）．
因，则，
一方面从2n个元素中选n个元素，有种方法．
另一方面，可将2n个元素分为2组，每组n个元素，则从2n个元素中选n个元素，
可先从第一组取k个，再从第二组取n﹣k个，其中0≤k≤n，k∈N，则有种方法．
两种方法是等价的，则．
又，
则[f（1）]2+[f（2）]2+ +[f（2n）]2﹣g（n）．
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