高一下数学人教A版2019必修第二册 10.3.2 随机模拟（26 页）

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10.3.2 随机模拟
1.掌握随机模拟试验出现的意义.
2.会用随机模拟试验求概率.
重点：随机模拟的基本过程
难点：随机模拟的应用
学习目标
我们知道，用随机试验或利用信息技术可生成随机数.实际上，根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了.
思考：用频率估计概率,需要做大量的重复试验.有没有其他方法可以替代试验呢
例如 对于抛掷一枚质地均匀硬币的试验
用0表示反面朝上，用1表示正面朝上.这样不断产生0、1两个随机数，相当于不断地做抛掷硬币的试验.
我们可以让计算器或计算机产生取值于集合{0，1} 的随机数；
又如 一个袋中装有2个红球和3个白球,这些球除颜色不同外没有其他差别. 对于从袋中摸出一个球的试验,
我们可以让计算器或计算机产生取值于集合{1，2，3，4，5}的随机数，用1、2表示红球，用3、4、5表示白球.
这样不断产生1～5之间的整数随机数，相当于不断地做从袋中摸球的试验.
下表是用电子表格软件模拟上述摸球试验的结果,其中n为试验次数， 为摸到红球的频数， 为摸到红球的频率.
fn
n
10
20
50
100
150
200
250
300
n 10 20 50 100 150 200 250 300
nA 6 7 20 45 66 77 104 116
fn(A) 0.6 0.35 0.4 0.45 0.44 0.385 0.416 0.39
画出频率折线图如下
从图中可以看出：随着试验次数的增加，摸到红球的频率稳定于概率0.4
(从5个小球中任取一个球是红球的概率为2/5=0.4)
利用计算器或计算机产生的随机数来做模拟试验,达到快速进行大量重复试验的目的，从而用频率来估计概率,我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法.
例3 从你所在班级任意选出6名同学，调查他们的出生月份，假设出生在一月，二月，…，十二月是等可能的.设事件A =“至少有两人出生月份相同”，设计一种试验方法，多次模拟，估计事件A发生的概率.
模拟分析:根据题意，每个人的出生月份在12个月中是等可能的;
而且相互之间没有影响，所以观察6个人的出生月份可以看成可重复试验.
方法1：用随机试验生成随机数进行模拟：
在袋子中装入编号为1，2，…，12的12个球，这些球除编号外没有什么差别,每个小球被摸到都是等可能的；
有放回地随机从袋中摸6次球，得到6个数代表6个人的出生月份，这就完成了一次模拟试验.
如果这6个数中至少有2个相同，表示事件A发生了.
重复以上模拟试验分别进行20次、40次、60次、100次...就可以统计出事件A发生的频率.
方法2:利用计算机电子表格软件模拟试验：
（1）利用计算机软件生成6个随机数，代表6个人的出生月份，则完成一次模拟试验；
（2）用计算机形成n组随机数组，即相当于做n次重复试验；
（3）统计其中有相同数的频率，得到事件A的概率的估计值.
产生20组随机数组，相当于做了20次重复试验.
每列6个数字有重复数字出现就说明事件A发生，类似图中的红色区域。
我们可以看到事件A发生了14次,则事件A的频率值为0.7.
该表是40次模拟试验的结果.
20次试验
20次试验
事件A发生了35次，事件A的频率值为0.875.
该表是60次模拟试验的结果.
20次
20次
20次
事件A发生了48次，事件A的频率值为0.8.
该表是100次模拟试验的结果.
20次
20次
20次
20次
20次
事件A发生了79次，事件A的频率值为0.79.
概率计算：设事件A=“至少有两人出生月份相同”，任选一人，他的出生月份有12种等可能的结果。
那么调查6个人的出生月份的样本空间包含 个等可能的样本点。
事件A的对立事件为 =“6个人出生月份各不相同”，
则 包含其中 个样本点。
所以
例4 在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中,运动员甲和乙进入了决赛（三局两胜制）.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4.利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率.
模拟分析:设事件A=“甲获得冠军”，事件B=“单局比赛甲胜”，则P(B)=0.6。
由于甲和乙获胜的概率比为3：2，不妨用计算器或计算机产生1～5之间的随机数。
不妨设出现随机数1、2或3时,表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6由于要比赛3局,所以每3个随机数为一组.
产生20组随机数组，相当于做了20次重复试验.
其中3个数中1、2、3至少出现2次说明事件A发生，如图中的红色数组。
我们可以看到事件A发生了14次,用频率估计事件A的概率的近似为
产生100组随机数组，相当于做了100次重复试验.
其中事件A发生了67次,用频率估计事件A的概率的近似为
产生200组随机数组，相当于做了200次重复试验.
其中事件A发生了130次,用频率估计事件A的概率的近似为
概率计算：设事件A=“甲获得冠军”，事件B=“单局比赛甲胜”则P(B)=0.6
奥运会羽毛球比赛是3局2胜制，甲获得冠军的结果可能是2：0或2：1，即甲连胜2局或在前2局中赢一局输一局，并赢得了第3局。
则
在设计随机数模拟试验时应注意：
（1）待选整数个数与每个因素的可能结果相关；
（2）将待选整数按比例分配来表示各个结果；
（3）当每次试验结果需要K个随机数表示时,要把这K个随机数作为一组来处理.
1．随机数模拟试验的步骤：
（1）设计模拟试验；
（2）进行模拟试验，收集数据；
（3）分析试验数据，得到频率，用频率估计概率.
2．产生随机数的常用方法：
（1）用随机试验生成随机数；
（2）利用计算器或计算机产生随机函数RANDBETWEEN(a，b)，可以产生从整数a到整数b的取整数值的随机数．
3.在设计随机数模拟试验时应注意：
（1）待选整数个数与每个因素的可能结果（数）相关；
（2）将待选整数按比例分配来表示各个结果；
（3）当每次试验结果需要K个随机数表示时,要把这K个随机数作为一组来处理.
1.已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器产生0～9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：5727　0293　7140　9857　0347　 4373　8636　9647　1417　4698　
0371　6233　2616　8045　6011　 3661　9597　7424　6710　4281
据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为(　)
A．0.70 B．0.75 C．0.80 D．0.85
解析：该射击运动员射击4次至少击中3次，相当于每组随机数中2～9至少出现3次，
数一数20组随机数有15组数满足，故概率的估计值为0.75.
2.抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，用随机模拟方法做20次试验，估计出现点数之和为10的概率.请问每一次试验需要生成 个随机数.
A.2 B.6 C.10 D.20
解析：抛掷每一枚骰子都需要有1个随机数表示其结果，有两枚骰子，所以需要2个随机数作为一组数据表示一次试验的结果.故选A.