树德中学高二数学 5 月阶考参考答案
一、选择题（1-8 小题每小题 5 分，9-11 题每小题 6 分，部分选对得部分分，有错选的得 0 分，共 58 分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A B C B D C D D BC ABD BC
二、填空题（每小题 5 分，共 15 分）
*
12. 1； 13. 150； 14. an` = n(n N )；18.
三、解答题（共 77 分）
x a
15. 解（1） f (x) 的定义域为 (0,+ )，对 f (x) 求导，得 f (x) = ，因为 f (1) = 0 ，所以a =1；
x
x 1
（2）由（1）知， f (x) = (x (0,+ )) ，
x
当 x (0,1)时， f (x) 0， f (x) 单调递减，当 x (1,+ )时， f (x) 0， f (x) 单调递增，
1 1 1 1
所以在区间 , e 上， f (x) 在 x =1处取得极小值，即极小值为 f (1) = 0， 又 f = ，
e e e 2
1 1
f (e) = e 2 ，所以求 f (x) 在区间 , e 的值域为[0,e 2] .
2 e
a a a
16. 解 （1）由题，知当 n =1时，a1 = 2，又
1 + 2 + + n = 2n 1①
2 22 2n
a1 a a+ 2 + + n 1 = 2n 1 1(n 2)②
2 22 2n 1
由① a = 22n 1②，得 n (n 2)
当 n =1 a 2n 1 2n 1 *， 1 = 2满足an = 2 ，故数列 an 的通项公式为an = 2 (n N ) ；
1 1 1 1 1
（2）由（1）知，bn = ，即b = = ，所以
log 22n 1 log 22n+1
n
2 2 (2n 1)(2n +1) 2 2n 1 2n +1
Sn = b1 + b2 + + bn
1 1 1 1 1 1
= 1 + + +
2 3 3 5 2n 1 2n +1
n
=
2n +1
n
所以数列 bn 的前n 项和 Sn = .
2n +1
1
17. 解 （1）取 BC中点为 D，连接 AD、PD，
因为△ABC为等腰直角三角形且 AB = AC ，所以BC ⊥ AD ，又△PBC 为正三角
形，所以BC ⊥ DP，又 AD DP = D ，所以BC ⊥平面PAD ，又PA 平面
PAD ，所以BC ⊥ PA，所以PA⊥ BC .…………6 分
（2）由BC = 2PA，不妨设PA =1，则BC = PB = PC = 2 ， AB = AC =1，因
为 AB2 + AP2 = 2 = PB2 ，所以 AB ⊥ AP，同理， AB ⊥ AC ， AP ⊥ AC ，所以
AB、AC、AP两两垂直，以 A为空间直角坐标系的原点，建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz ， A(0,0,0)，
B(1,0,0)，C(0,1,0) ，P(0,0,1)， PB = (1,0, 1) ， BC = ( 1,1,0) ，
平面 ABC的法向量可以是 AP = (0,0,1)，设平面 PBC的法向量为n = (x, y, z) ，
PB n = 0 x z = 0
因为 ，所以 ，不妨令 x =1，则 y = z =1，
BC n = 0 x + y = 0
所以n = (1,1,1)，
2
n PA 3 3 6
因为 cos n, PA = = ，所以sin n, PA = 1 = ，由原图，知二面角P BC A的
n PA 3 3
3
平面角为锐角，所以二面角 P BC A的正弦值为 6 .
3
6
另解 由（1）知， PDA为二面角的P BC A的平面角，结合BC = 2PA，可得sin PDA = .
3
1 1
18. 解 （1）由椭圆的对称性，知R( 3,1) 不在椭圆上，故P 3, 、Q 3, 、T (2,0) 三点在椭圆上，代入
2 2
x2 2
椭圆方程，可解得a = 2，b =1，所以椭圆 的方程为 + y =1.
4
（2）（i）若直线 l1、 l2 中任意一条斜率为零时，直线 MN的方程为 y = 0；
1
若直线 l1、 l2 的斜率都不为零时，设直线 l1的方程为 x = my +1（直线 l2 的方程为 x = y +1），
m
2
x = my +1
2 2
x2 联立消 x，得 (1+ 4m )y + 2my 3 = 0 ，
+ y
2 =1
4
设 B、C两点的坐标分别为 B(x1, y1) ，C(x2 , y2 ) ，则由韦达定理，得
0
2m y + y m y + y m
y + y = ，进而有
1 2 = ，将 1 2 = 代入直线 l1的方程为 x = my +1，得1 2 2
1+ 4m
2 2 1+ 4m 2 1+ 4m2
3
y1y2 = 1+ 4m
2
y + y 1+ 3m2 1+3m2 m 3+m21 2 m x = m +1= ，即M , ，同理， N
2 2 2 , ， 2 1+ 4m 2 1+ 4m 1+ 4m 4+m 4+m
2
1+3m2 3+m2 2 4
当 = 时，即m =1，直线MN ⊥ x 轴，直线MN 与 x 轴的交点坐标为 ,0 ，
1+ 4m2 4+m2
5
m 5m m22 5m +3
当m 1时，直线MN 的斜率存在， k = ，直线MN 的方程为 y = x MN ，整理，
m2 1 m2
+ 4 m2 1 2 m + 4
5m 4 4 4
得 y = x ，所以直线MN 恒过点 ,0 ，又直线MN 斜率不存在时，直线MN 也经过点 ,0 ，综上
m2 1 5 5 5
4
所述，直线MN 恒过点 ,0 .
5
4
（ii）直线 l1、 l2的斜率显然都不为零时，设直线MN 经过的定点为G ,0 ，
5
2
1 1 1 m m 1 m +1
S△AMN = AG yM yN = ，整理，得 S△AMN = ，即
2 2 5 4+m2 1+ 4m2 2 4m4 +17m2 + 4
1
m +
1
S m ，
1 1 9，引入函数 f (x) = 4x + (x [2,+ )) ，
△AMN = 2 S
2 △AMN
=
1 2 1 9 x
4 m + + 9 4 m+ +
m m 1m+
m
(2x 3)(2x +3) 25
f (x) = ，易知 f (x) 在 x [2,+ ) 单调递增，所以 f (x) 在 x [2,+ ) 的最小值为 f (2) = ，所
x2 2
3
1 1 1 2 1
以 S△AMN = （等号当且仅当m =1时成立），所以△AMN 的最大值为 .
2 1 9 25
4 25 m + +
m 1m +
m
（ ） ax19. 解 1 函数 f (x) 的定义域为 R，对 f (x) 求导，得 f (x) = e (ax +1) ，
1
若 a = 0时， f (x) =1， f (x) 在 ( ,+ )上单调递减；若a 0时，令 f (x) = 0，解得 x = ，
a
1 1
当 , ， f (x) 0， f (x) 单调递减；当
,+ ， f (x) 0， f (x) 单调递增；
a a
1
若 a 0时，令 f (x) = 0，解得 x = ，
a
1 1
当 , ， f (x) 0， f (x) 单调递增；当
,+ ， f (x) 0， f (x) 单调递减；
a a
（2）不等式 f (x) g(x)在 x (0,+ ) ax x上成立，等价于 f (x) g(x) 0在 x (0,+ )上成立，即e e 2x 0
在 x (0,+ ) ax x上成立，引入函数h(x) = e e 2x x (0,+ ) h (x) = aeax + e x， ， 2， h (0) = a 1.
（i）若a 0，h (0) = a 1 0，当 x (0,+ )时，h (x) e x 2 1， h(x) 单调递减，h(x) h(0) = 0 ，与题
意矛盾，舍去；
1 2 1 2
1 2 2 ln ln
（ii）若0 a 1， h (0) = a 1 0， h ( ln ) = a + e a a 2 = e a a 0，由零点存在定理，知存在
a a a
1 2
x0 (0, ln ) 使得h (x) = 0，当 x (0, x0 )时，h (x) 0， h(x) 单调递减，h(x) h(0) = 0 ，与题意矛盾，舍去；
a a
（iii）若a 1，h (0) = a 1 0，当 x (0,+ )时， h (x) ex + e x 2 2 ex e x 2 = 0，故h(x) 单调递增，
h(x) h(0) = 0；综上所述，实数a 的取值范围为[1,+ ) ；
x x n + 2
（3）由（2）知，当a =1时，e e 2x 0在 x (0,+ ) *恒成立，令 x = ln 0 （其中n N ），
n
n + 2 n n + 2 n + 2 2 n k + 2 n 2
2ln 0 ，即 ln ，又因为 ln ，所以
n n + 2 n n n(n + 2） k=1 k k=1 k(k + 2）
(n +1)(n + 2) n 2
ln .
2 2k=1 k + 2k
4树德中学高 2023 级高二下期 5 月阶段性测试数学试题
8. 已知定义在 (0,+ )的函数 f (x) ，其导函数为 f (x) ，若 x3 f (x) + 2x2 f (x) = ln x，
命题人：刘大华 审题人：韦莉、陈杰、邓连康、常勇 考试时间：120 分钟 总分：150 分
1
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 且 f ( e) = ，则 f (x) （ ）
4e
要求的。
A. 仅存在最小值 B. 仅存在最大值
2π
1. 某个弹簧振子在振动过程中的位移 y（单位：mm）与时间 t（单位：s）之间的关系为 y = 18cos t ， C. 既存在最小值，又存在最大值 D. 既无最小值又无最大值
3
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
则该弹簧振子在 t = 3s 时的瞬时速度是（ ）mm/s
求。全部选对的得 6 分，有二个正确选项的，每个选项 3 分，有三个正确选项的，每个选项 2 分，
A. 0 B. 6π C. 12π D. 18π
有选错的得 0 分.
2. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法 商功》中，后人称
6
1
为“三角垛”．“三角垛”的最上层有 1 个球，第二层有 3 个球，第三层有 6 个 9. 2 x 的展开式中，下列说法正确的是（ ）
x
球， ，设各层球数构成一个数列，则第十一层有（ ）个球
A. 展开式共有 6 项 B. 各二项式系数之和为 64
A. 55 B. 66
C. 展开式中 x2 项的系数为 192 D. 展开式中系数最大的项为70x
C. 110 D. 136
10. 已知等差数列 a 的前 n 项和为 S ，且 a = 3a 0，则下列说法正确的是（ ） n n 2 1
3. 函数 f (x) 的导函数 y = f (x) 的图象如图所示，则函数 f (x) 的极值点个
Sn
数为（ ）个 A. 数列 为等差数列 B. 数列 Sn 为等差数列
n
A.1
S n
B. 2 C. 数列 lg S 为等差数列 D. 数列 的最小项为 1 n
an
C. 3
11. 设函数 f (x) = x2 (x 3)，下列说法正确的是（ ）
D. 4
4. 某班级举行活动，同学们准备了四个节目：二胡、相声、小品、舞蹈，现对这四个节 A. 曲线 y = f (x)为轴对称图形
目的出场先后进行编排，要求相声和小品相邻，则不同的编排方式有（ ）种 1 2 3 4049 B. f + f + f + + f + f (2) = 8102
2025 2025 2025 2025
A. 6 B. 12 C. 24 D. 32
1
a5 + a C. 当 x ,0 时， f (2 x) f (x)
5. 设数列
6 = an 为等比数列， a1 =1， a a = 3 3 ，则 （ ） 2 2 3 a1 + a2
2
A. 3 B. 3 C. 6 D. 9 D. 若不等式 f (x) kx + 4k 0 恰有两个正整数解，则实数 k 的取值范围为 0, 3
6. 若函数 f (x) = ex ax 恰有两个零点，则实数 a 的取值范围为（ ） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
31
12. 已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 a1 = 2a2 ， S ，则 a = _____. 5 = 1
1 16
A. 0, B. (0,e) C. (e,+ ) D. (e
2 ,+ )
e 13. 五名志愿者全部去三个不同的镇参加志愿活动，每个镇至少去一名志愿者，则不同的方案有_种.
7. 已知数列 a 为等差数列，且数列 a 的前 n项和 S 有最大值，若 a1013 + a 0n n n 1014 ， 14. 已知数列 an 满足 an + an+1 = 2n +1，且 a1 =1，则数列 an 的通项公式为_____；记b = a ，则n n
a1013 a1014 0，则 Sn 取得最小正值时， n的值为（ ） 1 1 1
+ + + 的值为_____（其中[x]为不超过实数 x 的最大整数，如[1.1] =1）.
b b b
A. 1013 B. 1014 C. 2024 D. 2025 1 2 99
2025-5 高二数月 5 第1页共 2 页
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 x2 y2 1 1
18.（17 分）已知椭圆 : + =1(a b 0)，四点 P 3, 、Q 3, 、 R( 3,1)、T (2,0) 中恰2 2
15.（13 分）已知函数 ， ，且 . a b 2 2f (x) = x a ln x a a R f (1) = 0
有三个点在椭圆 上.
（1）求 a 的值；
1 （1）求椭圆 的方程；
（2）求 f (x)在区间 , e 的值域.
e
（2）过点 A(1,0)作两条互相垂直的直线 l 、 l ，直线 l 交椭圆 于 B、C两点，直线 交椭圆 于
1 2 1
l2
D、E两点；
（i）设 BC中点为 M，DE中点为 N，证明：直线 MN过定点；
（ii）求△AMN 面积的最大值.
a a a
16.（15 分）已知数列 an 满足
1 + 2 + + n = 2n 1 .
2 22 2n
（1）求数列 an 的通项公式；
1
（2）设bn = ，求数列 bn 的前 n 项和 S . n
log2 an log2 an+1
19.（17 分）已知函数 f (x) = xeax ， g(x) = xe x + 2x2 ，其中 e为自然对数的底数， a R .
17. （15 分）如图，在三棱锥 P ABC 中，△ABC 为等腰直角三角形，△PBC 为正三角形，
（1）求函数 f (x) 的单调区间；
AB = AC .
（ ）证明： ； （2）若不等式 f (x) g(x) 在 x (0,+ ) 上成立，求实数 a 的取值范围； 1 PA ⊥ BC
n
（2）若 BC = 2PA，求二面角 P BC A的正弦值. (n +1)(n + 2) 2（3）设 n *N ，证明： ln .
2 2k=1 k + 2k
2025-5 高二数月 5 第2页共 2 页
