苏教版高一下册数学必修第二册10.1.3 两角和与差的正切 同步练习(含详解)

苏教版高一下册数学必修第二册-10.1.3两角和与差的正切 同步练习
[A　基础达标]
1．已知cos ＝2cos (π－α)，则tan ＝(　　)
A．－4　　 B．4
C．－ D．
2.＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
3．若tan (α－β)＝，tan (α＋β)＝，则tan 2β＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
4．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin ∠CED＝(　　)
A． B．
C． D．
5．(多选)下列式子结果为的是(　　)
A．tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°
B．2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)
C．
D．
6．已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝________．
7．已知α＋β＝，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值是________．
8.如图，某书中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈(1丈＝10尺)，现被风折断尖端落在地上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的高为多少尺？现假设折断的竹子与地面的夹角(锐角)为θ，则tan ＝________．
9．已知tan α＝，tan (β－α)＝－2，且<β<π，求β.
10．已知α，β∈，且sin (α＋2β)＝sin α.
(1)求证：tan (α＋β)＝6tan β；
(2)若tan α＝3tan β，求α的值．
[B　能力提升]
11．(多选)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式正确的是(　　)
A．tan (A＋B)＝－ B．tan A＝tan B
C．cos B＝sin A D．tan A tan B＝
12．三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若小正方形面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较大的锐角为θ，则tan ＝(　　)
A．2 B．
C． D．
13．已知tan (α＋β)＝，tan ＝，则的值为(　　)
A． B．
C． D．
14．在△ABC中，tan B＋tan C＋tan B tan C＝，且tan A＋tan B＋1＝tan A tan B，试判断△ABC的形状．
[C　拓展探究]
15．已知tan α，tan β是方程x2＋p(x＋1)＋1＝0的两个根，α＋β∈(0，π).
(1)求α＋β；
(2)若cos (θ－α－β)＝，θ∈，求sin θ.
参考答案
[A　基础达标]
1．解析：选C．因为cos ＝2cos (π－α)，
所以－sin α＝－2cos α tan α＝2.
所以tan ＝＝－.
2.
解析：选A．原式＝＝＝＝－＝－＝－.故选A．
3．解析：选C．tan 2β＝tan [(α＋β)－(α－β)]＝＝＝－，故选C．
4．解析：选B．由题可知∠DEA＝，tan ∠CEB＝，所以有tan ∠CED＝tan (∠DEA－∠CEB)＝tan ＝＝，再根据同角三角函数关系式，可求出sin ∠CED＝，选B．
5．解析：选ABC．对于选项A，利用正切的变形公式可得原式＝；
对于选项B，原式可化为2(sin 35°cos 25°＋cos 35°·sin 25°)＝2sin 60°＝.
对于选项C，原式＝＝tan 60°＝.
对于选项D，原式＝＝，故选ABC．
6．解析：因为B为锐角，sin B＝，
所以cos B＝，
所以tan B＝，
所以tan (A＋B)＝＝＝1.
因为0答案：
7．解析：因为α＋β＝，可得tan (α＋β)＝tan ＝1，
又由tan (α＋β)＝＝1，可得tan α＋tan β＝1－tan αtan β，即tan α＋tan β＋tan αtan β＝1，
所以(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2.
答案：2
8.解析：由题意，设折断处离地面的高为x尺，
则由勾股定理得x2＋32＝(10－x)2，化简得20x＝91，解得x＝4.55.
所以tan θ＝＝，所以tan ＝＝－.
答案：－
9．解：tan β＝tan [α＋(β－α)]＝＝＝－1.
又因为<β<π，所以β＝.
10．解：(1)证明：由sin (α＋2β)＝sin α，得sin [(α＋β)＋β]＝sin [(α＋β)－β]，
整理得6cos (α＋β)sin β＝sin (α＋β)cos β.
又α，β∈，所以tan (α＋β)＝6tan β.
(2)由(1)知＝6tan β，又tan α＝3tan β，
所以＝2tanα.
又α∈，所以tan α＝1，所以α＝.
[B　能力提升]
11．解析：选BCD．因为∠C＝120°，所以A＋B＝60°.
所以2(A＋B)＝C，所以tan (A＋B)＝＝.
所以A错．
因为tan A＋tan B＝(1－tan A tan B)＝，
所以tan A tan B＝①，所以D正确．
又因为tan A＋tan B＝②，由①②联立解得
tan A＝tan B＝，所以cos B＝sin A．故B，C正确．综上，B，C，D正确．故选BCD．
12．解析：选D．如图，
设BC＝x，AC＝y(y＞x)，则，解得.所以tan θ＝.
所以tan ＝＝＝.故选D．
13．解析：选B．tan ＝tan
＝＝＝＝，故选B．
14．解：tan A＝tan [π－(B＋C)]＝－tan (B＋C)＝＝＝－，而0°tan C＝tan [π－(A＋B)]＝－tan (A＋B)＝＝＝，而0°所以B＝180°－120°－30°＝30°.
所以△ABC是顶角为120°的等腰三角形．
[C　拓展探究]
15．解：(1)由根与系数的关系得tan α＋tan β＝－p，tan α·tan β＝p＋1，
所以tan (α＋β)＝＝＝1.
因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
(2)cos (θ－α－β)＝cos ＝，由θ∈，得θ－∈，
所以sin ＝.
sin θ＝sin ＝sin cos ＋
cos sin ＝×＝.