【高考押题卷】2025年高考数学高频易错考前冲刺 双曲线（含解析）

高考数学考前冲刺押题预测 双曲线
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 宁波期末）已知双曲线M：的左右焦点分别为F1，F2，过点F2作垂直于x轴的直线交双曲线M于P，Q两点，△PF1F2，△QF1F2，△F1PQ的内切圆圆心分别为O1，O2，O3，则△O1O2O3的周长是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024秋 河南期末）已知椭圆C1：和双曲线C2：有公共的焦点，其中F1为左焦点，P是C1与C2在第一象限的公共点．线段PF1的垂直平分线经过坐标原点，若C1的离心率为，则C2的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024秋 天津期末）双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，过F1作∠F1PF2角平分线的垂线，垂足为Q，O为坐标原点，则|OQ|＝（　　）
A．9 B．6 C．3 D．1
4．（2025 邯郸模拟）已知F（0，4）为双曲线的一个焦点，且点P（6，﹣4）在该双曲线上，则双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B．y＝±2x C． D．
5．（2024秋 献县期末）已知双曲线的右焦点为F，点A，B是双曲线上关于原点对称的两点，点A在第一象限，且以AB为直径的圆经过点F，直线AF交双曲线于另一点C，且，则双曲线E的离心率为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024秋 深圳校级期末）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，M，N是C上的两点，满足，且F2N＝F2M，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024秋 玉林期末）直线2x﹣y＝0是双曲线1（a＞0）的一条渐近线，则a＝（　　）
A．1 B．2 C．4 D．16
8．（2024秋 广州期末）双曲线具有如下的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．若双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点P，Q，且，，则C的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 榆林期末）已知F1，F2是双曲线C：x21（b＞0）的左、右焦点，过F2的直线交C的右支于A，B两点，若|AF1|＝2|AF2|，∠AF1F2＝∠F1BF2，则（　　）
A．C的离心率为2 B．|AB|＝8
C．△AF1F2的面积为4 D．△BF1F2的周长为18
（多选）10．（2024秋 江阳区校级期末）设双曲线C：x2﹣y2＝2的左右顶点分别为A1，A2，左右焦点分别为F1，F2，l为双曲线C的一条渐近线，过F2作F2M⊥l，垂足为M，P为双曲线C在第一象限内一点，则（　　）
A．|F2M|＝2
B．∠PA2A1﹣∠PA1A2＝90°
C．若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为2
D．若PM平行于x轴，则
（多选）11．（2024秋 肇东市校级期末）已知双曲线C：1的左右焦点分别为F1，F2，点M是C上一点，经过点作斜率为k的直线l与C交于A，B两点，则下列结论正确的有（　　）
A．若|MF1|＝5，则|MF2|＝1或9
B．左焦点F1到渐近线距离为
C．若A，B两点分别位于C的两支，则
D．点P不可能是线段AB的中点
（多选）12．（2024秋 深圳期末）已知双曲线C的一条渐近线方程为y＝2x，且C过点（，2），则（　　）
A．C的焦点在y轴上
B．C的方程为
C．C的焦点到其渐近线的距离为
D．直线2x﹣y﹣1＝0与C有两个公共点
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 龙岗区期末）F1，F2是双曲线1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，点P为双曲线右支上一点，∠F1PF2＝60°，∠F1PF2的角平分线PQ交x轴于点Q，若，则双曲线的离心率为 　 　．
14．（2024秋 黔西南州期末）已知双曲线C：的左焦点为F，左、右顶点分别为A1，A2，过F的直线与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为M，直线MA1，MA2分别与y轴交于点P，Q，且为坐标原点），则双曲线C的离心率为 　 　．
15．（2024秋 河池期末）已知双曲线，过坐标原点O的直线交C于A，B两点（B在第一象限），过点B作与直线AB垂直的直线交C于点P，直线PA分别与x轴，y轴交于D，E两点，若，则C的渐近线方程为 　 　．
16．（2024秋 贵阳期末）已知双曲线1（a＞0，b＞0），A，B为双曲线的左、右顶点，若点P在双曲线上，且∠PAB＝30°，PB＝AB，则双曲线的渐近线方程是 　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 烟台期末）已知O为坐标原点，双曲线Γ：1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为x﹣2y＝0，且点（4，3）在Γ上．
（1）求双曲线Γ的方程；
（2）若直线l与Γ的右支交于点A，B（异于顶点），且以AB为直径的圆过Γ的右顶点．
（i）直线l是否过定点？若是，求出该定点，若否，说明理由；
（ii）设直线AB与y轴交于点M，求的取值范围．
18．（2025 江苏模拟）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为4，渐近线方程为．
（1）求C的方程；
（2）过F1的直线l分别交C的左、右两支于A，B两点，直线BF2交C于另一点P，
①若，求点P的坐标；
②是否存在常数λ，使得若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．
19．（2024秋 献县期末）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），渐近线方程为y＝±x，点F2到渐近线的距离为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线l经过点F2，且与双曲线C相交于A，B两点，若△F1AB的面积为3，求直线l的方程．
20．（2024秋 衡阳校级期末）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）过点（2，3），一条渐近线方程为x﹣y＝0．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若点P为双曲线右支上一点，A（t，0）（t＞0），求|PA|的最小值；
（3）过点F（2，0）的直线与双曲线C的右支交于M，N两点，求证：为定值．
高考数学考前冲刺押题预测 双曲线
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 宁波期末）已知双曲线M：的左右焦点分别为F1，F2，过点F2作垂直于x轴的直线交双曲线M于P，Q两点，△PF1F2，△QF1F2，△F1PQ的内切圆圆心分别为O1，O2，O3，则△O1O2O3的周长是（　　）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的其他性质．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】根据双曲线的几何性质易得O1O2⊥x轴，且垂足点为双曲线的右顶点A，A为O1O2中点，三角形O1O2F2是以O1O2为斜边的等腰直角三角形，从而可求解．
【解答】解：∵双曲线M：的a＝2，b，c＝3，
通径长为5，
∴|PQ|＝5，|F1F2|＝2c＝6，|PF1|＝|PF2|，
根据双曲线的几何性质易得：
O1O2⊥x轴，且垂足点为双曲线的右顶点A，A为O1O2中点，
三角形O1O2F2是以O1O2为斜边的等腰直角三角形，
又|AF2|＝c﹣a＝1，∴|O1O|＝2|AF2|＝2，
设△F1PQ的内切圆O3的半径为r，
则根据等面积法可得：，解得r，
∴|O3A|＝r﹣|AF2|，
∴|O1O3|＝|O2O3|，
∴△O1O2O3的周长是2．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，化归转化思想，属中档题．
2．（2024秋 河南期末）已知椭圆C1：和双曲线C2：有公共的焦点，其中F1为左焦点，P是C1与C2在第一象限的公共点．线段PF1的垂直平分线经过坐标原点，若C1的离心率为，则C2的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
【考点】求双曲线的渐近线方程．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】根据给定条件，可得PF2⊥PF1，利用勾股定理，结合椭圆、双曲线的定义建立方程组，由半焦距c表示出a1，a2，b2即可求出渐近线方程．
【解答】解：令线段PF1的垂直平分线与PF1的交点为M，
显然M是PF1的中点，而O是F1F2的中点，
则OM∥PF2，而OM⊥PF1，因此PF2⊥PF1，
椭圆C1：和双曲线C2：，
，
则，
令C1与C2的半焦距为c，
由，得，于是，解得，则，
，所以C2的渐近线方程为．
故选：B．
【点评】本题主要考查双曲线渐近线方程的求解，属于中档题．
3．（2024秋 天津期末）双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，过F1作∠F1PF2角平分线的垂线，垂足为Q，O为坐标原点，则|OQ|＝（　　）
A．9 B．6 C．3 D．1
【考点】双曲线的其他性质．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】由双曲线的性质，结合双曲线的定义求解．
【解答】解：双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，过F1作∠F1PF2角平分线的垂线，垂足为Q，O为坐标原点，
延长F1Q与PF2交于点M，
则|PF1|＝|PM|，
又O为F1F2的中点，Q为F1M的中点，
则OQ∥F2M且，
又|F2M|＝|PM|﹣|PF2|＝|PF1|﹣|PF2|＝2a＝6，
则|OQ|＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线的定义，属中档题．
4．（2025 邯郸模拟）已知F（0，4）为双曲线的一个焦点，且点P（6，﹣4）在该双曲线上，则双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B．y＝±2x C． D．
【考点】求双曲线的渐近线方程．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】由双曲线的性质，结合双曲线渐近线方程的求法求解．
【解答】解：已知F（0，4）为双曲线的一个焦点，且点P（6，﹣4）在该双曲线上，
则，
则，
即双曲线的方程为，
即双曲线的渐近线方程为．
故选：C．
【点评】本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线渐近线方程的求法，属中档题．
5．（2024秋 献县期末）已知双曲线的右焦点为F，点A，B是双曲线上关于原点对称的两点，点A在第一象限，且以AB为直径的圆经过点F，直线AF交双曲线于另一点C，且，则双曲线E的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】求双曲线的离心率．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】A
【分析】取双曲线的左焦点G，连接AG，BG，由对称性知，四边形AGBF是矩形，设|AF|＝x，结合双曲线的定义与勾股定理，先推出x＝a，再求得ca，从而得解．
【解答】解：取双曲线的左焦点G，连接AG，CG，
因为以AB为直径的圆经过点F，
所以∠AFB＝90°，
由对称性知，四边形AGBF是矩形，
设|AF|＝x，则|AC|＝4x，|CF|＝3x，
由双曲线的定义知，|AG|﹣|AF|＝2a，|CG|﹣|CF|＝2a，
所以|AG|＝x+2a，|CG|＝3x+2a，
在Rt△ACG中，|AG|2+|AC|2＝|CG|2，即（x+2a）2+（4x）2＝（3x+2a）2，
化简整理得x＝a，
所以|AG|＝3a，|AF|＝a，
在Rt△AGF中，|AG|2+|AF|2＝|GF|2，即（3a）2+（a）2＝（2c）2，整理得ca，
所以双曲线E的离心率e．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线离心率的求法，熟练掌握双曲线的定义与几何性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
6．（2024秋 深圳校级期末）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，M，N是C上的两点，满足，且F2N＝F2M，则C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的焦点三角形．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】A
【分析】根据题意，利用焦点三角形的性质，推出，再由勾股定理求出a，c的关系即可得出离心率．
【解答】解：如图，延长NF2与C交于点P，
∵，根据对称性可知|F1M|＝|F2P|．
设|F2P|＝|F1M|＝t，则|F2M|＝|F2N|＝3t，可得|F2M|﹣|F1M|＝2t＝2a，即t＝a，
∴|PN|＝4t＝4a，则|NF1|＝|NF2|+2a＝5a，|F1P|＝|F2M|＝3a，
即，可知∠F1PN＝90°，
在△PF1F2中，由勾股定理得，即a2+（3a）2＝4c2，
解得．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题．
7．（2024秋 玉林期末）直线2x﹣y＝0是双曲线1（a＞0）的一条渐近线，则a＝（　　）
A．1 B．2 C．4 D．16
【考点】由双曲线的渐近线方程求解双曲线的标准方程或参数．
【专题】对应思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】A
【分析】根据渐近线方程求解即可．
【解答】解：直线2x﹣y＝0是双曲线的一条渐近线，
得，
所以a＝1．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的渐近线相关知识，属于基础题．
8．（2024秋 广州期末）双曲线具有如下的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．若双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点P，Q，且，，则C的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
【考点】求双曲线的渐近线方程．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】D
【分析】连接AF1，BF1，由，知△ABF1为直角三角形，结合锐角三角函数与双曲线的定义，推出|AF1|a，|BF1|，|AF2|a，|BF2|a，再根据∠AF2F1+∠BF2F1＝π，利用两次余弦定理，求得，进而知C的渐近线方程．
【解答】解：连接AF1，BF1，
由，知AB⊥BQ，
在Rt△ABF1中，由，知sin∠F1AB，
不妨设|AF1|＝13t，则|BF1|＝12t，|AB|＝5t，
由双曲线的定义知，|AF1|﹣|AF2|＝2a，|BF1|﹣|BF2|＝2a，
所以|AF2|＝13t﹣2a，|BF2|＝12t﹣2a，
所以|AB|＝|AF2|+|BF2|＝25t﹣4a＝5t，解得t，
所以|AF1|a，|BF1|，|AF2|a，|BF2|a，
因为∠AF2F1+∠BF2F1＝π，
所以cos∠AF2F1+cos∠BF2F1＝0，
由余弦定理知，0，
整理得，
所以1，即，
所以C的渐近线方程为y＝±．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线渐近线方程的求法，熟练掌握双曲线的定义与几何性质，余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 榆林期末）已知F1，F2是双曲线C：x21（b＞0）的左、右焦点，过F2的直线交C的右支于A，B两点，若|AF1|＝2|AF2|，∠AF1F2＝∠F1BF2，则（　　）
A．C的离心率为2 B．|AB|＝8
C．△AF1F2的面积为4 D．△BF1F2的周长为18
【考点】直线与双曲线的综合．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑思维．
【答案】ABD
【分析】根据相似三角形的判定定理和性质，结合双曲线的定义、离心率的公式、三角形面积公式逐一判断即可．
【解答】解：如图所示，不妨设A在第一象限，
由双曲线C：，可得a＝1，
则|AF1|﹣|AF2|＝2a＝2，由于|AF1|＝2|AF2|，得|AF1|＝4，|AF2|＝2，
由于∠AF1F2＝∠F1BF2，所以△AF1F2∽△ABF1，
故，可得|AB|＝2|AF1|＝8，故|BF2|＝6，
而|BF1|﹣|BF2|＝2，故|BF1|＝8，
根据，得|F1F2|＝4＝2c，所以c＝2，
所以C的离心率e2；
由以上分析可知|AB|＝8，
在△AF1F2中，|AF1|＝4，|AF2|＝2，|F1F2|＝4，
所以，
△BF1F2的周长为|BF1|+|BF2|+|F1F2|＝18．
故选：ABD．
【点评】本题考查直线与双曲线的综合应用，属于中档题．
（多选）10．（2024秋 江阳区校级期末）设双曲线C：x2﹣y2＝2的左右顶点分别为A1，A2，左右焦点分别为F1，F2，l为双曲线C的一条渐近线，过F2作F2M⊥l，垂足为M，P为双曲线C在第一象限内一点，则（　　）
A．|F2M|＝2
B．∠PA2A1﹣∠PA1A2＝90°
C．若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为2
D．若PM平行于x轴，则
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】BCD
【分析】由已知求得渐近线方程，可求|F2M|判断A；，，可得，进而可判断B；||PF1|﹣|PF2||＝2，由已知可求△PF1F2的面积判断C；求得M，P的坐标可判断D．
【解答】解：由双曲线C：x2﹣y2＝2，可得a，b，c＝2，
∴左右顶点分别为A1（，0），A2（，0），左右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），
不妨设l的方程为y＝x，则|F2M|，故A错误；
，，可得 1，
∴，∴tan∠PA2A1＝tan（90°﹣∠PA2x），∴∠PA1A2＝90°﹣∠PA2x，
∴∠PA1A2＝90°﹣（180°﹣∠PA2A1），∴∠PA2A1﹣∠PA1A2＝90°，故B正确；
||PF1|﹣|PF2||＝2，两边平方得|PF1|2﹣2|PF1| |PF2|+|PF2|2＝8，
∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2＝16，∴|PF1| |PF2|＝4，
则△PF1F2的面积为|PF1| |PF2|＝2，故C正确；
若PM平行于x轴，又M在y＝x上，可得M（1，1），进而可得P（，1），
∴|PM|1，|PF2|（1）|PM|，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，考查转化思想，属中档题．
（多选）11．（2024秋 肇东市校级期末）已知双曲线C：1的左右焦点分别为F1，F2，点M是C上一点，经过点作斜率为k的直线l与C交于A，B两点，则下列结论正确的有（　　）
A．若|MF1|＝5，则|MF2|＝1或9
B．左焦点F1到渐近线距离为
C．若A，B两点分别位于C的两支，则
D．点P不可能是线段AB的中点
【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的其他性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】BCD
【分析】对于选项A，根据双曲线的定义判断；对于选项B，根据点到直线距离公式判断；对于选项C，结合双曲线渐近线斜率即可判断；对于选项D，直线l的方程为y＝k（x﹣1），直线l与双曲线方程联立，可得Δ＞0，及根与系数的关系，由点P是线段AB的中点可得k的值，此时Δ＜0，由此即可判断．
【解答】解：对于选项A，根据双曲线定义||MF1|﹣|MF2||＝2a＝4，又|MF1|＝5，则|5﹣|MF2||＝4，
当5﹣|MF2|＝4时，|MF2|＝1；当5﹣|MF2|＝﹣4时，|MF2|＝9，
但是|MF2|≥c﹣a＝4﹣2＝2，所以|MF2|＝1舍去，|MF2|＝9，故选项A错误；
对于选项B，由双曲线，得渐近线方程为，即，
左焦点F1（﹣4，0），左焦点到渐近线距离，所以选项B正确；
对于C，由于双曲线的渐近线斜率为，直线l与双曲线C的两支各有1个交点，则直线l的斜率k，故C正确；
对于选项D，直线l的方程为y＝k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去y整理，
，
，，
若是AB中点，则x1+x2＝2，则，
所以，代入，矛盾，
所以点P不可能是线段AB的中点，选项D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
（多选）12．（2024秋 深圳期末）已知双曲线C的一条渐近线方程为y＝2x，且C过点（，2），则（　　）
A．C的焦点在y轴上
B．C的方程为
C．C的焦点到其渐近线的距离为
D．直线2x﹣y﹣1＝0与C有两个公共点
【考点】直线与双曲线的位置关系及公共点个数；双曲线的几何特征．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据双曲线的几何性质，针对各个选项分别求解即可．
【解答】解：∵点（，2）在为y＝2x下方，
∴C的焦点在x轴上，
∴，解得，∴，
∴C的方程为，∴B选项正确；
∴C的焦点到其渐近线的距离为b，∴C选项正确；
∵直线2x﹣y﹣1＝0与渐近线y＝2x平行，
∴直线2x﹣y﹣1＝0与C有一个公共点，∴D选项错误．
故选：BC．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，属中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 龙岗区期末）F1，F2是双曲线1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，点P为双曲线右支上一点，∠F1PF2＝60°，∠F1PF2的角平分线PQ交x轴于点Q，若，则双曲线的离心率为 　　．
【考点】双曲线的离心率．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】由双曲线的定义及性质，即可求解．
【解答】解：由题意，不妨设|PF1|＝m，|PF2|＝n，m＞n＞0，|F1F2|＝6，
则．
有，
得 ，故，
解得，
故，得，
所以双曲线的离心率．
故答案为：．
【点评】本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线离心率的求法，属中档题．
14．（2024秋 黔西南州期末）已知双曲线C：的左焦点为F，左、右顶点分别为A1，A2，过F的直线与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为M，直线MA1，MA2分别与y轴交于点P，Q，且为坐标原点），则双曲线C的离心率为 　2　．
【考点】双曲线的离心率．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】2．
【分析】由题意可得A1（﹣a，0），A2（a，0），F（﹣c，0），不妨设过F的直线与双曲线C的一条渐近线垂直，则直线FM的方程为，联立直线FM与渐近线方程，求得M的坐标，进而得到直线MA1，MA2的方程，可得P，Q的坐标，由向量共线的坐标表示，可得a，c的关系式，结合离心率公式，可得所求值．
【解答】解：由题意可得A1（﹣a，0），A2（a，0），F（﹣c，0），
不妨设过F的直线与双曲线C的一条渐近线垂直，
则直线FM的方程为，
联立，
可得，
则直线MA1的方程为，
直线MA2的方程为，
令x＝0，可得，，
又为坐标原点），
则，
即c＝2a，
即．
故答案为：2．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
15．（2024秋 河池期末）已知双曲线，过坐标原点O的直线交C于A，B两点（B在第一象限），过点B作与直线AB垂直的直线交C于点P，直线PA分别与x轴，y轴交于D，E两点，若，则C的渐近线方程为 　y＝±2x　．
【考点】求双曲线的渐近线方程．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】y＝±2x．
【分析】根据双曲线的几何性质，点差法，化归转化，即可求解．
【解答】解：不妨设A（x1，y1），则B（﹣x1，﹣y1），设P（x0，y0），
易知，，两式相减可得：
，
所以，
即，又kAB kPB＝﹣1，
因为，所以E（0，5y1），
所以，
所以，即，
所以C的渐近线方程为y＝±2x．
故答案为：y＝±2x．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，属中档题．
16．（2024秋 贵阳期末）已知双曲线1（a＞0，b＞0），A，B为双曲线的左、右顶点，若点P在双曲线上，且∠PAB＝30°，PB＝AB，则双曲线的渐近线方程是 　y＝±x　．
【考点】求双曲线的渐近线方程．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】y＝±x．
【分析】由双曲线的性质，结合双曲线渐近线方程的求法求解．
【解答】解：不妨设P在第一象限，
又∠PAB＝30°，PB＝AB，
则∠ABP＝120°，∠PBx＝60°，
不妨设P（m，n），
则，m＝a+2a×cos60°＝2a，
则，
即，
即，
即双曲线的渐近线方程是y＝±x．
故答案为：y＝±x．
【点评】本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线渐近线方程的求法，属中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 烟台期末）已知O为坐标原点，双曲线Γ：1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为x﹣2y＝0，且点（4，3）在Γ上．
（1）求双曲线Γ的方程；
（2）若直线l与Γ的右支交于点A，B（异于顶点），且以AB为直径的圆过Γ的右顶点．
（i）直线l是否过定点？若是，求出该定点，若否，说明理由；
（ii）设直线AB与y轴交于点M，求的取值范围．
【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的几何特征．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；
（2）（i）直线l过定点（14，0）；
（ii）[346，+∞）．
【分析】（1）由已知可得，求解即可；
（2）（i）设直线l与Γ的右支交于点A（x1，y1），B（x2，y2），分直线斜率是否存在两种情况求解，存在时，设l的方程为y＝kx+m，联立直线与椭圆的方程，利用根与系数的关系可得，根据已知可得（m+2k）（m+14k）＝0，可求定点，直线l的斜率不存在时，由，计算可得结论；
（ii）结合（i）可得，，可得，利用基本不等式可求取值范围．
【解答】解：（1）易知双曲线的一条渐近线方程为，且点（4，3）在Γ上，
所以，
解得，
则双曲线Γ的方程为；
（2）（i）设直线l与Γ的右支交于点A（x1，y1），B（x2，y2），
当直线l的斜率存在时，
设l的方程为y＝kx+m，
联立，消去y并整理得（3﹣4k2）x2﹣8kmx﹣4m2﹣12＝0，
由韦达定理得，
因为以AB为直径的圆过Γ的右顶点C（2，0）．
所以CA⊥CB，
即，
可得，
因为，
所以（x1﹣2，y1）（x2﹣2，y2）＝0，
即x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2＝0，
因为y1＝kx1+m，y2＝kx2+m，
所以，
即，
因为，
所以，
整理得（m+2k）（m+14k）＝0，
解得m＝﹣2k或m＝﹣14k，
当m＝﹣2k时，直线方程为y＝k（x﹣2），
此时直线过定点C（2，0），不满足条件；
当m＝﹣14k时，直线方程为y＝k（x﹣14），
此时直线过定点（14，0），
当直线l的斜率不存在时，，
解得x1＝14，
则直线l过点（14，0）；
综上所述，直线l过定点（14，0）．
（ii）因为直线l与Γ的右支交于点A，B，
所以Δ＝48（192k2+3）＞0，，
所以4k2﹣3＞0，
此时
，
因为m＝﹣14k，
所以，
在直线y＝kx+m中，
令x＝0，
解得y＝m，
即M（0，m），
所以，
所以
，
当且仅当，即或时，等号成立．
故的取值范围为[346，+∞）．
【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于中档题．
18．（2025 江苏模拟）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为4，渐近线方程为．
（1）求C的方程；
（2）过F1的直线l分别交C的左、右两支于A，B两点，直线BF2交C于另一点P，
①若，求点P的坐标；
②是否存在常数λ，使得若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．
【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的几何特征．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；
（2）①；
②λ＝﹣15．
【分析】（1）根据题目所给信息以及a，b，c之间的关系，列出等式求解即可；
（2）①设出直线BF2和l的方程，将两直线方程分别与双曲线的方程联立，利用韦达定理进行求解即可；
②结合①中信息以及斜率公式求解即可．
【解答】解：（1）因为双曲线C的焦距为4，渐近线方程为，
所以，
解得，
则C的方程为；
（2）①设直线BF2的方程为x＝m1y+2，直线l的方程为x＝m2y﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），
联立，消去x并整理得，
此时且Δ＞0，
由韦达定理得，，
联立，消去x并整理得，
此时且Δ＞0，
由韦达定理得，，
因为，
所以y3＝﹣15y1，
此时，
整理得，
因为，，
所以，
即，
因为点B在双曲线C上，
所以，
此时，
解得x2＝2，
则，
即；
（3）由（2）知，，
所以，
则）
＝m1+m2+4（﹣4m1﹣4m2）＝﹣15（m1+m2），
因为，
所以．
则存在λ＝﹣15满足题意．
【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
19．（2024秋 献县期末）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），渐近线方程为y＝±x，点F2到渐近线的距离为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线l经过点F2，且与双曲线C相交于A，B两点，若△F1AB的面积为3，求直线l的方程．
【考点】直线与双曲线的综合；根据双曲线的几何特征求标准方程．
【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；
（2）或．
【分析】（1）根据题目所给信息以及a，b，c的关系，列出等式求解即可；
（2）设出直线l的方程，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理、弦长公式以及三角形面积公式求解即可．
【解答】解：（1）因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，点F2到渐近线的距离为，
所以，
解得a＝1，，c＝2，
则双曲线C的方程为；
（2）直线l的斜率不为0，
设直线l的方程为x＝my+2，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去x并整理得（3m2﹣1）y2+12my+9＝0，
此时，
解得，
由韦达定理得，
所以，
则△F1AB的面积3，
整理得9m4﹣22m2﹣15＝0，
解得．
故直线l的方程为或．
【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
20．（2024秋 衡阳校级期末）已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）过点（2，3），一条渐近线方程为x﹣y＝0．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若点P为双曲线右支上一点，A（t，0）（t＞0），求|PA|的最小值；
（3）过点F（2，0）的直线与双曲线C的右支交于M，N两点，求证：为定值．
【考点】双曲线的定点及定值问题；根据abc及其关系式求双曲线的标准方程．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（1）；
（2）答案见解析；
（3）证明见解析．
【分析】（1）根据题意列方程组，即可求得答案；
（2）设P（x0，y0），x0≥1，表示出|PA|，结合二次函数性质，讨论即可得答案；
（3）讨论直线斜率是否存在，不存在时，易求得M，N的坐标，代入表达式即可得证；存在时，设直线方程并联立双曲线方程，可得根与系数关系，求出的表达式，化简即可证明结论．
【解答】解：（1）由题可得：，解得：，
故双曲线C的标准方程为；
（2）点P为双曲线右支上一点，设P（x0，y0），x0≥1，A（t，0）（t＞0），
则
，
当，即0＜t≤4时，|PA|最小值为，
当，即t＞4时，|PA|最小值为；
（3）证明：当过点F（2，0）的直线斜率不存在时，方程为x＝2，
此时不妨取M（2，3），N（﹣2，3），则；
当过点F（2，0）的直线斜率存在时，
如图，设直线方程为y＝k（x﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2），不妨令x1＞2，1＜x2＜2，
联立，化简得：（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3＝0，
因为直线过双曲线的右焦点，必有Δ＞0，
则，其中或，
则
，
综上，为定值．
【点评】本题考查了直线和双曲线位置关系的综合应用，属于难题．
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