【高考押题卷】2025年高考数学热点难点考前冲刺 排列与组合（含解析）

高考数学考前冲刺押题预测 排列与组合
一．选择题（共8小题）
1．（2024 重庆）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（　　）
A．504种 B．960种 C．1008种 D．1108种
2．（2024 大纲版）将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（　　）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
3．（2024 山东）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（　　）
A．232 B．252 C．472 D．484
4．（2024 上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
5．（2024 全国）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（　　）
A．140种 B．84种 C．70种 D．35种
6．（2024 全国）4个数字1和4个数字2可以组成不同的8位数共有（　　）
A．16个 B．70个 C．140个 D．256个
7．（2024 安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有（　　）
A．24对 B．30对 C．48对 D．60对
8．（2024 衡水万卷模拟）某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为（　　）
A．360 B．520 C．600 D．720
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024春 射阳县校级期末）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有（　　）
A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法
B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法
C．如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法
D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1440种不同排法
（多选）10．（2024 济宁期中）下列关于排列数与组合数的等式中，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
（多选）11．（2024 邓州市校级期末）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周．则（　　）
A．某学生从中选3门，共有30种选法
B．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法
C．课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法
D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法
（多选）12．（2024 玄武区校级期末）甲、乙、丙、丁、戊共5位志愿者被安排到A，B，C，D四所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教，则下列结论正确的是（　　）
A．不同的安排方法共有240种
B．甲志愿者被安排到A学校的概率是
C．若A学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有120种
D．在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的概率是
三．填空题（共4小题）
13．（2024 上海）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有　 　种（结果用数值表示）
14．（2024 上海）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 　 　（结果用数值表示）．
15．（2024 重庆）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是　 　（用数字作答）．
16．（2024 浙江）将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有　 　种．（用数字作答）
四．解答题（共4小题）
17．（2024 平安县校级期末）用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．
（Ⅰ）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
（Ⅱ）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；
（Ⅲ）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数．
18．（2024 泗水县期中）某学习小组有3个男生和4个女生共7人：
（1）将此7人排成一排，男女彼此相间的排法有多少种？
（2）将此7人排成一排，男生甲不站最左边，男生乙不站最右边的排法有多少种？
（3）从中选出2名男生和2名女生分别承担4种不同的任务，有多少种选派方法？
（4）现有7个座位连成一排，仅安排4个女生就座，恰有两个空位相邻的不同坐法共有多少种？
19．（2024 南京期末）按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？
（1）6个不同的小球放入4个不同的盒子；
（2）6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
（3）6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
（4）6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．
20．（2024 金安区校级月考）在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）
（1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？
（2）四名男生相邻有多少种不同的排法？
（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？
（4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）
（5）从中选出2名男生和2名女生表演分四个不同角色朗诵，有多少种选派方法？
（6）现在有7个座位连成一排，仅安排4个男生就坐，恰好有两个空座位相邻的不同坐法共有多少种？
高考数学考前冲刺押题预测 排列与组合
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024 重庆）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（　　）
A．504种 B．960种 C．1008种 D．1108种
【考点】排列及排列数公式；排列组合的综合应用．
【专题】压轴题．
【答案】C
【分析】本题的要求比较多，有三个限制条件，甲、乙排在相邻两天可以把甲和乙看作一个元素，注意两者之间有一个排列，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则可以甲乙排1、2号或6、7号，或是甲乙排中间，丙排7号或不排7号，根据分类原理得到结果．
【解答】解：分两类：
第一类：甲乙相邻排1、2号或6、7号，这时先排甲和乙，有2种，然后排丁，有种，剩下其他四个人全排列有种，因此共有2A41384种方法
第二类：甲乙相邻排中间，
若丙排7号，先排甲和乙，因为相邻且在中间，则有4种，然后丙在7号，剩下四个人全排列有种，
若丙不排7号，先排甲和乙，因为相邻且在中间，则有4种，然后排丙，丙不再1号和7号，有种，接着排丁，丁不排在10月7日，有种，剩下3个人全排列，有种，
因此共有（4A44+4A31A33）＝624种方法，
故共有1008种不同的排法
法二：甲乙相邻的排法有 ，丙排在10月1日有 ，丁排在10月7日有 ，
丙排在10月1日且丁排在10月7日有 ，
故共有 2 1008．
故选：C．
【点评】本题主要考查分类计数原理，分类要做到“不重不漏”．分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．本题限制条件比较多，容易出错，解题时要注意．
2．（2024 大纲版）将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（　　）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】A
【分析】由题意，可按分步原理计数，对列的情况进行讨论比对行讨论更简洁．
【解答】解：由题意，可按分步原理计数，
首先，对第一列进行排列，第一列为a，b，c的全排列，共有种，
再分析第二列的情况，当第一列确定时，第二列第一行只能有2种情况，
当第二列一行确定时，第二列第2，3行只能有1种情况；
所以排列方法共有：2×1×1＝12种，
故选：A．
【点评】本题若讨论三行每一行的情况，讨论情况较繁琐，而对两列的情况进行分析会大大简化解答过程．
3．（2024 山东）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（　　）
A．232 B．252 C．472 D．484
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】排列组合．
【答案】C
【分析】不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法，由此可得结论．
【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法，
故所求的取法共有560﹣16﹣72＝472
故选：C．
【点评】本题考查组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．
4．（2024 上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】计算题；对应思想；转化法；排列组合；新文化类．
【答案】D
【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．
【解答】解：根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，
而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有2×4＝8，
当A1ACC1为底面矩形，有4个满足题意，
当A1AEE1为底面矩形，有4个满足题意，
故有8+4+4＝16
故选：D．
【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题．
5．（2024 全国）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（　　）
A．140种 B．84种 C．70种 D．35种
【考点】排列组合的综合应用．
【答案】C
【分析】本题既有分类计数原理也有分步计数原理．
【解答】解：甲型1台与乙型电视机2台共有4 C52＝40；甲型2台与乙型电视机1台共有C42 5＝30；不同的取法共有70种
故选：C．
【点评】注意分类计数原理和分步计数原理都存在时，一般先分类后分步．
6．（2024 全国）4个数字1和4个数字2可以组成不同的8位数共有（　　）
A．16个 B．70个 C．140个 D．256个
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】计算题；方程思想；定义法；概率与统计．
【答案】B
【分析】利用排列数的性质、计算公式直接求解．
【解答】解：4个数字1和4个数字2可以组成不同的8位数共有：
70．
故选：B．
【点评】本题考查排列数的求法，考查排列数的性质、计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
7．（2024 安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有（　　）
A．24对 B．30对 C．48对 D．60对
【考点】排列组合的综合应用；异面直线及其所成的角．
【专题】排列组合．
【答案】C
【分析】利用正方体的面对角线形成的对数，减去不满足题意的对数即可得到结果．
【解答】解：正方体的面对角线共有12条，两条为一对，共有66对，
同一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满足题意，一组平行平面共有6对不满足题意的直线对数，
不满足题意的共有：3×6＝18．
从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有：66﹣18＝48．
故选：C．
【点评】本题考查排列组合的综合应用，逆向思维是解题本题的关键．
8．（2024 衡水万卷模拟）某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻．那么不同的发言顺序种数为（　　）
A．360 B．520 C．600 D．720
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】计算题．
【答案】C
【分析】根据题意，分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，
若只有甲乙其中一人参加，有C21 C53 A44＝480种情况；
若甲乙两人都参加，有C22 C52 A44＝240种情况，
其中甲乙相邻的有C22 C52 A33 A22＝120种情况；
则不同的发言顺序种数480+240﹣120＝600种，
故选：C．
【点评】本题考查组合的应用，要灵活运用各种特殊方法，如捆绑法、插空法．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024春 射阳县校级期末）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有（　　）
A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法
B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法
C．如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法
D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1440种不同排法
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】CD
【分析】根据排列组合的知识对每个选项分别求解即可求得结论．
【解答】解：A中，
B中，
C中，
D中．
综上可得：CD正确．
故选：CD．
【点评】本题考查排列组合的应用，考查插空法和捆绑法以及特殊位置法．
（多选）10．（2024 济宁期中）下列关于排列数与组合数的等式中，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】排列数的化简计算及证明．
【专题】转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】ABD
【分析】由题意利用排列数公式、组合数公式，逐一检验各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：由题意利用排列、组合数公式，可得（n+1）（n+1） n （n﹣1） （n﹣2）…（n﹣m+1），故A正确；
∵mm ，nn ，∴mn，故B成立；
∵，，∴，故C不成立；
∵ n（n﹣1）（n﹣2）…（n﹣m）＝n（n﹣1）（n﹣2）…（n﹣m+1），故D成立，
故选：ABD．
【点评】本题主要考查排列数公式、组合数公式的应用，属于基础题．
（多选）11．（2024 邓州市校级期末）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周．则（　　）
A．某学生从中选3门，共有30种选法
B．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法
C．课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法
D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】CD
【分析】根据题意，依次分析选项中计算是否正确，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，某学生从中选3门，6门中选3门共有种，故A错误；
对于B，课程“射”“御”排在不相邻两周，先排好其他的4门课程，有5个空位可选，在其中任选2个，安排“射”“御”，共有种排法，故B错误；
对于C，课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，由捆绑法分析：将“礼”“书”“数”看成一个整体，与其他3门课程全排列，共有种排法，故C正确；
对于D，课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，分2种情况讨论，若课程“乐”排在最后一周，有A55种排法，若课程“乐”不排在最后一周，
有C41C41A44种排法，则共有种排法，故D正确．
故选：CD．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
（多选）12．（2024 玄武区校级期末）甲、乙、丙、丁、戊共5位志愿者被安排到A，B，C，D四所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教，则下列结论正确的是（　　）
A．不同的安排方法共有240种
B．甲志愿者被安排到A学校的概率是
C．若A学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有120种
D．在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的概率是
【考点】排列组合的综合应用；古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；对应思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】ABD
【分析】先将5人分成4组，然后排入4所学校即可判断A；
分A学校只有一个人和A学校只有2个人，两种情况讨论，求出甲志愿者被安排到A学校的排法，再根据古典概型即可判断B；
先将A学校的两名志愿者排好，再将剩下的3名志愿者安排到其他3所学校即可判断C；
求出甲志愿者被安排到A学校的排法，然后再求出在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的排法，根据条件概率进行计算，从而可判断D．
【解答】解：甲、乙、丙、丁、戊共5位志愿者被安排到A，B，C，D四所山区学校参加支教活动，
则共有种安排方法，故A正确；
甲志愿者被安排到A学校，
若A学校只有一个人，则有种安排方法，
若A学校只有2个人，则有种安排方法，
所以甲志愿者被安排到A学校有36+24＝60种安排方法，
所以甲志愿者被安排到A学校的概率是，故B正确；
若A学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有种，故C错误；
甲志愿者被安排到A学校有60种安排方法，
在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的安排方法有24种，
所以在甲志愿者被安排到A学校支教的前提下，A学校有两名志愿者的概率是，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查排列、组合与简单的计数原理，古典概型概率公式，考查运算求解能力，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024 上海）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有　24　种（结果用数值表示）
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】计算题；对应思想；转化法；排列组合．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据分步计数原理即可求出．
【解答】解：在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有4A33＝24种，
故答案为：24．
【点评】本题考查了简单的分步计数原理，属于基础题．
14．（2024 上海）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 　120　（结果用数值表示）．
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】计算题；排列组合．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，运用排除法分析，先在9名老师中选取5人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案．
【解答】解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师，
在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C95＝126种；
其中只有女教师的有C65＝6种情况；
则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6＝120种；
故答案为：120．
【点评】本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算．
15．（2024 重庆）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是　590　（用数字作答）．
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】压轴题；概率与统计．
【答案】见试题解答内容
【分析】不同的组队方案：选5名医生组成一个医疗小组，要求其中骨科、脑外科和内科医生都至少有1人，方法共有6类，他们分别是：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生；1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，…，在每一类中都用分步计数原理解答．
【解答】解：直接法：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生，有C33C41C51＝20种，
1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，有C31C43C51＝60种，
1名骨科、1名脑外科和3名内科医生，有C31C41C53＝120种，
2名骨科、2名脑外科和1名内科医生，有C32C42C51＝90种，
1名骨科、2名脑外科和2名内科医生，有C31C42C52＝180种，
2名骨科、1名脑外科和2名内科医生，有C32C41C52＝120种，
共计20+60+120+90+180+120＝590种
间接法：
1＝590
故答案为：590．
【点评】本题主要考查了排列、组合及简单计数问题，解答关键是利用直接法：先分类后分步．
16．（2024 浙江）将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有　480　种．（用数字作答）
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】排列组合．
【答案】见试题解答内容
【分析】按C的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可．
【解答】解：按C的位置分类，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，
因为左右是对称的，所以只看左的情况最后乘以2即可．
当C在左边第1个位置时，有，
当C在左边第2个位置时，A和B有C右边的4个位置可以选，有，
当C在左边第3个位置时，有，
共为240种，乘以2，得480．则不同的排法共有480种．
故答案为：480．
【点评】本题考查排列、组合的应用，关键在于明确事件之间的关系，同时要掌握分类讨论的处理方法．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 平安县校级期末）用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．
（Ⅰ）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；
（Ⅱ）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；
（Ⅲ）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数．
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】概率与统计．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）因为数字0不能排在首位，末位是0时又是偶数，所以针对于0进行讨论，当末位是0时，十位和百位从4个元素中选两个进行排列，当末位不是0时，只能从2和4中选一个，百位从3个元素中选一个，十位从三个中选一个．根据分类计数原理得到结果．
（Ⅱ）十位上的数为0，1，2，分类讨论即可得出结论；
（Ⅲ）1和3两个奇数夹着0时，把这三个元素看作一个整体，和另外两个偶数全排列，其中1和3之间还有一个排列，共有2种结果，1和3两个奇数夹着2时，注意0不能放在首位，当1和3两个奇数夹着4时，同理，得到结果．
【解答】解：（Ⅰ）根据分类计数原理知，
当末位是0时，十位和百位从4个元素中选两个进行排列有12种结果，
当末位不是0时，只能从2和4中选一个，百位从3个元素中选一个，十位从三个中选一个共有18种结果，
根据分类计数原理知共有12+18＝30种结果；
（Ⅱ）十位上的数为0时，有4×3＝12个，十位上的数为1时，有3×2＝6个，十位上的数为2时，有2×1＝2个，共有20个；
（Ⅲ）1和3两个奇数夹着0时，把这三个元素看作一个整体，和另外两个偶数全排列，其中1和3之间还有一个排列，共有212种结果，
1和3两个奇数夹着2时，同前面类似，只是注意0不能放在首位，共有28，
当1和3两个奇数夹着4时，也有同样多的结果，共有28，
根据分类加法原理得到共有12+8+8＝28种结果．
【点评】对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决，即类中有步，步中有类．
18．（2024 泗水县期中）某学习小组有3个男生和4个女生共7人：
（1）将此7人排成一排，男女彼此相间的排法有多少种？
（2）将此7人排成一排，男生甲不站最左边，男生乙不站最右边的排法有多少种？
（3）从中选出2名男生和2名女生分别承担4种不同的任务，有多少种选派方法？
（4）现有7个座位连成一排，仅安排4个女生就座，恰有两个空位相邻的不同坐法共有多少种？
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；排列组合．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意，分2步进行分析：①，将3个男生全排列，排好后有4个空位，②，将4名女生全排列，安排到4个空位中，由分步计数原理计算可得答案；
（2）根据题意，分2种情况讨论：①，男生甲在最右边，②，男生甲在不站最左边也不在最右边，由分类计数原理计算可得答案；
（3）根据题意，分2步进行分析：①，在3名男生中选取2名男生，4名女生中选取2名女生，②，将选出的4人全排列，承担4种不同的任务，由分步计数原理计算可得答案；
（4）根据题意，分2步进行分析：①，将4名女生全排列，排好后有5个空位，②，将3个空座位分成2、1的2组，在5个空位中任选2个，安排2组空座位，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，分2步进行分析：
①，将3个男生全排列，有A33种排法，排好后有4个空位，
②，将4名女生全排列，安排到4个空位中，有A44种排法，
则一共有种排法；
（2）根据题意，分2种情况讨论：
①，男生甲在最右边，有A66＝720，
②，男生甲不站最左边也不在最右边，有A51A51A55＝3000，
则有720+3000＝3720种排法；
（3）根据题意，分2步进行分析：
①，在3名男生中选取2名男生，4名女生中选取2名女生，有C32C42种选取方法，
②，将选出的4人全排列，承担4种不同的任务，有A44种情况，
则有种不同的安排方法；
（4）根据题意，7个座位连成一排，仅安排4个女生就座，还有3个空座位，
分2步进行分析：
①，将4名女生全排列，有A44种情况，排好后有5个空位，
②，将3个空座位分成2、1的2组，在5个空位中任选2个，安排2组空座位，有A52种情况，
则有种排法．
【点评】本题考查排列、组合的实际应用，涉及分步、分步计数原理的应用，注意特殊问题的处理方法．
19．（2024 南京期末）按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？
（1）6个不同的小球放入4个不同的盒子；
（2）6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
（3）6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；
（4）6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】概率与统计．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个小球都有4种可能，利用乘法原理可得结论；
（2）6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球，先把6个小球分组，有两种分法，再放入4个不同的盒子，即可得到结论；
（3）6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球，利用插空法；
（4）6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球，先把6个小球分组，有3种分法，再放入3个不同的盒子，即可得到不同的放法．
【解答】解：（1）6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个小球都有4种可能，利用乘法原理可得不同的方法有46＝4096；
（2）6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球，先把6个小球分组，有两种分法：2、2、1、1；3、1、1、1；再放入4个不同的盒子，故不同的方法共有（）1560
（3）6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球，不同的方法共有
（4）6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球，先把6个小球分组，有3种分法：3、2、1；2、2、2；4、1、1，再放入3个不同的盒子，故不同的方法共有（）2160
【点评】本题考查排列组合知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
20．（2024 金安区校级月考）在班级活动中，4名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答）
（1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？
（2）四名男生相邻有多少种不同的排法？
（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？
（4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等）
（5）从中选出2名男生和2名女生表演分四个不同角色朗诵，有多少种选派方法？
（6）现在有7个座位连成一排，仅安排4个男生就坐，恰好有两个空座位相邻的不同坐法共有多少种？
【考点】部分元素相邻的排列问题．
【专题】计算题；阅读型；方程思想；转化法；排列组合；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意，用插空法分2步进行分析：①，将4名男生全排列，有24种情况，②，在5个空位中任选3个，安排3名女生，由分步计数原理计算可得答案；
（2）根据题意，用捆绑法分2步进行分析：①，将4名男生看成一个整体，考虑4人间的顺序，②，将这个整体与三名女生全排列，由分步计数原理计算可得答案；
（3）根据题意，分2种情况讨论：①，女生甲站在右端，其余6人全排列，②，女生甲不站在右端，甲有5种站法，女生乙有5种站法，将剩余的5人全排列，安排在剩余的位置，由加法原理计算可得答案；
（4）根据题意，首先把7名同学全排列，再分析甲乙丙三人内部的排列共有种结果，要使的甲乙丙三个人按照一个高矮顺序排列，结果数只占6种结果中的一种，由倍分法分析可得答案；
（5）根据题意，分2步进行分析：①，将4名男生和3名女生中各选出2人，有18种情况，②，4人分四个不同角色，有种情况，由分步计数原理计算可得答案；
（6）根据题意，两个空座位相邻就用捆绑法，另一个空座位不相邻就用插空法，先将四名男生全排有A24种，然后从四名男生形成的五个空中任选两个插入两个空位（2个空位捆绑的，和一个单独的），有A20种，共有24×20＝480种，可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，分2步进行分析：
①，将4名男生全排列，有24种情况，排好后有5个空位，
②，在5个空位中任选3个，安排3名女生，有60种情况，
则三名女生不能相邻的排法有24×60＝1440种；
（2）根据题意，分2步进行分析：
①，将4名男生看成一个整体，考虑4人间的顺序，有24种情况，
②，将这个整体与三名女生全排列，有24种情况，
则四名男生相邻的排法有24×24＝576种；
（3）根据题意，分2种情况讨论：
①，女生甲站在右端，其余6人全排列，有720种情况，
②，女生甲不站在右端，甲有5种站法，女生乙有5种站法，将剩余的5人全排列，安排在剩余的位置，有120种站法，
则此时有5×5×120＝3000种站法，
则一共有720+3000＝3720种站法；
（4）根据题意，首先把7名同学全排列，共有种结果，
甲乙丙三人内部的排列共有6种结果，
要使得甲乙丙三个人按照一个高矮顺序排列，结果数只占6种结果中的一种，则有840；
（5）根据题意，首先将4名男生和3名女生中各选出2人，有18种情况，其次4人分四个不同角色，有24种情况，共有18×24＝432种选派方法；
（6）根据题意，4个男生全排列有24种坐法，从四名男生形成的五个空中任选两个插入两个空位（2个空位捆绑的，和一个单独的），有A20种，共有24×20＝480种选派方法．
【点评】本题考查排列、组合的实际应用，注意优先分析受到限制的元素．
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