7.1 两个基本计数原理 同步学案（含答案）2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 7.1 两个基本计数原理 同步学案（含答案）2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 252.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-26 23:47:35 | ||
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文档简介
7．1 两个基本计数原理
7.1.1 两个基本计数原理(1)
1. 准确理解分类计数原理和分步计数原理，弄清它们的区别．
2. 会运用分类计数原理和分步计数原理解决一些简单的问题．
活动一 背景引入
背景1：小王要从上海到北京旅游，有三种交通工具可供选择：长途汽车、旅客列车、飞机．若每天长途汽车有2班，旅客列车有 3班，飞机有2班．问共有多少种不同的走法？
思考1
(1) 从上海到北京按不同的交通工具可分几类出行方式？
(2) 每一类方式中分别有几种不同的班次选择？则完成这件事共有多少种不同的走法？
(3) 每类方式中的每一种方法有什么特征？
背景2：小王要从上海到北京旅游，若想途中到天津参观南开大学，已知从上海到天津有3种走法，从天津到北京有4种走法．问要从上海经过天津到北京共有多少种不同的走法？
思考2
(1) 从上海经过天津到北京有几个步骤？
(2) 每一步中分别有几种走法？则完成这件事共有多少种走法？
(3) 上述每步的每种方法能否单独实现从上海经过天津到北京的目的？
思考3
(1) 上述两个背景问题有什么区别？
(2) 由这两个问题分别可以得到怎样的数学模型？
(3) 如何用数学语言表述以上数学模型的结论？
活动二 两个计数原理
1. 分类计数原理：
2. 分步计数原理：
思考4
这两个原理有什么区别？分别适用于什么情况？
1. 分类计数原理：
2. 分步计数原理：
两个原理的区别
分类计数原理 分步计数原理
区别一 每类方法都能独立完成这件事．它是独立的、一次的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就完成 任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不可能完成这件事，只有各步骤都完成了才能完成这件事
区别二 各类方法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是相互依存的，并且既不能重复，又不能遗漏
活动三 两个原理的简单应用
例1 某班共有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加校学生代表大会．
(1) 若学校分配给该班1名代表，则有多少种不同的选法？
(2) 若学校分配给该班2名代表，且男、女生代表各1名，则有多少种不同的选法？
例2 (1) 在图1的电路中，仅合上1只开关接通电路，有多少种不同的方法？
(2) 在图2的电路中，仅合上2只开关接通电路，有多少种不同的方法？
图1 图2
例3 3名同学每人从5本不同的电子书中任选1本，共有多少种不同的选法？
1. (教材改编)从甲地出发前往乙地，一天中有4趟汽车、3趟火车和1趟航班可供选择．某人某天要从甲地出发，去乙地旅游，则所有不同走法的种数为( )
A. 16 B. 15 C. 12 D. 8
2. (2024大同月考)现有3名老师、6名男同学和4名女同学共13人．若需1名老师和1名学生参加评选会议，则不同的选法种数为( )
A. 30 B. 18 C. 12 D. 13
3. (多选)(2023沈阳月考)下列结论中，正确的是( )
A. 在分类计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同
B. 在分类计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事
C. 在分步计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成
D. 在分步计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法可以相同
4. (教材改编)用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可以构成________个不同的真分数．
5. 某医院现有3名医生、5名护士、2名麻醉师．
(1) 从中选派1名外出参加学习，有多少种不同的选法？
(2) 从这些人中选出1名医生，1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？
7．1.2 两个基本计数原理(2)
1. 巩固分类计数原理和分步计数原理，能正确进行“分类”与“分步”．
2. 综合运用分类计数原理和分步计数原理解决复杂的问题．
活动一 复习巩固
1. 两个基本计数原理的内容：
2. 两个基本计数原理的区别及适用情形：
练习1 从甲地到乙地一天有汽车 8班，火车3班，轮船2班，则某人一天内乘坐不同班次的汽车、火车或轮船到乙地时，共有______种不同的走法．
练习2 为了给某种新品种农作物选择最佳的生产条件，在分别有4种土质、2种不同的施肥量、3种不同的种植密度、2种不同的播种时间的因素下进行种植试验，则共有______种不同的试验方案．
活动二 掌握分类标准的确定方法
例1 在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
思考1
如何确定分类的标准？
三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少？
在1～20共20个整数中取2个数相加，使其和为偶数的不同取法共有多少种？
活动三 掌握分步标准的确定方法
例2 5名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？若他们争夺这四项比赛的冠军，则获得冠军的可能的种数为多少？(每个比赛项目只有一个冠军)
思考2
如何确定分步的标准？
从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，可组成不同的二次函数共有________个，其中不同的偶函数共有________个．
活动四 掌握两个原理的综合应用
例3 为了确保电子邮箱的安全，在注册时，通常要设置电子邮箱密码．在某网站设置的邮箱中，
(1) 若密码为4位，每位均为0～9这10个数字中的1个，则这样的密码共有多少个？
(2) 若密码为4～6位，每位均为0～9这10个数字中的1个，则这样的密码共有多少个？
有0，1，2，3，4五个数字．
(1) 可以排出多少个三位数字的电话号码？
(2) 可以排成多少个三位数？
(3) 可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？
1. 已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从两个集合中各取1个元素作为点的坐标，则在平面直角坐标系中，第一、二象限不同点的个数为( )
A. 18 B. 16 C. 14 D. 10
2. (教材改编)地图涂色是一类经典的数学问题．如图，用4种不同的颜色涂所给图形中的4个区域，要求相邻区域的颜色不能相同，则不同的涂色方法有( )
A. 84种 B. 72种
C. 48种 D. 24种
3. (多选)(2024山东月考)有6名同学参加3个智力竞赛项目，则下列说法中正确的是( )
A. 若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有729种不同的报名方案
B. 若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有216种不同的报名方案
C. 每项只报一人，每人报名参加的项目不限，则共有216种不同的报名方案
D. 每项只报一人，且每人至多报名参加一项，则共有120种不同的报名方案
4. 若集合A∪B＝{1，2，3}，则集合A，B共有________种组合．
5. 在300和800之间，有多少个没有重复数字的奇数？
7．1 两个基本计数原理
7.1.1 两个基本计数原理(1)
【活动方案】
思考1：(1) 分为长途汽车、旅客列车、飞机三类．
(2) 长途汽车有2班，旅客列车有3班，飞机有2班．完成这件事共有2＋3＋2＝7(种)不同的走法．
(3) 每类方式中的每一种方法都能达到完成这件事的目的．
思考2：(1) 先从上海到天津，再从天津到北京，有两个步骤．
(2) 从上海到天津有3种走法，从天津到北京有 4种走法，则完成这件事共有3×4＝12(种)走法．
(3) 不能，必须依次连续完成两个步骤才能实现从上海经过天津到北京的目的．
思考3：(1) 背景1是分类完成一件事，背景2是分步完成一件事．
(2) 分类计数原理，分步计数原理．
(3) 如果完成一件事有n类方式，这n类方式彼此间独立，不论哪一类方式中的哪一种方法都能单独完成这件事，那么求完成这件事的方法种数就用分类计数原理；如果完成一件事需分成n个步骤依次连续完成，而完成每一个步骤各有若干种方法，那么求完成这件事的方法种数就用分步计数原理．
1. 如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．
2. 如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
思考4：分类计数原理关键在于分类，并且每类方法都能独立地完成这件事；分步计数原理关键在于分步，必须连续完成各个步骤后才算完成这件事．
例1 (1) 选出1名代表有两类方式：第一类，从男生中选出1名代表，有28种不同的选法；第二类，从女生中选出1名代表，有20种不同的选法．根据分类计数原理，共有不同的选法种数是28＋20＝48.
(2) 选出男、女生代表各1名，可以分两个步骤完成：第一步，选1名男生代表，有28种不同的选法；第二步，选1名女生代表，有20种不同的选法．根据分步计数原理，选出男、女生代表各1名，共有不同的选法种数是28×20＝560.
例2 (1) 在图1中，按要求接通电路，只要在A中的 2只开关或B中的3只开关中合上1只即可．根据分类计数原理，共有2＋3＝5(种)不同的方法．
(2) 在图2中，按要求接通电路必须分两步进行：第一步，合上A中的1只开关；第二步，合上B中的 1只开关．根据分步计数原理，共有2×3＝6(种)不同的方法．
例3 第一名同学选1本电子书有5种不同的选法，第二、第三名同学各选1本电子书，仍各有5种不同的选法．因此，根据分步计数原理，3名同学每人各选1本电子书的不同选法种数是5×5×5＝125.
【检测反馈】
1. D 根据分类计数原理，可知共有不同的走法种数为4＋3＋1＝8.
2. A 先从3名老师中任选1名，有3种选法，再从10名学生中任选1名，有10种选法．由分步计数原理知，共有不同的选法种数为3×10＝30.
3. BC 对于A，在分类计数原理中，两类不同方案中的方法互不相同，故A错误；对于B，在分类计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事，故B正确；对于C，在分步计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成，故C正确；对于D，在分步计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的，故D错误．故选BC.
4. 10 由真分数的定义，①若1为分子，分母有4种选择；②若5为分子，分母有3种选择；③若9为分子，分母有2种选择；④若13为分子，分母有1种选择，所以可以构成不同的真分数共有4＋3＋2＋1＝10(个).
5. (1) 分三类：第一类：选出的是医生，共有3种选法；
第二类：选出的是护士，共有5种选法；
第三类：选出的是麻醉师，共有2种选法．
根据分类计数原理，共有不同的选法种数为3＋5＋2＝10.
(2) 分三步：第一步：选出1名医生，共有3种选法；
第二步：选出1名护士，共有5种选法；
第三步：选出1名麻醉师，共有2种选法．
根据分步计数原理，共有不同的选法种数为3×5×2＝30.
7．1.2 两个基本计数原理(2)
【活动方案】
1. 略
2. 略
练习1：13 根据分类计数原理，共有不同的走法种数为8＋3＋2＝13.
练习2：48 根据分步计数原理，不同的试验方案种数为4×2×3×2＝48.
例1 因为个位数字大于十位数字，所以按个位数字是2，3，4，5，6，7，8，9分为8类，在每一类中满足题意的两位数中分别有1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，根据分类计数原理，符合题意的两位数的个数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36.
思考1：根据问题的性质确定分类的标准，如例1中可按个位数字或十位数字分类．
跟踪训练1 设三角形另外两边的长分别为x，y，x∈N*，y∈N*，且 x≤y，则
当x＝1时，y＝11；当x＝2时，y＝10或y＝11；当 x＝3时，y＝9或y＝10或y＝11；…；当x＝11时，y＝11，
所以根据分类计数原理，不同的三角形的个数为 1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36.
跟踪训练2 第一类：偶数和偶数相加，由分步计数原理，得共有＝45(种)取法；第二类：奇数和奇数相加，由分步计数原理，得共有＝45(种)取法．根据分类计数原理，不同的取法共有45＋45＝90(种).
例2 5名学生每人报名的方法都为4种，根据分步计数原理，报名方法的种数为4×4×4×4×4＝1 024.获得第一项比赛的冠军有5种可能，则获得第二项比赛的冠军有4种可能，获得第三项比赛的冠军有3种可能，获得第四项比赛的冠军有2种可能，根据分步计数原理，获得冠军的可能的种数为5×4×3×2＝120.
思考2：根据问题发生的过程确定分步的标准．
跟踪训练 18 6 a的选法有3个，b的选法有3个，c的选法有2个，根据分步计数原理，共有 3×3×2＝18(个)不同的二次函数；当函数为偶函数时，b＝0，则a的选法有3个，c的选法有2个，根据分步计数原理，其中不同的偶函数的个数为3×2＝6.
例3 (1) 设置1个4位密码要分4步进行，每一步确定一位数字，每一位上都可以从0～9这10个数字中任取1个，有10种取法．根据分步计数原理，4位密码的个数是10×10×10×10＝10 000.
(2) 设置的密码为4～6位，每位均为0～9这10个数字中的1个，这样的密码共有3类．其中4位密码、5位密码、6位密码的个数分别为104，105，106.根据分类计数原理，设置由数字0～9组成的4～6位密码的个数是104＋105＋106＝1 110 000.
跟踪训练 (1) 三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种选法，共有5×5×5＝53＝125(个).
(2) 三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的选法，除0外共有4种选法，第二、三位可以排0，因此共有4×5×5＝100(个).
(3) 被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此可以分两类，第一类是末位数字是0，则有4×3＝12(种)选法；第二类是末位数字不是0，则末位有2种选法，即2或4，再排首位，因为0不能在首位，所以有3种选法，十位有3种选法，因此有2×3×3＝18(种)选法，所以共有12＋18＝30(种)选法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．
【检测反馈】
1. C 分两类：一是以集合M中的元素为横坐标，以集合N中的元素为纵坐标，有3×2＝6(个)不同的点；二是以集合N中的元素为横坐标，以集合M中的元素为纵坐标，有4×2＝8(个)不同的点，故由分类计数原理得共有6＋8＝14(个)不同的点．
2. A 将图形区域分为上下左右，若上下颜色相同，则上有4种，左有3种，右有3种，共有4×3×3＝36(种)；若上下颜色不同，则上有4种，下有3种，左右各有两种，共有4×3×2×2＝48(种)，所以共有36＋48＝84(种).
3. ACD 对于A，B，按照6名同学参加的项目，分为6步，每步均有3种选择，根据分步计数原理可知，共有36＝729(种)不同的报名方案，故A正确，B错误；对于C，根据3个智力竞赛项目，分为3步，每步均有6种选择，根据分步计数原理可知，共有63＝216(种)不同的报名方案，故C正确；对于D，根据3个智力竞赛项目，分为3步．第1步有6种选择；第2步有5种选择；第3步有4种选择．根据分步计数原理可知，共有6×5×4＝120(种)不同的报名方案，故D正确．故选ACD.
4. 27 当集合A为空集时，集合B＝{1，2，3}，有1种；当集合A包含1个元素时，例如A＝{1}，则集合B可以为{1，2，3}或{2，3}，故有3×2＝6(种)；当集合A包含2个元素时，例如A＝{1，2}，则集合B可以为{1，2，3}，{1，3}，{2，3}，{3}，故有3×4＝12(种)；当集合A包含3个元素时，例如A＝{1，2，3}，则集合B可以没有元素，1个元素，2个元素，3个元素，故有1＋3＋3＋1＝8(种).根据分类计数原理可得，共有1＋6＋12＋8＝27(种).
5. 一个三位奇数的个位上的数字必是奇数，且因为不允许有重复数字出现，当一个奇数字(1，3，5，7，9)作为个位数时，它就不能作为百位数，所以符合条件的数可以按百位上的数字是奇数或偶数分成两类：
第一类：百位上的数字是偶数．这样的三位数可以由以下三个步骤确定：
第一步，百位上的数字从4和6中任选一个，有2种选法：
第二步，个位上的数字从1，3，5，7，9中任选一个，有5种选法；
第三步，十位上的数字从余下的8个数字中任选一个，有8种选法．
根据乘法原理，这一类奇数的个数为2×5×8＝80.
第二类：百位上的数字是奇数．这样的三位数可以由以下三个步骤确定：
第一步，百位上的数字从3，5，7中任选一个，有3种选法；
第二步，个位上的数字从余下的4个奇数中任选一个，有4种选法；
第三步，十位上的数字从余下的8个数字中任选一个，有8种选法．
根据乘法原理，这一类奇数的个数为3×4×8＝96.
根据加法原理，在300和800之间共有80＋96＝176(个)没有重复数字的奇数．
7.1.1 两个基本计数原理(1)
1. 准确理解分类计数原理和分步计数原理，弄清它们的区别．
2. 会运用分类计数原理和分步计数原理解决一些简单的问题．
活动一 背景引入
背景1：小王要从上海到北京旅游，有三种交通工具可供选择：长途汽车、旅客列车、飞机．若每天长途汽车有2班，旅客列车有 3班，飞机有2班．问共有多少种不同的走法？
思考1
(1) 从上海到北京按不同的交通工具可分几类出行方式？
(2) 每一类方式中分别有几种不同的班次选择？则完成这件事共有多少种不同的走法？
(3) 每类方式中的每一种方法有什么特征？
背景2：小王要从上海到北京旅游，若想途中到天津参观南开大学，已知从上海到天津有3种走法，从天津到北京有4种走法．问要从上海经过天津到北京共有多少种不同的走法？
思考2
(1) 从上海经过天津到北京有几个步骤？
(2) 每一步中分别有几种走法？则完成这件事共有多少种走法？
(3) 上述每步的每种方法能否单独实现从上海经过天津到北京的目的？
思考3
(1) 上述两个背景问题有什么区别？
(2) 由这两个问题分别可以得到怎样的数学模型？
(3) 如何用数学语言表述以上数学模型的结论？
活动二 两个计数原理
1. 分类计数原理：
2. 分步计数原理：
思考4
这两个原理有什么区别？分别适用于什么情况？
1. 分类计数原理：
2. 分步计数原理：
两个原理的区别
分类计数原理 分步计数原理
区别一 每类方法都能独立完成这件事．它是独立的、一次的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就完成 任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不可能完成这件事，只有各步骤都完成了才能完成这件事
区别二 各类方法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是相互依存的，并且既不能重复，又不能遗漏
活动三 两个原理的简单应用
例1 某班共有男生28名、女生20名，从该班选出学生代表参加校学生代表大会．
(1) 若学校分配给该班1名代表，则有多少种不同的选法？
(2) 若学校分配给该班2名代表，且男、女生代表各1名，则有多少种不同的选法？
例2 (1) 在图1的电路中，仅合上1只开关接通电路，有多少种不同的方法？
(2) 在图2的电路中，仅合上2只开关接通电路，有多少种不同的方法？
图1 图2
例3 3名同学每人从5本不同的电子书中任选1本，共有多少种不同的选法？
1. (教材改编)从甲地出发前往乙地，一天中有4趟汽车、3趟火车和1趟航班可供选择．某人某天要从甲地出发，去乙地旅游，则所有不同走法的种数为( )
A. 16 B. 15 C. 12 D. 8
2. (2024大同月考)现有3名老师、6名男同学和4名女同学共13人．若需1名老师和1名学生参加评选会议，则不同的选法种数为( )
A. 30 B. 18 C. 12 D. 13
3. (多选)(2023沈阳月考)下列结论中，正确的是( )
A. 在分类计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同
B. 在分类计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事
C. 在分步计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成
D. 在分步计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法可以相同
4. (教材改编)用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可以构成________个不同的真分数．
5. 某医院现有3名医生、5名护士、2名麻醉师．
(1) 从中选派1名外出参加学习，有多少种不同的选法？
(2) 从这些人中选出1名医生，1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组，有多少种不同的选法？
7．1.2 两个基本计数原理(2)
1. 巩固分类计数原理和分步计数原理，能正确进行“分类”与“分步”．
2. 综合运用分类计数原理和分步计数原理解决复杂的问题．
活动一 复习巩固
1. 两个基本计数原理的内容：
2. 两个基本计数原理的区别及适用情形：
练习1 从甲地到乙地一天有汽车 8班，火车3班，轮船2班，则某人一天内乘坐不同班次的汽车、火车或轮船到乙地时，共有______种不同的走法．
练习2 为了给某种新品种农作物选择最佳的生产条件，在分别有4种土质、2种不同的施肥量、3种不同的种植密度、2种不同的播种时间的因素下进行种植试验，则共有______种不同的试验方案．
活动二 掌握分类标准的确定方法
例1 在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
思考1
如何确定分类的标准？
三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少？
在1～20共20个整数中取2个数相加，使其和为偶数的不同取法共有多少种？
活动三 掌握分步标准的确定方法
例2 5名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？若他们争夺这四项比赛的冠军，则获得冠军的可能的种数为多少？(每个比赛项目只有一个冠军)
思考2
如何确定分步的标准？
从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，可组成不同的二次函数共有________个，其中不同的偶函数共有________个．
活动四 掌握两个原理的综合应用
例3 为了确保电子邮箱的安全，在注册时，通常要设置电子邮箱密码．在某网站设置的邮箱中，
(1) 若密码为4位，每位均为0～9这10个数字中的1个，则这样的密码共有多少个？
(2) 若密码为4～6位，每位均为0～9这10个数字中的1个，则这样的密码共有多少个？
有0，1，2，3，4五个数字．
(1) 可以排出多少个三位数字的电话号码？
(2) 可以排成多少个三位数？
(3) 可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？
1. 已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，从两个集合中各取1个元素作为点的坐标，则在平面直角坐标系中，第一、二象限不同点的个数为( )
A. 18 B. 16 C. 14 D. 10
2. (教材改编)地图涂色是一类经典的数学问题．如图，用4种不同的颜色涂所给图形中的4个区域，要求相邻区域的颜色不能相同，则不同的涂色方法有( )
A. 84种 B. 72种
C. 48种 D. 24种
3. (多选)(2024山东月考)有6名同学参加3个智力竞赛项目，则下列说法中正确的是( )
A. 若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有729种不同的报名方案
B. 若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有216种不同的报名方案
C. 每项只报一人，每人报名参加的项目不限，则共有216种不同的报名方案
D. 每项只报一人，且每人至多报名参加一项，则共有120种不同的报名方案
4. 若集合A∪B＝{1，2，3}，则集合A，B共有________种组合．
5. 在300和800之间，有多少个没有重复数字的奇数？
7．1 两个基本计数原理
7.1.1 两个基本计数原理(1)
【活动方案】
思考1：(1) 分为长途汽车、旅客列车、飞机三类．
(2) 长途汽车有2班，旅客列车有3班，飞机有2班．完成这件事共有2＋3＋2＝7(种)不同的走法．
(3) 每类方式中的每一种方法都能达到完成这件事的目的．
思考2：(1) 先从上海到天津，再从天津到北京，有两个步骤．
(2) 从上海到天津有3种走法，从天津到北京有 4种走法，则完成这件事共有3×4＝12(种)走法．
(3) 不能，必须依次连续完成两个步骤才能实现从上海经过天津到北京的目的．
思考3：(1) 背景1是分类完成一件事，背景2是分步完成一件事．
(2) 分类计数原理，分步计数原理．
(3) 如果完成一件事有n类方式，这n类方式彼此间独立，不论哪一类方式中的哪一种方法都能单独完成这件事，那么求完成这件事的方法种数就用分类计数原理；如果完成一件事需分成n个步骤依次连续完成，而完成每一个步骤各有若干种方法，那么求完成这件事的方法种数就用分步计数原理．
1. 如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．
2. 如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
思考4：分类计数原理关键在于分类，并且每类方法都能独立地完成这件事；分步计数原理关键在于分步，必须连续完成各个步骤后才算完成这件事．
例1 (1) 选出1名代表有两类方式：第一类，从男生中选出1名代表，有28种不同的选法；第二类，从女生中选出1名代表，有20种不同的选法．根据分类计数原理，共有不同的选法种数是28＋20＝48.
(2) 选出男、女生代表各1名，可以分两个步骤完成：第一步，选1名男生代表，有28种不同的选法；第二步，选1名女生代表，有20种不同的选法．根据分步计数原理，选出男、女生代表各1名，共有不同的选法种数是28×20＝560.
例2 (1) 在图1中，按要求接通电路，只要在A中的 2只开关或B中的3只开关中合上1只即可．根据分类计数原理，共有2＋3＝5(种)不同的方法．
(2) 在图2中，按要求接通电路必须分两步进行：第一步，合上A中的1只开关；第二步，合上B中的 1只开关．根据分步计数原理，共有2×3＝6(种)不同的方法．
例3 第一名同学选1本电子书有5种不同的选法，第二、第三名同学各选1本电子书，仍各有5种不同的选法．因此，根据分步计数原理，3名同学每人各选1本电子书的不同选法种数是5×5×5＝125.
【检测反馈】
1. D 根据分类计数原理，可知共有不同的走法种数为4＋3＋1＝8.
2. A 先从3名老师中任选1名，有3种选法，再从10名学生中任选1名，有10种选法．由分步计数原理知，共有不同的选法种数为3×10＝30.
3. BC 对于A，在分类计数原理中，两类不同方案中的方法互不相同，故A错误；对于B，在分类计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事，故B正确；对于C，在分步计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成，故C正确；对于D，在分步计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的，故D错误．故选BC.
4. 10 由真分数的定义，①若1为分子，分母有4种选择；②若5为分子，分母有3种选择；③若9为分子，分母有2种选择；④若13为分子，分母有1种选择，所以可以构成不同的真分数共有4＋3＋2＋1＝10(个).
5. (1) 分三类：第一类：选出的是医生，共有3种选法；
第二类：选出的是护士，共有5种选法；
第三类：选出的是麻醉师，共有2种选法．
根据分类计数原理，共有不同的选法种数为3＋5＋2＝10.
(2) 分三步：第一步：选出1名医生，共有3种选法；
第二步：选出1名护士，共有5种选法；
第三步：选出1名麻醉师，共有2种选法．
根据分步计数原理，共有不同的选法种数为3×5×2＝30.
7．1.2 两个基本计数原理(2)
【活动方案】
1. 略
2. 略
练习1：13 根据分类计数原理，共有不同的走法种数为8＋3＋2＝13.
练习2：48 根据分步计数原理，不同的试验方案种数为4×2×3×2＝48.
例1 因为个位数字大于十位数字，所以按个位数字是2，3，4，5，6，7，8，9分为8类，在每一类中满足题意的两位数中分别有1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，根据分类计数原理，符合题意的两位数的个数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36.
思考1：根据问题的性质确定分类的标准，如例1中可按个位数字或十位数字分类．
跟踪训练1 设三角形另外两边的长分别为x，y，x∈N*，y∈N*，且 x≤y，则
当x＝1时，y＝11；当x＝2时，y＝10或y＝11；当 x＝3时，y＝9或y＝10或y＝11；…；当x＝11时，y＝11，
所以根据分类计数原理，不同的三角形的个数为 1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36.
跟踪训练2 第一类：偶数和偶数相加，由分步计数原理，得共有＝45(种)取法；第二类：奇数和奇数相加，由分步计数原理，得共有＝45(种)取法．根据分类计数原理，不同的取法共有45＋45＝90(种).
例2 5名学生每人报名的方法都为4种，根据分步计数原理，报名方法的种数为4×4×4×4×4＝1 024.获得第一项比赛的冠军有5种可能，则获得第二项比赛的冠军有4种可能，获得第三项比赛的冠军有3种可能，获得第四项比赛的冠军有2种可能，根据分步计数原理，获得冠军的可能的种数为5×4×3×2＝120.
思考2：根据问题发生的过程确定分步的标准．
跟踪训练 18 6 a的选法有3个，b的选法有3个，c的选法有2个，根据分步计数原理，共有 3×3×2＝18(个)不同的二次函数；当函数为偶函数时，b＝0，则a的选法有3个，c的选法有2个，根据分步计数原理，其中不同的偶函数的个数为3×2＝6.
例3 (1) 设置1个4位密码要分4步进行，每一步确定一位数字，每一位上都可以从0～9这10个数字中任取1个，有10种取法．根据分步计数原理，4位密码的个数是10×10×10×10＝10 000.
(2) 设置的密码为4～6位，每位均为0～9这10个数字中的1个，这样的密码共有3类．其中4位密码、5位密码、6位密码的个数分别为104，105，106.根据分类计数原理，设置由数字0～9组成的4～6位密码的个数是104＋105＋106＝1 110 000.
跟踪训练 (1) 三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种选法，共有5×5×5＝53＝125(个).
(2) 三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的选法，除0外共有4种选法，第二、三位可以排0，因此共有4×5×5＝100(个).
(3) 被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此可以分两类，第一类是末位数字是0，则有4×3＝12(种)选法；第二类是末位数字不是0，则末位有2种选法，即2或4，再排首位，因为0不能在首位，所以有3种选法，十位有3种选法，因此有2×3×3＝18(种)选法，所以共有12＋18＝30(种)选法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．
【检测反馈】
1. C 分两类：一是以集合M中的元素为横坐标，以集合N中的元素为纵坐标，有3×2＝6(个)不同的点；二是以集合N中的元素为横坐标，以集合M中的元素为纵坐标，有4×2＝8(个)不同的点，故由分类计数原理得共有6＋8＝14(个)不同的点．
2. A 将图形区域分为上下左右，若上下颜色相同，则上有4种，左有3种，右有3种，共有4×3×3＝36(种)；若上下颜色不同，则上有4种，下有3种，左右各有两种，共有4×3×2×2＝48(种)，所以共有36＋48＝84(种).
3. ACD 对于A，B，按照6名同学参加的项目，分为6步，每步均有3种选择，根据分步计数原理可知，共有36＝729(种)不同的报名方案，故A正确，B错误；对于C，根据3个智力竞赛项目，分为3步，每步均有6种选择，根据分步计数原理可知，共有63＝216(种)不同的报名方案，故C正确；对于D，根据3个智力竞赛项目，分为3步．第1步有6种选择；第2步有5种选择；第3步有4种选择．根据分步计数原理可知，共有6×5×4＝120(种)不同的报名方案，故D正确．故选ACD.
4. 27 当集合A为空集时，集合B＝{1，2，3}，有1种；当集合A包含1个元素时，例如A＝{1}，则集合B可以为{1，2，3}或{2，3}，故有3×2＝6(种)；当集合A包含2个元素时，例如A＝{1，2}，则集合B可以为{1，2，3}，{1，3}，{2，3}，{3}，故有3×4＝12(种)；当集合A包含3个元素时，例如A＝{1，2，3}，则集合B可以没有元素，1个元素，2个元素，3个元素，故有1＋3＋3＋1＝8(种).根据分类计数原理可得，共有1＋6＋12＋8＝27(种).
5. 一个三位奇数的个位上的数字必是奇数，且因为不允许有重复数字出现，当一个奇数字(1，3，5，7，9)作为个位数时，它就不能作为百位数，所以符合条件的数可以按百位上的数字是奇数或偶数分成两类：
第一类：百位上的数字是偶数．这样的三位数可以由以下三个步骤确定：
第一步，百位上的数字从4和6中任选一个，有2种选法：
第二步，个位上的数字从1，3，5，7，9中任选一个，有5种选法；
第三步，十位上的数字从余下的8个数字中任选一个，有8种选法．
根据乘法原理，这一类奇数的个数为2×5×8＝80.
第二类：百位上的数字是奇数．这样的三位数可以由以下三个步骤确定：
第一步，百位上的数字从3，5，7中任选一个，有3种选法；
第二步，个位上的数字从余下的4个奇数中任选一个，有4种选法；
第三步，十位上的数字从余下的8个数字中任选一个，有8种选法．
根据乘法原理，这一类奇数的个数为3×4×8＝96.
根据加法原理，在300和800之间共有80＋96＝176(个)没有重复数字的奇数．