第2章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 相等关系与不等关系
2．1.1 等式与不等式
新课程标准 新学法解读
1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系． 2．初步学会作差法比较两个实数的大小． 3．掌握不等式的基本性质． 4．运用不等式的性质解决有关问题. 1.通过运用不等式(组)表示实际问题的不等关系及比较两个实数的大小发展数学抽象及数学运算素养． 2．通过学习不等式的性质及运用不等式性质解决问题，提升数学抽象及数学运算素养.
笔记 教材
知识点一 不等关系与不等式
1．不等式的定义
用不等号(＜，＞，≤，≥，≠)表示不等关系的式子叫不等式．记作f(x)＞g(x)，f(x)≥g(x)等．用“＜”或“＞”连接的不等式叫严格不等式；用“≥”或“≤”连接的不等式叫非严格不等式．
2．同向不等式和异向不等式
(1)对于两个不等式，如果每一个的左边都大于右边，或每一个的左边都小于右边，这样的不等式叫同向不等式．如f(x)＞g(x)与S(x)＞T(x)，f(x)≤g(x)与S(x)≤T(x)都是同向不等式．
(2)对于两个不等式，如果一个不等式的左边大于(大于或等于)右边，而另一个不等式的左边小于(小于或等于)右边，那么这两个不等式叫异向不等式．如f(x)＞g(x)与S(x)＜T(x)，f(x)≤g(x)与S(x)≥T(x)都是异向不等式．
知识点二 两实数大小的比较
比较实数a，b的大小的基本事实
(1)文字叙述
如果a－b是正数，那么a＞b；
如果a－b等于零，那么a＝b；
如果a－b是负数，那么a＜b.反过来也对．
(2)符号表示
a－b＞0 a＞b；
a－b＝0 a＝b；
a－b＜0 a＜b.
知识点三 等式的性质与不等式的性质
1．等式的基本性质
性质1 如果a＝b，那么b＝a.
性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c.
性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c.
性质4 如果a＝b，那么ac＝bc.
性质5 如果a＝b，c≠0，那么＝.
2．不等式的性质
性质1：a＞b b＜a
性质2：a＞b，b＞c a＞c
性质3：a＞b a＋c＞b＋c
推论1：a＋b>c a>c－b
推论2： a＋c>b＋d
性质4： ac＞bc
ac＜bc
推论3： ac>bd
推论4：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)
推论5：a＞b＞0 >
性质5： <
>
自我 检测
1．(多选题)下列关于不等关系的说法正确的是( )
A．某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h(米)满足h≤4.5
B．用不等式表示“a与b的差是非负数”为a－b＞0
C．不等式x≥2的含义是指x不小于2
D．若a＜b或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确
解析：因为“限高4.5米”即为“高度不超过4.5米”，不超过用“≤”表示，故选项A正确；因为“非负数”即为“不是负数”，所以a－b≥0，故选项B错误；因为不等式x≥2表示x＞2或x＝2，即x不小于2，故选项C正确；因为不等式a≤b表示a＜b或a＝b，故若a＜b或a＝b中有一个正确，则a≤b一定正确，故选项D正确．故选ACD．
答案：ACD
2．设a＞1＞b＞－1，则下列不等式中恒成立的是( )
A．＜ B．＞
C．a2＞2b D．a＞b2
解析：A错，例如a＝2，b＝－时，＝，＝－2，此时，＞；B错，例如a＝2，b＝时，＝，＝2，此时，＜；C错，例如a＝，b＝时，a2＝，2b＝，此时a2＜2b；由a＞1，b2＜1得a＞b2正确．
答案：D
3．若a＞b＞c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是( )
A．ab＞ac
B．ac＞bc
C．a|b|＞c|b|
D．a2＞b2＞c2
解析：由a＞b＞c及a＋b＋c＝0知a＞0，c＜0，又∵a＞0，b＞c，∴ab＞ac.故选A．
答案：A
4．已知－1＜x＋y＜4且2＜x－y＜3，则z＝2x－3y的取值范围是________．
解析：设2x－3y＝a(x＋y)＋b(x－y)，由待定系数法可得所以z＝－(x＋y)＋(x－y)，又因为－2＜－(x＋y)＜，5＜(x－y)＜，两式相加得3＜z＜8.
答案：3＜z＜8
研习1 用不等式(组)表示不等关系
[典例1] 某蔬菜收购点租用车辆，将100 t新鲜辣椒运往某市销售，可租用的大卡车和农用车分别为10辆和20辆，若每辆大卡车载重8 t，运费960元，每辆农用车载重2.5 t，运费360元，总运费不超过13 000元，据此安排两种车型，应满足哪些不等关系，请列出来．
[解] 设租用大卡车x辆，农用车y辆，
则
巧归纳
1．将不等关系表示成不等式的思路
(1)读懂题意，找准不等式所联系的量．
(2)用适当的不等号连接．
(3)多个不等关系用不等式组表示．
2．用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题
在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以进行比较的两个(或几个)量，没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示．
[练习1] 某人上午7时乘摩托艇以v n mile/h(4≤v≤20)的速度从A港匀速出发，向距A港50 n mile的B港驶去，到达B港后马上乘汽车以w km/h(30≤w≤100)的速度从B港匀速出发，向距B港300 km的C市驶去，应在同一天下午4时至9时到达C市，试表示关于时间的不等关系．
解：设汽车用x h，摩托艇用y h，
由题意，得
研习2 比较两数(式)的大小
[典例2] (1)已知x＜1，比较x3－1与2x2－2x的大小；
(2)已知a≠1且a∈R，试比较与1＋a的大小．
[解] (1)(x3－1)－(2x2－2x)
＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1)
＝(x－1)(x2－x＋1)
＝(x－1).
∵x＜1，∴x－1＜0.又2＋＞0，
∴(x－1)＜0.
∴x3－1＜2x2－2x.
(2)两代数式作差得－(1＋a)＝.
①当a＝0时，∵＝0，∴＝1＋a.
②当a＜1，且a≠0时，∵＞0，∴＞1＋a.
③当a＞1时，∵＜0，∴＜1＋a.
综上，当a＝0时，＝1＋a；当a＜1且a≠0时，＞1＋a；当a＞1时，＜1＋a.
巧归纳
(1)利用作差法比较大小的一般步骤为：作差——变形——定号——结论．变形的目的是能判断符号，变形越彻底就越容易判断符号．常用方法为配方、平方差公式、立方差、立方和公式、通分、因式分解、分子(或分母)有理化等．
(2)作商法比较大小一般适用于含幂式、积式、分式且符号确定的数或式的大小的比较，作商后可变形为能与1比较大小的式子．
[练习2] (1)比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小；
(2)已知a≥1，试比较M＝－和N＝－的大小．
解：(1)(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)
＝x2＋x＋1＝2＋.
∵2≥0，∴2＋≥＞0.
∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＞0，
∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2.
(2)由M－N＝－
＝－
＝－
＝.
∵a≥1，∴＋＞0，＋＞0，又－＜0，
∴M－N＜0，∴M＜N.
研习3 不等式的性质
[典例3] (1)(多选题)对于实数a，b，c，有下列说法，其中正确的是( )
A．若a＞b，则ac＜bc
B．若ac2＞bc2，则a＞b
C．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
D．若c＞a＞b＞0，则＞
(2)①已知a＞b，e＞f，c＞0.求证：f－ac＜e－bc；
②若bc－ad≥0，bd＞0.求证：≤.
(1)[解析] 对于A，令c＝0，则有ac＝bc，A错误；
对于B，由ac2＞bc2，知c≠0，∴c2＞0 a＞b，B正确；
对于C，由a＜b＜0，两边同乘以a得a2＞ab，两边同乘以b得ab＞b2，∴a2＞ab＞b2，C正确；
对于D，
＞，D正确．故选BCD．
[答案] BCD
(2)[证明] ①∵a＞b，c＞0，∴ac＞bc，
∴－ac＜－bc.
∵f＜e，∴f－ac＜e－bc.
②∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，∵bd＞0，∴＞0，
∴≤，∴＋1≤＋1.∴≤.
巧归纳
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
[练习3] (1)已知m＞n，a＜b，求证：m－a＞n－b；
(2)若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞.
证明：(1)由a＜b，知－a＞－b，
又因为m＞n，所以m－a＞n－b.
(2)因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，
又因为a＞b＞0，所以a－c＞b－d＞0，
所以(a－c)2＞(b－d)2＞0，
所以0＜＜，
又因为e＜0，所以＞.
1．(多选题)已知＜＜0，则下列结论正确的是( )
A．a＜b B．ab＞a＋b
C．|a|＜|b| D．ab＞b2
解析：由＜＜0可得b＜a＜0，显然选项A不正确；
因为b＜a＜0，所以ab＞0，a＋b＜0，所以ab＞a＋b，故选项B正确；
因为b＜a＜0，所以|b|＞|a|，故选项C正确；
因为b＜a＜0，所以b＜0，a－b＞0可得ab－b2＝b(a－b)＜0，即ab＜b2，故选项D不正确．
故选BC．
答案：BC
2．若1＜a＜3，－4＜b＜2，那么a－|b|的范围是( )
A．－3＜a－|b|≤3
B．－3＜a－|b|＜5
C．－3＜a－|b|＜3
D．1＜a－|b|＜4
解析：∵－4＜b＜2，∴0≤|b|＜4.∴－4＜－|b|≤0.
又∵1＜a＜3，∴－3＜a－|b|＜3.
答案：C
3．已知0＜a＜1,0＜b＜1，记M＝ab，N＝a＋b－1，则M与N的大小关系是( )
A．M＜N B．M＞N
C．M＝N D．不确定
解析：M－N＝ab－(a＋b－1)＝ab－a－b＋1＝(a－1)(b－1)．∵0＜a＜1,0＜b＜1，∴a－1＜0，b－1＜0，∴M－N＞0，∴M＞N.
答案：B
4．给出下列四个条件：①b＞0＞a；②0＞a＞b；③a＞0＞b；④a＞b＞0，其中能推得＜成立的是________．
解析：＜ ＜0，∴①②④能使它成立．
答案：①②④
5．现有A，B，C，D四个长方形容器，A，B的底面积都是a2，高分别是a，b；C，D的底面积都是b2，高分别是a，b(a≠b)，现规定一种游戏规则：每人每一次从容器中取两个，盛水多者为胜，问先取者有没有必胜的方案？若有，有哪几种？并证明你的结论；若没有，请说明理由．
解：先取A，D容器必胜．理由如下：依次记容器A，B，C，D的容积为VA，VB，VC，VD，
则VA＝a3，VB＝a2b，VC＝ab2，VD＝b3.
所以(VA＋VB)－(VC＋VD)＝(a－b)(a＋b)2，
(VA＋VC)－(VB＋VD)＝(a－b)(a2＋b2)，
(VA＋VD)－(VB＋VC)＝(a＋b)(a－b)2，
只有(VA＋VD)－(VB＋VC)＝(a＋b)(a－b)2必大于0，即VA＋VD＞VC＋VB．
所以，先取A，D容器必胜．
[探究一] 利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围要注意：同向不等式的两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
[示例1] 已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值范围．
[解] ∵1＜a＜4,2＜b＜8，
∴2＜2a＜8,6＜3b＜24，∴8＜2a＋3b＜32.
∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2.
又∵1＜a＜4，
∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)，
即－7＜a－b＜2.
故2a＋3b的取值范围是8＜2a＋3b＜32，a－b的取值范围是－7＜a－b＜2.
[探究二] 同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．
[示例2] 在[示例1]条件下，求的取值范围．
[解] ∵2＜b＜8，∴＜＜，
而1＜a＜4，
∴1×＜a·＜4×，即＜＜2.
故的取值范围是＜＜2.
[探究三] 不等式两边同乘以一个正数，不等号方向不变，同乘以一个负数，不等号方向改变，求解中，应明确所乘数的正负．
[示例3] 已知－6＜a＜8,2＜b＜3，求的取值范围．
[解] ∵－6＜a＜8,2＜b＜3，
∴＜＜，
①当0≤a＜8时，0≤＜4；
②当－6＜a＜0时，－3＜＜0.
由①②，得的取值范围是－3＜＜4.
[探究四] 在已知条件是两个字母相关联的式子的范围时，要注意这两个字母是相互联系的整体，而不是独立存在，所以必须用已知的式子整体地去表示结论．
[示例4] 已知－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3，求a＋3b的取值范围．
[解] 设a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b，解得λ1＝，λ2＝－.
又－≤(a＋b)≤，－2≤－(a－2b)≤－，所以a＋3b的取值范围是－≤a＋3b≤1.
课时作业(九) 等式与不等式
一、选择题
1．(多选题)已知a，b，c，d均为实数，下列不等关系推导不成立的是( )
A．若a＞b，c＜d，则a＋c＞b＋d
B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
C．若bc－ad＞0，－＞0，则ab＜0
D．若a＞b＞0，c＞d＞0，则＞
解析：A．2＞1,1＜2，满足a＞b，c＜d，而a＋c＝b＋d，故错误；
B．2＞1，－1＞－2，满足a＞b，c＞d，而ac＝bd，故错误；
C．若bc－ad＞0，－＝＞0，则ab＞0，故错误；
D．若a＞b＞0，c＞d＞0，则>>0，所以>＞0，则>，故正确．故选ABC．
答案：ABC
2．“不等式x(x－2)＞0”是“不等式＜1”成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：＜1 －1＜0 x(x－2)＞0，所以是充要条件．
答案：C
3．(多选题)设x，y为实数，满足1≤x≤4,0＜y≤2，则下列结论正确的是( )
A．1＜x＋y≤6 B．1＜x－y≤2
C．0＜xy≤8 D．≥2
解析：对于A,0＋1＜x＋y≤2＋4，即1＜x＋y≤6，故A正确；
对于B，－2≤－y＜0，则1－2≤x－y＜4＋0，即
－1≤x－y＜4，故B错误；
对于C,0×1＜xy≤4×2，即0＜xy≤8，故C正确；
对于D，由题知≥，则≥1×＝，故D错误．
故选AC．
答案：AC
4．已知x≠1，则( )
A．x2＋y2≥2x－6y－10
B．x2＋y2＞2x－6y－10
C．x2＋y2≤2x－6y－10
D．x2＋y2＜2x－6y－10
解析：∵x2＋y2－(2x－6y－10)＝x2＋y2－2x＋6y＋10＝(x－1)2＋(y＋3)2，
又x≠1，∴(x－1)2＞0，(y＋3)2≥0.
∴(x－1)2＋(y＋3)2＞0.∴x2＋y2＞2x－6y－10，故选B．
答案：B
5．甲、乙两人同时从A到B．甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步．如果两人步行速度、跑步速度均相同，则( )
A．甲先到B B．乙先到B
C．两人同时到B D．谁先到无法确定
解析：设甲用时间T，乙用时间2t，步行速度为a，跑步速度为b，距离为s.则T＝＋＝＋＝s，2t＝，
∴T－2t＝＞0，∴T＞2t.故乙先到B．
答案：B
二、填空题
6．若实数x，y满足－1＜x＜2，－2≤y≤1，则y－x的取值范围是________．
解析：因为－1
所以－2＋(－2)＜y－x＜1＋1，即－4＜y－x＜2.
故答案为(－4,2)．
答案：(－4,2)
7．若x＞y，a＞b，则在①a－x＞b－y，②a＋x＞b＋y，③ax＞by，④x－b＞y－a，⑤＞这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________．
解析：令x＝－2，y＝－3，a＝3，b＝2，
符合题设条件x＞y，a＞b，
∵a－x＝3－(－2)＝5，b－y＝2－(－3)＝5，
∴a－x＝b－y，因此①不成立．
又∵ax＝－6，by＝－6，
∴ax＝by，因此③也不成立．
又∵＝＝－1，＝＝－1，
∴＝，因此⑤不成立．
由不等式的性质可推出②④成立．
答案：②④
8．已知a＋b＞0，则＋与＋的大小关系是________________．
解析：＋－＝.
因为a2b2＞0，所以只需判断a3＋b3－ab2－a2b的符号．
因为a3＋b3－ab2－a2b＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－ab(a＋b)＝(a＋b)(a－b)2≥0，当a＝b时等号成立．
所以＋≥＋.
答案：＋≥＋
三、解答题
9．已知甲、乙、丙三种食物的维生素A，B含量及成本如下表：
甲 乙 丙
维生素A(单位/kg) 600 700 400
维生素B(单位/kg) 800 400 500
成本(元/kg) 11 9 4
若用甲、乙、丙三种食物各x kg，y kg，z kg配成100 kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A和63 000单位维生素B．
试用x，y表示混合食物成本c元，并写出x，y所满足的不等关系．
解：依题意，得c＝11x＋9y＋4z，
又x＋y＋z＝100，
∴c＝400＋7x＋5y，
由及z＝100－x－y，
得
∴x，y所满足的不等关系为
10．已知c>a>b>0，求证：>.
证明：－＝
＝＝.
∵c>a>b>0，∴c－a>0，c－b>0，a－b>0.
∴>0.∴>.
11．已知实数x，y满足－4≤x－y≤－1，－1≤4x－y≤5，求9x－3y的取值范围．
解：设9x－3y＝a(x－y)＋b(4x－y)＝(a＋4b)x－(a＋b)y，
∴
∴9x－3y＝(x－y)＋2(4x－y)，
∵－1≤4x－y≤5，∴－2≤2(4x－y)≤10，
又－4≤x－y≤－1，∴－6≤9x－3y≤9.
2.1.2 基本不等式
2．1.3 基本不等式的应用
新课程标准 新学法解读
1.掌握基本不等式≤(a>0，b>0)，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值． 2．能灵活应用基本不等式解决一些证明、比较大小问题． 3．能利用基本不等式解决实际问题. 通过学习掌握基本不等式及其简单应用，重点发展数学运算、逻辑推理、数学建模素养.
笔记 教材
知识点一 基本不等式
1．定理
对于任意实数a，b，必有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
2．推论
对任意a，b>0，必有≥，当且仅当a＝b时，等号成立．其中和分别叫做正数a，b的算术平均数和几何平均数．
上述定理和推论中的不等式通常称为基本不等式．
知识点二 应用基本不等式求最值的两个模型
已知x，y都为正数，则
(1)如果积xy为定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值2.
(2)如果和x＋y为定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值.
自我 检测
1．(多选题)下列说法中正确的是( )
A．a2＋b2≥2ab成立的条件是a≥0，b≥0
B．a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R
C．a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0
D．a＋b≥2成立的条件是ab＞0
解析：根据基本不等式成立的条件可知只有BC 正确，故选 BC．
答案：BC
2．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )
A． B．4
C． D．5
解析：∵a＋b＝2，∴y＝
＝＋＝＋＋＋2
≥＋2＝＋2＝，
当且仅当a＝，b＝时等号成立．
答案：C
3．已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )
A．3 B．4
C． D．
解析：∵x＋2y＋2xy＝8，∴y＝＞0.
∴0＜x＜8.∴x＋2y＝x＋2·＝(x＋1)＋－2≥2－2＝4.
当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立，此时x＝2，y＝1.
答案：B
4．已知x，y均为正实数，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．
解析：xy＝12×≤12×2＝12×2＝3，当且仅当＝＝，即x＝，y＝2时，等号成立，∴xy的最大值为3.
答案：3
研习1 利用基本不等式证明不等式
[典例1] 已知a＞0，b＞0，求证：≤≤≤.
[证明] ∵a＞0，b＞0，由基本不等式可知，≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
∴≥＝＞0，
∴≤，当且仅当a＝b时等号成立．
又＝≤＝，
∴≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
综上，≤≤≤(当且仅当a＝b时，等号成立)．
巧归纳
(1)在利用≥时，一定要注意是否满足条件a>0，b>0.
(2)在利用基本不等式a＋b≥2或≥(a>0，b>0)时，要注意对所给代数式通过添项配凑，构造符合基本不等式的形式．
(3)另外，在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用．
[练习1] 已知a，b，c是正实数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
证明：∵a，b，c是正实数，
∴＋≥2＝2c，当且仅当＝，即a＝b时，取等号；
＋≥2＝2a，当且仅当＝，即b＝c时，取等号；
＋≥2＝2b，当且仅当＝，即a＝c时，取等号．
上面3个不等式相加，得2·＋2·＋2·≥2a＋2b＋2c，当且仅当a＝b＝c时，取等号．
∴＋＋≥a＋b＋c.
研习2 利用基本不等式求最值
[典例2] (1)已知正数a，b满足a＋2b＝1，求＋的最小值；
(2)已知x＜，求函数y＝4x－2＋的最大值；
(3)0(4)已知x>0，y>0，xy＝x＋y＋8，求xy的最小值．
[解] (1)∵正数a，b满足a＋2b＝1，
∴＋＝(a＋2b)＝1＋＋＋4≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立．∴＋的最小值为9.
(2)∵x＜，∴5－4x＞0.
∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．
故当x＝1时，ymax＝1.
(3)∵00.
∴f(x)＝·3x·(4－3x)≤2＝，
当且仅当3x＝4－3x时，即x＝时，等号成立．
所以f(x)的最大值为，此时x＝.
(4)∵x>0，y>0，∴xy＝x＋y＋8≥2＋8 (*)
记t＝(t>0)，则(*)式可化为t2－2t－8≥0.
可解得：t≥4或t≤－2(舍)，即(xy)min＝16.
当且仅当x＝y＝4时，等号成立．
巧归纳
1．利用基本不等式求最大值或最小值时应注意：
(1)x，y一定都是正数．
(2)求积xy最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．
(3)等号是否能够成立．
以上三点可简记为“一正，二定，三相等”．
2．利用基本不等式求最值的关键是获得定值的条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．
[练习2] (1)若a＞0，b＞0，则＋＋b的最小值是________．
(2)已知正数x，y满足2x＋y＝1，求的最小值．
(1)解析：∵a>0，b>0，
∴＋＋b≥2＋b＝＋b≥2
＝2，当且仅当＝且＝b，即a＝b＝时等号成立．∴＋＋b的最小值为2.故答案为2.
答案：2
(2)解：∵2x＋y＝1，∴＝＝1＋＝1＋＋＝1＋(2x＋y)＝13＋＋≥13＋2＝25，
当且仅当＝，即y＝2x，即y＝，x＝时等号成立，因此，的最小值是25.
研习3 基本不等式的实际应用
[典例3] 某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？
[解] 设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为＝.
∴每平方米的平均综合费用
y＝560＋48x＋＝560＋48.
当x＋取最小值时，y有最小值．
∵x＞0，∴x＋≥2＝30.
当且仅当x＝，即x＝15时，上式等号成立．
所以当x＝15时，y有最小值2 000元．
因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少．
巧归纳
在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法：
(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)根据实际背景写出答案．
[练习3] 如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，一枚炮弹位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
(1)求这枚炮弹的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
解：(1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件，知x＞0，k＞0，故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．
所以炮弹的最大射程为10千米．
(2)因为a＞0，所以炮弹可击中目标 存在k＞0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立 关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根 判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0 a≤6.
所以当a不超过6千米时，可击中目标．
1．(多选题)若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列选项中正确的是( )
A．ab有最大值
B.＋有最小值
C.＋有最小值4
D．a2＋b2有最小值
解析：∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1，∴2＝1＋a＋b≥1＋2，∴ab≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，∴ab有最大值，∴选项A正确；
∵(＋)2＝a＋b＋2·≤a＋b＋a＋b＝2，∴＋≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，∴＋有最大值，∴选项B错误；
＋＝＝≥4，当且仅当a＝b＝时等号成立，∴＋有最小值4，∴选项C正确；
a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥，当且仅当a＝b＝时等号成立，∴a2＋b2的最小值不是，∴选项D错误．
答案：AC
2．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________．
解析：由题意得(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)，
所以1＋x＝≤＝1＋，
所以x≤，当且仅当a＝b时等号成立．
答案：x≤
3．设a，b＞0，a＋b＝5，则＋的最大值为________．
解析：(＋)2＝a＋b＋4＋2·≤9＋a＋1＋b＋3＝9＋a＋b＋4＝18，
当且仅当a＋1＝b＋3且a＋b＝5.
即a＝，b＝时等号成立，所以＋≤3.
答案：3
4．若a>0，b>0，且＋＝.
(1)求a3＋b3的最小值；
(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．
解：(1)由＝＋≥，得ab≥2，且当a＝b＝时等号成立．
故a3＋b3≥2≥4，且当a＝b＝时等号成立．
所以a3＋b3的最小值为4.
(2)由(1)知，2a＋3b≥2≥4.
由于4>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.
[典例] 已知a>0，b>0，且a＋b＋＋＝5，则a＋b的取值范围是( )
A．1≤a＋b≤4 B．a＋b≥2
C．2＜a＋b＜4 D．a＋b≥4
[答案] A
[解析] 因为a>0，b>0，由均值不等式，得2≥ab，可得≥，又a＋b＋＋＝5，可得(a＋b)＝5≥(a＋b)，化为(a＋b)2－5(a＋b)＋4≤0，解得1≤a＋b≤4，则a＋b的取值范围是1≤a＋b≤4.
[纠错心得] 对于含有两个变量a，b的条件等式，求a＋b或ab的取值范围问题，常常利用基本不等式解决．若求a＋b的取值范围，将ab的条件转化为ab≤2；若求ab的取值范围，将a＋b的条件转化为a＋b≥2.
[易错提醒] 本题易出现直接运用均值不等式a＋b≥2，得到5＝a＋b＋＋≥2＋2，导致无法求a＋b的取值范围．
课时作业(十) 基本不等式 基本不等式的应用
一、选择题
1．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是( )
A．a＜b＜＜
B．a＜＜＜b
C．a＜＜b＜
D.＜a＜＜b
解析：解法一：∵0＜a＜b，∴a＜＜b，排除A，C.又－a＝(－)＞0，即＞a，排除D，故选B.
解法二：取a＝2，b＝8，则＝4，＝5，
所以a＜＜＜b.
答案：B
2．(多选题)设a，b∈R且ab＞0，则下列不等式正确的是( )
A．a2＋b2≥2ab B．a＋b≥2
C.＋≥ D.＋≥2
解析：由(a－b)2≥0得a2＋b2≥2ab，A正确；
在a＜0，b＜0时，ab＞0，但a＋b≥2不成立，B错误；同理C也错误；
ab＞0时，>0，>0，＋≥2＝2，当且仅当＝，即a＝b时等号成立，D正确．
故选AD.
答案：AD
3．若a≥0，b≥0且a＋b＝2，则( )
A．ab≤ B．ab≥
C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3
解析：∵a2＋b2≥2ab，∴(a2＋b2)＋(a2＋b2)≥(a2＋b2)＋2ab，即2(a2＋b2)≥(a＋b)2＝4，∴a2＋b2≥2.
答案：C
4．(多选题)下列说法正确的是( )
A．x＋(x＞0)的最小值是2
B.的最小值是
C.的最小值是2
D．2－3x－的最小值是2－4
解析：当x＞0时，x＋≥2＝2(当且仅当x＝，即x＝1时取等号)，A正确；
＝，因为x2≥0，所以＝≥ ，B正确；
＝＝＋≥2，当且仅当＝，即x2＝－3时，等号成立，显然不成立，故C错误；
当x＝1时，2－3x－＝2－3－4＝－5＜2－4，D错误．故选AB.
答案：AB
5．若－4＜x＜1，则y＝( )
A．有最小值1 B．有最大值1
C．有最小值－1 D．有最大值－1
解析：y＝＝，
又∵－4＜x＜1，∴x－1＜0.∴－(x－1)＞0.
∴y＝－≤－1.
当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．
答案：D
6．设a＞b＞0，则a2＋＋的最小值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：a2＋＋
＝a2－ab＋ab＋＋
＝ab＋＋a(a－b)＋≥2＋2＝4，
当且仅当ab＝1，a(a－b)＝1时等号成立，如取a＝，b＝满足条件．
答案：D
二、填空题
7．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________________．
解析：∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0，∴＝≥，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时，等号成立．
答案：≤
8．已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值是________．
解析：因为a＋b＋c＝0，所以b＋c＝－a.
因为a2＋b2＋c2＝1，
所以－a2＋1＝b2＋c2＝(b＋c)2－2bc＝a2－2bc，所以2a2－1＝2bc≤b2＋c2＝1－a2，
所以3a2≤2，所以a2≤，所以－≤a≤.
所以amax＝.
答案：
9．已知正实数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝4，则xy＋yz的最大值为________．
解析：由于4＝x2＋y2＋z2＝＋≥2xy＋2yz＝(xy＋yz)，
∴xy＋yz≤＝2，当且仅当时取等号，
故xy＋yz的最大值为2.
答案：2
10．若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
解析：因为x＞0，所以x＋≥2，当且仅当x＝1时取等号，所以有＝≤＝.
即的最大值为，故a≥.
答案：a≥
三、解答题
11．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：
(1)＋＋≥8；
(2)≥9.
证明：(1)∵a＋b＝1，a＞0，b＞0，
∴＋＋＝＋＋
＝2＝2
＝2＋4≥4＋4＝8，
∴＋＋≥8.
(2)∵＝＋＋＋1，
由(1)知＋＋≥8，
∴≥9.
12．(1)已知0＜x＜，求y＝x(1－2x)的最大值；
(2)已知x＜3，求f(x)＝＋x的最大值；
(3)已知x，y∈R＋，且x＋y＝4，求＋的最小值．
解：(1)因为0＜x＜，所以1－2x＞0，所以
y＝·2x(1－2x)≤2＝，当且仅当2x＝1－2x x＝时取“＝”．则函数的最大值为.
(2)因为x＜3，所以3－x＞0，所以
f(x)＝－＋3≤－2＋3＝－1，当且仅当＝3－x x＝1时取“＝”．则函数的最大值为－1.
(3)因为x，y∈R＋，且x＋y＝4，所以
＋＝(x＋y)＝≥·，当且仅当 时取“＝”．则函数的最小值为1＋.
13．(1)已知a，b，c均为正实数，求证：＋＋≥a＋b＋c；
(2)已知a，b，c为不全相等的正实数．求证：a＋b＋c＞＋＋.
证明：(1)∵a，b，c均为正实数，∴，，均大于0，
又＋b≥2＝2a，
＋c≥2＝2b，
＋a≥2＝2c，
三式相加，得＋b＋＋c＋＋a≥2a＋2b＋2c，
∴＋＋≥a＋b＋c.
(2)∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴a＋b≥2＞0，b＋c≥2＞0，c＋a≥2＞0.
∴2(a＋b＋c)≥2(＋＋)．
即a＋b＋c≥＋＋.
由于a，b，c为不全相等的正实数，故三个等号不能同时成立．
∴a＋b＋c＞＋＋.
14．某厂家拟在2022年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(也是该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．预计2022年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．
(1)设2022年该产品的利润为y万元，将y表示为m的函数；
(2)该厂家2022年的促销费用投入多少万元时获得的利润最大？
解：(1)由题意，知当m＝0时，x＝1，
∴1＝3－k，即k＝2.∴x＝3－.
又每件产品的销售价格为1.5×元，
∴y＝x－(8＋16x＋m)＝4＋8x－m＝4＋8－m＝28－－m(m≥0)．
(2)y＝28－－m＝29－(m＋1)＋，
∵m≥0，∴(m＋1)＋≥2＝8，
当且仅当＝m＋1，即m＝3时等号成立，
∴y≤29－8＝21，即当m＝3时，ymax＝21.
∴该厂家2022年的促销费用投入为3万元时获得的利润最大，最大利润为21万元．
2．2 从函数观点看一元二次方程
新课程标准 新学法解读
1.理解函数零点的概念． 2．能根据“两个二次”之间的关系研究函数的零点. 通过以一元二次方程研究函数的零点的学习，培养数学抽象和数学运算素养.
笔记 教材
知识点一 二次函数的零点
一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的零点．
知识点二 函数零点的探究
当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如下表所示：
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个相异的实数根x1,2＝ 有两个相等的实数根x1,2＝－ 没有实数根
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点 有两个零点x1,2＝ 有一个零点x＝－ 无零点
自我 检测
1．函数y＝3x2＋x－2的零点为( )
A．1，－ B．－1，
C．2，－ D．－2，
解析：解方程3x2＋x－2＝0，得x1＝－1，x2＝，所以－1，是函数y＝3x2＋x－2的零点．
答案：B
2．(多选题)一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )
A．a＜0 B.a＞0
C．a＜－1 D.a＜－2
解析：因为一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根，
所以
结合选项与充分不必要条件的概念可知选CD.
答案：CD
3．函数y＝9x2－12x＋4的零点所在的区间为( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
解析：由求根公式可得一元二次方程9x2－12x＋4＝0的根为x＝，所以函数y＝9x2－12x＋4的零点所在的区间为(0,1)．
答案：C
4．若二次函数y＝ax2＋2x＋3(a≠0)没有零点，则实数a的取值范围为________．
解析：由题意，方程ax2＋2x＋3＝0(a≠0)没有实数根，所以Δ＝4－12a<0，所以a>.
答案：
研习1 求函数的零点
[典例1] 求下列函数的零点：
(1)y＝3x2－2x－1；
(2)y＝ax2－x－a－1(a∈R)；
(3)y＝ax2＋bx＋c, 其图象如图所示．
[思路点拨] (1)直接解出相应方程的根．
(2)对于二次项的系数a分a＝0，a≠0两类进行讨论，当a≠0时，还要比较两根的大小．
(3)根据相应函数的图象，找到其与x轴的交点的横坐标．
[解] (1)由3x2－2x－1＝0解得x1＝1，x2＝－，所以函数y＝3x2－2x－1的零点为1和－.
(2)(ⅰ)当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1.
(ⅱ)当a≠0时，由ax2－x－a－1＝0得(ax－a－1)(x＋1)＝0，解得x1＝，x2＝－1.
又－(－1)＝，
①当a＝－时，x1＝x2＝－1，函数有唯一的零点－1.
②当a≠－且a≠0时，x1≠x2，函数有两个零点－1和.
综上：当a＝0或－时，函数的零点为－1.
当a≠－且a≠0时，函数有两个零点－1和.
(3)函数的图象与x轴的交点的横坐标为－1和3，所以该函数的零点为－1和3.
巧归纳
1．求函数的零点就是解相应的方程，相应方程互异的实根就是函数的零点．
2．函数的图象与x轴交点的横坐标就是函数的零点．
3．求含有参数的函数y＝ax2＋bx＋c的零点分类讨论的步骤
(1)若二次项系数中含有参数，则讨论二次项系数是否为零；
(2)若二次项系数不是零，讨论对应方程的根的判别式的符号，判定方程是否有实数．若可以因式分解，则一定存在零点．
(3)若二次项系数不是零，且相应方程有实数根，讨论相应方程的实数根是否相等．
[练习1] 求下列函数的零点：
(1)y＝2x2－3x－2；
(2)y＝ax2－x－1；
(3)y＝ax2＋bx＋c, 其图象如图所示．
解：(1)由2x2－3x－2＝0解得x1＝2，x2＝－，所以函数y＝2x2－3x－2的零点为2和－.
(2)(ⅰ)当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1.
(ⅱ)当a≠0时，由ax2－x－1＝0得Δ＝1＋4a，
当Δ<0，即a<－时，相应方程无实数根，函数无零点；
当Δ＝0，即a＝－时，x1＝x2＝－2，函数有唯一的零点－2.
当Δ>0，即a>－时，由ax2－x－1＝0得x1,2＝，
函数有两个零点和.
综上：当a＝0时，函数的零点为－1；
当a＝－时，函数的零点为－2；
当a>－时，函数有两个零点和；
当a<－时，相应方程无实数根，函数无零点．
(3)由函数的图象与x轴的交点的横坐标为－3和1，所以该函数的零点为－3和1.
研习2 函数的零点个数的论证与探究
[典例2] 若a>2，求证：函数y＝ (a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点．
[思路点拨] 要证明二次函数有两个零点，需要证明一元二次方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有两个不相等实数根．
[证明] 考察一元二次方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0，
因为Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)，
又a>2，所以Δ>0，
所以函数y＝ (a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点．
[延伸探究] 求函数y＝ (a－2)x2－2(a－2)x－4有零点的充要条件．
[解] (必要性)因为函数y＝ (a－2)x2－2(a－2)x－4有零点，
当a＝2时，方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0无解．函数无零点；
当a≠2时，因为函数y＝ (a－2)x2－2(a－2)x－4有零点，所以方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有实数根．所以Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)≥0，
即或 解得a≥2或a≤－2，
又a≠2，所以a>2或a≤－2，
所以函数y＝ (a－2)x2－2(a－2)x－4有零点，则a>2或a≤－2.
(充分性)当a>2或a≤－2时，对于方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0，
Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)≥0，
所以函数y＝ (a－2)x2－2(a－2)x－4有零点．
综上，函数y＝ (a－2)x2－2(a－2)x－4有零点的充要条件是a>2或a≤－2.
巧归纳
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点的论证
对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac.
(1)Δ>0 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个零点．
(2)Δ＝0 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有一个零点．
(3)Δ<0 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)无零点．
[练习2] 求证：函数y＝ax2－x－a(a∈R)有零点．
证明：当a＝0时，y＝－x，该函数有零点0；
当a≠0时，对于一元二次方程ax2－x－a＝0，Δ＝1＋4a2>0，函数y＝ax2－x－a有两个零点．
综上，函数y＝ax2－x－a(a∈R)有零点．
研习3 二次函数的零点分布探究
[典例3] (1)判断二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)是否存在零点；
(2)若二次函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4(a≠2)的两个零点均为正数，求实数a的取值范围．
[思路点拨] (1)直接求出函数的零点，再加以判定．
(2)结合相应一元二次方程的判别式和根与系数的关系进行研究．
[解] (1)由－x2－2x＋1＝0得x1＝－1＋，x2＝－1－，因为－3<－1－<－2，
所以二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)存在零点．
(2)因为函数y＝ (a－2)x2－2(a－2)x－4的两个零点均为正数，
所以(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有两个不相等的正实数根．显然a≠2.
由一元二次方程的根与系数的关系得
即
所以a<－2.
即实数a的取值范围(－∞，－2)．
巧归纳
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点的分布探究
结合一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac和根与系数的关系处理
(1) 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个正零点．
(2) 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个负零点．
(3)x1x2<0 函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个异号零点．
2．二次函数的零点如果能够求出，再研究其分布就很方便．
[练习3] 已知函数y＝x2－x－a2＋a(a∈R)．
(1)若该函数有两个正的零点，求a的取值范围；
(2)若该函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1，求a的取值范围．
解：方法一：由x2－x－a2＋a＝0得x1＝a，x2＝1－a.
(1)因为该函数有两个正的零点，所以 解得0所以a的取值范围是0(2)因为函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1，
所以或解得a>1或a<0.
所以a的取值范围是a>1或a<0.
方法二：(1)因为该函数有两个正的零点，该函数其相应方程为x2－x－a2＋a＝0，
所以
解得0所以a的取值范围是0(2)方程x2－x－a2＋a＝0中，Δ＝1－4(－a2＋a)＝(2a－1)2≥0，设其两实数根分别为x1，x2，
则
因为函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1，
所以(x1－1)(x2－1)<0，即x1x2－(x1＋x2)＋1<0，所以(－a2＋a)－1＋1<0，解得a>1或a<0.
所以a的取值范围是a>1或a<0.
1．函数y＝x2＋4x－5的零点为( )
A．－5和1 B.(－5,0)和(1,0)
C．－5 D.1
解析：由x2＋4x－5＝0得x1＝－5或x2＝1.
答案：A
2．(多选题)已知函数y＝2ax－a＋3在(－1,1)上有零点，则实数a的取值可能是( )
A．－4 B．2
C．3 D．－1
解析：当a＝0时，y＝3无零点．当a≠0时，由2ax－a＋3＝0得x＝，所以－1<<1.当a>0时，－2a1，当a<0时，－2a>a－3>2a，解得a<－3.所以a的取值范围为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．
答案：ABC
3．函数y＝x2＋2ax－a2－1(a∈R)的零点的个数为________．
解析：由x2＋2ax－a2－1＝0得Δ＝4a2－4(－a2－1)＝8a2＋4>0，所以函数零点的个数为2.
答案：2
4．二次函数y＝x2＋2x－8在区间(1,3)内的零点为________．
解析：方程x2＋2x－8＝0的两个根为x1＝2，x2＝－4.因此二次函数y＝x2＋2x－8在区间(1,3)内的零点为2.
答案：2
5．函数y＝x2＋2x－1的零点在区间(n，n＋1)(n∈Z)，则n的取值集合为________．
解析：由x2＋2x－1＝0解得x1＝－1－，x2＝－1＋，因为－1－∈(－3，－2)，－1＋∈(0,1)，所以n的取值集合为{－3，0}．
答案：{－3,0}
课时作业(十一) 从函数观点看一元二次方程
一、选择题
1．函数y＝x2－(a＋1)x＋a的零点的个数是( )
A．1 B．2
C．1或2 D.0
解析：由x2－(a＋1)x＋a＝0得x1＝a，x2＝1，当a＝1时，函数的零点为1个；当a≠1时，函数的零点有2个，所以该函数的零点的个数是1或2.
答案：C
2．函数y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的零点为－2和3，那么函数y＝cx2－bx＋a的零点为( )
A．－和 B.和－
C．－3和2 D．无法确定
解析：由题意知，－2＋3＝－，－2×3＝， ∴b＝－a，c＝－6a，由cx2－bx＋a＝0得－6ax2＋ax＋a＝0，即6x2－x－1＝0，解得x1＝－，x2＝，故选A.
答案：A
3．关于x的函数y＝ x2－2ax－8a2(a>0)的两个零点为x1，x2，且x2－x1＝15，则a＝( )
A. B. C. D.
解析：由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.
由(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝.故选A.
答案：A
4．(多选题)已知函数y＝x2－6x＋5－m的两个零点都大于2，实数m的可能取值为( )
A．－5 B．－
C．－ D．－3
解析：x2－6x＋5－m＝0的两根都大于2，则二次函数y＝x2－6x＋5－m的图象与x轴的两个交点都在x＝2的右侧，根据图象得：方程的判别式Δ>0.当x＝2时函数值y>0，函数对称轴x＝3>2，即解得－4答案：BC
5．(多选题)已知关于x的函数y＝x2＋kx＋k＋4有两个零点．且一个大于2，一个小于2，则实数k的可能取值为( )
A．－2 B．－3
C．－4 D．－5
解析：由题意知函数的两个零点分别在2的左右两侧．由图象知当x＝2时对应的函数值y<0，即4＋2k＋k＋4<0，所以k<－.
答案：BCD
6．(多选题)对于函数y＝ax2－x－2a，下列说法中正确的是( )
A．函数一定有两个零点
B．a>0时，函数一定有两个零点
C．a<0时，函数一定有两个零点
D．函数的零点个数是1或2
解析：当a＝0时，由y＝0得x＝0，函数有一个零点；当a≠0时，相应方程ax2－x－2a＝0中Δ＝1＋8a2>0，所以函数一定有两个零点，所以A选项错误，故选BCD.
答案：BCD
7．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5aA．②④ B．①④
C．②③ D．①③
解析：因为二次函数的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a答案：B
二、填空题
8．若函数y＝x2－ax＋a的两个零点分别为m，n，则＋＝________.
解析：因为函数y＝x2－ax＋a的两个零点分别为m，n，所以m，n是方程x2－ax＋a＝0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系得所以＋＝＝1.
答案：1
9．若函数y＝(ax＋1)(x＋2)的唯一零点为－2，则实数a的取值集合为________．
解析：当a＝0时，由y＝0得x＝－2符合题意，当a≠0时，由y＝0得x1＝－2，x2＝－，因为函数y＝(ax＋1)(x＋2)的唯一零点为－2，所以－＝－2，即a＝，所以实数a的取值集合为.
答案：
10．函数y＝x2＋3x＋m有唯一一个零点，则m的取值为________，若函数有两个负的零点，则m的取值范围为________．
解析：因为y＝x2＋3x＋m有唯一零点．所以方程x2＋3x＋m＝0有两个相等的实根．所以Δ＝9－4m＝0，所以m＝.
若y＝x2＋3x＋m的两个零点都是负数，所以解得0答案：
11．已知实数a解析：由题意知：x＝a或x＝b时，y＝－1，二次函数的图象的开口方向向上，画出简图(图略)得m答案：m12．已知函数y＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]都有y<0成立，则m的取值范围为________．若函数一个零点为1则m的值为________．
解析：作出二次函数y＝x2＋mx－1的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有y<0，
则有x＝m时，y<0，且x＝m＋1时，y<0.
即
解得－所以实数m的取值范围为.
若函数一个零点为1，则0＝1＋m－1，则m＝0.
答案： 0
三、解答题
13．求下列函数的零点．
(1)y＝x－2－3；
(2)y＝x2－(3a－1)x＋(2a2－2)．
解：(1)由x－2－3＝0得(＋1)(－3)＝0，
又≥0，所以＝3，即x＝9，所以函数y＝x－2－3的零点为9.
(2)由x2－(3a－1)x＋(2a2－2) ＝0得[x－(a＋1)]·[x－2(a－1)]＝0，
①当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，函数有唯一零点4；
②当a＋1≠2(a－1)，即a≠3时，函数有两个零点a＋1和2(a－1)．
14．求证：函数y＝x2－ax－a－2(a∈R)一定有两个零点．
证明：法一：对于一元二次方程x2－ax－a－2＝0，Δ＝a2＋4a＋8＝(a＋2)2＋4>0，
所以函数y＝x2－ax－a－2有两个零点．
法二：因为函数y＝x2－ax－a－2(a∈R)的图象为开口向上的抛物线，
无论a为任何实数，x＝－1时，y＝(－1)2＋a－a－2＝－1，即函数的图象始终经过点M(－1，－1)，
所以函数y＝x2－ax－a－2(a∈R)一定有两个零点．
2.3 一元二次不等式
新课程标准 新学法解读
1.能借助一元二次函数求解一元二次不等式． 2．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系． 3．能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决. 从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性，重点提升数学抽象和数学运算素养.
笔记 教材
知识点一 一元二次不等式的概念
1．概念：一般地，我们把只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
2．形式
(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．
(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．
(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．
(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．
知识点二 一元二次不等式的解法
1．一元二次不等式的解集
若二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0的解集就是分别使二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合．
2．三个“二次”的关系
Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 x1，x2 x＝－ 没有 实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＜x1或x＞x2} {x|x≠－} R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
3.一元二次不等式恒成立问题
(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立
ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立
(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题(y＝ax2＋bx＋c(a≠0))，即
k≥ax2＋bx＋c恒成立 k≥ymax；
k≤ax2＋bx＋c恒成立 k≤ymin.
自我 检测
1．若不等式2x2＋mx＋n＞0的解集是{x|x＞3或x＜－2}，则m，n的值分别是( )
A．2,12 B．2，－2
C．2，－12 D．－2，－12
解析：由题意知－2,3是方程2x2＋mx＋n＝0有两个根，所以－2＋3＝－，－2×3＝，∴m＝－2，n＝－12.
答案：D
2．不等式6－x－2x2＜0的解集是( )
A.
B.
C.
D.
解析：不等式变形为2x2＋x－6＞0，又方程2x2＋x－6＝0的两根为x1＝，x2＝－2，所以不等式的解集为x＜－2或x＞}.
答案：D
3．(多选题)已知关于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1＞0(a≠0)的解集是{x|x1＜x＜x2}(x1＜x2)，则下列结论中正确的是( )
A．x1＋x2＝2
B．x1x2＜－3
C．x2－x1＞4
D．－1＜x1＜x2＜3
解析：∵关于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1＞0(a≠0)的解集是{x|x1＜x＜x2}(x1＜x2)，
∴a＜0，x1，x2是一元二次方程ax2－2ax＋1－3a＝0的根．
∴x1＋x2＝2，x1x2＝＝－3＜－3.
∴x2－x1＝
＝
＝2>4.
由x2－x1＞4及x1＋x2＝2，可得x2＞3.故D错误，A，B，C正确．
答案：ABC
4．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4＜0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．a＜2 B．a≤2
C．－2＜a＜2 D．－2＜a≤2
解析：当a－2≠0时，
－2＜a＜2.
当a－2＝0时，－4＜0恒成立．
综上所述，－2＜a≤2.
答案：D
研习1 一元二次不等式的解法
[典例1] 解不等式：
(1)x2－x－6＞0；
(2)25x2－10x＋1＞0；
(3)x2－x＋4＞0；
(4)x(7－x)≥12.
[解] (1)方程x2－x－6＝0的两根为x1＝－2，x2＝3，结合二次函数y＝x2－x－6的图象，知x2－x－6＞0的解集为{x|x＞3或x＜－2}．
(2)方程25x2－10x＋1＝0有两相等实根为x1＝x2＝.结合二次函数y＝25x2－10x＋1的图象，知25x2－10x＋1＞0的解集为.
(3)方程x2－x＋4＝0的判别式Δ＜0，方程x2－x＋4＝0无实数根，结合二次函数y＝x2－x＋4的图象，知x2－x＋4＞0的解集为R.
(4)原不等式可化为x2－7x＋12≤0，
因为方程x2－7x＋12＝0的两根为x1＝3，x2＝4，
所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}．
巧归纳
解一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零．
(2)计算对应方程的判别式．
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根．
(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．
[练习1] 解下列不等式：
(1)x2＋2x－15＞0；
(2)x2＞2x－1；
(3)x2＜2x－2；
(4)≤2.
解：(1)x2＋2x－15＞0 (x＋5)(x－3)＞0 x＜－5或x＞3，
∴不等式的解集是{x|x＜－5或x＞3}．
(2)x2＞2x－1 x2－2x＋1＞0 (x－1)2＞0 x≠1，
∴不等式的解集是{x|x≠1}．
(3)x2＜2x－2 x2－2x＋2＜0.∵Δ＝(－2)2－4×2＝－4＜0，∴方程x2－2x＋2＝0无解．∴不等式x2＜2x－2的解集是 .
(4)方法一：移项得－2≤0，左边通分，得≤0，即≥0.
∴解得x＜2或x≥5，
∴原不等式的解集为{x|x＜2或x≥5}．
方法二：原不等式可化为≥0，
此不等式等价于①或②
解①得x≥5，解②得x＜2，
∴原不等式的解集为{x|x＜2或x≥5}．
研习2 一元二次不等式与相应函数、方程的关系
[典例2] 已知关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集．
[解] x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，
∴1,2是方程x2＋ax＋b＝0的两根．
由根与系数的关系，有
得
代入所求不等式，得2x2－3x＋1＞0.
由2x2－3x＋1＞0，得(2x－1)(x－1)＞0，
解得x＜或x＞1.
∴bx2＋ax＋1＞0的解集为{x.
巧归纳
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标．
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＞0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＜0的x的值构成的．二者之间相互依存、相互转化．
[练习2] 若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|－4＜x＜1}，则不等式b(x2－1)＋a(x＋3)＋c＞0的解集为( )
A.
B.
C．{x|－1＜x＜4}
D．{x|x＜－2或x＞1}
解析：因为不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－4＜x＜1}，
所以可得c＝－4a，b＝3a，且a＜0，
所以不等式b(x2－1)＋a(x＋3)＋c＞0可化为3x2＋x－4＜0，解得－＜x＜1.故选A.
答案：A
研习3 解含参一元二次不等式
[典例3] 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0.
[解] 分以下情况讨论：
(1)当a＝0时，原不等式变为－x＋1＜0，
∴x＞1.
即不等式的解集为{x|x＞1}．
(2)当a≠0时，原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0.(Ⅰ)
①当a＜0时，(Ⅰ)式变为(x－1)＞0，
∴不等式的解为x＞1或x＜，
即不等式的解集为.
②当a＞0时，(Ⅰ)式变为(x－1)＜0.(Ⅱ)
∵－1＝，
∴当0＜a＜1时，＞1，此时(Ⅱ)式的解为1＜x＜.
即不等式的解集为；
当a＝1时，＝1，此时(Ⅱ)式的解为 ；
当a＞1时，＜1，即不等式的解集为.
综上知，当a＝0时，解集为{x|x＞1}；
当a＜0时，解集为；
当0＜a＜1时，解集为；
当a＝1时，解集为 ；
当a＞1时，解集为.
巧归纳
(1)解含参数的一元二次不等式时要注意对参数分类讨论．讨论一般分为三个层次：第一层次是二次项系数为0和不为0；第二层次是有没有实数根的讨论，即判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0；第三层次是根的大小的讨论．简记为“一a、二Δ、三两根大小”．
(2)含参数不等式的解题步骤为：①将二次项系数化为正数；②判断相应的方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)；③根据根的情况写出相应的解集(若方程有两个相异实根，为了写出解集还要比较两个根的大小)．另外，当二次项含有参数时，应先讨论二次项系数是否为0，这决定不等式是否为二次不等式．
[练习3] 解关于x的不等式x(x－a＋1)＜a.
解：原不等式可化为x2－(a－1)x－a＜0，
即(x－a)(x＋1)＜0.
①若a＞－1，则－1＜x＜a，此时不等式的解集为{x|－1＜x＜a}；
②若a＝－1，则不等式为(x＋1)2＜0，无解；
③若a＜－1，则a＜x＜－1，此时不等式的解集为{x|a＜x＜－1}．
综上知，若a＞－1，原不等式的解集为{x|－1＜x＜a}；
若a＝－1，则原不等式的解集为 ；
若a＜－1，原不等式的解集为{x|a＜x＜－1}．
研习4 不等式恒成立问题
[典例4] 设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求m的取值范围；
(2)若对于1≤x≤3，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．
[解] (1)要使mx2－mx－1＜0对一切实数x恒成立，
若m＝0，显然－1＜0；
若m≠0，则解得－4＜m＜0.
综上可知，－4＜m≤0.
(2)要使f(x)＜－m＋5在1≤x≤3上恒成立，就是要使m2＋m－6＜0在1≤x≤3上恒成立．
令g(x)＝m2＋m－6,1≤x≤3.
当m＞0时，g(x)在1≤x≤3上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0，
所以m＜，则0＜m＜；
当m＝0时，－6＜0恒成立；
当m＜0时，g(x)在1≤x≤3上是减函数，
所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0，
所以m＜6，所以m＜0.
综上知，m的取值范围是.
巧归纳
1．与一元二次不等式有关的恒成立问题的求解策略
(1)与一元二次不等式有关的恒成立问题，可通过二次函数求最值，也可通过分离参数求最值．
(2)解决恒成立问题一定要搞清楚谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．
(3)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．
2．对于给定区间上的不等式恒成立问题，一般可根据以下几步求解
第一步：整理不等式(或分离参数)．
第二步：构造函数g(x)．
第三步：求函数g(x)在给定区间上的最大值或最小值．
第四步：根据最值构造不等式求参数．
第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．
[练习4] (1)已知关于x的不等式kx2－3kx＋2k＋1≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是( )
A．{k|0≤k≤4}
B．{k|0≤k≤3}
C．{k|k≤0或k≥3}
D．{k|k≤0或k≥4}
(2)已知不等式ax2＋(a－1)x＋a－1＜0对于所有的实数x都成立，求a的取值范围．
(1)解析：当k＝0时，不等式kx2－3kx＋2k＋1≥0可化为1≥0，恒成立．
当k≠0时，要满足关于x的不等式kx2－3kx＋2k＋1≥0对任意x∈R恒成立，只需解得0＜k≤4.
综上，k的取值范围是{k|0≤k≤4}．
故选A.
答案：A
(2)解：若a＝0，原不等式可化为一次不等式－x－1＜0，
显然它对于任意的x不都成立．
所以a＝0不符合题目要求．
若a≠0，原不等式为一元二次不等式，由于所给不等式对所有实数x都成立，所以对应二次函数的抛物线必须开口向下，且判别式Δ＜0，即
整理②，得3a2－2a－1＞0，解得a＜－或a＞1.
∴∴a＜－.
∴a的取值范围是.
研习5 一元二次不等式的实际应用
[典例5] 国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
[思路点拨] 将文字语言转换成数学语言：“税率降低x个百分点”即调节后税率为(8－x)%；“收购量能增加2x个百分点”，此时总收购量为m(1＋2x%)吨，“原计划的78%”即为2 400m×8%×78%.
[解] 设税率调低后“税收总收入”为y元，
y＝2 400m(1＋2x%)·(8－x)%
＝－m(x2＋42x－400)(0＜x≤8)．
依题意，得y≥2 400m×8%×78%，
即－m(x2＋42x－400)≥2 400m×8%×78%，
整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2.
结合x的实际意义，得0＜x≤2，
所以x的范围为0＜x≤2.
巧归纳
用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤
(1)理解题意，搞清楚量与量之间的关系．
(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题．
(3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解．
[练习5] 设某企业每月生产电机x台，根据企业月度报表知，每月总产值m(万元)与总支出n(万元)近似地满足下列关系：m＝x－，n＝－x2＋5x＋.当m－n≥0时，称为不亏损企业；当m－n＜0时，称为亏损企业，且n－m为亏损额．
(1)企业要成为不亏损企业，每月至少生产多少台电机？
(2)当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少？
解：(1)由题意知，m－n＝x－－≥0，即x2－2x－8≥0，解得x≤－2(舍负值)或x≥4.
∴x≥4，即每月至少生产4台电机可使企业为不亏损企业．
(2)企业亏损最严重，即n－m取最大值．
n－m＝－x2＋5x＋－x＋＝－[(x－1)2－9]＝－(x－1)2，
∴当x＝1时，最大亏损额为万元，此时m＝－＝.
∴当月总产值为万元时，企业亏损最严重，最大亏损额为万元．
1．下列四个不等式解集为R的是( )
A．－x2＋x＋1≥0 B．x2－2x＋＞0
C．x2＋6x＋10＞0 D．2x2－3x＋4＜0
解析：A，B中，Δ＞0，∴解集不可能为R；C中，x2＋6x＋10＝(x＋3)2＋1＞0，且Δ＜0，∴解集为R；D中，2＞0，且Δ＜0，∴解集为 .故选C.
答案：C
2．不等式≤0的解集是( )
A．{x|x<－1或－1B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x<－1或x≥2}
D．{x|－1解析：此不等式等价于
∴－1答案：D
3．(多选题)已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|m＜x＜n}，其中m＞0，则以下选项正确的有( )
A．a＜0
B．c＞0
C．cx2＋bx＋a＞0的解集为
D．cx2＋bx＋a＞0的解集为
解析：因为不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|m＜x＜n}，其中m＞0，所以a＜0，m，n是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，所以A正确；
由选项A知
解得
因为m＞0，m＜n，所以n＞0.
又由于a＜0，所以c＝mna＜0，所以B错误；
所以cx2＋bx＋a＞0可化为mnax2－(m＋n)·ax＋a＞0，
即mnx2－(m＋n)x＋1＜0，即(mx－1)·(nx－1)＜0.
因为n＞m＞0，所以＜，
所以不等式cx2＋bx＋a＞0的解集为，
所以C正确，D错误．故选AC.
答案：AC
4．不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1＜0的解集是R，则m的取值范围为________．
解析：若m2－2m－3＝0，即m＝3或m＝－1，当m＝3时，有－1＜0时，恒成立，∴m＝3符合题意；当m＝－1时，有4x－1＜0，不合题意．若m2－2m－3≠0，则原不等式为一元二次不等式，由题意可得解得－＜m＜3.综上，实数m的取值范围是.
答案：
5．若集合A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝ ，则实数a的值的集合为________．
解析：当a＝0时，原不等式为1＜0，解集A＝ ，符合题意．当a≠0时，ax2－ax＋1＜0为一元二次不等式，要使不等式的解集为 ，则需满足解得0＜a≤4.综上，实数a的值的集合为{a|0≤a≤4}．
答案：{a|0≤a≤4}
6．设m∈R，解关于x的不等式m2x2＋2mx－3＜0.
解：(1)当m＝0时，－3＜0恒成立，所以x∈R.
(2)当m＞0时，不等式变为(mx＋3)(mx－1)＜0，
即＜0，解得－＜x＜.
(3)当m＜0时，原不等式变为＜0，
解得＜x＜－.
综上知，当m＝0时，解集为R；
当m＞0时，解集为；
当m＜0时，解集为.
[示例] 解关于x的不等式(x－2)(ax－2)＞0.
[错解] 当a＝0时，原不等式化为x－2＜0，其解集为{x|x＜2}．
当a≠0时，方程(x－2)(ax－2)＝0的两根为x1＝2，x2＝.
(1)当＝2，即a＝1时，原不等式解集为{x|x≠2，x∈R}；
(2)当＞2，即0＜a＜1时，
原不等式的解集为；
(3)当＜2，即a＜0或a＞1时，
原不等式的解集为.
综上所述，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＜2}；
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠2}；
当0＜a＜1时，原不等式的解集为
；
当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为
.
[错因分析] 当a＜0或a＞1时，只注意到了＜2，而忽略了当a＜0时，原不等式二次项系数为负数，此时不等式的解集为.
当一元二次不等式的二次项系数不确定时，需要按照二次项系数的正负进行分类．
[正解] (1)(2)同错解．
(3)当＜2，即a＜0或a＞1时，
①当a＜0时，原不等式的二次项系数为负数，因此原不等式的解集为；
②当a＞1时，原不等式的二次项系数为正数，因此原不等式的解集为.
综上所述，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＜2}；
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠2}；
当0＜a＜1时，原不等式的解集为；
当a＞1时，原不等式的解集为{x；
当a＜0时，原不等式的解集为.
[防范措施] 1.含参数的一元二次不等式的求解往往要分类讨论，分类标准要明确，表达要有层次，讨论结束后要进行总结．
2．讨论完成后一定要检验是否讨论全面，做到不重不漏．
课时作业(十二) 一元二次不等式
一、选择题
1．下列不等式：
①x2＞0；②－x2－x≤5；③ax2＞2；④x3＋5x－6＞0；⑤mx2－5y＜0；⑥ax2＋bx＋c＞0.
其中是一元二次不等式的有( )
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
解析：根据一元二次不等式的定义，知①②正确，④为三次不等式，③⑤⑥最高次项系数均不确定．故选D.
答案：D
2．不等式组的解集为( )
A．{x|－2C．{x|01}
解析：由x(x＋2)>0，得x<－2或x>0；由|x|<1，得－1答案：C
3．若不等式ax2＋bx－2＜0的解集为{x，则ab＝( )
A．－28 B．－26
C．28 D．26
解析：∵－＝－，－＝－，∴a＝4，b＝7，ab＝28，故选C.
答案：C
4．(多选题)关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列正确的是( )
A．a＜0
B．关于x的不等式bx＋c＞0的解集为(－∞，－6)
C．a＋b＋c＞0
D．关于x的不等式cx2－bx＋a＞0的解集为∪
解析：A.由已知可得a＜0且－2,3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，A正确，
B．由根与系数的关系可得：解得b＝－a，c＝－6a，
则不等式bx＋c＞0可化为：－ax－6a＞0，即x＋6＞0，所以x＞－6，B错误，
C．因为a＋b＋c＝a－a－6a＝－6a＞0，C正确，
D．不等式cx2－bx＋a＞0可化为：－6ax2＋ax＋a＞0，即6x2－x－1＞0，解得x＞或x＜－，D正确，
故选ACD.
答案：ACD
5．(多选题)某城市对一种每件售价为160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则R的值可以是( )
A．3 B．4
C．7 D．8
解析：根据题意，要使附加税不少于128万元，需×160×R%≥128，
整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4,8]．
所以R的值可以是4,7,8.
故选BCD.
答案：BCD
6．已知－1≤a≤1，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为( )
A．x＜2或x＞3 B．x＜1或x＞2
C．x＜1或x＞3 D．1＜x＜3
解析：把原不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，则f(a)＞0对于任意的－1≤a≤1恒成立，易知只需f(－1)＝x2－5x＋6＞0，且f(1)＝x2－3x＋2＞0即可，联立上述方程解得x＜1或x＞3.故选C.
答案：C
二、填空题
7．设集合A＝{x||x|＜4}，B＝{x|x2－4x＋3＞0}，则集合{x|x∈A且x A∩B}＝________.
解析：∵A＝{x|－4＜x＜4}，B＝{x|x＞3或x＜1}，∴A∩B＝{x|－4＜x＜1或3＜x＜4}，结合数轴如图，
则所求集合为{x|1≤x≤3}．
答案：{x|1≤x≤3}
8．已知2a＋1＜0，关于x的不等式x2－4ax－5a2＜0的解集是________．
解析：∵方程x2－4ax－5a2＝0的两个根为x1＝－a，x2＝5a，又∵2a＋1＜0，即a＜－，∴x1＞x2.故原不等式解集为{x|5a＜x＜－a}．
答案：{x|5a＜x＜－a}
9．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V的取值范围为________．
解析：第一次操作后，剩下的纯药液为V－10，
第二次操作后，剩下的纯药液为V－10－×8，由题意可知：V－10－×8≤V·60% V2－45V＋200≤0 5≤V≤40，因为V≥10，所以10≤V≤40.
答案：10≤V≤40
10．已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)＜0}，且A∩B＝{x|－1＜x＜n}，则m＝________，n＝________.
解析：由题意，得A＝{x|－5＜x＜1}，
因为A∩B＝{x|－1＜x＜n}，B＝{x|(x－m)(x－2)＜0}，所以m＝－1，n＝1.
答案：－1 1
三、解答题
11．已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|1＜x＜t}，记函数y＝ax2＋(a－b)x－c.
(1)求证：函数y＝ax2＋(a－b)x－c与x轴必有两个不同的交点；
(2)若函数与x轴的两个交点的横坐标分别为m，n，求|m－n|的取值范围．
(1)证明：由题意知a＋b＋c＝0，且－＞1，a＜0且＞1，∴ac＞0，∴对于函数y＝ax2＋(a－b)x－c有Δ＝(a－b)2＋4ac＞0，∴函数y＝ax2＋(a－b)x－c与x轴必有两个不同的交点．
(2)解：|m－n|2＝(m＋n)2－4mn＝
＝＝2＋8＋4，
由不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|1＜x＜t}可知，
方程ax2＋bx＋c＝0的两个解分别为1和t(t＞1)，
由根与系数的关系知＝t，
∴|m－n|2＝t2＋8t＋4，t＞1.∴|m－n|＞，
∴|m－n|的取值范围为|m－n|＞.
12．对任意－1≤x≤1，函数y＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于0，求a的取值范围．
解：∵x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，
即x2＋ax－4x＋4－2a>0恒成立．
∴(x－2)·a>－x2＋4x－4.
∵－1≤x≤1，∴x－2<0.
∴a<＝＝2－x.
令y＝2－x，则当－1≤x≤1时，y的最小值为1，
∴a<1.故a的取值范围为{a|a<1}．
13．关于x的不等式组的整数解的集合为{－2}，求实数a的取值范围．
解：由x2－x－2＞0，得x＜－1或x＞2.
由2x2＋(2a＋5)x＋5a＜0，得(2x＋5)(x＋a)＜0，
①若－a＝－，则2x2＋(2a＋5)x＋5a＜0的解集为 ，
∴原不等式组的解集为 ，不合题意．
②若－a＜－，则2x2＋(2a＋5)x＋5a＜0的解集为，但是－2 ，
∴－a＜－，不合题意．
③若－a＞－，即a＜时，
2x2＋(2a＋5)x＋5a＜0的解集为.
由{x|x＜－1或x＞2}∩∩Z＝{－2}，得－2＜－a≤3，∴－3≤a＜2.
综上知，所求实数a的取值范围为－3≤a＜2.
14．设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为M，如果M {x|1≤x≤4}，求实数a的取值范围．
解：M {x|1≤x≤4}有两种情况：其一是M＝ ，此时Δ＜0；其二是M≠ ，此时Δ＝0或Δ＞0.
分三种情况计算a的取值范围．
设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，
有Δ＝(－2a)2—4(a＋2)＝4(a2－a－2)．
当Δ＜0时，－1＜a＜2，M＝ {x|1≤x≤4}．
当Δ＝0时，a＝－1或2，
当a＝－1时，M＝{－1} {x|1≤x≤4}；
当a＝2时，M＝{2} {x|1≤x≤4}．
当Δ＞0时，a＜－1或a＞2，
设方程f(x)＝0的两根为x1，x2，且x1＜x2，
由M {x|1≤x≤4}，得1≤x1＜x2≤4，
且相应二次函数y＝x2－2ax＋a＋2的对称轴x＝a在区间{x|1≤x≤4}内．
即
即
解得2＜a≤.综上知，M {x|1≤x≤4}时，a的取值范围是－1＜a≤.
综合微评(二)
时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若<<0，则下列不等式中不正确的是 ( )
A．a＋b2
C．abb2
解析：由<<0，得b答案：D
2．不等式组的解集为( )
A．{x|－4≤x≤－3}
B．{x|－4≤x≤－2}
C．{x|－3≤x≤－2}
D．
解析：
－4≤x≤－3.
答案：A
3．设a，b是两个实数，且a≠b，有如下三个式子：①a5＋b5>a3b2＋a2b3，②a2＋b2≥2(a－b－1)，③＋>2.其中恒成立的有 ( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：①a5＋b5－(a3b2＋a2b3)＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)>0不恒成立；②(a2＋b2)－2(a－b－1)＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0恒成立；③＋>2不恒成立．故选B.
答案：B
4．设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝( )
A．{1} B．{2}
C．{0,1} D．{1,2}
解析：由x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)≤0，解得1≤x≤2，即N＝{x|1≤x≤2}，故M∩N＝{1,2}．
答案：D
5．设m>0，n>0，m＋n＝2，则的最小值是( )
A. B．4
C. D．3
解析：＝
＝
＝
＝＝＋.
因为mn≤2＝1，当且仅当m＝n＝1时取等号，所以的最小值是4＋＝.
答案：A
6．已知a<－1A．b3B．b3C.<D．a2b解析：由题意得：∵a＜－1＜b＜0，
∴|a|>|b|，－＝＞0即>，
∴a2b－b3＝b(a2－b2)＜0，即a2b＜b3；b3－＝＜0，即b3＜.
故综上所述，a2b＜b3＜＜.
故选D.
答案：D
7．若对于任意的x>0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．a≥ B．a>
C．a< D．a≤
解析：由x＞0，得＝≤＝，
当且仅当x＝1时，等号成立．则a≥.
答案：A
8．设正实数x，y满足x>，y>2，不等式＋≥m恒成立，则实数m的最大值为( )
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：设y－2＝a,3x－2＝b(a>0，b>0)，
则＋＝＋≥＋＝8≥16＝16，故m≤16.故选D.
答案：D
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．已知函数y＝f(x)是定义在[0,2]上的增函数，图象是连续不断的曲线，若f(0)＝M，f(2)＝N(M>0，N>0)，那么对上述常数M，N，下列四个选项正确的是( )
A．一定存在x∈[0,2]，使得f(x)＝
B．一定存在x∈[0,2]，使得f(x)＝
C．一定存在x∈[0,2]，使得f(x)＝
D．一定存在x∈[0,2]，使得f(x)＝
解析：当x∈[0,2]时，函数f(x)的值域为[M，N]，
因为0＜M＜N，可得不等式
M＜＜＜＜N成立，
所以A，B，D正确，
但M≤≤N不一定成立，例如：M＝，N＝，可得＝，
所以＞N，所以C不成立．
故选ABD.
答案：ABD
10．下列各组不等式中，同解的是( )
A.>1与x>x2－4x＋12
B．|x－3|>|2x＋6|与(x－3)2>(2x＋6)2
C．|x2－2x|>3与x2－2x>3或x2－2x<－3
D.≤0与(x－2)(x－3)(x＋1)(x＋2)≤0
解析：∵x2－4x＋12＝(x－2)2＋8≥8>0，所以不等式>1与x>x2－4x＋12的解集相同，故A符合题意；因为|a|>|b|与a2>b2等价，所以|x－3|>|2x＋6|与(x－3)2>(2x＋6)2的解集相同，故B符合题意；
根据|x|>a(a>0)等价于x>a或x<－a知|x2－2x|>3与x2－2x>3或x2－2x<－3的解集相同，故C符合题意；
根据≤0 知≤0等价于(x－2)(x－3)(x＋1)(x＋2)≤0且(x＋1)(x＋2)≠0，故D不符合题意．故选ABC.
答案：ABC
11．下列各式中，最大值是的是( )
A．y＝x2＋
B．y＝x(0≤x≤1)
C．y＝
D．y＝x＋(x>－2)
解析：A中，y＝x2＋≥2＝，因此式子无最大值；
B中，y2＝x2(1－x2)≤2＝，y≥0，
∴0≤y≤，当且仅当x＝时y取到最大值；
C中，当x＝0时，y＝0，当x≠0时，y＝≤＝，当且仅当x＝±1时y取到最大值；
D中，y＝x＋＝x＋2＋－2≥2－2＝2(x>－2)(当且仅当x＝0时取等号)，无最大值．故选BC.
答案：BC
12．设a>0，b>0，下列不等式恒成立的是( )
A．a2＋1>a
B.≥4
C．(a＋b)≥4
D．a2＋9>6a
解析：对于选项A，由于a2＋1－a＝2＋>0，∴a2＋1>a，故A符合题意；
对于选项B，由于a＋≥2，b＋≥2，
∴≥4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故B符合题意；
对于选项C，由于a＋b≥2，＋≥2，∴(a＋b)≥4，当且仅当a＝b时，等号成立，故C符合题意；对于选项D，当a＝3时，a2＋9＝6a，故D不符合题意．故选ABC.
答案：ABC
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上．
13．已知关于x的不等式(x－1)(x－2a)>0(a∈R)的解集为A，集合B＝{x|2解析：关于x的不等式(x－1)(x－2a)>0(a∈R)的解集为A.
①当2a＝1时，A＝{x|x≠1}，符合B A，此时a＝.
②当2a>1时，A＝{x|x<1或x>2a}，
∵B A，∴2a≤2.联立解得③当2a<1时，A＝{x|x<2a或x>1}，
满足B A，由2a<1，解得a<.
综上可得，实数a的取值范围为{a|a≤1}．
答案：{a|a≤1}
14．给出下列命题：
①若a0，则<；②若<<0，则a3>b3；③若a>b，则a2>b2；④若ac3>bc3，则a>b.其中正确命题的序号是________．(填上所有正确的序号)
解析：对于①，因a＜b，c＞0，又－＝，则当ab>0时，有－＜0，即＜不成立，①不正确；
对于②，由＜<0得：b＜a＜0，即0<－a<－b，于是得(－a)3<(－b)3，即－a3＜－b3，则a3＞b3，②正确；
对于③，当a＝1，b＝－2时，有a＞b成立，而a2＞b2不成立，③不正确；
对于④，因ac3＞bc3，即c3(a－b)＞0，则当c＜0时，有a－b＜0，即a>b不成立，④不正确．
故答案为②.
答案：②
15．若关于x的不等式2x2－8x－4－a>0在{x|1解析：不等式2x2－8x－4－a>0在{x|1答案：{a|a<－4}
16．已知x>0，y>0，且x＋2y＝3，则xy的最大值为________，的最小值为________．
解析：∵x>0，y>0，x＋2y＝3，∴x＋2y≥2，∴3≥2，则xy≤，当且仅当x＝2y＝时取等号，即xy的最大值为.
＝＋＝(x＋2y)＝≥＝，当且仅当＝且x＋2y＝3时取等号，故的最小值为.
答案：
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)设函数y＝x2＋ax＋b，已知不等式y<0的解集为{x|1(1)若不等式y≥m的解集为R，求实数m的取值范围；
(2)若y≥mx对任意的实数x≥2都成立，求实数m的取值范围．
解：∵函数y＝x2＋ax＋b，且y<0的解集为{x|1∴a＝－4，b＝3.∴y＝x2－4x＋3.
(1)若不等式y≥m的解集为R，即x2－4x＋3－m≥0对任意的实数都成立，即Δ≤0，解得m≤－1.
则实数m的取值范围为{m|m≤－1}．
(2)∵y≥mx对任意的实数x≥2都成立，
即x2－4x＋3≥mx对任意的实数x≥2都成立，即x＋－4－m≥0对任意的实数x≥2都成立．
等价于x＋－4－m在x≥2时的最小值大于等于0.
∵当x>0时，x＋≥2，
当且仅当x＝，即x＝时，取等号．
又∵x≥2，∴当x＝2时，x＋取得最小值.
即－4－m≥0，解得m≤－.
∴实数m的取值范围是{m.
18．(本小题满分12分)设x>0，y>0，且4x2＋y2＋xy＝1.
(1)求xy的最大值；
(2)求2x＋y的最大值．
解：(1)∵1－xy＝4x2＋y2≥4xy，∴5xy≤1，xy≤，当且仅当y＝2x时取等号．
(2)∵4x2＋y2＋xy＝1，∴(2x＋y)2－3xy＝1，∴(2x＋y)2－1＝3xy＝·2x·y≤2，
即(2x＋y)2－1≤(2x＋y)2，(2x＋y)2≤，
∴2x＋y≤，当且仅当2x＝y时取等号．
19．(本小题满分12分)已知关于x的方程(m＋1)x2＋2(2m＋1)x＋1－3m＝0的两根为x1，x2，若x1<1解：设y＝(m＋1)x2＋2(2m＋1)x＋1－3m，显然m＋1≠0.
(1)当m＋1>0时，二次函数图象的简图，如图1.
则当x＝1时，y<0；x＝3时，y>0，
即即不等式组无解．
(2)当m＋1<0时，二次函数图象的简图，如图2.
则当x＝1时，y>0；当x＝3时，y<0，
即即得－2由(1)(2)知，实数m的取值范围是{m|－220．(本小题满分12分)为了服务于人民，某调查组到某农村去考察和指导工作．该地区有100户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为2万元．为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工．据估计，若能动员x(x＞0)户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高2x%，而从事水果加工的农民平均每户收入将为2(a＞0)万元．
(1)若动员x户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x的取值范围；
(2)在(1)的条件下，要使这100户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a的最大值．
解：(1)由题意(100－x)×2×(1＋2x%)≥2×100，即x－x2≥0，得0≤x≤50，由x＞0可得0＜x≤50.
故x的取值范围为(0,50]．
(2)由题意得2·x≤(100－x)×2×(1＋2x%)，
所以a≤x＋＋1在x∈(0,50]上恒成立，
又x＋＋1≥2＋1＝9(当且仅当x＝25时取“＝”)，所以a≤9，
故a的最大值为9.
21．(本小题满分12分)已知y＝ax2＋x－a，a∈R.
(1)若a＝1，解不等式y≥1；
(2)若不等式y>－2x2－3x＋1－2a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若a<0，解不等式y>1.
解：(1)当a＝1，不等式y≥1，即x2＋x－1≥1，
即(x＋2)(x－1)≥0，解得x≤－2或x≥1，
∴不等式的解集为{x|x≤－2或x≥1}．
(2)由题意可得(a＋2)x2＋4x＋a－1>0对一切实数x恒成立，当a＝－2时，显然不满足条件，
∴解得a>2，
∴实数a的取值范围为{a|a>2}．
(3)∵a<0，∴不等式为ax2＋x－a－1>0，
即(x－1)<0.
∵1－＝，∴当－不等式的解集为{x；
当a＝－时，1＝－，不等式即(x－1)2<0，它的解集为 ；
当a<－时，1>－，
不等式的解集为{x.
22．(本小题满分12分)已知－1是函数y＝ax2＋bx＋c的一个零点，是否存在常数a，b，c使不等式x≤y≤(x2＋1)对一切实数x都成立？请说明理由．
解：由x＝－1，y＝0，得a－b＋c＝0. ①
又∵对x∈R，不等式x≤y≤(x2＋1)成立，
∴取x＝1，有1≤a＋b＋c≤1，∴a＋b＋c＝1. ②
由①②可得b＝，c＝－a，
将其代入x≤y≤(x2＋1)，
得x≤ax2＋x＋－a≤(x2＋1)对x∈R恒成立，
即对x∈R恒成立．
由③得 a＝.
由④得 a＝.
综上可知，存在常数a＝，b＝，c＝满足题意．
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综合微评(二)
时间：120分钟 满分：150分
2门世2有
3厚 