8．2.2　离散型随机变量的数字特征——方差与标准差 同步学案（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册

8．2.2　离散型随机变量的数字特征——方差与标准差
1. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念．
2. 能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．
活动一 背景引入
1. 复习巩固：
(1) 随机变量及其分布列；
(2) 随机变量的均值；
(3) 随机变量均值的性质．
2. 问题：
甲、乙两名工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用X1，X2表示，X1，X2的概率分布如下表所示．
X1 0 1 2 3
pk 0.6 0.2 0.1 0.1
X2 0 1 2 3
pk 0.5 0.3 0.2 0
求E(X1)，E(X2).如何比较两名工人的技术？
思考
我们还能从哪个角度比较两名工人的技术？
活动二 随机变量的方差与标准差
我们知道，当样本平均数相差不大时，可以利用样本方差考察样本数据与样本平均数的偏离程度．能否用一个类似于样本方差的量来刻画随机变量的波动程度呢？
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
其中，pi≥0，i＝1，2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1，则(xi－μ)2(μ＝E(X))描述了xi(i＝1，2，…，n)相对于均值μ的偏离程度，
故(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn(其中pi≥0，i＝1，2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1)刻画了随机变量X与其均值μ的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X的方差，记为D(X)或σ2，
即D(X)＝σ2＝(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn.
方差也可用公式D(X)＝pi－μ2计算．
随机变量X的方差也称为X的概率分布的方差，X的方差D(X)的算术平方根称为X的标准差，即σ＝.
3. 方差、标准差的意义：
随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，随机变量偏离于均值的平均程度就越小．
活动三 求随机变量的方差与标准差
例1　已知随机变量X的概率分布如下表所示，求X的方差D(X)和标准差σ.
X 0 1
P 1－p p
　　
例2　设有甲、乙两地生产的两批原棉，它们的纤维长度X，Y的概率分布如下表所示．
X 25 24 23 22 21 20
P 0.1 0.2 0.3 0.1 0.1 0.2
Y 25 24 23 22 21 20
P 0.05 0.2 0.25 0.3 0.1 0.1
　　试问：这两批原棉的质量哪一批较好？
例3　已知X的概率分布如下．
X －1 0 1
P a
(1) 求X2的概率分布；
(2) 计算X的方差；
(3) 若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．
方差的性质：D(aξ＋b)＝a2D(ξ).
1. (2024苏州期中)若随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，则D(X)等于(　　)
A. 0 B. C. D. 1
2. 设随机变量X的概率分布为
X －1 0 1
P
若Y＝2X＋2，则D(Y)等于(　　)
A. － B. C. D.
3. (多选)(2024安徽月考)投资甲、乙两种股票，每股收益的概率分布分别如表所示．
股票甲收益的概率分布　　　　　　　　股票乙收益的概率分布
收益X/元 －1 0 2
概率 0.1 0.3 0.6
收益Y/元 0 1 2
概率 0.3 0.4 0.3
　　　
关于两种股票，下列结论中正确的是(　　)
A. E(2X＋1)＝3.2 B. D(2Y＋1)＝2.2
C. 投资股票甲的期望收益较大 D. 投资股票甲比投资股票乙风险高
4. 若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为________．
5. 某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1 h走出迷宫；若是2号，3号通道，则分别需要2 h，3 h返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止．ξ表示走出迷宫所需的时间，求ξ的概率分布、均值和方差．
8．2.2　离散型随机变量的数字特征——方差与标准差
【活动方案】
1. 略
2. 因为E(X1)＝0×0.6＋1×0.2＋2×0.1＋3×0.1＝0.7，E(X2)＝0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7，所以E(X1)＝E(X2)，所以从均值的角度看，甲、乙两名工人技术相当．
思考：根据上面计算，甲、乙两名工人的均值一样，我们可以从方差的角度来比较甲、乙两名工人技术的稳定性．
例1　因为μ＝0×(1－p)＋1×p＝p，
所以 D(X)＝(0－p)2(1－p)＋(1－p)2p＝p(1－p)，
σ＝.
例2　两批原棉纤维长度的均值分别为
E(X)＝25×0.1＋24×0.2＋23×0.3＋22×0.1＋21×0.1＋20×0.2＝22.5，
E(Y)＝25×0.05＋24×0.2＋23×0.25＋22×0.3＋21×0.1＋20×0.1＝22.5，
所以这两批原棉的纤维平均长度相等．
两批原棉纤维长度的方差分别为
D(X)＝(25－22.5)2×0.1＋(24－22.5)2×0.2＋(23－22.5)2×0.3＋(22－22.5)2×0.1＋(21－22.5)2×0.1＋(20－22.5)2×0.2＝2.65，
D(Y)＝(25－22.5)2×0.05＋(24－22.5)2×0.2＋(23－22.5)2×0.25＋(22－22.5)2×0.3＋(21－22.5)2×0.1＋(20－22.5)2×0.1＝1.75.　
这说明乙地原棉纤维更加齐整，故乙地原棉的质量比甲地原棉的要好一些．
例3　(1) 由题意，得＋＋a＝1，
故a＝，
所以X2的概率分布为
X2 0 1
P
(2) 由(1) 知a＝，
所以E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，
故D(X)＝(－1＋)2×＋(0＋)2×＋(1＋)2×＝.
(3) 因为Y＝4X＋3，
所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11.
【检测反馈】
1. A　因为随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，所以E(X)＝c×1＝c，所以D(X)＝(c－c)2×1＝0.
2. D　由题意知，E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，故D(X)＝2×＋2×＋2×＝，所以D(Y)＝D(2X＋2)＝4D(X)＝4×＝.
3. ACD　由题意，得E(X)＝－0.1＋1.2＝1.1，E(Y)＝0.4＋0.6＝1，E(X)>E(Y)，D(X)＝(－1－1.1)2×0.1＋(0－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.6＝1.29，D(Y)＝(0－1)2×0.3＋(1－1)2×0.4＋(2－1)2×0.3＝0.6，D(X)>D(Y) ，则投资股票甲的期望收益较大，投资股票甲比投资股票乙风险高，故C，D正确；E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝3.2，D(2Y＋1)＝4D(Y)＝2.4，故A正确，B错误．故选ACD.
4. 0.5　设该事件在一次试验中发生的概率为p，依题意有p(1－p)＝0.25，解得p＝0.5.
5. 由题意，得ξ的所有可能取值为1，3，4，6.
当ξ＝1时，直接从1号通道走出，则P(ξ＝1)＝，
当ξ＝3时，先走2通道，再走1通道，则P(ξ＝3)＝×＝，
当ξ＝4时，先走3通道，再走1通道，则P(ξ＝4)＝×＝，
当ξ＝6时，先走2通道，再走3通道，最后再走1通道，或者先走3通道，再走2通道，最后再走1通道，则P(ξ＝6)＝××2＝，
所以ξ的概率分布为
ξ 1 3 4 6
P
所以E(ξ)＝1×＋3×＋4×＋6×＝，
D(ξ)＝(1－)2×＋(3－)2×＋(4－)2×＋(6－)2×＝.