第4章 幂函数、指数函数和对数函数
4.1 实数指数幂和幂函数
4．1.1 有理数指数幂
新课程标准 新学法解读
1.理解n次方根、n次根式的概念． 2．能正确运用根式运算性质化简求值． 3．能正确进行根式与分数指数幂的互化. 理解n次方根及n次根式的概念，正确运用根式与分数指数幂运算性质，化简求值，发展数学抽象及数学运算素养.
笔记 教材
知识点一 根式及相关概念
1．a的n次方根的定义
如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.
2．a的n次方根的表示
n的奇偶性 a的n次方根 的符号表示 a的取 值范围
n为奇数 R
n为偶数 ± [0，＋∞)
3.根式
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
知识点二 根式的性质
(1)＝0(n∈N*，且n>1)；
(2)()n＝a(n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，其中n>1，且n∈N*)；
(3)＝a(n为大于1的奇数)；
(4)＝|a|＝(n为大于1的偶数)．
知识点三 分数指数幂
知识点四 有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
自我 检测
1．下列式子的互化正确的是( )
A．＝y (y＜0)
B．x＝－(x≠0)
C．x＝(x＞0)
D．－＝(－x) (x＞0)
解析：根据分数指数幂的运算可知，选项A，＝|y|＝－y (y＜0)；选项B，x＝＝(x≠0)；选项D，－＝－x (x＞0)．故选C．
答案：C
2．若xy≠0，则使＝－2xy成立的条件可能是( )
A．x＞0，y＞0 B．x＞0，y＜0
C．x≥0，y≥0 D．x＜0，y＜0
解析：＝2|xy|＝－2xy，∴xy≤0，∵xy≠0，
∴xy＜0.故选B．
答案：B
3．－512的立方根是________．
解析：因为(－8)3＝－512，所以－512的立方根是－8.
答案：－8
4．化简＋＝________.
解析：＋＝1＋＋(－1)＝2.
答案：2
研习1 根式的概念
[典例1] (1)若x3＝－2，则x＝________.
(2)若x4＝2，则x＝________.
[解析] (1)∵x3＝－2，∴x＝－.
(2)∵x4＝2，∴x＝±.
[答案] (1)－ (2)±
巧归纳
(1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个．
(2)根式的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定：①当n为偶数时，为非负实数；②当n为奇数时，的符号与a的符号一致．
[练习1] m是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )
A． B．
C． D．
解析：要使有意义，则m≥0.故选C．
答案：C
研习2 利用根式的性质化简求值
[典例2] 求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
[思路点拨] 根据根式的性质求解，注意偶次根式与奇次根式的不同，注意被开方数的符号．
[解] (1)＝－2.
(2)＝＝.
(3)∵x>，∴1－2x<0，∴＝|1－2x|＝2x－1.
(4)＝|a－b|＝
巧归纳
(1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．
(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．
[练习2] (多选题)化简－得( )
A．6 B．2x
C．－2x D．－6
解析：原式＝|x＋3|－(x－3)．
当x≥－3时，原式＝6；
当x<－3时，原式＝－2x，故选AC．
答案：AC
研习3 根式与分数指数幂的互化
[典例3] (1)已知a＞0，则 的分数指数幂形式为( )
A．a B．a
C．a D．a
(2)用分数指数幂表示下列各式(a＞0，b＞0)：
①·；② ；③·；④()2·.
(1)[解析] 原式＝＝＝a×＝a.
[答案] B
(2)[解] ①原式＝a·a＝a＋＝a.
②原式＝a·a·a＝a＋＋＝a.
③原式＝a·a＝a＋＝a.
④原式＝(a)2·(ab3)＝a·ab＝ab.
巧归纳
根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数 分数指数的分母，被开方数(式)的指数 分数指数的分子．
(2)在具体计算时，通常会把根式转化为分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
提醒：在根式与分数指数幂的互化过程中，一定要明确字母的取值范围，以免出错．
[练习3] 将下列根式与分数指数幂进行互化．
(1)a；(2)a－；(3)(a≥0)；
(4)x3·(x＞0)．
解：(1)a＝.
(2)a－＝.
(3)＝＝a(a≥0)．
(4)x3·＝x3·x＝x(x＞0)．
1．(多选题)下列说法正确的有( )
A．的运算结果是±3
B．16的4次方根是2
C．当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义
D．当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义
解析：对于A，因为偶次根式的结果只能是正数，A错误；对于B，偶次方根的结果有正有负，B错误；根据幂指数的运算法则可知CD正确．故选CD．
答案：CD
2．化简()2＋＋的结果是( )
A．1－a B．2(1－a)
C．a－1 D．2(a－1)
解析：∵有意义，∴a－1≥0，即a≥1.
∴()2＋＋＝(a－1)＋|1－a|＋(1－a)＝(a－1)＋(a－1)＋(1－a)＝a－1，故选C．
答案：C
3．化简＋的结果为________．
解析：原式＝|π－4|＋π－4＝4－π＋π－4＝0.
答案：0
4．求使等式＝(3－a)成立的实数a的取值范围．
解：∵
＝
＝＝|a－3|.
∴要使等式＝(3－a)·成立，
必须有
即 －3≤a≤3.
故满足条件的实数a的取值范围是[－3,3]．
5．把下列根式化成分数指数幂的形式，其中a＞0，b＞0.
(1)；(2)；(3)；(4).
解：(1)＝a.
(2)＝＝a－.
(3)＝＝ba－＝a－b.
(4)＝＝|(－a)3|＝a3.
[示例] 化简·＝( )
A．－ B．
C．(a－1)4 D．
[答案] B
[解析] 要使原式有意义，则.
·＝|1－a|·(a－1) ＝(a－1)·(a－1) ＝(a－1) ＝.
[常见误区]
错解 错因剖析
A 忽略了偶次方根中被开方数必须是非负数，即漏掉阴影处而导致错误
[防范措施] 注意隐含条件的挖掘
要关注条件中有无隐含条件，在出现根式时，要注意是不是偶次方根，被开方数是否符合要求，如本例中是四次方根，则必须(a－1)3>0，即a－1>0.
课时作业(十九) 有理数指数幂
一、选择题
1．(多选题)下列各式错误的是( )
A．＝a B．a0＝1
C．＝－4 D．＝－5
解析：A．＝|a|，B．a0＝1，a≠0时成立，C．＝4，D正确．故选ABC．
答案：ABC
2．若a<，则化简的结果是( )
A． B．
C．－ D．－
解析：∵a<，∴4a－1<0，∴＝.
答案：A
3．(多选题)在下列根式与分数指数幂的互化中，不正确的是( )
A．(－x)0.5＝－(x≠0)
B．＝y
C．＝(xy≠0)
D．x－＝－
解析：对于A，(－x)0.5＝－(x≠0)，左边x＜0，右边x＞0，故A错误；
对于B，＝y，当y＜0时，＝－y，故B错误；
对于C，由分式指数幂可得xy＞0，则＝＝，故C正确；
对于D，x－＝＝，故D错误．
故选ABD．
答案：ABD
4．若a＝，b＝，则a＋b＝( )
A．1 B．5
C．－1 D．2π－5
答案：A
5．当有意义时，化简：－＝( )
A．2x－5 B．－2x－1
C．－1 D．5－2x
解析：∵有意义，
∴2－x≥0，即x≤2.
－
＝－＝|x－2|－|x－3|
＝2－x－(3－x)＝2－x－3＋x＝－1.
答案：C
二、填空题
6．化简：＝________.
解析：＝＝|－|＝－.
答案：－
7．化简：＋＝________.
答案：
8．若＋＝0，则x2 016＋y2 017＝________.
答案：0
9．如果a，b是实数，则下列等式：
①＋＝a＋b；
②(＋)2＝a＋b＋2；
③＝a2＋b2；
④＝a＋b.
其中一定成立的是________．(写出所有成立式子的序号)
解析：∵＝±b，∴①不一定成立；
根据根式的性质，②③都一定成立；
∴＝|a＋b|，∴④不一定成立．
答案：②③
三、解答题
10．计算：
(1)－＋；
(2)＋－；
(3)·(＋1)＋(－)0.
解：(1)原式＝－＋＝－＋＝.
(2)原式＝－8＋|－2|－(2－)
＝－8＋2－－2＋＝－8.
(3)原式＝·(＋1)＋1
＝·(＋1)＋1＝(－1)·(＋1)＋1
＝(3－1)＋1＝1＋1＝2.
11．已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值．
解：因为a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，所以
因为a>b>0，所以>，2
＝＝＝＝，
所以＝＝.
12．化简y＝＋，并画出简图，写出最小值．
解：y＝＋
＝|2x＋1|＋|2x－3|
＝
其图象如图所示．
由图象可知，y的最小值为4.
4.1.2 无理数指数幂
新课程标准 新学法解读
通过对有理数指数幂a(a>0且a≠1，m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1，x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质. 通过对有理数指数幂a、实数指数幂ax含义的认识，提升数学抽象素养，通过指数幂运算性质的应用，提升数学运算素养.
笔记 教材
知识点一 有理指数幂的基本不等式
对任意正有理数r和正数a，若a>1则ar>1；若a<1，则ar<1.
推论：对任意负有理数r和正数a，若a>1，则ar<1；若a<1，则ar>1.
知识点二 幂运算不等式
1．对任意正数μ和a，若a>1则aμ>1；若a<1则aμ<1.
2．对任意负数μ和正数a，若a>1则aμ<1；若a<1则aμ>1.
知识点三 实数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)．
(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈R)．
(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)．
自我 检测
1．(多选题)下列运算结果中，一定正确的是( )
A．a3a4＝a7 B．(－a2)3＝a6
C．＝a D．＝－π
解析：a3a4＝a3＋4＝a7，故A正确；当a＝1时，B中的运算显然不成立，故B不正确；＝|a|，故C不正确；＝－π，故D正确．故选AD．
答案：AD
2．化简(a，b＞0)的结果是( )
A． B．ab
C． D．a2b
解析：原式＝[a3b2(ab2) ] ÷(a1b2ba－)＝a(3＋)×·b(2＋)×÷(ab)＝a－×b＝.
答案：C
3．设a－a－＝m，则＝( )
A．m2－2 B．2－m2
C．m2＋2 D．m2
解析：将a－a－＝m平方，得(a－a－)2＝m2，即a－2＋a－1＝m2，所以a＋a－1＝m2＋2，即a＋＝m2＋2 ＝m2＋2.
答案：C
4．化简()4·()4的结果是( )
A．a16 B．a8
C．a4 D．a2
解析：()4·()4＝a·a＝a2×a2＝a4，故选C．
答案：C
研习1 实数指数幂的运算
[典例1] (1)化简：ab (－3ab－1)÷(4ab－3) ＝________.
(2)计算下列各式：
①(2 )2 ；
②(0.027)－－－2＋－3×(－1)0＋[(－2)2] .
(3)将下列根式与分数指数幂进行互化．
①a3·；
②(a>b，b>0)．
[思路点拨] 根式与分数指数幂 根式与分数指数幂的意义 进行互化．
(1)[解析] ab (－3ab－1)÷(4ab－3) ＝×(－3)÷2·ab－1＋＝－b.
[答案] －b
(2)[解] ①原式＝2×2·m ×2＝26·m3.
②原式＝[(0.3)3] －49＋－3×1＋2＝0.3－1－49＋－3＋2＝－45.
(3)[解] ①a3·＝a3·a＝a3＋＝a.
②＝
＝＝＝ab.
巧归纳
1．化简结果的一个要求和两个不能
2．幂的运算的常规方法
(1)化负指数幂为正指数幂．
(2)化根式为分数指数幂．
(3)化小数为分数进行运算．
[练习1] 计算：(1)0.064－0＋160.75＋0.01；
(2)＋；
(3)0－＋8.
解：(1)原式＝(0.43) －1＋16＋＝－1＋8＋＝.
(2)原式＝＋＝|2＋|＋|2－|＝2＋＋2－＝4.
(3)原式＝1－3＋4＝2.
研习2 利用分数指数幂的运算性质化简求值
[典例2] 计算下列各式(式中字母均为正数)：
(1)；
(2)＋(－a－－b－)(a－－b －)；
(3)0.000 1－＋27－－＋－1.5.
[思路点拨] 分数指数幂的化简 将根式化为幂的形式，然后按照幂的运算性质进行化简计算．
[解] (1)原式＝[34×(3)]
＝(34＋)＝(3)＝3＝3.
(2)原式＝＋2－2＝a－1＋b－1＋b－1－a－1＝.
(3)原式＝(0.14) －＋(33)－－＋
＝0.14×(－)＋33×－2×(－)＋2×()
＝0.1－1＋32－－1＋－3＝10＋9－＋27＝.
巧归纳
1．指数幂运算的常用技巧
(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算．
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．
(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．
2．根式化简的步骤
(1)将根式化成分数指数幂的形式．
(2)利用分数指数幂的运算性质求解．
提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数．
[练习2] 计算(化简)下列各式：
(1)－0＋0.25×－4；
(2)2＋＋－.
解：(1)原式＝－4－1＋0.5×()4＝－5＋0.5×4＝－5＋2＝－3.
(2)原式＝＋＋(＋1)－1＝＋＝＋＝2.
研习 指数幂运算中的条件求值
[典例3] (1)若a＋a－1＝4，则a2＋a－2＝________.
(2)已知a2m＋n＝2－2，am－n＝28，a>0，且a≠1，则a4m＋n的值为________．
(3)若x＋x＝3，求x＋x的值．
[思路点拨] (1)观察代数式间的联系，a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2，通过代数的恒等变形解题．(2)设4m＋n＝x(2m＋n)＋y(m－n)，分别求出x，y，利用整体代换求解．(3)观察代数式间的联系，x＋x＝(x＋x)(x－1＋x－1)，通过代数的恒等变形解题．
(1)[解析] 因为a＋a－1＝4，所以a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝16－2＝14.
[答案] 14
(2)[答案] 4
(3)[解] 因为x＋x＝3，所以两边平方，得(x＋x)2＝9，则x＋x－1＝7，x＋x＝(x)3＋(x)3＝(x＋x )(x－1＋x－1)＝3×6＝18.
巧归纳
条件求值问题的常用方法
(1)整体代入：从已知条件中解出所含字母的值，然后再代入求值，这种方法一般是不可取的，而应设法从整体寻找求结果与条件的联系，进而整体代入求值．
(2)求值后代入：所求结果涉及的某些部分，可以作为一个整体先求出其值，然后再代入求最终结果．
[练习3] 已知f(x＋x)＝x＋x－1＋2，则f(x＋1)＝( )
A．x2－4
B．(x＋1)2
C．(x＋1)－1＋(x＋1)－2
D．x2＋2x－3
解析：设x＋x＝t，则(x＋x)2＝x－1＋2x·x＋x＝x＋x－1＋2＝t2，因此f(t)＝t2，则f(x＋1)＝(x＋1)2，故选B．
答案：B
1．()·()的值是( )
A．3 B．3
C．9 D．81
解析：()·()＝[()2]＝3.
答案：B
2．网络上盛极一时的数学恒等式“1.0130≈1.4，1.01365≈37.8，1.01730≈1 427.6”形象地向我们展示了通过努力每天进步1%，就会在一个月、一年以及两年后产生巨大差异．虽然这是一种理想化的算法，但它也让我们直观地感受到了“小小的改变和时间累积的力量”．小明是极其勤奋努力的同学，假设他每天进步2.01%，那么30天后小明的学习成果约为原来的( )
A．1.69倍 B．1.78倍
C．1.96倍 D．2.8倍
解析：(1＋0.020 1)30＝[(1.01)2]30＝[(1.01)30]2≈1.42＝1.96.故选C．
答案：C
3．(多选题)下列各式中有意义的是( )
A． B．
C． D．(a∈R)
解析：A选项，因为(－4)2n＞0，所以有意义；
B选项，因为(－4)2n＋1＜0，所以没有意义；
C选项，因为a4≥0，所以有意义；
D选项，因为a5∈R，所以(a∈R)没有意义．
故选AC．
答案：AC
4．设2x＝8y＋1,9y＝3x－9，则x＋y＝________.
解析：由2x＝8y＋1，得2x＝23y＋3，所以x＝3y＋3.①
由9y＝3x－9，得32y＝3x－9，所以2y＝x－9.②
由①②联立方程组，解得x＝21，y＝6，所以x＋y＝27.
答案：27
5．设α，β是方程5x2＋10x＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________.
解析：利用一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，α β＝，则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝，(2α)β＝2α β＝2.
答案： 2
6．化简：(1)(x>0，y>0)；
(2)· (x>0，y>0，z>0)．
解：(1)原式＝＝x·y＝xy.
(2)原式＝·
＝x＋yz－1－1＝xz－2.
整体代换思想是指不去破坏条件的结构，将其整体代入进行运算．
本节中的整体代换主要应用于条件求值，对于条件求值问题，一定要弄清已知条件与所求的关系，然后采取整体代换的方法求值．
[示例] 已知a＋a＝，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；
(2)a2＋a－2；
(3)a3＋a－3.
[思路点拨] 从整体上寻求所求式与已知条件的关系，然后整体代入求值．
[解] (1)将a＋a＝的两边平方，得
a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3.
(2)由a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，
∴a2＋a－2＝7.
(3)a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－1＋a－2)＝3×(7－1)＝18.
[规律指导] 1.对此类求值问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后用“整体代换”的方法求值．
2．求解时要注意
(1)各式中的隐含条件；
(2)必要时，应先将条件与待求式子进行化简，有利于求值．
课时作业(二十) 无理数指数幂
一、选择题
1．(多选题)下列化简结果中正确的有(字母均为正数)( )
A．(am)n＝amn B．a＝
C．a＝ D．an＋bn＝(a＋b)n
解析：由指数幂的运算性质可得(am)n＝amn，a＝，＝am－n≠a，A、B选项正确，C选项错误；取a＝b＝1，n＝2，则an＋bn＝2≠22＝(a＋b)n，D选项错误．故选AB．
答案：AB
2．化简：0－(1－0.5－2)÷ ＝( )
A．－ B．
C． D．
解析：原式＝1－(1－22)÷2＝1－(－3)×＝.故选D．
答案：D
3．使代数式(|x|－1) 有意义的x的取值范围是( )
A．{x||x|≥1}
B．{x|－1
C．{x||x|>1}
D．{x|x∈R，且x≠±1}
解析：(|x|－1) ＝，∴|x|－1≠0，即x≠±1.∴x的取值范围是{x|x∈R，且x≠±1}．
答案：D
4．已知x2＋x－2＝2，且x＞1，则x2－x－2＝( )
A．2或－2 B．－2
C． D．2
解析：解法一：∵x＞1，∴x2＞1，
由x2＋x－2＝2，可得x2＝＋1，
∴x2－x－2＝＋1－＝＋1－(－1)＝2.
解法二：令x2－x－2＝t，①
∵x2＋x－2＝2，②
∴①2－②2，得t2＝4.
∵x＞1，∴x2＞x－2，∴t＞0，于是t＝2，即x2－x－2＝2，故选D．
答案：D
5．化简(a3b)÷(ab)(a>0，b>0)结果为( )
A．a B．b
C． D．
答案：A
二、填空题
6．27＋16－－2－＝________.
解析：27＋16－－2－＝(33) ＋(42) －4－＝32＋4－1－4－－2＝9＋－4－＝3.
答案：3
7．若x＞0，则(2x＋3)(2x－3)－4x·(x－x)＝________.
解析：原式＝4x－33－4x＋4＝－23.
答案：－23
8．设a2＝b4＝m(a>0，b>0)，且a＋b＝6，则m＝________.
答案：16
三、解答题
9．(1)已知2x＋2－x＝a(常数)，求16x＋16－x的值；
(2)已知x＋y＝12，xy＝9且x解：(1)∵4x＋4－x＝(2x)2＋(2－x)2
＝(2x＋2－x)2－2·2x·2－x＝a2－2，
∴(4x＋4－x)2＝16x＋16－x＋2＝(a2－2)2＝a4－4a2＋4，
∴16x＋16－x＝a4－4a2＋2.
(2)＝
＝.①
∵x＋y＝12，xy＝9，②
∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.
又∵x将②③代入①，得＝＝－.
10．已知x＝(5－5－)，n∈N*，求(x＋)n的值．
解：∵1＋x2＝1＋(5－5－)2
＝1＋(5－2＋5－)＝(5＋2＋5－)
＝2，
∴＝(5＋5－)，
∴x＋＝(5－5－)＋(5＋5－)＝5.
∴(x＋)n＝(5)n＝5.
4．1.3 幂函数
新课程标准 新学法解读
1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式． 2．通过具体实例，结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数. 以五个常见幂函数为载体，归纳幂函数的图象与性质，发展学生的数学抽象、逻辑推理素养.
笔记 教材
知识点一 幂函数的概念
(1)一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)负整数次幂函数和正整数次幂函数，统称为整数次幂函数．
(3)自变量x的算术平方根或立方根，是最常见的分数次幂函数．
知识点二 幂函数的特征
1．如图，在同一坐标系内作出函数y＝x；y＝x；y＝x2；y＝x－1；y＝x3的图象．
填写下表：
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0}
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0}
奇偶性 奇_ 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 在[0，＋∞) 上增； 在(－∞，0] 上减 增 增 在(0，＋∞) 上减； 在(－∞，0) 上减
2.根据上表，可以归纳一般幂函数y＝xa(a≠0)的特征
(1)当a>0时，它在[0，＋∞)上有定义且递增，值域为[0，＋∞)，函数图象过(0,0)和(1,1)两点．
(2)当a<0时，它在(0，＋∞)上有定义且递减，值域为(0，＋∞)，函数图象过点(1,1)，向上与y轴无限接近，向右与x轴正向无限接近．
自我 检测
1．(多选题)下列函数中是幂函数的是( )
A．y＝ B．y＝x3
C．y＝2x D．y＝x－1
解析：根据幂函数的定义：形如y＝xα的函数称为幂函数，选项C中自变量x的系数是2，不符合幂函数的定义，其余均为幂函数．
答案：ABD
2．已知幂函数f(x)的图象过点(2，)，则下列结论正确的是( )
A．y＝f(x)定义域为[0，＋∞)
B．y＝f(x)在其定义域内为减函数
C．y＝f(x)是偶函数
D．y＝f(x)是奇函数
解析：设幂函数为y＝xa，因为幂函数的图象过点(2，)，
所以2a＝，解得a＝，
所以幂函数的解析式为y＝，
故A正确，B，C，D错误，
故选A．
答案：A
3．函数y＝(k2－k－5)x2是幂函数，则实数k的值是( )
A．k＝3
B．k＝－2
C．k＝3或k＝－2
D．k≠3且k≠－2
解析：由幂函数的定义知k2－k－5＝1，
即k2－k－6＝0，解得k＝3或k＝－2.
答案：C
研习1 幂函数的概念及解析式
[典例1] (1)下列函数：
①y＝x3；②y＝x＋3；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝5x－1.
其中幂函数的个数为 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)已知幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，求此幂函数的解析式，并指出定义域．
(1)[解析] ③⑦中系数不是1，②④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B．
[答案] B
(2)[解] ∵y＝(m2－m－1) xm2－2m－3为幂函数，
∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则y＝x－3，且有x≠0；
当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0，且有x≠0.
故所求幂函数的解析式为y＝x－3，定义域为{x|x≠0}或解析式为y＝x0，定义域为{x|x≠0}．
巧归纳
求幂函数解析式的依据和常用方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.
[练习1] (1)已知幂函数f(x)的图象过点(4,2)，则f＝________.
(2)若幂函数y＝(m2－4m＋1) xm2－2m－3为(0，＋∞)上的增函数，则实数m的值等于________．
解析：(2)由y＝(m2－4m＋1) xm2－2m－3为幂函数，可得m2－4m＋1＝1，解得m＝4或0；又幂函数y＝x xm2－2m－3在区间(0，＋∞)上是增函数，所以m2－2m－3＞0，所以m＝4时满足条件．
答案：(1) (2)4
研习2 幂函数的图象及性质的应用
[典例2] (1)幂函数y＝xm，y＝xn，y＝xp，y＝xq的图象如图，则将m，n，p，q的大小关系用“<”连接起来结果是________．
(2)当α∈时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第________象限．
[思路点拨] 幂函数图象的应用 幂函数的五种常见类型的图象与性质特点．
[答案] (1)n巧归纳
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．
(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3)来判断．
[练习2] 函数y＝x (m，n∈N*，且m，n互质)的图象如图所示，则( )
A．m，n是奇数，＜1
B．m是偶数，n是奇数，＞1
C．m是偶数，n是奇数，＜1
D．m是奇数，n是偶数，＞1
解析：由函数图象可知y＝x是偶函数，而m，n是互质的，故m是偶数，n是奇数．又当x∈(1，＋∞)时，y＝x的图象在y＝x的图象下方，故＜1.
答案：C
研习3 应用幂函数的性质比较幂的大小
[典例3] 比较下列各组数的大小：
(1)－8－和－；
(2)(－2)－3和(－2.5)－3；
(3)(1.1)－0.1和(1.2)－0.1；
(4)(4.1) ，(3.8) 和(－1.9) .
[思路点拨]
[解] (1)－8－＝－，函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，
又>，则>，从而－8－<－.
(2)幂函数y＝x－3在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，
又∵－2>－2.5，∴(－2)－3<(－2.5)－3.
(3)幂函数y＝x－0.1在(0，＋∞)上为减函数，
又∵1.1<1.2，∴1.1－0.1>1.2－0.1.
(4)(4.1) >1＝1,0<(3.8) <1＝1，
(－1.9) <0，∴(－1.9) <(3.8) <(4.1) .
巧归纳
比较幂值大小的方法
(1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数．
(2)若指数不同，底数相同，则考虑幂函数图象的排列规律．
(3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小．
[练习3] 把下列各数按由小到大的顺序排列：2，，3，.
解：由于数比较多，可考虑先分类，再比较．
3<0,0<<1,2>1，>1，
而函数y＝x在(0，＋∞)上是增函数，故有2>，
所以由小到大的顺序为3<<<2.
1．如图，图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的大致图象，已知α取－2，－，，2四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值依次为( )
A．－2，－，，2 B．2，，－，－2
C．－，－2,2， D．2，，－2，－
答案：B
2．函数y＝x－2在区间上的最大值为________．
解析：∵函数y＝x－2在上是减函数，
∴该函数在上的最大值为－2＝4.
答案：4
3．已知幂函数f(x)＝xm＋2过点(2,8)，且f(k2＋6)＋f(6－7k)＜0，则实数k的取值范围是________．
解析：∵幂函数f(x)＝xm＋2过点(2,8)，∴2m＋2＝8，解得m＝1，则f(x)＝x3.
显然，f(x)是奇函数，且在R上单调递增，
∵f(k2＋6)＋f(6－7k)＜0，即f(k2＋6)＜－f(6－7k)＝f(7k－6)，
∴k2＋6＜7k－6，解得3＜k＜4.
故答案为(3,4)．
答案：(3,4)
4．比较大小．
(1)1.5，1.7；
(2)(－1.2)3，(－1.25)3；
(3)5.25－1，5.26－1，5.26－2.
解：(1)∵y＝x在[0，＋∞)上是增函数，1.5＜1.7，
∴1.5＜1.7.
(2)∵y＝x3在R上是增函数，－1.2＞－1.25，
∴(－1.2)3＞(－1.25)3.
(3)∵y＝x－1在(0，＋∞)上是减函数，5.25＜5.26，
∴5.25－1＞5.26－1；
由幂函数图象的排列规律知5.26－1＞5.26－2.
综上，5.25－1＞5.26－1＞5.26－2.
[示例] 已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈N)的图象与坐标轴不相交，且关于y轴对称，则m＝________.
[答案] 1,3
[解析] 由幂函数y＝x xm2－2m－3 (m∈N)的图象与坐标轴不相交，得①，
由于m∈N，
解得m＝0,1,2,3.
当m＝0时，m2－2m－3＝－3；
当m＝1时，m2－2m－3＝－4；
当m＝2时，m2－2m－3＝－3；
当m＝3时，m2－2m－3＝0.
其中，当②时，函数y＝x－3的图象不关于y轴对称；
当m＝1,3时，函数y＝x－4，y＝x0(x≠0)的图象关于y轴对称，所以m＝1,3.
[常见误区]
错解 错因剖析
1 忽视①处“＝”就会漏解，此时幂函数y＝x0(x≠0)的图象与坐标轴不相交
0,1,2,3 忽视②就会增解，一般地，奇函数的图象不关于y轴对称
[防范措施] 1.幂函数的解析式的特点
幂函数的解析式为y＝xα，其中x是自变量，α是常数，如本例易忽视y＝x0(x≠0)是幂函数，图象是一条水平的直线(除去点(0,1))．
2．幂函数的图象与性质与幂指数的密切关系
本例中，由幂函数的图象与坐标轴不相交，易得幂指数为负数，而容易漏掉函数幂指数为零的情形；幂函数的图象关于y轴对称，说明幂函数为偶函数，这时也容易忽视幂指数为零的情形．
课时作业(二十一) 幂函数
一、选择题
1．(多选题)下列说法正确的是( )
A．当α＝0时，y＝xα的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)
C．幂函数的图象不可能出现在第四象限
D．若幂函数y＝xα在区间(0，＋∞)上单调递减，则α＜0
解析：当α＝0时，y＝xα的图象是一条直线上去掉一个点(0,1)，故A错误；
由于幂函数y＝x－1的图象不经过(0,0)，故B错误；
由于当x＞0时，幂函数y＝xα＞0，不可能y＝xα＜0，故幂函数的图象不可能出现在第四象限，故C正确；
若幂函数y＝xα在区间(0，＋∞)上单调递减，则α＜0，故D正确．故选CD．
答案：CD
2．将a＝，b＝1.2，c＝这三个数按从小到大的顺序排列，正确的是( )
A．cC．a解析：∵a＝，c＝＝，
∴a＞c，
∵y＝x在(0，＋∞)上为增函数，b＝1.2，
∴b＞a，∴b＞a＞c.故选A．
答案：A
3．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点，则函数g(x)＝(x－3)f(x)在区间上的最小值是( )
A．－1 B．－2
C．－4 D．－8
解析：幂函数f(x)＝xα的图象过点，所以3α＝，得α＝－1.所以f(x)＝，g(x)＝＝1－在区间上单调递增，所以最小值为g＝－8.故选D．
答案：D
4．下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝x2＋1
C．f(x)＝x3 D．f(x)＝2－x
解析：因为y＝x2在(－∞，0)上单调递减，故y＝在(－∞，0)上单调递增，又y＝为偶函数，故A对；y＝x2＋1在(－∞，0)上单调递减，故B错；y＝x3为奇函数，故C错；y＝2－x为非奇非偶函数，故D错．故选A．
答案：A
5．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图象可能是( )
解析：当a＜0时，函数y＝ax－是减函数，且在y轴上的截距－＞0，y＝xa在(0，＋∞)上是减函数，
∴A，D均错误．对于B，C，若a＞0，则y＝ax－是增函数，B错误，C正确．
答案：C
6．幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m可能等于( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：∵f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，
∴3m－5＜0(m∈N)，则m＝0或m＝1.
当m＝0时，f(x)＝x－5是奇函数，不合题意；
当m＝1时，f(x)＝x－2是偶函数，因此m＝1.
答案：B
二、填空题
7．若幂函数y＝f(x)的图象过点，则f(25)的值为________．
解析：设幂函数为y＝xα，过点，则＝9α，
∴α＝－，∴y＝x，则f(25)＝25＝.
答案：
8．如图是幂函数y＝xαi(αi＞0，i＝1,2,3,4,5)在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，α4＝，α5＝，已知它们具有性质：
①都经过点(0,0)和(1,1)；
②在第一象限都是增函数．
请你根据图象写出它们在(1，＋∞)上的另外一个共同性质：________.
解析：从幂函数的图象与性质可知：①α越大函数增长越快；②图象从下往上α越来越大；③函数值都大于1；④α越大越远离x轴；⑤α＞1，图象下凸；⑥图象无上界；⑦当指数互为倒数时，图象关于直线y＝x对称；⑧当α＞1时，图象在直线y＝x的上方；当0＜α＜1时，图象在直线y＝x的下方．
从上面任取一个即可得出答案．
故答案为α越大函数增长越快．
答案：α越大函数增长越快
9．若(a＋1) <(2a－2) ，则实数a的取值范围是________．
解析：∵幂函数y＝x在R上为增函数，(a＋1) <(2a－2) ，∴a＋1<2a－2，∴a>3.
答案：(3，＋∞)
10．若幂函数y＝(m2＋3m＋3)xm2＋2m－3的图象不过原点，且关于原点对称，则m的取值是________________________________________________________________________．
解析：∵函数为幂函数，∴m2＋3m＋3＝1，
解得m＝－2或m＝－1.
当m＝－2时，函数y＝x－3是奇函数，且图象不过原点，符合题意；
当m＝－1时，函数y＝x－4＝是偶函数，图象不关于原点对称，应舍去．综上，m＝－2.
答案：－2
三、解答题
11．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·x m2＋2m－1，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．
解：(1)若函数f(x)为正比例函数，则
∴m＝1.
(2)若函数f(x)为反比例函数，则
∴m＝－1.
(3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，
∴m＝－1±.
12．已知幂函数y＝x m2＋2m－3 (m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a＋1)3m<(3a－2)3的a的取值范围．
解：∵函数在(0，＋∞)上单调递减，
∴m2－2m－3<0，解得－1∵m∈N*，∴m＝1,2.
又∵函数图象关于y轴对称，
∴m2－2m－3是偶数．
又∵22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，
∴m＝1.
∴原不等式等价于(a＋1)3<(3a－2)3.
又∵y＝x3在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴a＋1<3a－2，∴2a>3，a>，
故满足条件的a的取值范围是.
13．已知幂函数f(x)＝(－2m2＋m＋2)·xm＋1为偶函数．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若a≤2，判断y＝f(x)－2ax＋1在区间(2,3)上的单调性并用定义加以证明．
解：(1)由f(x)为幂函数知－2m2＋m＋2＝1，
得m＝1或m＝－.
当m＝1时，f(x)＝x2，符合题意；
当m＝－时，f(x)＝x，不为偶函数，舍去．
所以f(x)＝x2.
(2)由(1)得y＝x2－2ax＋1，对称轴为x＝a≤2，
所以y在区间(2,3)上单调递增．
设x1，x2∈(2,3)，且x1＜x2，则有Δx＝x1－x2＜0，
所以Δy＝y1－y2＝x－x＋2a(x2－x1)＝(x1－x2)(x1＋x2－2a)＝(x1－x2)(x1－a＋x2－a)，
因为Δx＝x1－x2＜0，a≤2，x1－a＞0，x2－a＞0，
所以Δy＜0，所以y＝f(x)－2ax＋1在区间(2,3)上单调递增．
4．2 指数函数
4．2.1 指数爆炸和指数衰减
4．2.2 指数函数的图象与性质
第1课时 指数爆炸和指数衰减、指数函数的图象与性质
新课程标准 新学法解读
1.了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念．了解指数爆炸和指数衰减． 2．掌握指数函数的图象及简单性质． 3．会求指数形式的函数的定义域，值域. 1.通过理解指数函数的概念和意义，发展数学抽象素养． 2．通过借助计算工具画出简单指数函数的图象，发展直观想象素养． 3．通过指数函数的实际应用，发展数学建模素养.
笔记 教材
知识点一 指数函数的概念
(1)函数解析式：y＝ax，其中a的取值范围是a＞0且a≠1.
(2)函数自变量：x，自变量的取值范围是x∈R.
知识点二 指数爆炸，指数衰减
1．当底数a>1时，指数函数值随自变量的增大而增大，底数a较大时指数函数值增长速度惊人，被称为指数爆炸．
2．如果底数0知识点三 指数函数的图象与性质
a>1 0图象
性 质 定义域 R
值域 (0，＋∞)
过定点 (0,1)
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
自我 检测
1．(多选题)下列函数不是指数函数的是( )
A．y＝10x B．y＝10x＋1
C．y＝－4x D．y＝xx
解析：A．y＝10x符合定义，是指数函数；B．y＝10x＋1指数是x＋1而非x，不是指数函数；C．y＝－4x中系数为－1而非1，不是指数函数；D．y＝xx中底数和指数均是自变量x，不符合指数函数的定义，不是指数函数．
答案：BCD
2．指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图所示，则( )
A．a＜0，b＜0
B．a＜0，b＞0
C．0＜a＜1，b＞1
D．0＜a＜1,0＜b＜1
解析：函数y＝ax的图象是下降的，所以0＜a＜1；函数y＝bx的图象是上升的，所以b＞1.
答案：C
3．如果函数f(x)＝3x＋b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，则( )
A．b＜－1 B．－1＜b＜0
C．0＜b＜1 D．b＞1
解析：∵函数f(x)＝3x＋b的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，f(0)＝b＋1，∴只需0＜b＋1＜1即可，解得－1＜b＜0.
答案：B
4．函数f(x)＝ax－1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点________．
解析：令x－1＝0，得x＝1，此时y＝a0＝1，故图象恒过定点(1,1)．
答案：(1,1)
5．函数y＝x－1的值域是________．
解析：指数函数y1＝x的值域为(0，＋∞)，从而有y1＞0，所以y＝x－1＞－1，所以函数y＝x－1的值域为(－1，＋∞)．
答案：(－1，＋∞)
研习1 指数函数的概念
[典例1] 在下列的关系式中，哪些是指数函数，为什么？
(1)y＝2x＋2；(2)y＝(－2)x；(3)y＝－2x；(4)y＝πx；(5)y＝x2；(6)y＝(a－1)x(a＞1且a≠2)．
[思路点拨] 严格按照指数函数的定义，逐一检查代数式前面的系数是否为1，自变量是否只有“x”的形式，底数是否是大于0且不等于1的常数．
[解] 只有(4)(6)是指数函数，因为它们满足指数函数的定义．(1)中关系式可变形为y＝2x·22＝4·2x，不满足指数函数的形式；(2)中底数为负，所以不是指数函数；(3)中关系式2x的系数为－1，所以不是指数函数；(5)中指数为常数，所以不是指数函数．
巧归纳
1．判断一个函数是指数函数的方法
(1)看形式：只需判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征．
(2)明特征：指数函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不具备，则不是指数函数．
2．已知某函数是指数函数，求参数值的基本步骤
[练习1] (1)若指数函数f(x)的图象经过点(2,9)，则f(－2)＝________，f(1)＝________.
(2)函数f(x)＝(m2－m＋1)ax(a>0，且a≠1)是指数函数，则m＝________.
解析：(1)设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，
∵f(x)的图象过点(2,9)，∴a2＝9，则a＝3，即f(x)＝3x.
∴f(－2)＝3－2＝，f(1)＝3.
(2)∵函数f(x)＝(m2－m＋1)ax是指数函数，∴m2－m＋1＝1，解得m＝0或1.
答案：(1) 3 (2)0或1
研习2 指数函数的图象
[典例2] 如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．a＜b＜1＜c＜d
B．b＜a＜1＜d＜c
C．1＜a＜b＜c＜d
D．a＜b＜1＜d＜c
[思路点拨] 根据指数函数的底数大小与图象的关系判断．
[解析] 解法一：在y轴的右侧，指数函数的图象由下到上，底数依次增大．
在y轴的左侧，指数函数的图象由下到上，底数依次减小．
由指数函数图象的升降，知c＞d＞1，b＜a＜1.
所以b＜a＜1＜d＜c.
解法二：作直线x＝1，与四个图象分别交于A，B，C，D四点，如图．
由于x＝1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大，由图可知b＜a＜1＜d＜c，故选B．
[答案] B
巧归纳
(1)无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象与直线x＝1相交于点(1，a)，由图象可知：在y轴右侧，图象从下到上相应的底数由小到大，即所谓“底大图高”．
(2)处理指数函数的图象应注意的问题：
①抓住特点，指数函数图象过点(0,1)．
②巧用图象平移变换．
③注意函数单调性的影响．
[练习2] (1)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
(2)已知函数y＝ax＋m＋1(a>0，且a≠1)的图象过定点P(－2,2)，则实数m＝________.
解析：(1)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．
答案：(1)[－1,1] (2)2
研习3 指数函数的定义域、值域
[典例3] (1)函数y＝的值域为________．
(2)求下列函数的定义域、值域：
①y＝2；
②y＝4x＋2x＋1＋1.
[思路点拨] 此类问题可先由所给函数的形式求其定义域，而求函数值域时应考虑指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的值域，并结合函数自身特征，利用单调性处理．
(1)[答案] (0,1)
(2)[解] ①由x－2≠0，得x≠2，
∴y＝2的定义域是{x|x≠2}．
∵≠0，∴y≠20，即y≠1，又y＝2＞0，
∴y＝2的值域是(0,1)∪(1，＋∞)．
②y＝4x＋2x＋1＋1的定义域是R.
y＝4x＋2x＋1＋1＝(2x)2＋2·2x＋1＝(2x＋1)2，
由2x＞0，知2x＋1＞1，∴(2x＋1)2＞1.
∴y＝4x＋2x＋1＋1的值域为(1，＋∞)．
巧归纳
1．对于y＝af(x)这类函数
(1)定义域是指使f(x)有意义的x的取值范围．
(2)值域问题，应分以下两步求解
①由定义域求出u＝f(x)的值域．
②利用指数函数y＝au的单调性或图象求此函数的值域．
2．对于y＝(ax)2＋b·ax＋c这类函数
(1)定义域为R.
(2)值域可以分以下两步求解
①设t＝ax，求出t的范围．
②利用二次函数y＝t2＋bt＋c的配方法求函数的值域．
[练习3] 已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝3x，则函数f(x)的值域为( )
A．(－1,1) B．[0,1)
C．R D．[0,1]
解析：因为f(x)为定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝3x，所以当x＞0时，f(x)＝－3－x，
所以当x＜0时，f(x)＝3x＜30＝1，即0＜f(x)＜1，
当x＞0时，f(x)＝－3－x＞－3－0＝－1，即－1＜f(x)＜0，又f(0)＝0，
所以f(x)的值域为(－1,1)．
故选A．
答案：A
1．给出下列函数：
①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是 ( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：B
2．已知函数f(x)＝4＋ax＋1的图象经过定点P，则点P的坐标是( )
A．(－1,5) B．(－1,4)
C．(0,4) D．(4,0)
解析：由图象平移可知，y＝4＋ax＋1可看作由y＝ax向左平移1个单位再向上平移4个单位而得到的，∵y＝ax过点(0,1)，∴(0,1)平移后为(－1,5)．
答案：A
3．(多选题)设指数函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，则下列等式中不正确的有( )
A．f(x＋y)＝f(x)f(y)
B．f(x－y)＝
C．f(nx)＝nf(x)(n∈Q)
D．[f(xy)]n＝[f(x)]n[f(y)]n(n∈N*)
解析：f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)，A正确；
f(x－y)＝ax－y＝＝，B正确；
f(nx)＝anx＝(ax)n，nf(x)＝nax≠(ax)n，C不正确；
[f(xy)]n＝(axy)n，[f(x)]n[f(y)]n＝(ax)n(ay)n＝(ax＋y)n≠(axy)n，D不正确．故选CD．
答案：CD
4．函数y＝3x－4＋b的图象恒过定点(4,6)，则b＝________.
答案：5
5．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点，其中a>0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
解：(1)函数图象经过点，所以a2－1＝，则a＝.
(2)由(1)知函数为f(x)＝x－1(x≥0)，
由x≥0，得x－1≥－1.于是0所以函数的值域为(0,2]．
[示例] 函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，求实数A．
[错解] ∵函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，
∴a2－4a＋4＝1，∴a＝1或a＝3.
[错因分析] 指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)中，ax的系数为1，并且底数a要满足a＞0，且a≠1.
[正解] ∵函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，∴由指数函数的定义，得
∴
∴a＝3.
[防范措施] 切记指数函数的要求：形如f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，指数式前面的系数为1，底数a＞0，且a≠1，自变量x是指数．这三点缺一不可．
课时作业(二十二) 指数爆炸和指数衰减、指数函数的图象与性质
一、选择题
1．函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有( )
A．a＝1或a＝2 B．a＝1
C．a＝2 D．a＞0且a≠1
解析：由a2－3a＋3＝1，解得a＝1或a＝2，又由于a＞0，且a≠1，故a＝2.故选C．
答案：C
2．函数y＝的定义域是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，0]
C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0.
答案：C
3．（多选题）若函数y＝ax(a＞0，a≠1)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差为，则实数a的值为( )
A．2 B．
C． D．
解析：当a＞1时，y＝ax在[0,1]上单调递增，
此时f(1)－f(0)＝a－a0＝a－1＝，解得：a＝，当0＜a＜1时，y＝ax在[0,1]上单调递减，
此时f(0)－f(1)＝a0－a＝1－a＝，解得：a＝，所以a的值为或.故选CD．
答案：CD
4．函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a的图象大致是( )
解析：当a>1时，函数f(x)＝ax单调递增，当x＝0时，g(0)＝a>1，此时两函数的图象大致为选项A．
答案：A
5．(多选题)若f(x)＝3x＋1，则下列说法错误的有( )
A．f(x)在[－1,1]上单调递减
B．y＝3x＋1与y＝x＋1的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象过点(0,1)
D．f(x)的值域为[1，＋∞)
解析：f(x)＝3x＋1在R上单调递增，故A错误；y＝3x＋1与y＝3－x＋1的图象关于y轴对称，故B正确；由f(0)＝2，得f(x)的图象恒过点(0,2)，故C错误；由3x＞0，可得f(x)＞1，故D错误．
答案：ACD
6．设f(x)＝|x|，x∈R，那么f(x)是( )
A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数
C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数
D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数
解析：函数f(x)的定义域是R，关于原点对称，且f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数．
又f(x)＝|x|＝
所以f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
答案：D
二、填空题
7．函数y＝a2x＋b＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点(1,2)，则b＝________.
解析：把点(1,2)代入，得2＝a2＋b＋1，
∴a2＋b＝1恒成立，∴2＋b＝0，∴b＝－2.
答案：－2
8．设函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)，若f(x1＋x2＋…＋x2 020)＝9，则f(2x1)·f(2x2)·…·f(2x2 020)＝________.
解析：由题意得，f(x1＋x2＋…＋x2 020)＝ax1＋x2＋…＋x2 020＝9，∴f(2x1)·f(2x2)·…·f(2x2 020)＝a2x1·a2x2·…·a2x2 020＝(a x1＋x2＋…＋x2 020)2＝92＝81.
答案：81
9．设函数f(x)＝则f(f(－4))＝________.
解析：依题意，知f(－4)＝－4＝16，
∴f(f(－4))＝f(16)＝＝4.
答案：4
三、解答题
10．某林区2019年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率达到了5%.经过x年后该林区的木材蓄积量为多少万立方米？经过9年后，该林区的木材蓄积量约为多少万立方米？(精确到0.1)
解：列表如下：
经过的年数 木材蓄积量(万立方米)
0 200
1 200(1＋5%)
2 200(1＋5%)2
3 200(1＋5%)3
… …
x 200(1＋5%)x
由上表得，经过x年后，该林区的木材蓄积量为f(x)＝200(1＋5%)x＝200×1.05x.
当x＝9时，f(9)＝200×1.059≈310.3(万立方米)．故经过9年后，该林区的木材蓄积量约为310.3万立方米．
11．已知指数函数y＝f(x)的图象过点(2,4)，求：
(1)指数函数y＝f(x)的解析式；
(2)f(3)的值．
解：(1)设函数f(x)＝ax，a＞0且a≠1，把点(2,4)代入，可得a2＝4，求得a＝2，所以f(x)＝2x.
(2)将x＝3代入f(x)＝2x可得f(3)＝23＝8.
12．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，求a的取值范围．
解：当a>1时，通过平移变换和翻折变换可得如图①所示的图象，则由图可知1<2a<2，即1矛盾．当0①
②
第2课时 指数函数及其性质的应用
新课程标准 新学法解读
1.进一步熟练掌握指数函数的图象、性质． 2．会判断与证明指数形式的函数的单调性． 3．能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小、解不等式. 1.通过例题进一步深入理解指数函数的单调性及其应用，发展学生的逻辑推理素养． 2．借助指数函数的性质，研究指数型函数的相关问题，发展学生的数学运算及数学抽象素养.
笔记 教材
知识点一 利用单调性比较大小
[思考]
1．如何比较am与an(a>0且a≠1)的大小？
提示：利用指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的单调性，由m，n的大小确定两个函数值的大小关系．
2．如何比较am与bn(a≠b，a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)的大小？
提示：可利用中间值1或an或bm比较，也可借助指数函数的图象比较．
知识点二 解指数不等式
[思考]
1．已知af(x)>ag(x)(a>0，且a≠1)，如何求x的取值范围？
提示：先根据指数函数的单调性转化为f(x)与g(x)的不等关系，然后解相应的不等式．当01时，不等式可化为f(x)>g(x)．
2．如何解不等式f(ax)>m
提示：先解不等式f(t)>m，得t的范围；然后由t的范围构造ax的不等式求解．
自我 检测
1．(多选题)下列判断错误的是( )
A．2.52.5＞2.53 B．0.82＜0.83
C．π2＜π D．0.90.3＞0.90.5
解析：∵y＝2.5x，y＝πx都是增函数，∴A、C错误．
∵y＝0.8x，y＝0.9x都是减函数，∴B错误，D正确．
答案：ABC
2．若2a＋1＜8－2a，则实数a的取值范围是( )
A． B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．
解析：函数y＝x在R上为减函数，所以2a＋1＞8－2a，所以a＞.故选A．
答案：A
3．(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为( )
A．f(x)＝－x B．f(x)＝x
C．f(x)＝x2 D．f(x)＝
解析：对于A，f(x)＝－x为R上的减函数，不符合题意；
对于B，f(x)＝x为R上的减函数，不符合题意；
对于C，f(x)＝x2在(一∞，0)上为减函数，不符合题意；
对于D，f(x)＝为R上的增函数，符合题意．
故选D．
答案：D
4．若函数y＝2－x2＋ax－1在区间(－∞，3)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
解析：y＝2－x2＋ax－1在(－∞，3)上递增，即二次函数y＝－x2＋ax－1在(－∞，3)上递增，因此需要对称轴x＝≥3，解得a≥6.
答案：[6，＋∞)
研习1 利用函数的单调性比较大小
[典例1] 比较下列几组值的大小：
(1)(－2.5) 与(－2.5) ；
(2) 与0.4；
(3) 与；
(4)0.4－2.5与2.51.6.
[解] (1)(－2.5) ＝2.5，(－2.5) ＝2.5.因为函数y＝2.5x为增函数，且＜，所以(－2.5) ＜(－2.5) .
(2)0.4＝.因为函数y＝x为减函数，且－＜－，所以<0.4.
(3)由于函数y＝x与函数y＝x分别为R上的减函数与增函数，而－＜0，因而>0＝1＝0>，即>.
(4)0.4－2.5＝2.52.5.因为函数y＝2.5x为增函数，所以0.4－2.5＝2.52.5＞2.51.6，即0.4－2.5＞2.51.6.
巧归纳
(1)对于底数相同、指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数型函数的单调性来判断．
(2)对于底数不同、指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数型函数图象的变化规律来判断．
(3)对于底数不同且指数也不同的幂的大小比较，应通过中间值来比较，也常应用指数函数图象的排列规律，应用数形结合法比较．
(4)对于三个(或三个以上)数的大小比较，则应先根据特殊值0,1进行分组，再比较各组数的大小．
[练习1] (1)已知a＝30.2，b＝0.2－3，c＝(－3) ，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
(2)比较大小：(a－1)1.3与(a－1)2.4(a＞1，且a≠2)．
(1)解析：∵c＜0，b＝53＞3,1＜a＜3，
∴b＞a＞c.故选B．
答案：B
(2)解：由于a＞1且a≠2，∴a－1＞0且a－1≠1，
若a－1＞1，即a＞2，则y＝(a－1)x是增函数，
∴(a－1)1.3＜(a－1)2.4，
若0＜a－1＜1，即1＜a＜2，则y＝(a－1)x是减函数，
∴(a－1)1.3＞(a－1)2.4.
研习 形如y＝af(x)函数的单调性
[典例2] 判断f(x)＝x2－2x的单调性，并求其值域．
[思路点拨] 先把指数看作一个函数，并求该函数的单调区间及值域，再根据指数函数的单调性判断f(x)的单调性，利用单调性求值域．
[解] 令u＝x2－2x，则原函数变为y＝u.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上单调递减，
在[1，＋∞)上单调递增，
又f(x)＝u在(－∞，＋∞)上单调递减，
∴y＝x2－2x在(－∞，1]上单调递增，
在[1，＋∞)上单调递减，
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴y＝u，u∈[－1，＋∞)，∴0＜u≤－1＝3，
∴函数f(x)的值域为(0,3]．
巧归纳
(1)关于指数型函数y＝af(x)(a＞0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a＞1还是0＜a＜1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f(x)复合而成．一般遵循“同增异减”法则，即：两函数单调性若相同，复合函数单调递增，两函数单调性相反，复合函数单调递减．
(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查f(u)和φ(x)的单调性求出y＝f(φ(x))的单调性．
[练习2] 求函数y＝2的单调区间．
解：由－x2＋2x＋3≥0，得－1≤x≤3.
∴函数的定义域为[－1,3]．
又函数u＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，其图象的对称轴为直线x＝1.
∴u＝－x2＋2x＋3在[－1,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，
∴函数y＝2在[－1,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，
即函数y＝2的单调增区间是[－1,1]，单调减区间是[1,3]．
研习 简单的指数方程、指数不等式
[典例3] (1)求方程2x2＋x＝8x＋1的根；
(2)如果a－5x＞ax＋7(a＞0，且a≠1)，求x的取值范围．
[思路点拨] (1)方程两边都化为同底的形式．(2)因为a＞0且a≠1，故要对a进行讨论，分0＜a＜1和a＞1两种情况，结合指数函数性质转化成关于x的不等式求解．
[解] (1)原方程可化为2 x2＋x＝23x＋3，
∴x2＋x＝3x＋3，∴x2－2x－3＝0，解得x＝3或x＝－1.
(2)当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，
则－5x＜x＋7，解得x＞－；
当a＞1时，y＝ax为增函数，则－5x＞x＋7，解得x＜－.
综上，当0＜a＜1时，x的取值范围为；
当a＞1时，x的取值范围为.
巧归纳
简单指数不等式的解法
对于简单的指数不等式，通过两边都转化为同底的指数型函数后，再利用指数函数的单调性求解．
例如：
af(x)>ag(x)
af(x)而对于指数方程的解法，一般也要方程两边通过底的转换化为同底的形式，如af(x)＝ag(x)，进而转化为求f(x)＝g(x)的解．
[练习3] 解不等式32x－1＞x －2.
解：原不等式可化为32x－1＞32－x.
∵y＝3x单调递增，∴2x－1＞2－x，解得x＞1.
∴原不等式的解集为(1，＋∞)．
研习 指数函数性质的综合应用
[典例4] 已知定义在R上的函数f(x)＝a＋是奇函数．
(1)求a的值；
(2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由)；
(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围．
[解] (1)∵f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，
∴f(0)＝0，即a＋＝0，∴a＝－.
(2)由(1)知f(x)＝－＋，故f(x)在R上为减函数．
(3)∵f(x)为奇函数，
∴f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0可化为f(t2－2t)由(2)知f(x)在R上单调递减，
∴t2－2t>k－2t2，即3t2－2t－k>0对于一切t∈R恒成立，
∴Δ＝4＋12k<0，得k<－，
∴k的取值范围是.
巧归纳
判定函数奇偶性要注意的问题
(1)“定义域优先”的原则
如果定义域不关于原点对称，可立刻判定此函数既不是奇函数也不是偶函数．
(2)变形技巧
耐心分析f(x)和f(－x)的关系，必要时可利用f(x)±f(－x)＝0是否成立判定．
(3)图象的特征
在解答有图象信息的填空题时，可根据奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，进行快速判定．
[练习4] 已知函数f(x)＝3x＋λ·3－x(λ∈R)．
(1)是否存在实数λ使得f(x)为奇函数？若存在，求出实数λ；若不存在，请说明理由．
(2)在(1)的结论下，若不等式f(4t－1)＋f(2t－m)＞0在t∈[－1,1]时恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)若f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0，即1＋λ＝0，解得λ＝－1.此时f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)，故存在λ＝－1，使得f(x)为奇函数．
(2)由(1)得f(x)＝3x－3－x(x∈R)，又函数y＝x在R上是减函数，∴函数y＝－x在R上是增函数，则f(x)在R上为增函数．
又f(x)为奇函数，∴f(4t－1)＋f(2t－m)＞0，即f(4t－1)＞f(m－2t)，
∴4t－1＞m－2t，则m＜4t＋2t－1＝(2t)2＋2t－1(t∈[－1，1])恒成立．
令2t＝n∈，则m＜n2＋n－1＝2－.
令g(n)＝2－，n∈，则g(n)min＝g＝－，
∴m＜－.
∴实数m的取值范围为.
1．若函数y＝(1－2a)x是实数集R上的增函数，则实数a的取值范围为( )
A． B．(－∞，0)
C． D．
解析：由题意，此函数为指数函数，且为实数集R上的增函数，所以底数1－2a＞1，解得a＜0.故选B．
答案：B
2．函数y＝1－x的单调递增区间为( )
A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
解析：定义域为R.设u＝1－x，y＝u.
∵u＝1－x在(－∞，＋∞)上为减函数，
y＝u在(－∞，＋∞)上为减函数，
∴y＝1－x在(－∞，＋∞)上是增函数，∴选A．
答案：A
3．若关于x的不等式a2x≥a3－x(0＜a＜1)的解集为A，则函数y＝3x＋1，x∈A的最大值为( )
A．1 B．3
C．6 D．9
解析：∵0＜a＜1，且a2x≥a3－x，∴2x≤3－x，解得x≤1，∴A＝{x|x≤1}．又函数y＝3x＋1，x∈A为增函数，当x＝1时，y＝3x＋1取得最大值9.
答案：D
4．(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________.
解析：因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)，
所以f(－x)＝－x3(a·2－x－2x)，
因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，
此时x3(a·2x－2－x)＝－x3(a·2－x－2x)，整理得到(a－1)(2x＋2－x)x3＝0，
故a＝1.
故答案为1.
答案：1
5．若定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)用定义证明f(x)在R上为减函数；
(3)若对于任意t∈R，不等式f(t2－2t)＜f(－2t2＋k)恒成立，求k的范围．
解：(1)因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，得b＝1.
又f(－1)＝－f(1)，得a＝1.
(2)证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝，
因为x1＜x2，所以2 x2－2 x1＞0，
又(2 x1＋1)(2 x2＋1)＞0，
故f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．
所以f(x)为R上的减函数．
(3)因为t∈R，不等式f(t2－2t)＜f(－2t2＋k)恒成立，
由f(x)为减函数，所以t2－2t＞k－2t2，即k＜3t2－2t恒成立，而3t2－2t＝32－≥－，
所以k＜－.即k的取值范围是.
[示例] 已知函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)，当x≥0时，求函数f(x)的值域．
[解题流程]
[解] y＝a2x＋2ax－1，令t＝ax，
名师批注：由于a2x＝(ax)2，故令t＝ax，可将原函数转化为关于t的二次函数求解．很多同学常因观察不出此规律而造成解题错误．
∴y＝g(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
当a>1时，∵x≥0，∴t≥1.
∴当a>1时，y≥2.
当0∵g(0)＝－1，g(1)＝2，
∴当0名师批注：由于x≥0，当a>1和0综上所述，当a>1时，函数的值域是[2，＋∞)；
当0名师批注：值域[2，＋∞)和(－1,2]是a取不同范围所求出的结果，所以不能取并集．此处极易与分段函数的值域混淆，认为应取并集，从而得出值域为(－1，＋∞)的错误结论．
课时作业(二十三) 指数函数及其性质的应用
一、选择题
1．函数y＝x2－2的单调递减区间为( )
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞，] D．[，＋∞)
解析：函数y＝u为R上的减函数，欲求函数y＝ x2－2的单调递减区间，只需求函数u＝x2－2的单调递增区间，而函数u＝x2－2的单调递增区间为[0，＋∞)．故函数y＝ x2－2的单调递减区间为[0，＋∞)．
答案：B
2．当x＞0时，指数函数(a－1)x＜1恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(1,2)
C．(1，＋∞) D．R
解析：∵当x＞0时，(a－1)x＜1恒成立，
∴0＜a－1＜1，即1＜a＜2.
答案：B
3．(多选题)已知函数f(x)＝ax－x，其中a＞0且a≠1，则下列结论正确的是( )
A．函数f(x)是奇函数
B．函数f(x)＝0在其定义域上有解
C．函数f(x)的图象过定点(0,1)
D．当a＞1时，函数f(x)在其定义域上为单调递增函数
解析：f(x)＝ax－x＝ax－a－x，定义域为R，f(－x)＝a－x－ax＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，且f(0)＝0，故选项A，B正确，选项C错误；
a>1,0<<1，y＝ax，y＝－x在R上均为增函数，f(x)在其定义域上为单调递增函数，所以选项D正确．故选ABD．
答案：ABD
4．设函数f(x)＝若f(x)是奇函数，则g(2)的值是( )
A．－ B．－4
C． D．4
解析：g(2)＝f(2)＝－f(－2)＝－2－2＝－.
答案：A
5．(多选题)对于函数f(x)的定义域中任意的x1，x2(x1≠x2)，有如下结论：当f(x)＝2x时，上述结论正确的是( )
A． f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)
B．f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)
C．＞0
D．f＜
解析：对于A，f(x1＋x2)＝2x1＋x2，f(x1)·f(x2)＝2 x1·2 x2＝2 x1＋x2，f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)，正确；
对于B，f(x1·x2)＝2 x1·x2，f(x1)＋f(x2)＝2 x1＋2 x2，f(x1·x2)≠f(x1)＋f(x2)，错误；
对于C，∵f(x)＝2x在定义域内单调递增，
∴＞0，正确；
对于D，f＝2＝≤(2 x1＋2 x2)＝，当且仅当2x1＝2x2，即x1＝x2时，取等号．
又x1≠x2，则f＜，正确．
故选ACD．
答案：ACD
6．若函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．(1,8)
C．(4,8) D．[4,8)
解析：∵f(x)是R上的增函数，
∴即4≤a<8.
答案：D
二、填空题
7．关于x的方程x＝有负根，则a的取值范围为________．
解析：y＝x的定义域为x∈R.
∵x＝有负根，∴x<0.
又∵0<<1，∴>1，∴－1>0，
∴>0，即或解得答案：
8．如果定义在R上的函数f(x)，对任意x1≠x2都有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，则称函数为“H函数”，给出下列函数，其中是“H函数”的有________(填序号)．
①f(x)＝3x＋1；②f(x)＝x＋1；
③f(x)＝x2＋1；④f(x)＝
解析：∵对于任意的不等实数x1，x2，不等式x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)恒成立，
∴不等式等价为(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0恒成立，
即函数f(x)是定义在R上的增函数；
①f(x)在R上单调递增，符合题意；
②f(x)在R上单调递减，不合题意；
③f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，不合题意；
④f(x)在R上单调递增，符合题意．
故答案为①④.
答案：①④
三、解答题
9．已知关于x的方程4x－2x＋1－a＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围．
解：由已知，得(2x)2－2·2x＝a，
∴(2x－1)2＝a＋1.
∵原方程有两个不相等的实数根，∴a＋1＞0，
∴2x＝1±，
∵2x＞0，∴1－＞0，
∴＜1，∴0＜a＋1＜1，∴－1＜a＜0.
即a的取值范围是(－1,0)．
10．已知函数f(x)＝a－(x∈R)．
(1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数；
(2)若f(x)为奇函数，求f(x)在区间[1,5]上的最小值．
解：(1)证明：因为f(x)的定义域为R，任取x1则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋
＝.
因为x1又(1＋2 x1)(1＋2 x2) >0.
所以f(x1)－f(x2) <0，即f(x1)所以不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
(2)因为f(x)在x∈R上为奇函数，所以f(0)＝0.
即a－＝0，解得a＝.
所以f(x)＝－，
由(1)知，f(x)为增函数，
所以f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(1)．
因为f(1)＝－＝.
所以f(x)在区间[1,5]上的最小值为.
4．3 对数函数
4．3.1 对数的概念
新课程标准 新学法解读
1.理解对数的概念． 2．知道自然对数和常用对数． 3．通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用. 1.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化． 2．理解和掌握对数的性质，会求简单的对数值，发展数学抽象及数学运算素养.
笔记 教材
知识点一 对数概念
1．定义
一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN.
2．相关概念
(1)底数与真数
其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．
(2)常用对数与自然对数
通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg_N；以无理数e＝2.718 28…为底的对数称为自然对数，并且把logeN记为ln_N.
知识点二 指对互化与对数性质
1．对数与指数间的关系
当a＞0，且a≠1时，ax＝N x＝logaN.前者叫指数式，后者叫对数式．它们之间的关系如图所示．
指数式、对数式中各个字母的名称变化如下表：
式子 名称
a x N
指数式 ax＝N 底数 指数 幂
对数式 x＝logaN 底数 对数 真数
2.对数的性质
性质1 负数和零没有对数
性质2 1的对数是0，即loga1＝0(a＞0，且a≠1)
性质3 底数的对数是1，即logaa＝1(a＞0，且a≠1)
3.对数的基本恒等式
(1)alogaN＝N(N>0，a>0且a≠1)．
(2)b＝logaab(b∈R，a>0且a≠1)．
自我 检测
1．(多选题)下列指数式与对数式的互化中正确的是( )
A．100＝1与lg 1＝0
B．27＝与log27＝－3
C．log39＝2与32＝9
D．log55＝1与51＝5
解析：B选项中，27＝ log27＝－.
故选ACD．
答案：ACD
2．若a2 017＝b(a＞0，且a≠1)，则( )
A．logab＝2 017 B．logba＝2 017
C．log2 017a＝b D．log2 017b＝a
解析：若a2 017＝b(a＞0，且a≠1)，则2 017＝logab.
答案：A
3．已知logx＝3，则x＝________.
解析：因为logx＝3，所以x＝3，
所以x＝＝.
答案：
研习1 对数的有关概念
[典例1] (1)若b＝a3(a>0且a≠1)，则有( )
A．loga3＝b B．logab＝3
C．logb3＝a D．logba＝3
[思路点拨] 对数与指数互化 将指数式化为对数式，将对数式化为指数式，互化过程中底数保持不变．
(2)若对数log(x－1)(4x－5)有意义，则x的取值范围是( )
A． B．
C．∪(2，＋∞) D．[2,3]
(3)将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式：
①2－7＝；②log32＝－5；
③lg 1 000＝3；④ln x＝2.
(1)[答案] B
(2)[答案] C
(3)[解] ①由2－7＝，可得log2＝－7.
②由log32＝－5，可得－5＝32.
③由lg 1 000＝3，可得103 ＝1 000.
④由ln x＝2，可得e2＝x.
巧归纳
1．指数式与对数互化的方法
(1)解答此类问题的关键是要搞清a，x，N在指数式和对数式中的位置．
(2)若是指数式化为对数式，关键是看清指数是什么，再写成对数式；若是对数式化为指数式，则要看清真数是什么，再写成指数式．
2．巧解对数式中的求值问题
(1)将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题．
(2)利用幂的运算性质和指数函数的性质计算.
[练习1] 先将下列式子改写为指数式，再求各式中x的值．
(1)log2x＝－；(2)logx3＝－.
解：(1)由log2x＝－，得2＝x，
∴x＝2.
(2)由logx3＝－，得x＝3，∴x＝.
研习2 对数的基本性质
[典例2] (1)求下列各式的值：
①log327＝________；
②log0.51＝________；
③ln e＝________.
(2)解方程：
①log(2x2－1)(3x2＋2x－1)＝1；
②log2[log3(log2x)]＝1.
[思路点拨] (1)利用对数恒等式化简，解方程．(2)利用对数的性质logaa＝1，loga1＝0求解．
(1)[答案] ①3 ②0 ③
(2)[解] ①由log(2x2－1)(3x2＋2x－1)＝1，得
解得x＝－2.
②由log2[log3(log2x)]＝1，∴log3(log2x)＝2，
∴log2x＝9，∴x＝29.
巧归纳
1．巧解对数式中的求值问题
(1)基本思想
在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解．
(2)基本方法
①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题．
②利用幂的运算性质和指数的性质计算．
2．利用指数与对数的互化求变量值的策略
(1)若已知的式子为指数式，则直接利用指数运算求值．
(2)若已知的式子为对数式，则先把对数式化为指数式，再求值．
[练习2] 若loga3＝m，loga5＝n，则a2m＋n的值是( )
A．15 B．75
C．45 D．225
答案：C
研习3 对数恒等式的简单应用
[典例3] 计算：
(1)7(1－log75)；
(2)4 (log29－log25)；
(3)31＋log36－24＋log23＋103lg 3＋log34.
[思路点拨] 利用指数幂的运算性质和对数恒等式化简求值．
[解] (1)原式＝＝.
(2)原式＝2(log29－log25)＝＝.
(3)原式＝3×3 log36－24×2 log23＋(10lg 3)3＋3－2 log34
＝3×6－16×3＋33＋(3 log34)－2＝18－48＋27＋＝－.
巧归纳
(1)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．
(2)logaan＝n(a>0，且a≠1)的应用：
①证明：设logaan＝x，则an＝ax，由指数函数的单调性知n＝x，所以logaan＝n.
②应用技巧：如果对数的真数能化为以对数的底数为底数的幂的形式，那么对数的值就是幂指数．
(3)用alogaN＝N(a>0，且a≠1)时必需注意是同底．
[练习3] 求值：(1)9log34；(2)51＋log52.
解：(1)9log34＝(32) log34＝3 log34＝4.
(2)51＋log52＝5×5 log52＝5×2＝10.
1．(多选题)下列结论正确的是( )
A．log24＝2
B．2.10.5＞2.1－1.8
C．3log32＝2
D．－ln e＝1
解析：A．log24＝2，正确；B．根据函数y＝2.1x是单调递增函数可知2.10.5＞2.1－1.8，故正确；C．根据指对恒等式可知若3 log32＝2 指对互化得l log32＝log32，故正确；D．－ln e＝－1，故不正确．
故选ABC．
答案：ABC
2．使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为( )
A．a>且a≠1 B．0C．a>0且a≠1 D．a<
解析：由题意知解得0答案：B
3．若m＝log37，则3m＋3－m＝________.
解析：因为m＝log37，所以3m＝7，则3m＋3－m＝7＋7－1＝.
答案：
4．计算：
(1)5log510－1；
(2)已知ln 2＝m，ln 3＝n，求e2m＋3n的值．
解：(1)5 log510－1＝＝＝2.
(2)e2m＋3n＝e2m·e3n＝(em)2·(en)3＝(eln 2)2·(eln 3)3＝22×33＝4×27＝108.
[示例] 对数式log(a－2)(5－a)＝b中，实数a的取值范围是( )
A．(－∞，5) B．(2,5)
C．(2，＋∞) D．(2,3)∪(3,5)
[答案] D
[解析] 由对数式的定义，得
所以2[常见误区]
错解 错因剖析
A 在阴影处只考虑了真数而忽视了底数，导致错解成a<5
B 在阴影处忽视了对数的底数不为1，导致错解成2[防范措施] 注重隐含条件的挖掘
在解决与对数有关的问题时，要重视底数大于0且不等于1，真数大于0的条件要求，在进行对数的求值、运算或求取值范围时不能忽略这些隐含条件，如本例中所求的a既在底数的位置又在真数的位置，故a－2要满足大于0且不等于1,5－a大于0的限制．
课时作业(二十四) 对数的概念
一、选择题
1．(多选题)已知x＝log43，则下列计算正确的有( )
A．2x＝ B．2－x＝
C．(2x－2－x)2＝ D．4x＝9
解析：因为x＝log43，
所以4x＝3，故2x＝，2－x＝，(2x－2－x)2＝2＝2＝.
因此选项A，B，C正确，D不正确，
故选ABC．
答案：ABC
2．(多选题)有以下四个结论，正确的是( )
A．lg(lg 10)＝0
B．ln(ln e)＝0
C．若10＝lg x，则x＝10
D．若e＝ln x，则x＝e2
解析：lg(lg 10)＝lg 1＝0，ln(ln e)＝ln 1＝0，故A、B正确；若10＝lg x，则x＝1010，故C错误；若e＝ln x，则x＝ee，故D错误．
答案：AB
3．如果f(10x)＝x，则f(3)＝( )
A．log310 B．lg 3
C．103 D．310
解析：设10x＝3，则x＝lg 3，∴f(3)＝f(10lg 3)＝lg 3.
答案：B
4．方程2log3x＝的解是( )
A． B．
C． D．9
解析：原方程即为2 log3x＝2－2，
∴log3x＝－2，∴x＝3－2＝.
答案：A
二、填空题
5．log6[log4(log381)]＝________.
解析：原式＝log6[log4(log334)]＝log6(log44)＝log61＝0.
答案：0
6．已知lg a＝2.431 0，lg b＝1.431 0，则＝________.
解析：由题意得，a＝102.431 0，b＝101.431 0，
∴＝＝101.431 0 －2.431 0＝10－1＝.
答案：
7．已知x2－6x＋y2＋4y＋13＝0，则log(x－y)(x＋y)的值是________．
解析：由x2－6x＋y2＋4y＋13＝0，得x2－6x＋9＋y2＋4y＋4＝0，即(x－3)2＋(y＋2)2＝0，所以x＝3，y＝－2.故log(x－y)(x＋y)＝log51＝0.
答案：0
三、解答题
8．求下列各式的值：
(1)lg 1；
(2)log(2－ )(2＋)－1；
(3)10lg 3－log81＋πlogπ6；
(4)22＋log23＋32－log39.
解：(1)∵100＝1，∴lg 1＝0.
(2)∵(2＋)－1＝＝2－，
∴log(2－)(2＋)－1＝log(2－)(2－)＝1.
(3)10lg 3－log81＋πlogπ6＝3－0＋6＝9.
(4)22＋log23＋32－log39＝22×2 log23＋
＝22×3＋＝12＋1＝13.
9．已知x＝log23，求的值．
解：由x＝log23，得2x＝3,2－x＝，
∴＝＝.
10．若logx＝m，logy＝m＋2，求的值．
解：logx＝m，∴m＝x，x2＝2m.
logy＝m＋2，∴m＋2＝y，y＝2m＋4.
∴＝＝2m－(2m＋4)＝－4＝16.
11．已知α，β是方程x2－x＋2＝0的两个实根，求log2的值．
解：∵α，β是方程x2－x＋2＝0的两个实根，
∴α＋β＝，αβ＝2，
∴＝＝＝＝2，
∴原式所求值转化为求log22.
令log22＝x，则2x＝2＝2，
∴x＝，∴log2＝.
4．3.2 对数的运算法则
新课程标准 新学法解读
1.理解对数的运算性质，能进行简单的对数运算． 2．知道对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算. 通过本节课的学习，掌握对数的运算性质及换底公式，会用对数的运算性质进行化简求值，进一步提升数学抽象与数学运算素养.
笔记 教材
知识点一 对数的运算性质
若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(推广：loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk)
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
知识点二 换底公式
1．对数换底公式
logab＝(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0)．
2．对数换底公式常用结论
(1)logab·logba＝1(a＞0，且a≠1，b＞0且b≠0)；
(2)loganbm＝logab(a＞0且a≠1，b＞0)．
自我 检测
1．计算lg 4＋lg 25＝( )
A．2 B．3
C．4 D．10
解析：原式＝lg(4×25)＝lg102＝2.
答案：A
2．(多选题)已知ab＞0，给出下面四个等式，其中不正确的有( )
A．lg(ab)＝lg a＋lg b
B．lg＝lg a－lg b
C．lg2＝lg
D．lg(ab)＝
解析：当a＜0，b＜0时，lg(ab)＝lg(－a)＋lg(－b)，lg＝lg(－a)－lg(－b)，故A，B错；当ab＞0时，＞0，lg2＝lg，故C正确；当ab＝1时，logab10无意义，故D错误．
答案：ABD
3．计算(log54)·(log1625)＝( )
A．2 B．1
C． D．
解析：(log54)·(log1625)＝×＝×＝1.
答案：B
4．lg ＝________.
解析：lg＝lg 10＝lg 10＝.
答案：
5．lg 5转化为自然对数为________．
解析：利用换底公式知：lg 5＝.
答案：
研习1 对数的运算性质
[典例1] 计算下列各式的值：
(1)lg 14－2lg＋lg 7－lg 18；
(2)；
(3)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
[思路点拨] 灵活运用对数的运算性质求解．
[解] (1)原式＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.
(2)原式＝
＝
＝＝.
(3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
巧归纳
(1)对于同底的对数的化简，常用方法是：
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．
②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．
(2)对数式的化简，求值一般是正用或逆用公式．要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．
[练习1] 求下列各式的值：
(1)(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25；
(2)22＋log25－2log23·log35.
解：(1)∵lg 2＋lg 5＝lg(2×5)＝lg 10＝1，
∴原式＝(lg 2)2＋lg 2·lg(2×52)＋lg 52
＝(lg 2)2＋lg 2·(lg 2＋2lg 5)＋2lg 5
＝(lg 2)2＋(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋21g 5
＝2(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋2lg 5
＝2lg 2·(lg 2＋lg 5)＋2lg 5
＝2lg 2＋2lg 5
＝2(lg 2＋lg 5)＝2.
(2) 22＋log25－2log23·log35＝22×2log25－2·＝4×5－2 log25＝20－5＝15.
研习2 利用换底公式化简和求值
[典例2] (1)若log34·log48·log8m＝log416，则m＝________.
(2)(2021·天津卷)若2a＝5b＝10，则＋＝( )
A．－1 B．lg 7
C．1 D．log710
(1)[答案] 9
(2)[解析] ∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，
∴＋＝＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.
故选C．
[答案] C
巧归纳
换底公式的作用是将不同底的对数式转化成同底的对数式，将一般对数转化成自然对数或常用对数来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式．
(1)利用换底公式化简求值时应注意的问题：
①针对具体问题，选择恰当的底数．
②注意换底公式与对数运算法则结合使用．
③换底公式的正用与逆用．
④恰当应用换底公式的两个常用结论．
(2)利用换底公式计算、化简、求值的思路：
[练习2] (1)若x＝60，则＋＋的值为( )
A．1 B．
C．2 D．－1
(2)已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645的值．
(1)解析：＋＋＝log603＋log604＋log605＝log60(3×4×5)＝1.
答案：A
(2)解：解法一：∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.
于是log3645＝＝＝＝＝.
解法二：∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b.
于是log3645＝＝＝.
研习3 对数的实际应用
[典例3] 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的？(结果保留1个有效数字，lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
[思路点拨] 由题目可知经过一年物质剩余的质量约是原来的75%，由此首先找到剩余量与年数的关系，再利用对数计算．
[解] 设物质的原有量为a，经过t年，该物质的剩余量是原来的，由题意可得a·0.75t＝a，
∴t＝，两边取以10为底的对数，得lgt＝lg.
∴t(lg 3－2lg 2)＝－lg 3，
∴t＝≈≈4(年)．
巧归纳
解决对数应用题的一般步骤
提醒：准确建模是解对数应用题的关键．
[练习3] (2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为(≈1.259)( )
A．1.5 B．1.2
C．0.8 D．0.6
解析：由L＝5＋lg V，当L＝4.9时，
lg V＝－0.1，则V＝10－0.1＝10－＝≈≈0.8.
故选C．
答案：C
1．(多选题)若a>0，a≠1，x>0，y>0，x>y，下列式子错误的为( )
A．logax·logay＝loga(x＋y)
B．logax－logay＝loga(x－y)
C．loga＝logax÷logay
D．loga(xy)＝logax·logay
解析：由对数运算性质可知ABCD都错误．
答案：ABCD
2.的值是( )
A．2 B．
C．1 D．
解析：＝＝＝.
答案：D
3．计算3log32＋lg－lg 5的结果是________．
解析：原式＝2－lg 2－lg 5＝2－1＝1.
答案：1
4．设lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则log4的值为________．
解析：由lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，得
lg(xy)＝lg(x－2y)2，因此xy＝(x－2y)2，
即x2－5xy＋4y2＝0，得＝4或＝1，
又∵x＞0，y＞0，x－2y＞0，∴≠1，
∴log4＝1.
答案：1
5．计算：
(1)3log72－log79＋2log7；
(2)(log43＋log83).
解：(1)原式＝log78－log79＋log7
＝log78－log79＋log79－log78＝0.
(2)原式＝·＝·＝＋＝.
巧用辅助量化指数式为对数式 方法技巧
对数的概念实质上是给出了对数式与指数式间的关系，对此内容的考查往往是依据指数式与对数式的互化进行求值，如果条件涉及指数幂的连等式时，常引入辅助变量，易于沟通指对数间的关系，简化求解过程．
[示例] 已知2x＝3y＝6z，证明＝＋或x＝y＝z.
[思路点拨] 要想证明＝＋或x＝y＝z，需将条件中的x，y，z表示出来，引入参数2x＝3y＝6z＝k，进行指数式与对数式的互化．
[证明] 令2x＝3y＝6z＝k＞0，
则x＝log2k，y＝log3k，z＝log6k.
(1)若k＝1时，则x＝y＝z＝0；
(2)若k≠1时，则＝logk2，＝logk3，＝logk6.
∴＋＝logk2＋logk3＝logk6，
故＝＋.
综上，知＝＋或x＝y＝z.
[题后反思] 1.巧妙引入辅助量k，顺利完成指数与对数的转化是解题的关键．
2．注意分类讨论思想的应用以及logab·logba＝1的应用.
课时作业(二十五) 对数的运算法则
一、选择题
1．2log510＋log50.25＝( )
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：2log510＋log50.25＝log5102＋log50.25＝log5(102×0.25)＝log525＝2.
答案：C
2．(多选题)实数a，b满足2a＝5b＝10，则下列关系错误的是( )
A．＋＝2 B．＋＝1
C．＋＝2 D．＋＝
解析：∵2a＝5b＝10，∴a＝log2 10，b＝log5 10，
∴＋＝2lg 2＋lg 5＝lg 20，＋＝lg 2＋2lg 5＝lg 50，＋＝lg 2＋lg 5＝lg(2×5)＝1，故B正确，A，C，D错误．
答案：ACD
3．(多选题)方程xlg x－2＝1 000的解为( )
A．10 B．
C．1 000 D．
解析：对xlg x－2＝1 000两边取以10为底的对数，得lg xlg x－2＝lg 1 000＝3，即(lg x－2)lg x＝3，
解得lg x＝－1或lg x＝3，所以x＝或x＝1 000.
故选BC．
答案：BC
4．已知lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则2＝( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：由题意得，lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝，
则2＝(lg a－lg b)2＝(lg a＋lg b)2－4lg a·lg b＝22－4×＝2.
答案：C
5．设f(n)＝logn＋1(n＋2)(n∈N＋)，现把满足乘积f(1)f(2)……f(n)为整数的n叫做“贺数”，则在区间(1,2 015)内所有“贺数”的个数是( )
A．9 B．10
C．29 D．210
解析：因为f(n)＝logn＋1(n＋2)(n∈N＋)，所以f(1)f(2)…f(n)，即f(1)＝log23，f(2)＝log34，f(3)＝log45，…，则a1a2…an＝log231og341og45…log(n＋1)(n＋2)＝log2(n＋2)，当n＋2为2的整数次幂时，a1a2…an为整数，则区间(1,2 015)内，当n＝2,6,14,30,62,126,254,510，1 022时，此时a1a2…an为整数，所以区间(1,2 015)内所有“贺数”有9个，故选A．
答案：A
6．已知log32＝a,3b＝5，则log3用a，b表示为( )
A．(a＋b＋1) B．(a＋b)＋1
C．(a＋b＋1) D．a＋b＋1
解析：因为log32＝a,3b＝5，所以log35＝b，log310＝a＋b，则log3＝(1＋log310)＝(1＋a＋b)，故选A．
答案：A
二、填空题
7．计算：27＋lg 0.01－ln ＋3log32＝________.
解析：原式＝－2－＋2＝－.
答案：－
8．已知2x＝3y，则＝________.
答案：log23
9．已知log1227＝a，则log616＝________.
解析：因为log1227＝＝＝a，所以log32＝，所以log616＝＝＝＝.
答案：
10.×(lg 32－lg 2)＝________.
解析：原式＝×lg＝×lg 24＝4.
答案：4
三、解答题
11．2018年我国国民生产总值为a亿元，如果平均每年增长8%，那么过多少年后国民生产总值是2018年的2倍(lg 2≈0.301 0，lg 1.08≈0.033 4, 精确到1年)．
解：设经过x年国民生产总值为2018年的2倍．
经过1年，国民生产总值为a(1＋8%)，
经过2年，国民生产总值为a(1＋8%)2，
…
经过x年，国民生产总值为a(1＋8%)x＝2a，
∴1.08x＝2，两边取常用对数，得x·lg 1.08＝lg 2.
∴x＝≈≈9.
故约经过9年，国民生产总值是2018年的2倍．
12．若a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．
解：∵a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，
∴lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝.
∴lg(ab)·(logab＋logba)
＝(lg a＋lg b)·
＝(lg a＋lg b)·
＝(lg a＋lg b)·
＝2×＝12，
即lg(ab)·(logab＋logba)＝12.
13．给出问题：已知2lg(x－2y)＝lg x＋lg y，求的值，有同学给出如下解答：
由2lg(x－2y)＝lg x＋lg y lg(x－2y)2＝lg(xy)，
∴(x－2y)2＝xy＞0，即x2－5xy＋4y2＝0 (x－y)(x－4y)＝0，所以＝1或＝4.
该同学解答过程是否正确？若不正确，试举例说明，并予以更正．
解：举反例：当x＝y＝1时，＝1，且满足xy＞0，
但x－2y＝－1＜0，lg(x－2y)无意义，即已知等式不成立；正确解答如下：
由条件得
则
解得x＝4y，即＝4.
4．3.3 对数函数的图象与性质
第1课时 对数函数的图象与性质
新课程标准 新学法解读
1.理解对数函数的概念． 2．初步掌握对数函数的图象和简单性质. 理解对数函数的概念及对数函数的图象和简单性质，发展学生的数学抽象素养、直观想象素养及数学运算素养.
笔记 教材
知识点一 对数函数
一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
指数函数y＝ax和对数函数y＝logax互为反函数．
知识点二 对数函数的图象与性质
a>1 0图象
性 质 定义域 (0，＋∞)
值域 R
关键点 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
函数值 的变化 当01时，y>0 当00， 当x>1时，y<0
单调性 在(0，＋∞)上 是增函数 在(0，＋∞)上 是减函数
对称性 函数y＝logax和函数y＝logx的图象关于x轴对称
自我 检测
1．(多选题)给出下列函数，其中不是对数函数的是( )
A．y＝logx2
B．y＝log3(x－1)
C．y＝logx＋1x
D．y＝logπx
解析：AB不是对数函数，因为对数的真数不是只含有自变量x；C不是对数函数，因为对数的底数不是常数；D是对数函数．
答案：ABC
2．若m＝0.52，n＝20.5，p＝log20.5，则( )
A．n＞m＞p B．n＞p＞m
C．m＞n＞p D．p＞n＞m
解析：m＝0.52＝，n＝20.5＝＞1，p＝log20.5＝－1，则n＞m＞p.
答案：A
3．函数y＝log2(x＋1)的定义域是________．
解析：要使函数y＝log2(x＋1)有意义，则x＋1＞0，即x＞－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)．
答案：(－1，＋∞)
4．函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0且a≠1)恒过定点________．
解析：因为函数y＝logax(a＞0且a≠1)恒过定点(1,0)，所以函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0且a≠1)恒过定点(2,2)．
答案：(2,2)
研习1 对数函数的概念
[典例1] (1)下列给出的函数：①y＝log5x＋1；②y＝logax2(a>0，且a≠1)；③y＝log(－1)x；④y＝log3x；⑤y＝logx(x>0，且x≠1)；⑥y＝logx.其中是对数函数的为( )
A．③④⑤ B．②④⑥
C．①③⑤⑥ D．③④⑥
(2)已知对数函数的图象过点，则f(4)＝________.
[思路点拨] (1)判断函数为对数函数 对数函数的定义．(2)利用对数函数的定义求解，对数前面的系数为1，对数的底数为大于0且不等于1的常数，真数为x.
(1)[答案] D
(2)[解析] 设f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，由图象过点，则有－4＝loga，解得a＝2，故函数解析式为f(x)＝log2x，则f(4)＝log24＝2.
[答案] 2
巧归纳
对数函数的判断
判断一个函数是不是对数函数，必须严格符合形如y＝logax(a＞0，且a≠1)的形式，即满足以下(共36张PPT)
综合微评(四)
时间：120分钟 满分：150分
2门世2有
3厚