7.2 排列 同步学案（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 7.2 排列 同步学案（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 114.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-26 23:48:00 | ||
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文档简介
7．2 排 列
7.2.1 排 列(1)
1. 理解排列的意义，并能借助树形图写出所有排列．
2. 了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从而体会“化归”的数学思想．
活动一 背景引入
问题1：高二(1)班准备从甲、乙、丙这3名学生中选出2人分别担任班长和副班长，有多少种不同的选法？
(1) 利用计数原理思考解决方案；
(2) 写出所有可能的结果．
问题2：从1，2，3这3个数字中取出2个数字组成两位数，这样的两位数共有多少个？
思考1
以上两个问题有什么共同点？
活动二 排列的概念
1. 排列的概念：
一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
思考2
(1) 排列的定义包括哪两个方面？
(2) 什么是相同的排列？什么是不同的排列？
例1 (1) 写出从a，b，c，d这4个字母中，取出2个字母的所有排列；
(2) 写出从a，b，c，d这4个字母中，取出3个字母的所有排列．
活动三 排列数的概念
2. 排列数的概念：
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示．
思考3
排列和排列数有何区别？
3. 排列数公式的推导：
思考4
(1) 如何求A？
(2) 如何求A？
排列数公式：
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N*，m≤n)
说明：(1) 公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1，最后一个因数是n－m＋1，共有m个因数．
(2) 全排列：当m＝n时，即n个不同元素全部取出的一个排列．
全排列数：A＝n(n－1)(n－2)×…×2×1＝n！(称为n的阶乘).
另外，我们规定 0！＝1.
练习 计算下表中的阶乘并填入表中：
n 2 3 4 5 6 7 8
n！
例2 计算：
(1) A； (2) A；
(3) A； (4) A.
1. (教材改编)从5名学生中挑选2人，分别担任两个学科的课代表，则不同的安排方案有( )
A. 25种 B. 10种 C. 20种 D. 15种
2. (2024重庆月考)A＋A的值为( )
A. 12 B. 18 C. 24 D. 30
3. (多选)(2023新余月考)下列选项中，属于排列问题的是( )
A. 从6名学生中选3名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法
B. 有12名学生参加植树活动，要求3人一组，共有多少种分组方案
C. 从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂
D. 从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点
4. (教材改编)用含A(n>m，n∈N*，m∈N*)的式子表示：9×8×7＝________．
5. 一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法？(假定每股岔道只能停放1列火车)
7．2.2 排 列(2)
1. 巩固排列及排列数的概念，掌握并能应用排列数的两个公式．
2. 初步运用所学的排列知识解决简单的实际问题．
活动一 排列数公式的两种形式及应用
例1 计算：
(1) A；
(2) A；
(3) A÷A.
思考1
由(2)(3)我们看到，A＝A÷A.那么，这个结果有没有一般性呢？
思考2
如何证明这个结论？
例2 (1) 求证：A＝nA(n≥m≥2)；
(2) 求证：A＋mA＝A；
(3) 解方程：A＝12A.
注意：(1) 解含排列数的方程和不等式时要注意排列数A中，m，n∈N*且m≤n这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围；
(2) 公式A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)常用来求值，特别是m，n为已知时，常用公式A＝来证明或化简．
活动二 排列的简单应用
例3 某足球联赛共有12支球队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛 1次，共要进行多少场比赛？
例4 (1) 有5本不同的书，从中选 3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
(2) 有5种不同的书，每种都超过3本，要选3本送给3名同学，每人1本，共有多少种不同的送法？
思考3
例4中两个问题的本质区别在哪里？
1. (教材改编)若1≤n≤10且n∈N*，则(11－n)(12－n)…(20－n)等于( )
A. A B. A C. A D. A
2. 参加完某项活动的6名成员合影留念，前排和后排各3人，不同排法的种数为( )
A. 360 B. 720 C. 2 160 D. 4 320
3. (多选)(教材改编)下列等式成立的是( )
A. A＝ B. (n＋1)A＝A
C. A－A＝n2A D. nA＝n!
4. 有3名男生，4名女生，选其中5人排成一行，共有______种不同的排法．
5. 有4种不同品种的蔬菜，从中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有多少种不同的种植方法？
7．2.3 排 列(3)
1. 会用排列数公式计算和解决简单的实际问题．
2. 能运用分类和分步计数原理解决有限制条件的排列问题．
3. 会用“捆绑法”和“插入法”解决相邻和不相邻问题的应用题．
4. 进一步培养分析问题、解决问题的能力，学会一题多解．
活动一 排数问题
例1 用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
1. 解决排列问题的关键是审题，确定分类与分步的标准，遵循两个原则：
(1) 按事情发生的过程进行分步；
(2) 按元素的性质进行分类．
2. 解题策略：
(1) 特殊元素优先安排的策略；
(2) 合理分类与准确分步的策略；
(3) 正难则反、等价转化的策略．
例2 用1，2，3，4，5这五个数字可组成多少个比20 000大，且百位数字不是3的无重复数字的五位数？
活动二 座位问题
例3 3个女生和5个男生排成一排．
(1) 如果两端都不排女生，有多少种不同的排法？
(2) 如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？
(3) 如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？
(4) 如果男生相邻，女生也相邻，有多少种不同的排法？
(5) 如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？
(6) 如果女生4人，男生5人，男女生相间有多少种排法？
(7) 如果女生4人，男生4人，男女生相间有多少种排法？
例4 将4位司机、4位售票员分配到 4辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有1位司机和1位售票员，共有多少种不同的分配方案？
1. (2023池州期中)某一天的课程要排语文、数学、英语、物理、思想政治、体育、生物学共七门课各一节，若物理不排第一节，则排法总数为( )
A. A B. 6A C. A D. 5A
2. (2023德州一中期末)某夜市的一排摊位上共有9个铺位，现有6家小吃类店铺，3家饮料类店铺打算入驻，若要排出一个摊位规划，要求饮料类店铺不能相邻，则可以排出的摊位规划总个数为( )
A. AA B. AA C. AA D. AA
3. (多选)(2024中山月考)甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，则下列结论中正确的是( )
A. 不同的站队方式共有120种
B. 若甲和乙相邻，则不同的站队方式共有36种
C. 若甲、乙、丙站一起，则不同的站队方式共有36种
D. 甲不在两端，则不同的站队方式共有72种
4. (2024南阳期末)某冬令营计划利用寒假开设甲、乙等六门体验课程，每天一门，连续开设六天，若课程甲、乙排在不相邻的两天，则不同的排法种数为________．
5. 已知圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，从0，3，4，5，6，7，8，9，10这9个数中选出 3个不同的数，分别作为圆心的横坐标、纵坐标和圆的半径．问：
(1) 经过原点的圆有多少个？
(2) 圆心在直线x＋y－10＝0上的圆有多少个？
7.2.1 排 列(1)
【活动方案】
问题1：(1) 第一步：从甲、乙、丙3名学生中选出1人担任班长；
第二步：从余下的2人中选出1人担任副班长，
根据分步计数原理可知，共有6种不同的选法．
(2) 所有可能的情况用树形图表示如下：
即共有6种不同的选法：甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙．
问题2：有12，13，23，21，31，32，共6个．
思考1：从3个元素中选择2个元素，按照一定的顺序排成一列．
思考2：(1) ①定义中给出的n个元素是互不相同的，且选取的m个元素也是互不相同的；②定义中指的是一个排列，而不是所有的排列．
(2) 元素和顺序都相同的排列是相同排列；元素和顺序至少有一个不同的排列是不同的排列．
例1 (1) ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc，共12个不同的排列．
(2) abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共24个不同的排列．
思考3：一个排列是指从n个不同的元素中每次取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列；排列数是指所有排列的个数，它是一个数．
3. 略
思考4：(1) 一般地，为了求出从n个不同元素中任意取出m个元素的排列数，可以把这m个元素所排列的位置划分为第1位、第2位……第m位．
第一步，第1位从n个元素中任取1个来填，有n种不同的方法；
第二步，第2位只能从余下的n－1个元素中任取1个来填，有n－1种不同的方法；
第三步，第3位只能从余下的n－2个元素中任取1个来填，有n－2种不同的方法，根据分步计数原理，A＝n(n－1)(n－2).
(2) 同(1)可得A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1).
练习：2 6 24 120 720 5 040 40 320
例2 (1) A＝5×4×3＝60.
(2) A＝5×4×3×2×1＝120.
(3) A＝10×9×8×7＝5 040.
(4) A＝35×34×33×32＝1 256 640.
【检测反馈】
1. C 从5名学生中挑选2人，分别担任两个学科的课代表，共有A＝20(种)安排方案．
2. B A＋A＝3×2＋4×3＝18.
3. ACD 对于A，从6名学生中选3名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题，故A正确；对于B，有12名学生参加植树活动，要求3人一组，可分为四组，3人一组无先后顺序，不属于排列问题，故B错误；对于C，从3，5，7，9中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题，故C正确；对于D，从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题，故D正确．故选ACD.
4. A
5. 由题意，得从8股岔道选4股岔道停放4列火车，即从8个不同元素中取4个元素的一个排列，故不同的停放方法种数为A＝8×7×6×5＝1 680.
7．2.2 排 列(2)
【活动方案】
例1 (1) A＝10×9×8＝720.
(2) A＝18×17＝306.
(3) A÷A＝18×17＝306.
思考1：A＝＝
思考2：因为A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，
＝
＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，
所以A＝＝.
例2 (1) A＝＝n·＝n·＝nA.
(2) A＋mA＝＋m·
＝＝
＝＝A.
(3) 该方程可化为＝12·，化简，得(11－m)(10－m)＝12，解得m＝7或m＝14(舍去)，故原方程的解为m＝7.
例3 因为1场比赛对应于从12个不同元素中任取2个元素的1个排列，所以总共进行的比赛场次是A＝12×11＝132(场).故共要进行132场比赛．
例4 (1) 从5本不同的书中选3本送给3名同学，则不同的送法种数为A＝5×4×3＝60.
(2) 由题意，得送给每人的书都有5种可能，故不同的送法种数为53＝125.
思考3：(1)中是从5本书中选3本的排列，(2)不是排列．
【检测反馈】
1. A 因为(11－n)(12－n)…(20－n)＝(20－n)(19－n)…(12－n)(11－n)，且(20－n)－(11－n)＋1＝10，所以由排列数公式可得(11－n)(12－n)…(20－n)＝A.
2. B 分两步完成：第一步：从6人中选3人排前排有A＝120(种)不同排法；第二步：剩下的3人排后排有A＝6(种)不同排法，再按照分步计数原理，则有120×6＝720(种)不同排法．
3. BCD 对于A，A＝，故A错误；对于B，(n＋1)A＝(n＋1)＝，A＝＝，故B正确；对于C，A－A＝(n＋1)！－n！＝n！(n＋1－1)＝n·n！，n2A＝n2(n－1)！＝n·n！，故C正确；对于D，nA＝n(n－1)！＝n！，故D正确．故选BCD.
4. 2 520 从7名学生中选5人进行排列，故有A＝7×6×5×4×3＝2 520(种).
5. 相当于从4种蔬菜中选3种进行排列，故不同的种植方法种数为A＝4×3×2＝24.
7．2.3 排 列(3)
【活动方案】
例1 方法一：由于百位上的数字不能是0，所以为了得到这个三位数，可以分两步完成：
第一步：排百位上的数字，可从1～9这9个数字中任选1个，有A种选法；
第二步：排十位和个位上的数字，可以从余下的9个数字中任选2个，有A种选法．
根据分步计数原理，所求的三位数的个数是AA＝9×9×8＝648.
方法二：考虑到0是一个特殊元素，所以符合条件的三位数可以分成3类：
第一类：每一位数字都不是0的三位数有A个；
第二类：个位数字是0的三位数有A个；
第三类：十位数字是0的三位数有A个．
根据分类计数原理，符合条件的三位数的个数是A＋A＋A＝9×8×7＋9×8＋9×8＝648.
方法三：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为A，其中0在首位的排列数为A，这些排列不能构成三位数，所以组成的三位数的个数为A－A＝10×9×8－9×8＝648.
例2 由题意，得万位上的数字是2，3，4，5中一个，
当万位上的数字是3时，有A＝24(种)情况；
当万位上的数字是2，4，5时，因为百位上的数字不是3，所以有3(A－A)＝54(种)情况．
综上，所求无重复数字的五位数有24＋54＝78(个).
例3 (1) AA＝5×4×6！＝14 400(种).
(2) A－AA＝8！－3×2×6！＝36 000(种).
(3) AA＝3！×6！＝4 320(种).
(4) AAA＝1 440(种).
(5) AA＝5！×6×5×4＝14 400(种).
(6) AA＝4！×5！＝2 880(种).
(7) 2AA＝2×4！×4！＝1 152(种).
例4 AA＝4！×4！＝576(种)，
故共有576种分配方案．
【检测反馈】
1. B 若物理不排第一节，则第一节可以排语文、数学、英语、思想政治、体育、生物学六门课中的一门，剩余六门课随便排，所以不同的排法种数为6A.
2. D 先将6个小吃类店铺进行全排列，有A种排法，再从这6个小吃类店铺形成的7个空中选3个进行排列，有A种排法，故排出的摊位规划总个数为AA.
3. ACD 对于A，甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，不同的站队方式共有A＝120(种)，故A正确；对于B，甲和乙相邻的站队方式有AA＝48(种)，故B错误；对于C，甲、乙、丙站一起的不同的站队方式有AA＝36(种)，故C正确；对于D，甲不在两端的不同的站队方式有AA＝72(种)，故D正确．故选ACD.
4. 480 先排甲、乙以外的四门体验课程，此时有A＝24(种)，再用插空法排甲、乙两门体验课程，此时有A＝20(种)，则不同的排法共有AA＝480(种).
5. (1) 若圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2经过原点，则a，b，r满足a2＋b2＝r2，
根据题意满足该条件的a，b，r共有3，4，5与6，8，10两组．考虑a，b的顺序，有A种情况，
所以符合题意的圆有2A＝4(个).
(2) 若圆心在直线x＋y－10＝0上，
则满足a＋b＝10，
根据题意满足条件的a，b有三组：0，10；3，7；4，6.
当a，b取10，0时，r有7种情况，
当a，b取3，7；4，6时，r不可取0，分别有6种情况，
考虑a，b的顺序，有A种情况，
所以满足题意的圆共有7A＋2×6A＝38(个).
7.2.1 排 列(1)
1. 理解排列的意义，并能借助树形图写出所有排列．
2. 了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从而体会“化归”的数学思想．
活动一 背景引入
问题1：高二(1)班准备从甲、乙、丙这3名学生中选出2人分别担任班长和副班长，有多少种不同的选法？
(1) 利用计数原理思考解决方案；
(2) 写出所有可能的结果．
问题2：从1，2，3这3个数字中取出2个数字组成两位数，这样的两位数共有多少个？
思考1
以上两个问题有什么共同点？
活动二 排列的概念
1. 排列的概念：
一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
思考2
(1) 排列的定义包括哪两个方面？
(2) 什么是相同的排列？什么是不同的排列？
例1 (1) 写出从a，b，c，d这4个字母中，取出2个字母的所有排列；
(2) 写出从a，b，c，d这4个字母中，取出3个字母的所有排列．
活动三 排列数的概念
2. 排列数的概念：
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示．
思考3
排列和排列数有何区别？
3. 排列数公式的推导：
思考4
(1) 如何求A？
(2) 如何求A？
排列数公式：
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N*，m≤n)
说明：(1) 公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1，最后一个因数是n－m＋1，共有m个因数．
(2) 全排列：当m＝n时，即n个不同元素全部取出的一个排列．
全排列数：A＝n(n－1)(n－2)×…×2×1＝n！(称为n的阶乘).
另外，我们规定 0！＝1.
练习 计算下表中的阶乘并填入表中：
n 2 3 4 5 6 7 8
n！
例2 计算：
(1) A； (2) A；
(3) A； (4) A.
1. (教材改编)从5名学生中挑选2人，分别担任两个学科的课代表，则不同的安排方案有( )
A. 25种 B. 10种 C. 20种 D. 15种
2. (2024重庆月考)A＋A的值为( )
A. 12 B. 18 C. 24 D. 30
3. (多选)(2023新余月考)下列选项中，属于排列问题的是( )
A. 从6名学生中选3名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法
B. 有12名学生参加植树活动，要求3人一组，共有多少种分组方案
C. 从3，5，7，9中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂
D. 从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点
4. (教材改编)用含A(n>m，n∈N*，m∈N*)的式子表示：9×8×7＝________．
5. 一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法？(假定每股岔道只能停放1列火车)
7．2.2 排 列(2)
1. 巩固排列及排列数的概念，掌握并能应用排列数的两个公式．
2. 初步运用所学的排列知识解决简单的实际问题．
活动一 排列数公式的两种形式及应用
例1 计算：
(1) A；
(2) A；
(3) A÷A.
思考1
由(2)(3)我们看到，A＝A÷A.那么，这个结果有没有一般性呢？
思考2
如何证明这个结论？
例2 (1) 求证：A＝nA(n≥m≥2)；
(2) 求证：A＋mA＝A；
(3) 解方程：A＝12A.
注意：(1) 解含排列数的方程和不等式时要注意排列数A中，m，n∈N*且m≤n这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围；
(2) 公式A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)常用来求值，特别是m，n为已知时，常用公式A＝来证明或化简．
活动二 排列的简单应用
例3 某足球联赛共有12支球队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛 1次，共要进行多少场比赛？
例4 (1) 有5本不同的书，从中选 3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
(2) 有5种不同的书，每种都超过3本，要选3本送给3名同学，每人1本，共有多少种不同的送法？
思考3
例4中两个问题的本质区别在哪里？
1. (教材改编)若1≤n≤10且n∈N*，则(11－n)(12－n)…(20－n)等于( )
A. A B. A C. A D. A
2. 参加完某项活动的6名成员合影留念，前排和后排各3人，不同排法的种数为( )
A. 360 B. 720 C. 2 160 D. 4 320
3. (多选)(教材改编)下列等式成立的是( )
A. A＝ B. (n＋1)A＝A
C. A－A＝n2A D. nA＝n!
4. 有3名男生，4名女生，选其中5人排成一行，共有______种不同的排法．
5. 有4种不同品种的蔬菜，从中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，有多少种不同的种植方法？
7．2.3 排 列(3)
1. 会用排列数公式计算和解决简单的实际问题．
2. 能运用分类和分步计数原理解决有限制条件的排列问题．
3. 会用“捆绑法”和“插入法”解决相邻和不相邻问题的应用题．
4. 进一步培养分析问题、解决问题的能力，学会一题多解．
活动一 排数问题
例1 用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
1. 解决排列问题的关键是审题，确定分类与分步的标准，遵循两个原则：
(1) 按事情发生的过程进行分步；
(2) 按元素的性质进行分类．
2. 解题策略：
(1) 特殊元素优先安排的策略；
(2) 合理分类与准确分步的策略；
(3) 正难则反、等价转化的策略．
例2 用1，2，3，4，5这五个数字可组成多少个比20 000大，且百位数字不是3的无重复数字的五位数？
活动二 座位问题
例3 3个女生和5个男生排成一排．
(1) 如果两端都不排女生，有多少种不同的排法？
(2) 如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？
(3) 如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？
(4) 如果男生相邻，女生也相邻，有多少种不同的排法？
(5) 如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？
(6) 如果女生4人，男生5人，男女生相间有多少种排法？
(7) 如果女生4人，男生4人，男女生相间有多少种排法？
例4 将4位司机、4位售票员分配到 4辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有1位司机和1位售票员，共有多少种不同的分配方案？
1. (2023池州期中)某一天的课程要排语文、数学、英语、物理、思想政治、体育、生物学共七门课各一节，若物理不排第一节，则排法总数为( )
A. A B. 6A C. A D. 5A
2. (2023德州一中期末)某夜市的一排摊位上共有9个铺位，现有6家小吃类店铺，3家饮料类店铺打算入驻，若要排出一个摊位规划，要求饮料类店铺不能相邻，则可以排出的摊位规划总个数为( )
A. AA B. AA C. AA D. AA
3. (多选)(2024中山月考)甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，则下列结论中正确的是( )
A. 不同的站队方式共有120种
B. 若甲和乙相邻，则不同的站队方式共有36种
C. 若甲、乙、丙站一起，则不同的站队方式共有36种
D. 甲不在两端，则不同的站队方式共有72种
4. (2024南阳期末)某冬令营计划利用寒假开设甲、乙等六门体验课程，每天一门，连续开设六天，若课程甲、乙排在不相邻的两天，则不同的排法种数为________．
5. 已知圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，从0，3，4，5，6，7，8，9，10这9个数中选出 3个不同的数，分别作为圆心的横坐标、纵坐标和圆的半径．问：
(1) 经过原点的圆有多少个？
(2) 圆心在直线x＋y－10＝0上的圆有多少个？
7.2.1 排 列(1)
【活动方案】
问题1：(1) 第一步：从甲、乙、丙3名学生中选出1人担任班长；
第二步：从余下的2人中选出1人担任副班长，
根据分步计数原理可知，共有6种不同的选法．
(2) 所有可能的情况用树形图表示如下：
即共有6种不同的选法：甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙．
问题2：有12，13，23，21，31，32，共6个．
思考1：从3个元素中选择2个元素，按照一定的顺序排成一列．
思考2：(1) ①定义中给出的n个元素是互不相同的，且选取的m个元素也是互不相同的；②定义中指的是一个排列，而不是所有的排列．
(2) 元素和顺序都相同的排列是相同排列；元素和顺序至少有一个不同的排列是不同的排列．
例1 (1) ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc，共12个不同的排列．
(2) abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共24个不同的排列．
思考3：一个排列是指从n个不同的元素中每次取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列；排列数是指所有排列的个数，它是一个数．
3. 略
思考4：(1) 一般地，为了求出从n个不同元素中任意取出m个元素的排列数，可以把这m个元素所排列的位置划分为第1位、第2位……第m位．
第一步，第1位从n个元素中任取1个来填，有n种不同的方法；
第二步，第2位只能从余下的n－1个元素中任取1个来填，有n－1种不同的方法；
第三步，第3位只能从余下的n－2个元素中任取1个来填，有n－2种不同的方法，根据分步计数原理，A＝n(n－1)(n－2).
(2) 同(1)可得A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1).
练习：2 6 24 120 720 5 040 40 320
例2 (1) A＝5×4×3＝60.
(2) A＝5×4×3×2×1＝120.
(3) A＝10×9×8×7＝5 040.
(4) A＝35×34×33×32＝1 256 640.
【检测反馈】
1. C 从5名学生中挑选2人，分别担任两个学科的课代表，共有A＝20(种)安排方案．
2. B A＋A＝3×2＋4×3＝18.
3. ACD 对于A，从6名学生中选3名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题，故A正确；对于B，有12名学生参加植树活动，要求3人一组，可分为四组，3人一组无先后顺序，不属于排列问题，故B错误；对于C，从3，5，7，9中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题，故C正确；对于D，从1，2，3，4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题，故D正确．故选ACD.
4. A
5. 由题意，得从8股岔道选4股岔道停放4列火车，即从8个不同元素中取4个元素的一个排列，故不同的停放方法种数为A＝8×7×6×5＝1 680.
7．2.2 排 列(2)
【活动方案】
例1 (1) A＝10×9×8＝720.
(2) A＝18×17＝306.
(3) A÷A＝18×17＝306.
思考1：A＝＝
思考2：因为A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，
＝
＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，
所以A＝＝.
例2 (1) A＝＝n·＝n·＝nA.
(2) A＋mA＝＋m·
＝＝
＝＝A.
(3) 该方程可化为＝12·，化简，得(11－m)(10－m)＝12，解得m＝7或m＝14(舍去)，故原方程的解为m＝7.
例3 因为1场比赛对应于从12个不同元素中任取2个元素的1个排列，所以总共进行的比赛场次是A＝12×11＝132(场).故共要进行132场比赛．
例4 (1) 从5本不同的书中选3本送给3名同学，则不同的送法种数为A＝5×4×3＝60.
(2) 由题意，得送给每人的书都有5种可能，故不同的送法种数为53＝125.
思考3：(1)中是从5本书中选3本的排列，(2)不是排列．
【检测反馈】
1. A 因为(11－n)(12－n)…(20－n)＝(20－n)(19－n)…(12－n)(11－n)，且(20－n)－(11－n)＋1＝10，所以由排列数公式可得(11－n)(12－n)…(20－n)＝A.
2. B 分两步完成：第一步：从6人中选3人排前排有A＝120(种)不同排法；第二步：剩下的3人排后排有A＝6(种)不同排法，再按照分步计数原理，则有120×6＝720(种)不同排法．
3. BCD 对于A，A＝，故A错误；对于B，(n＋1)A＝(n＋1)＝，A＝＝，故B正确；对于C，A－A＝(n＋1)！－n！＝n！(n＋1－1)＝n·n！，n2A＝n2(n－1)！＝n·n！，故C正确；对于D，nA＝n(n－1)！＝n！，故D正确．故选BCD.
4. 2 520 从7名学生中选5人进行排列，故有A＝7×6×5×4×3＝2 520(种).
5. 相当于从4种蔬菜中选3种进行排列，故不同的种植方法种数为A＝4×3×2＝24.
7．2.3 排 列(3)
【活动方案】
例1 方法一：由于百位上的数字不能是0，所以为了得到这个三位数，可以分两步完成：
第一步：排百位上的数字，可从1～9这9个数字中任选1个，有A种选法；
第二步：排十位和个位上的数字，可以从余下的9个数字中任选2个，有A种选法．
根据分步计数原理，所求的三位数的个数是AA＝9×9×8＝648.
方法二：考虑到0是一个特殊元素，所以符合条件的三位数可以分成3类：
第一类：每一位数字都不是0的三位数有A个；
第二类：个位数字是0的三位数有A个；
第三类：十位数字是0的三位数有A个．
根据分类计数原理，符合条件的三位数的个数是A＋A＋A＝9×8×7＋9×8＋9×8＝648.
方法三：从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为A，其中0在首位的排列数为A，这些排列不能构成三位数，所以组成的三位数的个数为A－A＝10×9×8－9×8＝648.
例2 由题意，得万位上的数字是2，3，4，5中一个，
当万位上的数字是3时，有A＝24(种)情况；
当万位上的数字是2，4，5时，因为百位上的数字不是3，所以有3(A－A)＝54(种)情况．
综上，所求无重复数字的五位数有24＋54＝78(个).
例3 (1) AA＝5×4×6！＝14 400(种).
(2) A－AA＝8！－3×2×6！＝36 000(种).
(3) AA＝3！×6！＝4 320(种).
(4) AAA＝1 440(种).
(5) AA＝5！×6×5×4＝14 400(种).
(6) AA＝4！×5！＝2 880(种).
(7) 2AA＝2×4！×4！＝1 152(种).
例4 AA＝4！×4！＝576(种)，
故共有576种分配方案．
【检测反馈】
1. B 若物理不排第一节，则第一节可以排语文、数学、英语、思想政治、体育、生物学六门课中的一门，剩余六门课随便排，所以不同的排法种数为6A.
2. D 先将6个小吃类店铺进行全排列，有A种排法，再从这6个小吃类店铺形成的7个空中选3个进行排列，有A种排法，故排出的摊位规划总个数为AA.
3. ACD 对于A，甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，不同的站队方式共有A＝120(种)，故A正确；对于B，甲和乙相邻的站队方式有AA＝48(种)，故B错误；对于C，甲、乙、丙站一起的不同的站队方式有AA＝36(种)，故C正确；对于D，甲不在两端的不同的站队方式有AA＝72(种)，故D正确．故选ACD.
4. 480 先排甲、乙以外的四门体验课程，此时有A＝24(种)，再用插空法排甲、乙两门体验课程，此时有A＝20(种)，则不同的排法共有AA＝480(种).
5. (1) 若圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2经过原点，则a，b，r满足a2＋b2＝r2，
根据题意满足该条件的a，b，r共有3，4，5与6，8，10两组．考虑a，b的顺序，有A种情况，
所以符合题意的圆有2A＝4(个).
(2) 若圆心在直线x＋y－10＝0上，
则满足a＋b＝10，
根据题意满足条件的a，b有三组：0，10；3，7；4，6.
当a，b取10，0时，r有7种情况，
当a，b取3，7；4，6时，r不可取0，分别有6种情况，
考虑a，b的顺序，有A种情况，
所以满足题意的圆共有7A＋2×6A＝38(个).