圆和扇形拓展提高题目解析（学案）六年级上册数学 人教版

圆和扇形拓展提高题目解析
Stage 1
1．如图，阴影部分的面积是5.7平方厘米，△ABC的面积是多少平方厘米？(π取3.14)
解法一：由图可知，△ABC为等腰直角三角形，所以AB＝BC。
在直角△ABC中，由勾股定理知：AB2＋BC2＝AC2，而AB＝BC，所以：AC2＝2AB2。
由题意可知：S阴影＝S扇形－S△ABC，即：5.7＝πAC2－AB×BC
∵ AB＝BC，AC2＝2AB2
∴ 5.7＝π×2AB2－AB2
解得：AB2＝20
∴ S△ABC＝AB×BC＝AB2＝×20＝10(cm2)
解法二：利用等腰直角三角形面积的特殊算法进行求解。等腰直角三角形面积＝斜边×斜边÷4
由图可知，△ABC为等腰直角三角形，则阴影部分的面积为：πAC2－AC2＝5.7，解得：AC2＝40
故，△ABC的面积为：40÷4＝10(cm2)
答：△ABC的面积是10平方厘米。
2．有大小两个圆纸片，小圆纸片的面积是50平方厘米，大圆纸片的直径比小圆纸片大20％，大圆纸片的面积比小圆纸片大多少平方厘米？
解：由题意可知：S大圆∶S小圆＝(1＋20％)2∶12＝36∶25
大圆纸片的面积比小圆纸片面积大：50×－50＝22(cm2)
答：大圆纸片的面积比小圆纸片大22平方厘米。
3．如图，有八个半径为1厘米的小圆，用它们圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中黑点是这圆的圆心。如果圆周率π取3.1416，那么花瓣图形的面积是多少平方厘米？
解：如图所示，连接各个圆心，组成一个正方形，则正方形边长为：1×4＝4(厘米)
S花瓣＝S正方形＋S小圆×4－S小圆×4
＝S正方形＋S小圆
＝4×4＋3.1416×12
＝19.1416(cm2)
答：花瓣图形的面积是19.1416平方厘米。
Stage 2
4．如图，有三个圆心相同的半圆，它们的直径分别为1、3、5，用线段分割成8块，如果每块的字母代表这一块面积，并且相同的字母代表相同的面积。求A∶B。
解：A＝π[()2－()2]÷3＝π
B＝π[()2－()2]÷5＝π
A∶B＝π∶π＝5∶6
答：A∶B是5∶6。
5．如图，一个半径为8的轮子沿着一个半圆的直径滚动直到它撞到半圆上为止(半圆的半径为25)。问轮子不能接触的直径有多长？(π取3.14)
解：如图所示，设半圆的圆心为O，小圆的圆心为O1，小圆与半圆直径的切点为A，连接OO1，OA和O1A。
由题意可知：OO1＝25－8＝17，O1A＝8
在Rt△AOO1中，由勾股定理可知：OA2＝OO12－O1A2＝172－82＝225＝152
故，OA＝15，则轮子接触不到的直径长度为：(25－15)×2＝20
答：轮子不能接触的直径长20。
6．如图，小明用一些半径为1厘米、2厘米、4厘米和8厘米的圆、半圆、圆弧和一个正方形组成的一个鼠头图案。求图中阴影部分的总面积是多少平方厘米？(π取3.14)
解：由图可知，图中的阴影部分可拼成4个半径为1厘米的小圆，一个半径为4厘米和2厘米的圆环，剩余部分为一个边为8厘米的正方形减去一个半径为8厘米的圆。
S阴影＝π×12×4＋π(42－22)＋(8×8－π×82)
＝4π＋12π＋64－16π
＝64(cm2)
答：图中阴影部分的总面积是64平方厘米。
Stage 3
7．如图，正方形ABCD的边长为1厘米，依次以A、B、C、D为圆心，以AD、BE、CF、DG为半径画出扇形。求阴影部分的面积。(π取3.14)
解：由图可知，阴影部分的面积为4个圆心角为90°的扇形，半径依次为：AE：1厘米；BE：1＋1＝2厘米；CF：1＋2＝3厘米；DG：1＋3＝4厘米。
S阴影＝π×12＋π×22＋π×32＋π×42
＝π×(12＋22＋32＋42)
＝7.5π
＝23.55(cm2)
答：阴影部分的面积是23.55平方厘米。
8. 如图，两个半径为1的圆扇形A＇OB＇与AO＇B叠放在一起，POQO＇是正方形。求整个阴影图形的面积是多少？(π取3.14)
解：S阴影＝S扇形＋S扇形－S正方形POQO/
＝×π×12×2－1×1÷2
＝1.07
答：整个阴影图形的面积是1.07。
9．如图，三个圆的半径都是10厘米，三个圆两两相交于圆心。求三块阴影部分的面积之和。(π取3.14)
解：如图，经过分割移补，阴影部分可以拼成右图的半圆形。
S阴影＝πr2＝×3.14×102＝157(cm2)
答：三块阴影部分的面积之和是157平方厘米。
Stage 4
10. 求图中阴影部分的面积，其中AB＝10厘米。(π取3.14)
解：如图所示，经过割补，阴影部分的面积等于扇形面积减去△ABC的面积。
S阴影＝π×102×－102÷4＝12.5π－25＝14.25(cm2)
答：阴影部分的面积是14.25平方厘米。
11．如图，三个同心圆，圆心为P，且PQ＝QR＝RS。S1是中间圆与外圆之间的圆环面积，S2是中间圆与小圆之间的圆环面积。求S1∶S2。(π取3.14)
解：设PQ＝QR＝RS＝r，则PR＝2r，PS＝3r
S1＝π[(3r)2－(2r)2)]＝5πr2；S2＝π[(2r)2－r2)]＝3πr2
＝＝＝5∶3
答：S1∶S2为5∶3。
12．如图，将一个圆的竖直位置的直径向右移动3厘米，水平位置的直径向上移动2厘米，这两条线将圆分成4份。图中阴影部分与空白部分的面积相差多少平方厘米？(π取3.14)
解：如图所示，画出已知的两条线段关于圆心对称的两条线段。
由圆的对称性可知，中间长方形即为阴影部分与空白部分的面积之差。
阴影部分与空白部分的面积之差：(3×2)×(2×2)＝24(cm2)
答：图中阴影部分与空白部分的面积相差24平方厘米。
Stage 5
13．如图，半圆的直径AB为3厘米，将半圆以A点为圆心逆时针旋转60°，使AB到达AC的位置。求图中阴影部分的面积。(π取3.14)
解：如图所示，S①＝S半圆－S③，S②＝S半圆－S③，所以S①＝S②，故阴影部分的面积与扇形ABC的面积相等。
图中阴影部分的面积为：π×32×＝4.71(cm2)。
答：图中阴影部分的面积是4.71平方厘米。
14．如图，在一个边长为30厘米的三角形木框子外面有一个半径为5厘米的塑料圆片，圆片从一点出发紧贴着木框滚动一圈，再回到原地。求圆片滚过的面积。(π取3.14)
解：由题意可知，圆片滚动过的面积可分为两部分：一部分是圆片沿直线行走时形成的三个长方形，一部分是圆片在每个转角处时形成的三个扇形。
三个长方形的长为等边三角形边长，宽为圆片的直径。在每个转角的地方，圆片在原地以它的直径长为半径转了120°的角。所以圆片滚过的面积是：
30×(5×2)×3＋π×(5×2)2＝1214(cm2)
答：圆片滚过的面积是1214平方厘米。
15．如图，四个半径为10厘米的圆重叠在一起。求阴影部分的面积总和是多少平方厘米？(π取3)
解：如右图所示，经过分割移补，阴影部分可拼成一个半径为10厘米的圆和一个半径为10厘米、圆心角为120°的扇形。则阴影部分的面积总和为：
S阴影＝πr2＋πr2×＝3×102×(1＋)＝400(cm2)
答：阴影部分的面积总和是400平方厘米。
A
C
D
B
45°
A
A
A
B
B
B
B
B
A
O
O1
A
E
F
G
D
C
B
A
A＇
O＇
O
B
B＇
P
Q
A
B
C
45°
P
Q
R
S
3
2
A
B
C
①
②
③
120°
1