2024-2025学年人教A版数学必修第二册同步练习：第7章 复数 综合测试（含答案）

第七章 复　数
考试时间120分钟，满分150分．
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题正确的是( )
A．复数的模是正实数
B．虚轴上的点与纯虚数一一对应
C．实部与虚部分别互为相反数的两个复数是共轭复数
D．相等的向量对应着相等的复数
2．已知z＝，则z－＝( )
A．－i B．i
C．0 D．1
3．若z＝1＋i，则|iz＋3|＝( )
A．4 B．4
C．2 D．2
4．若复数z满足2z＋z·＝(2－i)2(i为虚数单位)，则z＝( )
A．－1－2i B．－1－i
C．－1＋2i D．1－2i
5．已知复数z＝1＋ai(a∈R)(i是虚数单位)，＝－＋i，则a＝( )
A．2 B．－2
C．±2 D．－
6．定义运算＝ad－bc则符合条件＝0的复数z的共轭复数在复平面内对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
7．在复平面内，设向量，分别对应非零复数z1 ，z2，若⊥则是( )
A．非负数 B．纯虚数
C．正实数 D．不确定
8．设f(n)＝n＋n(n∈N*)则集合{f(n)}中元素的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．无数
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．若θ∈，则复数cos θ＋isin θ在复平面内对应的点不可能在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
10．已知i是虚数单位，与复数2相同的选项为( )
A．－i B．－1
C．1 D．i2
11．设z1，z2，z3为复数，z1≠0，下列命题中正确的是( )
A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3
B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3
C．若2＝z3，则|z1z2|＝|z1z3|
D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2
12．欧拉在1748年发现了三角函数与复指数函数可以巧妙地关联起来：eiθ＝cos θ＋isin θ(把z＝r(cos θ＋isin θ)称为复数的三角形式，其中从Ox轴的正半轴到向量的角θ叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的辐角，把向量的长度r叫做复数的模)，之后法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：若复数z1＝r1eiθ1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2eiθ2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则我们可以简化复数乘法：z1z2＝r1r2ei(θ1＋θ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．根据以上信息，下列说法正确的是( )
A．若z＝cos θ＋isin θ，则有eπi＋1＝0
B．若r＝1，θ＝，则z3＝1
C．若z＝r(cos θ＋isin θ)，则zn＝rn(cos nθ＋isin nθ)
D．设z＝2 021，则z在复平面上对应的点在第一象限
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．复数的共轭复数为__.
14．若复数z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则·＝___.
15．若复数z＝(a∈R，i是虚数单位)是纯虚数，则实数a＝___，|z|＝___.
16．定义复数的一种运算z1]|z1|＋|z2|,2)(等号右边为普通运算)，若复数z＝a＋bi，且正实数a，b满足a＋b＝3，则z*的最小值为　 .
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设复数z＝a2－a－(a－1)i，(a∈R)．
(1)若z为纯虚数，求|3＋z|；
(2)若z在复平面内对应的点在第四象限，求a的取值范围．
18．(本小题满分12分)已知复数z＝＋(m2－3m)i(m∈R)．
(1)当m取什么值时，复数z是纯虚数？
(2)当m＝1时，求.
19．(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
20．(本小题满分12分)已知复数z＝(2＋i)(i－3)＋4－2i.
(1)求复数z的共轭复数及|z|；
(2)若复数z1＝z＋(a2－2a)＋ai(a∈R)是纯虚数，求实数a的值．
21．(本小题满分12分)已知复数w满足w－4＝(3－2w)i(i为虚数单位)，z＝＋|－2|.
(1)求z；
(2)若(1)中的z是关于x的方程x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根．
22．(本小题满分12分)已知z为虚数，z＋为实数．
(1)若z－2为纯虚数，求虚数z；
(2)求|z－4|的取值范围．
第七章 复　数
考试时间120分钟，满分150分．
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．D
　复数的模可能是0，故A错误；虚轴上原点对应的复数不是纯虚数，故B错误；实部相等、虚部互为相反数的两个复数是共轭复数，故C错误；D正确，故选D．
2．A
3．D
　由z＝1＋i，故iz＋3＝i(1＋i)＋3(1－i)＝2－2i，|iz＋3|＝|2－2i|＝2.
4．A
　令z＝x＋yi(x，y∈R)，
则2z＋z·＝x2＋y2＋2x＋2yi＝3－4i，
所以解得
则z＝－1－2i.
故选A．
5．B
　∵＝＝－＋i，
即＝＝－＋i，
∴＝－，＝，∴a＝－2.故选B．
6．B
　由题意得，2zi－[－i(1＋i)]＝0.
则z＝＝－－i，∴＝－＋i，其在复平面内对应的点在第二象限，故选B．
7…B
　已知⊥，
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则有ac＋bd＝0.
∴＝＝＝i.故选B．
8．C
　f(n)＝n＋n＝in＋(－i)n，f(1)＝0, f(2)＝－2, f(3)＝0, f(4)＝2, f(5)＝0，…
∴集合中共有3个元素．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．ABC
　∵θ∈，∴cos θ＞0，sin θ<0，∴复数cos θ＋isin θ在复平面内对应的点在第四象限，故选ABC．
10．BD
　2＝＝－1.
11．BC
　|i|＝|1|，故A错误；z1z2＝z1z3，则z1(z2－z3)＝0，又z1≠0，所以z2＝z3，
|z1z2|＝|z1||z2|，|z1z3|＝|z1||z3|，
又2＝z3，所以|z2|＝|2|＝|z3|，故C正确，
z1＝i，z2＝－i，满足z1z2＝|z1|2，不满足z1＝z2，故选BC．
12．AC
　eπi＋1＝(cos π＋isin π)＋1＝－1＋1＝0，故A正确；由棣莫弗定理可知，两个复数z1，z2相乘，所得到的复数的辐角是复数z1，z2的辐角之和，模是复数z1，z2的模之积，所以zn的辐角是复数z的辐角的n倍，模是|z|n，故C正确；z＝cos＋isin，所以z3＝13·(cos π＋isin π)＝－1，故B错误；设z3＝＝cos＋isin＝e eq \s\up10(i)，故z＝z＝12 021·e eq \s\up10(i)＝e eq \s\up10(i)＝cos＋isin，故复数 z 在复平面上所对应的点为，不在第一象限，故D错误．故选AC．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13． _1＋i__.
　因为＝＝＝1－i，所以其共轭复数为1＋i.
14．_6__.
　∵z＝1＋2i，∴＝1－2i.
∴·＝z·＋1＝5＋1＝6.
15． _－6__，_3__.
　＝＝＋i，
∵是纯虚数，
∴＝0且≠0，
∴a＝－6，∴|z|＝|3i|＝3.
16． 　.
　z*＝＝
＝＝.
∵a＋b＝3，∴ab≤2＝，
当且仅当a＝b＝时，等号成立，
∴－ab≥－，∴z*≥＝＝.
故z*的最小值为.
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．
　(1)若z为纯虚数，则
所以a＝0，故z＝i，
所以|3＋z|＝.
(2)若z在复平面内对应的点在第四象限，则
解得a>1.
所以a的取值范围为(1，＋∞)．
18．
　(1)若z为纯虚数，则解得m＝－1.
故当m＝－1时，复数z是纯虚数．
(2)当m＝1时，z＝－4－2i，
∵z·＝(－4－2i)(－4＋2i)＝20.
∴＝＝＝20.
19．　(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
由已知条件得a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi，
所以2ab＝2.
所以a＝b＝1或a＝b＝－1，即z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，
z－z2＝1－i.
所以点A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，
所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1.
当z＝－1－i时，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i.
所以点A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，
所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1.
20．　(1)复数z＝(2＋i)(i－3)＋4－2i.
∴z＝2i＋i2－6－3i＋4－2i＝－3－3i，
∴＝－3＋3i，
∴|z|＝＝3.
(2)因为复数z1＝z＋(a2－2a)＋ai＝(a2－2a－3)＋(a－3)i是纯虚数，所以
解得a＝－1.所以实数a＝－1.
21．　(1)因为w－4＝(3－2w)i，所以w(1＋2i)＝4＋3i，
所以w＝＝＝2－i，
所以z＝＋|i|＝＋1＝3＋i.
(2)因为z＝3＋i是关于x的方程x2－px＋q＝0的一个根，所以(3＋i)2－p(3＋i)＋q＝0，
(8－3p＋q)＋(6－p)i＝0，
因为p，q为实数，所以
解得p＝6，q＝10.
解方程x2－6x＋10＝0，得x＝3±i.
所以实数p＝6，q＝10，方程的另一个根为x＝3－i.
22．　设z＝x＋yi(x，y∈R，y≠0)．
(1)z－2＝x－2＋yi，
由z－2为纯虚数，得x＝2，所以z＝2＋yi，
所以z＋＝2＋yi＋＝2＋i，
由z＋为实数，得y－＝0，解得y＝±3，
所以z＝2＋3i或z＝2－3i.
(2)因为z＋＝x＋yi＋
＝x＋＋i∈R，
所以y－＝0，
因为y≠0，所以(x－2)2＋y2＝9，
由(x－2)2<9，得x∈(－1,5)，
所以|z－4|＝|x＋yi－4|
＝
＝
＝∈(1,5)．
所以|z－4|的取值范围为(1,5)．