【高考押题卷】2025年高考数学热点难点考前冲刺 二项式定理（含解析）
文档属性
| 名称 | 【高考押题卷】2025年高考数学热点难点考前冲刺 二项式定理（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 56.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-27 11:56:23 | ||
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文档简介
高考数学考前冲刺押题预测 二项式定理
一．选择题（共8小题）
1．（2024 新课标Ⅰ）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2024 北京）在（2）5的展开式中，x2的系数为（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣10 D．10
3．（2024 湖南）已知（）5的展开式中含的项的系数为30，则a＝（ ）
A． B． C．6 D．﹣6
4．（2024 新课标）（x）（2x）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）
A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．40
5．（2024 全国卷Ⅰ）在的展开式中，x4的系数为（ ）
A．﹣120 B．120 C．﹣15 D．15
6．（2024 全国）（21）6的展开式中x的系数是（ ）
A．120 B．60 C．30 D．15
7．（2024 陕西）二项式（x+1）n（n∈N+）的展开式中x2的系数为15，则n＝（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
8．（2024 全国Ⅰ卷模拟）（x）（2x）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为（ ）
A．﹣20 B．﹣40 C．20 D．40
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 秀屿区校级期末）对任意实数x，有．则下列结论成立的是（ ）
A．a2＝﹣144
B．a0＝1
C．a0+a1+a2+…+a9＝1
D．
（多选）10．（2024 璧山区校级期中）已知（2x﹣3）（x﹣2）8＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+a3（x﹣1）3+…+a9（x﹣1）9，则下列结论正确的是（ ）
A．a1+a2+…+a9＝1
B．a5＝84
C．
D．a1+2a2+…+9a9＝0
（多选）11．（2024 泰安模拟）若（1﹣2x）2009＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2009x2009（x∈R），则（ ）
A．a0＝1
B．a1+a3+a5+…+a2009
C．a0+a2+a4+…+a2008
D．1
（多选）12．（2024 凉州区校级期末）在（2x﹣1）8的展开式中，下列说法正确的有（ ）
A．展开式中所有项的系数和为28
B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128
C．展开式中二项式系数的最大项为第五项
D．展开式中含x3项的系数为﹣448
三．填空题（共4小题）
13．（2024 天津）（2x）8的展开式中的常数项为 ．
14．（2024 天津）在（x）5的展开式中，x2的系数为 ．
15．（2024 新课标Ⅲ）（x2）6的展开式中常数项是 （用数字作答）．
16．（2024 浙江）二项展开式（1+2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a4＝ ，a1+a3+a5＝ ．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 凉州区校级期末）在二项式（2x）n的展开式中．
（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；
（2）若展开式前三项的二项式系数的和等于79，求展开式中系数最大的项．
18．（2024 南通模拟）已知（1+x）2n＝a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n．
（1）求a1+a2+a3+…+a2n的值；
（2）求的值．
19．（2024 海林市校级期末）已知（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，求：
（1）a1+a2+a3+…+a7；
（2）a1+a3+a5+a7；
（3）a0+a2+a4+a6；
（4）|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|．
20．（2024 四川）设函数（n∈N，且n＞1，x∈N）．
（Ⅰ）当x＝6时，求的展开式中二项式系数最大的项；
（Ⅱ）对任意的实数x，证明f′（x）（f′（x）是f（x）的导函数）；
（Ⅲ）是否存在a∈N，使得ank＜（a+1）n恒成立？若存在，试证明你的结论并求出a的值；若不存在，请说明理由．
高考数学考前冲刺押题预测 二项式定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024 新课标Ⅰ）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】二项式定理．
【专题】二项式定理．
【答案】B
【分析】根据二项式系数的性质求得a和b，再利用组合数的计算公式，解方程13a＝7b求得m的值．
【解答】解：∵m为正整数，由（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，以及二项式系数的性质可得a，
同理，由（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，可得b．
再由13a＝7b，可得137，即 137，
即 13＝7，即 13（m+1）＝7（2m+1），解得m＝6，
故选：B．
【点评】本题主要考查二项式系数的性质的应用，组合数的计算公式，属于中档题．
2．（2024 北京）在（2）5的展开式中，x2的系数为（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣10 D．10
【考点】二项式定理．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数据分析．
【答案】C
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x2的系数．
【解答】解：（2）5的展开式的通项公式为 Tr+1 （﹣2）r ，
令2，求得r＝1，可得x2的系数为 （﹣2）＝﹣10，
故选：C．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
3．（2024 湖南）已知（）5的展开式中含的项的系数为30，则a＝（ ）
A． B． C．6 D．﹣6
【考点】二项式定理．
【专题】二项式定理．
【答案】D
【分析】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为求得r，再代入系数求出结果．
【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，
Tr+1；
展开式中含的项的系数为30，
∴，
∴r＝1，并且，解得a＝﹣6．
故选：D．
【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．
4．（2024 新课标）（x）（2x）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）
A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．40
【考点】二项式定理．
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】给x赋值1求出各项系数和，列出方程求出a；将问题转化为二项式的系数和；利用二项展开式的通项公式求出通项，求出特定项的系数．
【解答】解：令二项式中的x为1得到展开式的各项系数和为1+a
∴1+a＝2
∴a＝1
∴
∴展开式中常数项为的的系数和
∵展开式的通项为Tr+1＝（﹣1）r25﹣rC5rx5﹣2r
令5﹣2r＝1得r＝2；令5﹣2r＝﹣1得r＝3
展开式中常数项为8C52﹣4C53＝40
故选：D．
【点评】本题考查求系数和问题常用赋值法、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．
5．（2024 全国卷Ⅰ）在的展开式中，x4的系数为（ ）
A．﹣120 B．120 C．﹣15 D．15
【考点】二项式定理．
【专题】计算题．
【答案】C
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为4求出x4的系数
【解答】解：在的展开式中
x4项是15x4，
故选：C．
【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．
6．（2024 全国）（21）6的展开式中x的系数是（ ）
A．120 B．60 C．30 D．15
【考点】二项式定理．
【专题】计算题；二项式定理．
【答案】B
【分析】由二项式定理及展开式的通项得：Tr+1（2）6﹣r＝26﹣r，令1，解得r＝4，则（21）6的展开式中x的系数是2260，得解．
【解答】解：由二项式（21）6的展开式的通项为Tr+1（2）6﹣r＝26﹣r，
令1，
解得r＝4，
则（21）6的展开式中x的系数是2260，
故选：B．
【点评】本题考查了二项式定理及展开式的通项，属中档题．
7．（2024 陕西）二项式（x+1）n（n∈N+）的展开式中x2的系数为15，则n＝（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【考点】二项式定理．
【专题】二项式定理．
【答案】B
【分析】由题意可得15，解关于n的方程可得．
【解答】解：∵二项式（x+1）n（n∈N+）的展开式中x2的系数为15，
∴15，即15，解得n＝6，
故选：B．
【点评】本题考查二项式定理，属基础题．
8．（2024 全国Ⅰ卷模拟）（x）（2x）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为（ ）
A．﹣20 B．﹣40 C．20 D．40
【考点】二项展开式的通项与项的系数．
【专题】计算题；二项式定理．
【答案】D
【分析】由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x＝1，建立a的方程，解出a的值，然后再由规律求出常数项．
【解答】解：令x＝1则有1+a＝2，得a＝1，故二项式为（x）（2x）5
故其常数项为﹣22×C53+23C52＝40．
故选：D．
【点评】本题考查二项式系数的性质，解题关键是掌握二项式系数的公式，以及根据二项式的形式判断出常数项的取法，理解题意，作出正确判断很重要．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 秀屿区校级期末）对任意实数x，有．则下列结论成立的是（ ）
A．a2＝﹣144
B．a0＝1
C．a0+a1+a2+…+a9＝1
D．
【考点】二项式定理．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】ACD
【分析】把所给的二项式变形，利用二项展开式的通项公式，求得a2；再给x赋值，求得a0、a0+a1+a2+…+a9、a0﹣a1+a2+…﹣a9，从而得出结论．
【解答】解：对任意实数x，
有[﹣1+2（x﹣1）]9，
∴a222＝﹣144，故A正确；
故令x＝1，可得a0＝﹣1，故B不正确；
令x＝2，可得a0+a1+a2+…+a9＝1，故C正确；
令x＝0，可得 a0﹣a1+a2﹣…﹣a9＝﹣39，故D正确；
故选：ACD．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．
（多选）10．（2024 璧山区校级期中）已知（2x﹣3）（x﹣2）8＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+a3（x﹣1）3+…+a9（x﹣1）9，则下列结论正确的是（ ）
A．a1+a2+…+a9＝1
B．a5＝84
C．
D．a1+2a2+…+9a9＝0
【考点】二项式定理．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】ACD
【分析】注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：∵（2x﹣3）（x﹣2）8＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+a3（x﹣1）3+…+a9（x﹣1）9，
令x＝1，得a0＝﹣1，
令x＝2，得a0+a1+a2+…+a9＝0，所以a1+a2+…+a9＝1，故A正确；
由（2x﹣3）（x﹣2）8＝[2（x﹣1）﹣1][（x﹣1）﹣1]8，
所以，故B错误；
令，得，
所以，又a0＝﹣1，所以，故C正确；
设f（x）＝（2x﹣3）（x﹣2）8＝a0+a1（x﹣1），
则f'（x）＝2（x﹣2）8+8（2x﹣3），
令x＝2，得a1+2a2+…+9a9＝0，故D正确，
故选：ACD．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，属于中档题．
（多选）11．（2024 泰安模拟）若（1﹣2x）2009＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2009x2009（x∈R），则（ ）
A．a0＝1
B．a1+a3+a5+…+a2009
C．a0+a2+a4+…+a2008
D．1
【考点】二项式定理．
【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】ACD
【分析】分别对x赋值即可求解结论．
【解答】解：由题意，当，
当x＝1时，，
当x＝﹣1时，，
所以，，
当
所以．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．也是易错题目．
（多选）12．（2024 凉州区校级期末）在（2x﹣1）8的展开式中，下列说法正确的有（ ）
A．展开式中所有项的系数和为28
B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128
C．展开式中二项式系数的最大项为第五项
D．展开式中含x3项的系数为﹣448
【考点】二项式定理．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数据分析．
【答案】BCD
【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：对于（2x﹣1）8的展开式，令x＝1，可得A展开式中所有项的系数和为1，故A不正确．
展开式中奇数项的二项式系数和为，故B正确；
易知展开式中，二项式系数的最大项为第五项，故C正确；
由通项公式可得展开式中含x3的项为，故D正确，
故选：BCD．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024 天津）（2x）8的展开式中的常数项为 28 ．
【考点】二项展开式的通项与项的系数．
【专题】计算题；定义法；二项式定理；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】本题可根据二项式的展开式的通项进行计算，然后令x的指数为0即可得到r的值，代入r的值即可算出常数项．
【解答】解：由题意，可知：
此二项式的展开式的通项为：
Tr+1（2x）8﹣r 28﹣r （）r x8﹣r （）r （﹣1）r28﹣4r x8﹣4r．
∴当8﹣4r＝0，即r＝2时，Tr+1为常数项．
此时T2+1 （﹣1）228﹣4×2＝28．
故答案为：28．
【点评】本题主要考查二项式的展开式的通项，通过通项中未知数的指数为0可算出常数项．本题属基础题．
14．（2024 天津）在（x）5的展开式中，x2的系数为 ．
【考点】二项式定理．
【专题】计算题；方程思想；数学模型法；二项式定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为2求得r值，则答案可求．
【解答】解：（x）5的二项展开式的通项为．
由，得r＝2．
∴x2的系数为．
故答案为：．
【点评】本题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．
15．（2024 新课标Ⅲ）（x2）6的展开式中常数项是 240 （用数字作答）．
【考点】二项式定理．
【专题】二项式定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．
【解答】解：由于（x2）6的展开式的通项公式为 Tr+1 2r x12﹣3r，
令12﹣3r＝0，求得r＝4，故常数项的值等于 24＝240，
故答案为：240．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
16．（2024 浙江）二项展开式（1+2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a4＝ 80 ，a1+a3+a5＝ 122 ．
【考点】二项式定理．
【专题】计算题；转化思想；分析法；二项式定理；运算求解．
【答案】80；122．
【分析】直接利用二项式定理的通项公式，求解即可．
【解答】解：（1+2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a480．
a1+a3+a522325＝122．
故答案为：80；122．
【点评】本题考查二项式定理的应用，只有二项式定理系数以及项的系数的区别，是基本知识的考查．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 凉州区校级期末）在二项式（2x）n的展开式中．
（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；
（2）若展开式前三项的二项式系数的和等于79，求展开式中系数最大的项．
【考点】二项式定理．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）第k+1项的二项式系数为 nk，由题意可得关于n的方程，求出n．
而二项式系数最大的项为中间项，n为奇数时，中间两项二项式系数相等；n为偶数时，中间只有一项．
（2）由展开式前三项的二项式系数和等于79，可得关于n的方程，求出n．
而求展开式中系数最大的项时，可通过解不等式组求得，假设Tk+1项的系数最大，Tk+1项的系数为rk，则有
【解答】解：（1）∵ n4+ n6＝2 n5，
∴n2﹣21n+98＝0，
∴n＝7或n＝14．
当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，
∴T4的系数＝C73（）423，
T5的系数＝C74（）324＝70．
当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8．
∴T8的系数＝C147（）727＝3432．
（2）由 n0+ n1+ n2＝79，可得n＝12，设Tk+1项的系数最大．
∵（2x）12＝（）12（1+4x）12，
∴
∴9.4≤k≤10.4，∴k＝10，
∴展开式中系数最大的项为T11．
T11＝（）12C1210410x10＝16896x10．
【点评】本题考查二项展开式中二项式系数和与系数和问题，难度较大，易出错．要正确区分这两个概念．
18．（2024 南通模拟）已知（1+x）2n＝a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n．
（1）求a1+a2+a3+…+a2n的值；
（2）求的值．
【考点】二项式定理．
【专题】二项式定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）在所给的等式中，令x＝0得，a0＝1；令x＝1得，a0+a1+a2+a3+…+a2n＝22n，从而求得a1+a2+a3+…+a2n的值．
（2）由题意可得ak，利用组合数的性质可得 （），可得 （）．要求的式子即（），消项化简可得结果．
【解答】解 （1）在（1+x）2n＝a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n中，
令x＝0得，a0＝1；令x＝1得，a0+a1+a2+a3+…+a2n＝22n．
于是a1+a2+a3+…+a2n＝22n﹣1．
（2）由题意可得ak，k＝1，2，3，…，2n，
首先考虑
，
则 （），
∴（）．
故 （）
（）（1）．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用、赋值法、组合数公式、组合数的性质．关于组合数的倒数问题一直没有涉及过，注意关注一下，属于难题．
19．（2024 海林市校级期末）已知（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，求：
（1）a1+a2+a3+…+a7；
（2）a1+a3+a5+a7；
（3）a0+a2+a4+a6；
（4）|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|．
【考点】二项式定理．
【专题】二项式定理．
【答案】（1）﹣2；（2）﹣1094；（3）1093；（4）2187．
【分析】（1）根据所给的等式可得常数项a0＝1，在所给的等式中，令x＝1可得a0+a1+a2+a3+…+a7＝﹣1，从而求得a1+a2+a3+…+a7的值．
（2）在所给的等式中，分别令x＝1、x＝﹣1，可得2个等式，化简这2个等式即可求得a1+a3+a5+a7的值．
（3）用①加上②再除以2可得 a0+a2+a4+a6的值．
（4）在（1+2x）7中，令x＝1，可得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|的值．
【解答】解：（1）∵已知（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，∴常数项a0＝1．
在所给的等式中，令x＝1可得a0+a1+a2+a3+…+a7＝﹣1，
∴a1+a2+a3+…+a7＝﹣2．
（2）在所给的等式中，令x＝1可得a0+a1+a2+a3+…+a7＝﹣1①，
令x＝﹣1可得a0﹣a1+a2﹣a3+…﹣a7＝37②，
用①减去②再除以2可得 a1+a3+a5+a7＝﹣1094．
（3）用①加上②再除以2可得 a0+a2+a4+a6＝1093．
（4）在（1+2x）7中，令x＝1，可得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|＝37＝2187．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于中档题．
20．（2024 四川）设函数（n∈N，且n＞1，x∈N）．
（Ⅰ）当x＝6时，求的展开式中二项式系数最大的项；
（Ⅱ）对任意的实数x，证明f′（x）（f′（x）是f（x）的导函数）；
（Ⅲ）是否存在a∈N，使得ank＜（a+1）n恒成立？若存在，试证明你的结论并求出a的值；若不存在，请说明理由．
【考点】二项式定理；函数恒成立问题；基本初等函数的导数；组合及组合数公式．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用二项式系数的特点，找到展开式系数最大的项，即第四项；
（2）利用基本不等式适当放缩进行证明或函数思想进行转化与证明；
（3）探究性问题处理不等式问题，要注意对展开式系数进行适当放缩从而达到证明的目的．
【解答】解：（Ⅰ）展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是
（Ⅱ）证法一：因f（2x）+f（2）
2f′（x），
故f′（x）．
证法二：f（2x）+f（2）
，
而，
故只需对和进行比较．
令g（x）＝x﹣lnx（x≥1），有
由，得x＝1
因为当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当1＜x＜+∞时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以在x＝1处g（x）有极小值1
故当x＞1时，g（x）＞g（1）＝1，
从而有x﹣lnx＞1，亦即x＞lnx+1＞lnx
故有恒成立．
所以f（2x）+f（2）≥2f′（x），原不等式成立．
（Ⅲ）对m∈N，且m＞1
有
＜3；
又因0（k＝2，3，…，m），故
∵，从而有成立，
即存在a＝2，使得恒成立．
【点评】本题考查函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法．考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识．
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一．选择题（共8小题）
1．（2024 新课标Ⅰ）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2024 北京）在（2）5的展开式中，x2的系数为（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣10 D．10
3．（2024 湖南）已知（）5的展开式中含的项的系数为30，则a＝（ ）
A． B． C．6 D．﹣6
4．（2024 新课标）（x）（2x）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）
A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．40
5．（2024 全国卷Ⅰ）在的展开式中，x4的系数为（ ）
A．﹣120 B．120 C．﹣15 D．15
6．（2024 全国）（21）6的展开式中x的系数是（ ）
A．120 B．60 C．30 D．15
7．（2024 陕西）二项式（x+1）n（n∈N+）的展开式中x2的系数为15，则n＝（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
8．（2024 全国Ⅰ卷模拟）（x）（2x）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为（ ）
A．﹣20 B．﹣40 C．20 D．40
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 秀屿区校级期末）对任意实数x，有．则下列结论成立的是（ ）
A．a2＝﹣144
B．a0＝1
C．a0+a1+a2+…+a9＝1
D．
（多选）10．（2024 璧山区校级期中）已知（2x﹣3）（x﹣2）8＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+a3（x﹣1）3+…+a9（x﹣1）9，则下列结论正确的是（ ）
A．a1+a2+…+a9＝1
B．a5＝84
C．
D．a1+2a2+…+9a9＝0
（多选）11．（2024 泰安模拟）若（1﹣2x）2009＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2009x2009（x∈R），则（ ）
A．a0＝1
B．a1+a3+a5+…+a2009
C．a0+a2+a4+…+a2008
D．1
（多选）12．（2024 凉州区校级期末）在（2x﹣1）8的展开式中，下列说法正确的有（ ）
A．展开式中所有项的系数和为28
B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128
C．展开式中二项式系数的最大项为第五项
D．展开式中含x3项的系数为﹣448
三．填空题（共4小题）
13．（2024 天津）（2x）8的展开式中的常数项为 ．
14．（2024 天津）在（x）5的展开式中，x2的系数为 ．
15．（2024 新课标Ⅲ）（x2）6的展开式中常数项是 （用数字作答）．
16．（2024 浙江）二项展开式（1+2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a4＝ ，a1+a3+a5＝ ．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 凉州区校级期末）在二项式（2x）n的展开式中．
（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；
（2）若展开式前三项的二项式系数的和等于79，求展开式中系数最大的项．
18．（2024 南通模拟）已知（1+x）2n＝a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n．
（1）求a1+a2+a3+…+a2n的值；
（2）求的值．
19．（2024 海林市校级期末）已知（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，求：
（1）a1+a2+a3+…+a7；
（2）a1+a3+a5+a7；
（3）a0+a2+a4+a6；
（4）|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|．
20．（2024 四川）设函数（n∈N，且n＞1，x∈N）．
（Ⅰ）当x＝6时，求的展开式中二项式系数最大的项；
（Ⅱ）对任意的实数x，证明f′（x）（f′（x）是f（x）的导函数）；
（Ⅲ）是否存在a∈N，使得ank＜（a+1）n恒成立？若存在，试证明你的结论并求出a的值；若不存在，请说明理由．
高考数学考前冲刺押题预测 二项式定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024 新课标Ⅰ）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】二项式定理．
【专题】二项式定理．
【答案】B
【分析】根据二项式系数的性质求得a和b，再利用组合数的计算公式，解方程13a＝7b求得m的值．
【解答】解：∵m为正整数，由（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，以及二项式系数的性质可得a，
同理，由（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，可得b．
再由13a＝7b，可得137，即 137，
即 13＝7，即 13（m+1）＝7（2m+1），解得m＝6，
故选：B．
【点评】本题主要考查二项式系数的性质的应用，组合数的计算公式，属于中档题．
2．（2024 北京）在（2）5的展开式中，x2的系数为（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣10 D．10
【考点】二项式定理．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数据分析．
【答案】C
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x2的系数．
【解答】解：（2）5的展开式的通项公式为 Tr+1 （﹣2）r ，
令2，求得r＝1，可得x2的系数为 （﹣2）＝﹣10，
故选：C．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
3．（2024 湖南）已知（）5的展开式中含的项的系数为30，则a＝（ ）
A． B． C．6 D．﹣6
【考点】二项式定理．
【专题】二项式定理．
【答案】D
【分析】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为求得r，再代入系数求出结果．
【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，
Tr+1；
展开式中含的项的系数为30，
∴，
∴r＝1，并且，解得a＝﹣6．
故选：D．
【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．
4．（2024 新课标）（x）（2x）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）
A．﹣40 B．﹣20 C．20 D．40
【考点】二项式定理．
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】给x赋值1求出各项系数和，列出方程求出a；将问题转化为二项式的系数和；利用二项展开式的通项公式求出通项，求出特定项的系数．
【解答】解：令二项式中的x为1得到展开式的各项系数和为1+a
∴1+a＝2
∴a＝1
∴
∴展开式中常数项为的的系数和
∵展开式的通项为Tr+1＝（﹣1）r25﹣rC5rx5﹣2r
令5﹣2r＝1得r＝2；令5﹣2r＝﹣1得r＝3
展开式中常数项为8C52﹣4C53＝40
故选：D．
【点评】本题考查求系数和问题常用赋值法、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．
5．（2024 全国卷Ⅰ）在的展开式中，x4的系数为（ ）
A．﹣120 B．120 C．﹣15 D．15
【考点】二项式定理．
【专题】计算题．
【答案】C
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为4求出x4的系数
【解答】解：在的展开式中
x4项是15x4，
故选：C．
【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．
6．（2024 全国）（21）6的展开式中x的系数是（ ）
A．120 B．60 C．30 D．15
【考点】二项式定理．
【专题】计算题；二项式定理．
【答案】B
【分析】由二项式定理及展开式的通项得：Tr+1（2）6﹣r＝26﹣r，令1，解得r＝4，则（21）6的展开式中x的系数是2260，得解．
【解答】解：由二项式（21）6的展开式的通项为Tr+1（2）6﹣r＝26﹣r，
令1，
解得r＝4，
则（21）6的展开式中x的系数是2260，
故选：B．
【点评】本题考查了二项式定理及展开式的通项，属中档题．
7．（2024 陕西）二项式（x+1）n（n∈N+）的展开式中x2的系数为15，则n＝（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【考点】二项式定理．
【专题】二项式定理．
【答案】B
【分析】由题意可得15，解关于n的方程可得．
【解答】解：∵二项式（x+1）n（n∈N+）的展开式中x2的系数为15，
∴15，即15，解得n＝6，
故选：B．
【点评】本题考查二项式定理，属基础题．
8．（2024 全国Ⅰ卷模拟）（x）（2x）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为（ ）
A．﹣20 B．﹣40 C．20 D．40
【考点】二项展开式的通项与项的系数．
【专题】计算题；二项式定理．
【答案】D
【分析】由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x＝1，建立a的方程，解出a的值，然后再由规律求出常数项．
【解答】解：令x＝1则有1+a＝2，得a＝1，故二项式为（x）（2x）5
故其常数项为﹣22×C53+23C52＝40．
故选：D．
【点评】本题考查二项式系数的性质，解题关键是掌握二项式系数的公式，以及根据二项式的形式判断出常数项的取法，理解题意，作出正确判断很重要．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 秀屿区校级期末）对任意实数x，有．则下列结论成立的是（ ）
A．a2＝﹣144
B．a0＝1
C．a0+a1+a2+…+a9＝1
D．
【考点】二项式定理．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】ACD
【分析】把所给的二项式变形，利用二项展开式的通项公式，求得a2；再给x赋值，求得a0、a0+a1+a2+…+a9、a0﹣a1+a2+…﹣a9，从而得出结论．
【解答】解：对任意实数x，
有[﹣1+2（x﹣1）]9，
∴a222＝﹣144，故A正确；
故令x＝1，可得a0＝﹣1，故B不正确；
令x＝2，可得a0+a1+a2+…+a9＝1，故C正确；
令x＝0，可得 a0﹣a1+a2﹣…﹣a9＝﹣39，故D正确；
故选：ACD．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．
（多选）10．（2024 璧山区校级期中）已知（2x﹣3）（x﹣2）8＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+a3（x﹣1）3+…+a9（x﹣1）9，则下列结论正确的是（ ）
A．a1+a2+…+a9＝1
B．a5＝84
C．
D．a1+2a2+…+9a9＝0
【考点】二项式定理．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】ACD
【分析】注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：∵（2x﹣3）（x﹣2）8＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+a3（x﹣1）3+…+a9（x﹣1）9，
令x＝1，得a0＝﹣1，
令x＝2，得a0+a1+a2+…+a9＝0，所以a1+a2+…+a9＝1，故A正确；
由（2x﹣3）（x﹣2）8＝[2（x﹣1）﹣1][（x﹣1）﹣1]8，
所以，故B错误；
令，得，
所以，又a0＝﹣1，所以，故C正确；
设f（x）＝（2x﹣3）（x﹣2）8＝a0+a1（x﹣1），
则f'（x）＝2（x﹣2）8+8（2x﹣3），
令x＝2，得a1+2a2+…+9a9＝0，故D正确，
故选：ACD．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，属于中档题．
（多选）11．（2024 泰安模拟）若（1﹣2x）2009＝a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2009x2009（x∈R），则（ ）
A．a0＝1
B．a1+a3+a5+…+a2009
C．a0+a2+a4+…+a2008
D．1
【考点】二项式定理．
【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】ACD
【分析】分别对x赋值即可求解结论．
【解答】解：由题意，当，
当x＝1时，，
当x＝﹣1时，，
所以，，
当
所以．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．也是易错题目．
（多选）12．（2024 凉州区校级期末）在（2x﹣1）8的展开式中，下列说法正确的有（ ）
A．展开式中所有项的系数和为28
B．展开式中所有奇数项的二项式系数和为128
C．展开式中二项式系数的最大项为第五项
D．展开式中含x3项的系数为﹣448
【考点】二项式定理．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数据分析．
【答案】BCD
【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：对于（2x﹣1）8的展开式，令x＝1，可得A展开式中所有项的系数和为1，故A不正确．
展开式中奇数项的二项式系数和为，故B正确；
易知展开式中，二项式系数的最大项为第五项，故C正确；
由通项公式可得展开式中含x3的项为，故D正确，
故选：BCD．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024 天津）（2x）8的展开式中的常数项为 28 ．
【考点】二项展开式的通项与项的系数．
【专题】计算题；定义法；二项式定理；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】本题可根据二项式的展开式的通项进行计算，然后令x的指数为0即可得到r的值，代入r的值即可算出常数项．
【解答】解：由题意，可知：
此二项式的展开式的通项为：
Tr+1（2x）8﹣r 28﹣r （）r x8﹣r （）r （﹣1）r28﹣4r x8﹣4r．
∴当8﹣4r＝0，即r＝2时，Tr+1为常数项．
此时T2+1 （﹣1）228﹣4×2＝28．
故答案为：28．
【点评】本题主要考查二项式的展开式的通项，通过通项中未知数的指数为0可算出常数项．本题属基础题．
14．（2024 天津）在（x）5的展开式中，x2的系数为 ．
【考点】二项式定理．
【专题】计算题；方程思想；数学模型法；二项式定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为2求得r值，则答案可求．
【解答】解：（x）5的二项展开式的通项为．
由，得r＝2．
∴x2的系数为．
故答案为：．
【点评】本题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．
15．（2024 新课标Ⅲ）（x2）6的展开式中常数项是 240 （用数字作答）．
【考点】二项式定理．
【专题】二项式定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．
【解答】解：由于（x2）6的展开式的通项公式为 Tr+1 2r x12﹣3r，
令12﹣3r＝0，求得r＝4，故常数项的值等于 24＝240，
故答案为：240．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
16．（2024 浙江）二项展开式（1+2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a4＝ 80 ，a1+a3+a5＝ 122 ．
【考点】二项式定理．
【专题】计算题；转化思想；分析法；二项式定理；运算求解．
【答案】80；122．
【分析】直接利用二项式定理的通项公式，求解即可．
【解答】解：（1+2x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a480．
a1+a3+a522325＝122．
故答案为：80；122．
【点评】本题考查二项式定理的应用，只有二项式定理系数以及项的系数的区别，是基本知识的考查．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 凉州区校级期末）在二项式（2x）n的展开式中．
（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；
（2）若展开式前三项的二项式系数的和等于79，求展开式中系数最大的项．
【考点】二项式定理．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）第k+1项的二项式系数为 nk，由题意可得关于n的方程，求出n．
而二项式系数最大的项为中间项，n为奇数时，中间两项二项式系数相等；n为偶数时，中间只有一项．
（2）由展开式前三项的二项式系数和等于79，可得关于n的方程，求出n．
而求展开式中系数最大的项时，可通过解不等式组求得，假设Tk+1项的系数最大，Tk+1项的系数为rk，则有
【解答】解：（1）∵ n4+ n6＝2 n5，
∴n2﹣21n+98＝0，
∴n＝7或n＝14．
当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，
∴T4的系数＝C73（）423，
T5的系数＝C74（）324＝70．
当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8．
∴T8的系数＝C147（）727＝3432．
（2）由 n0+ n1+ n2＝79，可得n＝12，设Tk+1项的系数最大．
∵（2x）12＝（）12（1+4x）12，
∴
∴9.4≤k≤10.4，∴k＝10，
∴展开式中系数最大的项为T11．
T11＝（）12C1210410x10＝16896x10．
【点评】本题考查二项展开式中二项式系数和与系数和问题，难度较大，易出错．要正确区分这两个概念．
18．（2024 南通模拟）已知（1+x）2n＝a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n．
（1）求a1+a2+a3+…+a2n的值；
（2）求的值．
【考点】二项式定理．
【专题】二项式定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）在所给的等式中，令x＝0得，a0＝1；令x＝1得，a0+a1+a2+a3+…+a2n＝22n，从而求得a1+a2+a3+…+a2n的值．
（2）由题意可得ak，利用组合数的性质可得 （），可得 （）．要求的式子即（），消项化简可得结果．
【解答】解 （1）在（1+x）2n＝a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n中，
令x＝0得，a0＝1；令x＝1得，a0+a1+a2+a3+…+a2n＝22n．
于是a1+a2+a3+…+a2n＝22n﹣1．
（2）由题意可得ak，k＝1，2，3，…，2n，
首先考虑
，
则 （），
∴（）．
故 （）
（）（1）．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用、赋值法、组合数公式、组合数的性质．关于组合数的倒数问题一直没有涉及过，注意关注一下，属于难题．
19．（2024 海林市校级期末）已知（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，求：
（1）a1+a2+a3+…+a7；
（2）a1+a3+a5+a7；
（3）a0+a2+a4+a6；
（4）|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|．
【考点】二项式定理．
【专题】二项式定理．
【答案】（1）﹣2；（2）﹣1094；（3）1093；（4）2187．
【分析】（1）根据所给的等式可得常数项a0＝1，在所给的等式中，令x＝1可得a0+a1+a2+a3+…+a7＝﹣1，从而求得a1+a2+a3+…+a7的值．
（2）在所给的等式中，分别令x＝1、x＝﹣1，可得2个等式，化简这2个等式即可求得a1+a3+a5+a7的值．
（3）用①加上②再除以2可得 a0+a2+a4+a6的值．
（4）在（1+2x）7中，令x＝1，可得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|的值．
【解答】解：（1）∵已知（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，∴常数项a0＝1．
在所给的等式中，令x＝1可得a0+a1+a2+a3+…+a7＝﹣1，
∴a1+a2+a3+…+a7＝﹣2．
（2）在所给的等式中，令x＝1可得a0+a1+a2+a3+…+a7＝﹣1①，
令x＝﹣1可得a0﹣a1+a2﹣a3+…﹣a7＝37②，
用①减去②再除以2可得 a1+a3+a5+a7＝﹣1094．
（3）用①加上②再除以2可得 a0+a2+a4+a6＝1093．
（4）在（1+2x）7中，令x＝1，可得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|＝37＝2187．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式的系数和常用的方法是赋值法，属于中档题．
20．（2024 四川）设函数（n∈N，且n＞1，x∈N）．
（Ⅰ）当x＝6时，求的展开式中二项式系数最大的项；
（Ⅱ）对任意的实数x，证明f′（x）（f′（x）是f（x）的导函数）；
（Ⅲ）是否存在a∈N，使得ank＜（a+1）n恒成立？若存在，试证明你的结论并求出a的值；若不存在，请说明理由．
【考点】二项式定理；函数恒成立问题；基本初等函数的导数；组合及组合数公式．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用二项式系数的特点，找到展开式系数最大的项，即第四项；
（2）利用基本不等式适当放缩进行证明或函数思想进行转化与证明；
（3）探究性问题处理不等式问题，要注意对展开式系数进行适当放缩从而达到证明的目的．
【解答】解：（Ⅰ）展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是
（Ⅱ）证法一：因f（2x）+f（2）
2f′（x），
故f′（x）．
证法二：f（2x）+f（2）
，
而，
故只需对和进行比较．
令g（x）＝x﹣lnx（x≥1），有
由，得x＝1
因为当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当1＜x＜+∞时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以在x＝1处g（x）有极小值1
故当x＞1时，g（x）＞g（1）＝1，
从而有x﹣lnx＞1，亦即x＞lnx+1＞lnx
故有恒成立．
所以f（2x）+f（2）≥2f′（x），原不等式成立．
（Ⅲ）对m∈N，且m＞1
有
＜3；
又因0（k＝2，3，…，m），故
∵，从而有成立，
即存在a＝2，使得恒成立．
【点评】本题考查函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法．考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识．
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