8.2.1　随机变量及其分布列 同步学案（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册

8.2.1　随机变量及其分布列(1)
1. 通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，能写出离散型变量(有限值)的可能值，并能解释其意义．
2. 了解随机变量与函数的区别与联系．
3. 通过具体实例，初步了解离散型随机变量的分布列的概念及其求法．
活动一　背景引入　
复习巩固：
(1) 随机事件及其概率；
(2) 古典概型的特征．
1. 在一块地里种下10棵树苗，成活树苗的棵数X是一个随机事件，这里X可以取0，1，2，…，10中的某个数；
2. 抛掷一颗骰子，向上的点数为Y是一个随机事件，这里Y可以取1，2，3，4，5，6中的某个数；
3. 接听一个电话的时长为Z是一个随机事件，这里Z可以取(0，＋∞)内的某个数；
4. 抽查新生儿的性别，结果可能是男，也可能是女；
5. 抛掷一枚硬币，可能的结果是“正面向上”和“反面向上”．
思考1
在这些随机试验中，样本点是否都可以用数来表示？
活动二 了解随机变量及离散型随机变量的概念
思考2
如果根据问题的需要为每个样本点指定一个值，从而实现样本点数量化，此时样本点与数之间建立了怎样的关系？
1. 随机变量：
(1) 定义：
(2) 表示方法：
例1　下列变量中哪些是随机变量？ 如果是随机变量，那么可能的取值有哪些？
(1) 一个实验箱中装有标号1，2，3，3，4 的5只白鼠，从中任取1只，记取到的白鼠的标号为X；
(2) 明天的降雨量L(单位：mm)；
(3) 先后抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面向上的次数X.
2. 随机变量的分类：
离散型随机变量：
连续型随机变量：
思考3
如何用随机变量来表示例1(1)中的随机事件？
活动三　了解随机变量的分布列的概念　
思考4
随机事件可以用随机变量表示，则如何求例1(3)中随机变量取值的概率？
3. 随机变量分布列的定义：
一般地，随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，xn，且P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n①，称①为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．
4. 概率分布表：
将①用表的形式来表示，如下：
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
此表称为随机变量X的概率分布表．它和①都叫作随机变量X的概率分布．
5. 概率分布列中pi(i＝1，2，…，n)满足哪些条件？
例2　从装有6个白球和4个红球的口袋中任取1个球，用X表示 “取到的白球个数”，则X的取值为0或1，即X＝求随机变量X的概率分布．
6. 两点分布：
如果随机变量X只取两个可能值0和1，那么称这类概率分布为01分布或两点分布，并记为X～01分布或X～两点分布．此处“～”表示“服从”．
其概率分布表为：
X 0 1
P 1－p p
　活动四 会求简单的随机变量及其分布列
　例3　同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数，求两颗骰子中出现的较大点数X的概率分布，并求P(2变式　在例3的条件下，求两个骰子出现较小点数Y的概率分布．
1. 袋中装有除颜色外其余均相同的10个红球，5个黑球，每次任取一球，若取到黑球，则放入袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为X，则表示“放回4个球”的事件为(　　)
A. X＝4 B. X＝5 C. X＝6 D. X≤4
2. 设随机变量X服从两点分布，若P(X＝1)－P(X＝0)＝0.2，则概率P(X＝1)等于(　　)
A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8
3. (多选)(2024西安月考)甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示的可能结果为(　　)
A. 甲赢三局 B. 甲赢一局输两局
C. 甲、乙平局三次 D. 甲赢一局
4. 已知随机变量X的概率分布为P(X＝n)＝(n＝1，2，3，…，10)，则实数a＝________．
5. 已知小王钱夹中有20元，10元，5元和1元面额的人民币各一张，他决定随机抽出两张，用来买晚餐．若用X表示所抽两张人民币的金额之和，求随机变量X的取值范围，并分别说明这些取值所表示的随机试验结果．
8．2.1　随机变量及其分布列(2)
1. 巩固随机变量及其分布列的概念，会求随机变量的分布列．
2. 掌握随机变量分布列的两个性质并能应用其解决简单的实际问题．
活动一 巩固随机变量的概念
1. 随机变量的概念：
2. 随机变量的分布列的概念及其性质：
3. 两点分布：
例1　写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1) 一个袋中装有除颜色外均相同的 8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X；
(2) 一个袋中有5个相同大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个球，取出的球的最小号码记为X.
活动二　求随机变量的分布列
例2　从装有6个白球，4个黑球和 2个 黄球的箱子中随机地取出2个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，X表示赢得的钱数，求随机变量X的可能取值，并求X的概率分布．
变式　将例2中 “取出一个黑球赢 2元”改为 “赢1元”，其他条件不变，该如何解答？
例3　从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得次品数ξ的概率分布．
例4　掷两枚骰子，设掷得的点数和为随机变量X.
(1) 求X的概率分布；
(2) 求 “点数和大于8”的概率；
(3) 求 “点数和不超过6”的概率．
活动三 掌握随机变量分布列的性质
例5　一个盒子里有9个正品零件和 3个次品零件，每次取一个零件．如果取出的是次品，那么不再放回，求在取得正品之前已取出的次品数X的概率分布，并求P(≤X≤).
1. 某射击运动员射击一次所得环数ξ的概率分布如下表：
ξ 4 5 6 7 8 9 10
P 0.03 0.05 0.07 0.08 0.26 a 0.23
则P(ξ>6)等于(　　)
A. 0.72 B. 0.75 C. 0.85 D. 0.90
2. 对一批产品逐个进行检测，第一次检测到次品前已检测的产品个数为X，则X＝k表示的试验结果为(　　)
A. 第k－1次检测到正品，而第k次检测到次品
B. 第k次检测到正品，而第k＋1次检测到次品
C. 前k－1次检测到正品，而第k次检测到次品
D. 前k次检测到正品，而第k＋1次检测到次品
3. (多选)(2024大连月考)已知随机变量ξ的概率分布表如下，若P(ξ2ξ －2 －1 0 1 2 3
P
A. 5 B. 7 C. 9 D. 10
4. (2024萍乡期末)盒中装有5个大小、质地相同的小球，其中3个白球和2个黑球．两位同学先后轮流不放回摸球，每次摸一球，当摸出第二个黑球时结束游戏，或能判断出第二个黑球被哪位同学摸到时游戏也结束．设游戏结束时两位同学摸球的总次数为X，则P(X＝3)＝________．
5. (2024济宁期中)甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮，已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，.在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求随机变量ξ的概率分布．
8.2.1　随机变量及其分布列(1)
【活动方案】
复习巩固：(1) 如果样本Ω是一个有限集合，那么称样本空间Ω为有限样本空间．样本空间的子集称为随机事件．一般地，对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在随机事件A发生的概率P(A)的附近摆动并趋于稳定．我们将频率的这个性质称为频率的稳定性．因此，若随机事件A在n次试验中发生了m次，则当试验次数n很大时，可以用事件A发生的频率来估计事件A的概率，即P(A)≈.
(2) ①样本空间Ω只含有有限个样本点；②每个基本事件的发生都是等可能的．
思考1：试验1，2，3中，显然样本点可以用数来表示．试验4，5中，随机事件本身不涉及实数，可以通过适当的方式，用一个实数加以表示．如：在试验4中，“抽到男婴”可以用“1”表示，“抽到女婴”可以用“0”表示．在试验5中，“正面向上”可以用“1”表示，“反面向上”可以用“0”表示．
思考2：样本点与实数之间的对应关系与函数关系非常相似．
1. (1) 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，则称X为随机变量．
(2) 通常用大写英文字母X，Y，Z(或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示随机变量，用小写英文字母x，y，z(加上适当下标)等表示随机变量的取值．
例1　(1) 根据条件可知，X是随机变量，可能的取值是1，2，3，4.
(2) 降雨量具有一定的随机性，所以L是随机变量，可能的取值有无数多个，可以是[0，＋∞)内的某个数．
(3) 设H表示“正面向上”，T表示“反面向上”，则样本空间为{HH，HT，TH，TT}．正面向上(即出现H)的次数X是随机变量，取值是0，1，2.
2. 离散型随机变量：取值为离散的数值的随机变量称为离散型随机变量．
连续型随机变量：取值为连续的实数区间，具有这种特点的随机变量称为连续型随机变量．
思考3：随机事件“取到1号白鼠”可以表示为{X＝1}，随机事件“取到2号白鼠”可以表示为{X＝2}，类似地，{X＝3}表示“取到3号白鼠”，{X＝4}表示“取到4号白鼠”，而{X<3}这样的记号表示“取到1号或2号白鼠”，也就是说，复杂的随机事件也可以用随机变量的取值来表示．
思考4：P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝.
5. pi(i＝1，2，…，n)满足条件pi≥0，p1＋p2＋…＋pn＝1.
例2　由题意，得P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，故随机变量X的概率分布如下表所示．
X 0 1
P
例3　由题意，得掷两颗骰子出现的点数有36种等可能的情况：(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(6，6)，　
则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，
P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝，
所以P(2变式　P(Y＝1)＝，P(Y＝2)＝＝，P(Y＝3)＝，P(Y＝4)＝，P(Y＝5)＝＝，P(Y＝6)＝.　
【检测反馈】
1. B　根据题意可知，若取到黑球，则将黑球放回，然后继续抽取，若取到红球，则停止抽取，所以“放回4个球”即前4次都是取到黑球，第5次取到了红球，故X＝5.
2. C　根据题意及两点分布概率性质可知解得P(X＝1)＝0.6.
3. BC　由已知，得3＝0＋0＋3＝1＋1＋1，故{ξ＝3}表示的可能结果为甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．故选BC.
4. 　依题意，P(X＝n)＝a(－)，由分布列的性质，得(X＝n)＝a[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝＝1，解得a＝.
5. X的取值集合是{6，11，15，21，25，30}．
其中，X＝6表示“抽到的是1元和5元”；
X＝11表示“抽到的是1元和10元”；
X＝15表示“抽到的是5元和10元”；
X＝21表示“抽到的是1元和20元”；
X＝25表示“抽到的是5元和20元”；
X＝30表示“抽到的是10元和20元”．
8．2.1　随机变量及其分布列(2)
【活动方案】
1. 略
2. 略
3. 略
例1　(1) 由题意，得X的可能取值为0，1，2，3.
{X＝0}表示取出的5个球中没有白球；{X＝1}表示取出的5个球中有1个白球，4个红球；{X＝2}表示取出的5个球中有2个白球，3个红球；{X＝3}表示取出的5个球中有3个白球，2个红球．
(2) 由题意，得X的可能取值为1，2，3.
当X＝1时，取出的3个球编号为1，2，3或1，2，4或1，2，5或1，3，4或1，3，5或1，4，5；
当X＝2时，取出的3个球编号为2，3，4或2，3，5或2，4，5；
当X＝3时，取出的3个球编号为3，4，5.
例2　由题意，得X的所有可能取值为－2，－1，0，1，2，4，
则P(X＝－2)＝＝，
P(X＝－1)＝＝，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
则X的概率分布为
X －2 －1 0 1 2 4
P
变式　由题意，得X的可能取值为－2，－1，0，1，2，
则P(X＝－2)＝＝，
P(X＝－1)＝＝，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
则X的概率分布为
X －2 －1 0 1 2
P
例3　由题意，得ξ的所有可能取值为0，1，2，
则P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
则取得次品数ξ的概率分布为
ξ 0 1 2
P
例4　(1) 由题意，得X的可能取值为2，3，4，5，…，12，
则X的概率分布为
X 2 3 4 5 6 7
P
X 8 9 10 11 12
P
(2) P(X>8)＝P(X＝9)＋P(X＝10)＋P(X＝11)＋P(X＝12)＝＝.
(3) P(X≤6)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝6)＝＝.
例5　由题意，得X的可能取值为0，1，2，3，
则P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝×＝，
P(X＝2)＝××＝，
P(X＝3)＝×××＝，
则X的概率分布为
X 0 1 2 3
P
则P(≤X≤)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.
【检测反馈】
1. C　由题意，得0.03＋0.05＋0.07＋0.08＋0.26＋a＋0.23＝1，解得a＝0.28，所以P(ξ>6)＝P(ξ＝7)＋P(ξ＝8)＋P(ξ＝9)＋P(ξ＝10)＝0.08＋0.26＋0.28＋0.23＝0.85.
2. D　X就是检测到次品前正品的个数，X＝k表明前k次检测到的都是正品，第k＋1次检测到的是次品．
3. ABC　由随机变量ξ的概率分布表知，ξ2的可能取值为0，1，4，9，且P(ξ2＝0)＝，P(ξ2＝1)＝＋＝，P(ξ2＝4)＝＋＝，P(ξ2＝9)＝，则P(ξ2≤4)＝＋＋＝，P(ξ2≤9)＝1.若P(ξ24. 　当X＝3时，两位同学摸球的情况为白黑黑，黑白黑，白白白，则P(X＝3)＝××＋××＋××＝.
5. 由题意，得ξ的所有可能取值为0，1，2，
则P(ξ＝0)＝×＝，P(ξ＝1)＝×＋×＝，P(ξ＝2)＝×＝，
所以ξ的概率分布为
ξ 0 1 2
P