苏教版高一下册数学必修第二册10.2 二倍角的三角函数 同步练习(含详解)

苏教版高一下册数学必修第二册-10.2二倍角的三角函数
同步练习
[A　基础达标]
1．计算sin 15°sin 30°sin 75°的值为(　　)
A． B．
C． D．
2．已知sin ＝，则cos 的值为(　　)
A． B．
C．　 D．
3．若sinα＝2sin ，则tan 2α＝(　　)
A． B．－
C． D．－
4．(2021·高考全国卷甲)若α∈，tan2α＝，则tan α＝(　　)
A． B．
C． D．
5．数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比m＝的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin 18°，则＝(　　)
A．4 B．＋1
C．2 D．－1
6．已知cos ＝，则sin 2x＝________．
7.＝________．
8．已知函数f(x)＝cos2＋sinx－.若f(α)＝，则sin ＝________．
9．已知0<β<α<，sin α＝，sin (α－β)＝.
(1)求sin 2α；
(2)求cos (α＋β).
10．已知α为第二象限角，且sin α＝，求的值．
[B　能力提升]
11．(2021·新高考卷Ⅰ)若tan θ＝－2，则＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
12.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，＝.根据这些信息，可得cos324°＝(　　)
A． B．
C．－ D．
13．已知θ∈，＋＝2，则sin 2θ＝________，sin ＝________．
14．已知sin －2cos ＝0.
(1)求tan x的值；
(2)求的值．
[C　拓展探究]
15．如图所示，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿由点B到点E的方向前行30 m至点C，测得顶端A的仰角为2θ，再沿刚才的方向继续前行10 m 到点D，测得顶端A的仰角为4θ.求θ的大小和建筑物AE的高．
参考答案
1．解析：选C．原式＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝.故选C．
2．解析：选D．因为sin ＝，
所以cos ＝cos
＝1－2sin2＝.
3．解析：选B．由sin α＝2sin ，可得sin α＝2cos α，即tan α＝2，则tan 2α＝＝＝－.故选B．
4．解析：选A．因为tan 2α＝＝，且tan2α＝，所以＝，解得sin α＝.因为a∈，所以cos α＝，tan α＝＝.故选A．
5．解析：选C．由题可知2sin18°＝m＝，所以m2＝4sin218°.
则＝＝＝＝2.
故选C．
6．解析：因为sin 2x＝cos ＝cos ＝2cos2－1，
所以sin2x＝2×－1＝－1＝－.
答案：－
7.解析：＝
＝＝1.
答案：1
8．解析：f(x)＝×＋sin x－＝sin x＋cos x＝sin ，
又f(α)＝，所以sin ＝，
所以cos ＝1－2sin2＝，
又2α＋＝＋，
所以sin＝sin
＝－cos ＝－.
答案：－
9．解：(1)因为0<α<，sin α＝，所以cos α＝，
从而sin 2α＝2sin αcos α＝.
(2)由题知，cos 2α＝1－2sin2α＝－.
因为0<β<α<，所以0<α－β<，
所以cos(α－β)＝＝，
所以cos(α＋β)＝cos [2α－(α－β)]＝cos 2αcos (α－β)＋sin 2αsin (α－β)
＝－×＋×＝.
10．解：原式＝＝.
因为α为第二象限角，且sin α＝，
所以sin α＋cos α≠0，cos α＝－.
所以原式＝＝－.
[B　能力提升]
11．解析：选C．通解(求值代入法)：因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二、四象限，
所以或
所以＝
＝sin θ·(sin θ＋cos θ)＝sin2θ＋sin θcos θ＝－＝.故选C．
优解一(弦化切法)：因为tan θ＝－2，
所以＝＝sin θ·(sin θ＋cos θ)
＝＝＝＝.故选C．
优解二(正弦化余弦法)：因为tanθ＝－2，所以sin θ＝－2cos θ.
则＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)
＝＝＝＝.故选C．
12.解析：选B．由题意可得∠ACB＝72°，且cos ∠ACB＝＝，
所以cos 144°＝2cos272°－1＝－，
所以cos324°＝cos (144°＋180°)＝－cos 144°＝.故选B．
13．解析：＋＝2 ＝2
sin θ＋cos θ＝2sin θcos θ 1＋sin 2θ＝2sin22θ.
因为θ∈，所以2θ∈(π，2π).
所以sin2θ＝－.所以sin θ＋cos θ<0.
所以θ∈.所以2θ∈.
所以cos 2θ＝.
所以sin ＝sin 2θcos ＋
sin cos 2θ＝.
答案：－　
14．解：(1)由sin －2cos ＝0，
知cos ≠0，所以tan ＝2.
所以tan x＝＝＝－.
(2)由(1)知tan x＝－，
所以＝
＝＝
＝×＝×＝.
[C　拓展探究]
15．解：因为∠ACD＝θ＋∠BAC＝2θ，
所以∠BAC＝θ，所以AC＝BC＝30 m.
又∠ADE＝2θ＋∠CAD＝4θ，
所以∠CAD＝2θ，
所以AD＝CD＝10 m.
所以在Rt△ADE中，AE＝AD·sin 4θ＝10sin 4θ(m).
在Rt△ACE中，AE＝AC·sin 2θ＝30sin 2θ(m)，
所以10sin 4θ＝30sin 2θ.
即20sin 2θcos 2θ＝30sin 2θ，
所以cos 2θ＝.
又2θ∈，所以2θ＝，
所以θ＝.
所以AE＝30sin ＝15(m).
所以θ＝，建筑物AE的高为15 m．