福建省莆田市第十五中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（含解析）

福建省莆田市第十五中学2024 2025学年高二下学期期中考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知函数在处可导，且，则（ ）
A． B． C． D．2
2．如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，E为延长线上一点，，则=（ ）
A． B．
C． D．
3．已知曲线上一点，记为函数的导数，则（ ）
A． B． C． D．
4．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．在棱长为1的正方体中，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．正方体的棱长为1， 为棱的中点，点在面对角线上运动(点异于点)，以下说法错误的是（ ）
A．平面
B．
C．直线与平面所成角的余弦值为
D．三棱锥的体积为
7．已知P为空间中任意一点，A、B、C、D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数x的值为（　　）
A． B． C． D．
8．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线法向量，在平面直角坐标系中，过的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的有（ ）
A．与点关于x轴对称的点的坐标为
B．若是空间向量的一组基底，且，则也是空间向量的一组基底
C．已知，，则在上的投影向量的坐标为
D．已知，平面的法向量为，则
10．已知函数，其导函数为，则（ ）
A．有两个极值点
B．有三个互不相同的零点
C．方程有三个不同解，则实数的取值范围为
D．
A．若，则
B．若G为的重心，则
C．若，，则
D．若三棱锥的棱长都为2，P，Q分别为MA，BC中点，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知（）是直线l的方向向量，是平面的法向量，若，则 .
13．已知，，则向量在向量上的投影向量是 ．
14．如图所示，在长方体中，，，与平面交于点，则点到直线的距离为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数在处的切线方程．
(1)求，的值；
(2)求的单调区间与极值．
16．如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，是中点，已知．
(1)证明：；
(2)求二面角的大小．
17．如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，N为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)点M在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点M到平面的距离．
18．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
19．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱BC，CD的中点.

(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求二面角的余弦值.
参考答案
1．【答案】D
【详解】由导数的定义知.
故选D.
2．【答案】A
【详解】
=,
故选A.
3．【答案】D
【详解】，，所以，
所以.
故选D.
4．【答案】A
【详解】或时；时，排除B、D；
，则，
得；得或，
故在上单调递增，在和上单调递减，
排除C.
故选A.
5．【答案】C
【详解】如图，连接，
正方体的棱长为1，是边长为的等边三角形，
，
设点到平面的距离为，
由，得，
可得，则点到平面的距离为．
故选C．
6．【答案】C
【详解】对于A，连接、，相交于点，连接，如图所示，
因为四边形为正方形，所以是中点，
又为棱的中点，所以，
又平面，平面，所以平面，故A正确；
对于B，以为原点，以、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，,,，
所以,，，所以，故B正确；
对于C，由B选项知，，，所以，
因为平面，所以平面的法向量为，
设直线与平面所成角为，
所以，所以，故C错误；
对于D，因为，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，即，解得，
因为，所以，
点到平面的距离为，
所以三棱锥的体积为，故D正确.
故选C.
7．【答案】A
【详解】，
又∵P是空间任意一点，A、B、C、D四点满足任三点均不共线，但四点共面，
∴，
解得 x=，
故选A．
点睛：设是平面上任一点，是平面上的三点，（不共线），则三点共线，把此结论类比到空间上就是：不共面，若，则四点共面．
8．【答案】A
【详解】与平面向量类比，得到空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，
则该平面的方程为：，
化简得.
故选A.
9．【答案】AC
【详解】A. 与点关于x轴对称的点的坐标为，故A正确；
B. ，若，则与共线，所以不是空间向量的一组基底，故B错误；
C. 在上的投影向量为，故C正确；
D.因为，所以，所以或，故D错误.
故选AC.
10．【答案】ACD
【详解】对于A选项，函数的定义域为，，
由可得或，列表如下：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以，函数的递增区间为、，单调递减区间为，
所以，函数有两个极值点，A对；
对于B选项，由得或，
所以，只有两个不同的零点，B错；
对于C选项，由A选项可知，函数的极大值为，极小值为，
如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，
所以，若方程有三个不同解，则实数的取值范围为，C对；
对于D选项，由A选项可知，，
则，D对.
故选ACD.
11．【答案】BC
【详解】
对于A ，由已知，即，则，故A错误；
对于B，由G为的重心，得，又，，，，即，故B正确；
对于C，若，，则，即，即，故C正确；
对于D，
，又，，故D错误.
故选BC.
12．【答案】
【详解】由，可知，
即
，
解得.
13．【答案】
【详解】向量在向量上的投影向量为.
14．【答案】
【详解】以点为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
，
由平面，设，
所以，
设，
所以，即，解得，
所以，则，
设直线的夹角为，
则，
所以，
所以点到直线的距离为.
15．【答案】(1)
(2)在单调递减，在单调递增，极小值为，无极大值
【详解】（1），
又在处切线方程，所以，
可得，
解得．
（2）由（1）可得，
∴，
令，解得；令，解得，
∴在单调递减，在单调递增，
∴当时，的极小值为，无极大值．
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为底面，底面，所以，
又底面为长方形，所以，平面，
所以平面，平面，所以.
（2）以为原点，射线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，
易知底面的一个法向量为，设为
，
设平面的法向量为，则，
取，可得，
设二面角的大小为，
则，
所以二面角的大小为.
17．【答案】(1)证明见详解；
(2)；
(3).
【详解】（1）设的中点为，连接，
因为N为的中点，所以，且，
又因为，且，所以，且，
所以四边形为平行四边形，则，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）记的中点为，连结，
因为，，，
所以四边形是矩形，则，，
以为原点，以，，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
所以令，则，
设平面的一个法向量为，
所以令，则，
所以，
由图可知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为；
（3）依题意，设，则，
又由（2）得平面的一个法向量为，
记直线与平面所成角为，
所以，解得（负值舍去），
所以，则，
由（2）得平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，，
故，.
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2），
因为，所以由，得，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，
因为恒成立，所以，解得，
所以实数的取值范围为.
19．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）以点为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图所示，

则，，，，，
故，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，故，
则，则，
又平面，故平面；
（2）由（1）可知，，则，
故直线与平面所成角的正弦值为；
（3）由（1）可知，，设平面的法向量为，
则，即，令，则，故，
所以，
则二面角的余弦值为.