8.1.1　条 件 概 率 同步学案（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册

8.1.1　条 件 概 率
1. 通过对具体问题的分析，了解条件概率的定义，掌握一些简单的条件概率的计算．
2. 结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系．
3. 结合古典概型，会利用乘法公式计算概率．
活动一 背景引入
袋中放有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中先后取一个球．事件A：第一次取出球的颜色为红色；事件B：第二次取出球的颜色为白色．
(1) 如果第一次取一个球，记下其颜色后放回袋中，接着第二次取一个球，那么事件A是否发生对事件B发生的概率有没有影响？
(2) 如果第一次取一个球，不放回，接着第二次取一个球，那么事件A是否发生对事件B发生的概率有没有影响？
思考1
根据所学的知识，问题(1)中，事件A与事件B是否相互独立？问题(2)中呢？
思考2
根据古典概型，请计算：
(1) 第一次取出红球后放回，第二次取出白球的概率；
(2) 第一次取出红球后不放回，第二次取出白球的概率．
结论：思考2中的(2)的本质是以A为样本空间，事件AB发生的概率．
活动二　条件概率　
思考3
根据古典概型，如何计算在事件A发生的条件下，事件B发生的概率？
1. 条件概率的定义
一般地，设A，B为两个事件，P(A)＞0，我们称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率，记为P(B|A)，读作“A发生的条件下B发生的概率”，即P(B|A)＝ (P(A)＞0).
注意：(1) 在“|”之后的部分表示条件．
(2) P(AB)＝P(B)P(A)，此公式称为概率的乘法公式．
2. 条件概率的性质
(1) P(Ω|A)＝1；
(2) P( |A)＝0；
(3) 若A B，则P(B|A)＝1；
(4) 若B1，B2互斥，则P((B1＋B2)|A)＝P(B1|A)＋P(B2|A).
活动三　条件概率的应用　
例1　抛掷一颗质地均匀的骰子，样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，事件A＝{2，3，5}，B＝{1，2，4，5，6}，求P(A)，P(B)，P(AB)，P(A|B).　
P(AB)表示事件A和事件B同时发生的概率，从集合的角度去理解，相当于求“A∩B”的概率，P(A)表示的是在事件B发生的条件下事件A发生的概率．
在一个盒子中有大小一样的20个球，其中有10个红球和10个白球．现无放回地依次从中摸出1个球，求第一次摸出红球且第二次摸出白球的概率．
例2　某单位有8名青年志愿者，其中男青年志愿者5人，记为a1，a2，a3，a4，a5，女青年志愿者3人，记为b1，b2，b3.现从这8人中选4人参加某项公益活动．
(1) 求男青年志愿者a1或女青年志愿者b1被选中的概率；
(2) 在男青年志愿者a1被选中的情况下，求女青年志愿者b1也被选中的概率．
在计算条件概率时，往往是计数原理、排列组合及互斥事件等知识的综合应用．
某次公务员面试中一共设置了5道题目，其中2道是论述题，3道是简答题，要求每人不放回地抽取两道题．求：
(1) 第一次抽到简答题的概率；
(2) 第一次和第二次都抽到简答题的概率；
(3) 在第一次抽到简答题的条件下，第二次又抽到简答题的概率．
1. 若P(AB)＝，P(B|A)＝，则P(A)等于(　　)
A. B. C. D.
2. (2024宿迁月考)芜湖有很多闻名的旅游景点．现有两位游客慕名来到芜湖，都准备从甲、乙、丙、丁4个著名旅游景点中随机选择一个游玩．设事件A为“两人至少有一人选择丙景点”，事件B为“两人选择的景点不同”，则条件概率P(B|A)等于(　　)
A. B. C. D.
3. (多选)(2024深圳期末)抛掷甲、乙两颗质地均匀的骰子，若事件A为“甲骰子的点数大于4”，事件B为“甲、乙两骰子的点数之和大于7”，则下列概率中正确的是(　　)
A. P(AB)＝ B. P(B)＝ C. P(B|A)＝ D. P(A|B)＝
4. 已知某种疾病的患病率为0.5%，在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为99%，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为________．
5. (2024临沂月考)五一假期来临，某商场拟通过摸球兑奖的方式回馈顾客．规定：每位购物金额超过1千元的顾客从一个装有5个标有面值的球(大小、质地均相同)的袋中随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获得的购物减免额．若袋中所装的5个球中有1个标的面值为50元，2个标的面值为10元，其余2个标的面值均为5元．
(1) 求顾客获得的购物减免额为60元的概率；
(2) 若已知顾客摸到的1个球所标的面值为10元，求顾客获得的购物减免额为15元的概率．
8.1.1　条 件 概 率
【活动方案】
思考1：问题(1)中，事件A与事件B相互独立．
问题(2)中，事件A与事件B不相互独立．
思考2：(1) 　(2)
思考3：设古典概型的样本空间为Ω，事件A所含样本点的集合为S1，事件B所含样本点的集合为S2，事件AB所含样本点的集合为S3，如图，则有P(A)＝＝，P(AB)＝.因此，事件A发生的条件下事件B发生的概率是＝＝.
例1　由已知得AB＝{2，5}，由古典概型可知
P(A)＝＝，P(B)＝，P(AB)＝＝，
所以P(A|B)＝＝.
跟踪训练　记“第一次摸出红球”为事件A，“第二次摸出白球”为事件B，
则P(A)＝＝，P(B|A)＝.
由概率的乘法公式，得P(AB)＝P(B|A)P(A)＝ ×≈0.263 2.
故所求概率约为 0.263 2.
例2　(1) 设“男青年志愿者a1和女青年志愿者b1都不被选中”为事件C，则P(C)＝＝，
所以所求概率为P()＝1－P(C)＝1－＝.
(2) 记“男青年志愿者a1被选中”为事件A，“女青年志愿者b1被选中”为事件B，
则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
所以P(B|A)＝＝，
所以在男青年志愿者a1被选中的情况下，女青年志愿者b1也被选中的概率为.
跟踪训练　(1) 第一次抽到简答题的概率为.
(2) 第一次和第二次都抽到简答题的概率为
×＝.
(3) 记“第一次抽到简答题”为事件A，“第二次抽到简答题”为事件B，
则P(A)＝，P(AB)＝，
则P(B|A)＝＝.
故在第一次抽到简答题的条件下，第二次又抽到简答题的概率为.
【检测反馈】
1. C　由题意，得P(B|A)＝＝，所以P(AB)＝P(A)＝，解得P(A)＝.
2. D　由题意，得两人均有4种选择，故共有16个基本事件，其中两人至少有一人选择丙景点分两种情况：一是均选择丙景点；二是一人选择丙景点，另一人选择其他景点，故事件A共有CC＋1＝7(个)基本事件，而AB事件包含CC＝6(个)基本事件，故P(A)＝，P(AB)＝，所以P(B|A)＝＝.
3. CD　根据题意，抛掷甲、乙两颗骰子，其基本情况有
(1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6)
(2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6)
(3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6)
(4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6)
(5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6)
(6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6)
共36种情况，则P(A)＝＝，P(B)＝＝.对于A，P(AB)＝＝，故A错误；对于B，P(B)＝＝，故B错误；对于C，P(B|A)＝＝＝，故C正确；对于D，P(A|B)＝＝＝，故D正确．故选CD.
4. 0.495%　记“血检呈阳性”为事件A，“患该种疾病”为事件B.依题意知P(B)＝0.005，P(A|B)＝0.99，由条件概率公式P(A|B)＝，得 P(AB)＝P(B)P(A|B)＝0.005×0.99＝0.004 95＝0.495%.
5. (1) 记“顾客获得的购物减免额为60元”为事件E，
则P(E)＝＝，
所以顾客获得的购物减免额为60元的概率为.
(2) 记“顾客摸到的1个球所标的面值为10元”为事件A，
“顾客获得的购物减免额为15元”为事件B，
则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，
所以所求概率为P(B|A)＝＝.