四川省仁寿县文宫中学2025届高三下学期三模数学试题（含解析）

四川省仁寿县文宫中学2025届高三下学期三模数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．若复数满足，则的虚部与实部之差为（ ）
A． B． C． D．
2．已知焦点在y轴上的椭圆的离心率为，焦距为，则该椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知向量，则向量在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线的焦距为，则的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆，若圆刚好被直线平分，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．某公司的两名同事计划今年国庆节期间从大理、丽江、洱海、玉龙雪山、蓝月谷这个著名旅游景点中随机选择一个游玩.若在两人中至少有一人选择大理的条件下，求两人选择的景点不同的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．若数列前项和满足，则
B．在等差数列中，满足，则其前项和中最大
C．在等差数列中，满足，则数列的前9项和为定值
D．若等差数列中，，则使的最大的为15
10．已知圆，直线，则（ ）
A．当时，圆C上恰有两个点到直线的距离等于1
B．圆C与圆恰有三条公切线
C．直线恒过定点
D．直线与圆C有两个交点
11．已知函数是上的奇函数，对于任意，都有成立，当时，，给出下列结论，其中正确的是（ ）
A．
B．点是函数的图象的一个对称中心
C．函数在上单调递增
D．函数在上有个零点
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知抛物线方程为，则抛物线的准线方程为 ．
13．如图，在梯形中，，且，若是线段上的动点，且，则的取值范围为 .

14．已知，函数
（1）若在上单调递增，则的取值范围为 ；
（2）若对于任意实数，方程有且只有一个实数根，且，函数的图象与函数的图象有三个不同的交点，则的取值范围为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．为了引导学生阅读世界经典文学名著，某学校举办“名著读书日”活动，每个月选择一天为“名著读书日”，并给出一些推荐书目．为了了解此活动促进学生阅读文学名著的情况，该校在此活动持续进行了一年之后，随机抽取了校内100名学生，调查他们在开始举办读书活动前后的一年时间内的名著阅读数量，所得数据如下表：
不少于5本 少于5本 合计
活动前 35 65 100
活动后 60 40 100
合计 95 105 200
(1)依据小概率值的独立性检验，分析举办该读书活动对学生阅读文学名著是否有促进作用；
(2)已知某学生计划在接下来的一年内阅读6本文学名著，其中4本国外名著，2本国内名著，现从6本名著中随机抽取3本在上半年读完，求上半年读完的国内名著本数的分布列及数学期望．
附：，其中．
临界值表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16．在中，角所对的边分别为，设向量，，，.
(1)求函数的最大值；
(2)若，，，求的面积.
17．如图，在圆锥中，为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，点在线段上，，．

(1)证明：平面；
(2)若圆锥的侧面积为，求二面角的正弦值．
18．已知数列满足，点在直线上.
(1)设，证明为等比数列；
(2)求数列的前项和；
(3)设的前项和为，证明：.
19．已知函数，其中.
(1)证明：当时，；
(2)若时，有极小值，求实数的取值范围；
(3)对任意的恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．【答案】B
【详解】因为，
所以，复数的虚部为，实部为，
所以，的虚部与实部之差为.
故选B.
2．【答案】D
【详解】设椭圆的标准方程为，焦距为，
由得，由得，
故，
所以该椭圆的方程为．
故选D．
3．【答案】D
【详解】由，得，由，
得，则，
因此，在上的投影向量为.
故选D.
4．【答案】A
【详解】由双曲线的焦距为，得，解得，
所以曲线的渐近线方程为.
故选A.
5．【答案】A
【详解】圆心为，且圆刚好被直线平分，
则圆心在直线上，所以，，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选A.
6．【答案】B
【分析】设“两人中至少有一人选择大理”为事件，“两人选择的景点不同”为事件，求，，结合条件概率公式求解结论.
【详解】设“两人中至少有一人选择大理”为事件，“两人选择的景点不同”为事件，则，，
，
故选B.
7．【答案】D
【详解】，
，所以，
所以，
所以.
故选D.
8．【答案】B
【详解】，
令，则，
因为在R上单调递增，所以，
当时，可由向右平移得到，
结合与的图象可知，恒成立，
当时，由得到，其中，
令，，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，最小值为，
故，
综上，.
故选B.
9．【答案】BCD
【详解】对于A：数列前项和满足，
当时，，
当时，，所以，
显然不满足上式，故，故A错误；
对于B：等差数列中，满足，，
所以：，则，
由于，所以，故，，
所以其前项和中最大，故B正确；
对于C：等差数列中，满足，，
则数列的前9项和为定值，故C正确；
对于D：若，则，
即，又因为，所以，则数列前8项为正，从第9项开始为负，
因为，所以使的最大的为15，故D正确.
故选BCD.
10．【答案】BCD
【详解】对于A，当时，直线，
圆心到直线的距离为，
而圆C半径为6，因此只有4个点到直线的距离等于1，故A错误；
对于B，圆的方程化为，
其圆心为，半径为4，两圆的圆心距为，
两圆外切，因此它们有三条公切线，故B正确；
对于C，直线的方程为，
由，，直线恒过定点，故C正确；
对于D，36，即定点在圆C内，
则直线与圆C相交且有两个交点，故D正确；
故选BCD.
11．【答案】AB
【详解】在中，令，得，
又函数是R上的奇函数，所以，故A正确；
因为，故是一个周期为的奇函数，
因为是的对称中心，
所以也是函数的图象的一个对称中心，故B正确；
作出函数的部分图象如图所示，
易知函数在上不具单调性，故C不正确；
函数在上有个零点，故D不正确.
故选AB.
12．【答案】
【详解】抛物线的准线方程为.
13．【答案】
【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
，
，则，设，
则（其中），
，
，

所以，当时，取得最小值，当时取得最大值21.
14．【答案】
【详解】（1）由题知：，解得.
（2）因为对于任意实数，方程有且只有一个实数根，且，
所以，解得.
所以，
函数的图象如图所示：
令，解得，即.
当函数过点时，，
此时函数与有两个交点.
联立，
当，即时，
此时函数与有两个交点.
因为函数的图象与函数的图象有三个不同的交点，
所以.
15．【答案】(1)有促进作用
(2)分布列见解析，
【详解】（1）零假设：该读书活动对学生阅读文学名著没有促进作用；
由表中数据可知，，
故可推断不成立，即认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用，该推断犯错误的概率不超过0.001．
（2）由题意可知，的可能取值为0、1、2，
；；；
所以的分布列为：
0 1 2
所以的数学期望为：．
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
.
因为，所以，
所以当，即时，有最大值；
（2）因为，所以，所以，
因为，所以，
由正弦定理，所以，，
又因为，所以，得，
由余弦定理有：，即，所以，
所以．
17．【答案】(1)证明见详解
(2)
【详解】（1）平面，，故以为坐标原点，为轴正方向，
为轴正方向，与同向的方向为轴正方向建立空间直角坐标系．
设，故，，，，，
，，．
，．
故，，
，，平面，平面；
（2）圆锥的侧面积，，
,
由（1）可知，为平面的法向量，
设平面的法向量为，而，，
故令得，
则，
所以二面角的正弦值为．
18．【答案】(1)证明见详解；
(2)，；
(3)证明见详解.
【详解】（1）证明：因为点在直线，则，
则，即，又，
所以是以为首项，公比为的等比数列；
（2）由（1），，
则；
（3）证明：由（2），，
则当时，；
当（）时，注意到，
则，
则
.
综上，当时，.
19．【答案】(1)证明见详解
(2)
(3)
【分析】（1）求导，利用导数判断的单调性，结合单调性分析证明；
（2）求导，令，利用导数分析可知在内单调递增，分类讨论的符号，进而分析的极值，即可得结果；
（3）构建，分析可知原题意等价于对任意恒成立，根据端点效应可得，并代入检验说明其充分性即可.
【详解】（1）因为，则对任意恒成立，
可知在内单调递减，则，
所以当时，.
（2）因为，则，
令，则对任意恒成立，
可知在内单调递增，则，
当，即时，则对任意恒成立，即，
可知在内单调递增，无极值，不合题意；
当，即时，则在内存在唯一零点，
当时，，即；当时，，即；
可知在内单调递减，在内单调递增，
可知存在极小值，符合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
（3）令，
则，
原题意等价于对任意恒成立，
且，则，解得，
若，因为，则，
则，
可知在内单调递增，则，即符合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
【方法总结】两招破解不等式的恒成立问题
1.分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
2.函数思想法
第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解．