8．2.2　离散型随机变量的数字特征——均值 同步学案（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册

8．2.2　离散型随机变量的数字特征——均值
1. 通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值．
2. 理解离散型随机变量均值的性质．
3. 会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题．
活动一 离散型随机变量的均值(或数学期望)
复习巩固：
(1) 随机变量及其分布列的概念；
(2) 分布列的两个性质．
问题：某种福利彩票每张面值2元，购买者可从0，1，2，…，9这10个数字中选择3个数字(可以重复).当所选3个数字与随机摇出的开奖号码数字及顺序均相同时，可以获得500元奖金．如果你长期购买这种彩票，那么你的收益状况如何？
离散型随机变量的均值：
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为
X x1 x2 … xi … xn
概率p p1 p2 … pi … pn
其中pi≥0，i＝1，2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1，我们将p1x1＋p2x2＋…＋pnxn称为随机变量X的均值或数学期望，记为E(X)或μ.
说明：上述定义给出了求离散型随机变量均值的方法，高中阶段我们只研究有限个随机变量的均值的情况．
练习　(1) 设随机变量X的概率分布如下：
X 1 2 3 4 5
P
试求E(X)；
(2) 从甲、乙两位射击运动员中选择一位参加比赛，现统计了这两位运动员在训练中命中环数X，Y的概率分布如下，问：哪名运动员的平均成绩较好？
X 8 9 10
P 0.3 0.1 0.6
Y 8 9 10
P 0.2 0.5 0.3
思考
(1) X与E(X)有何区别？
(2) 随机变量的期望和相应数值的算术平均数有什么区别？
活动二 求随机变量的均值
例1　根据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.设工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案．
方案1：运走设备，此时需花费3 800元．
方案2：建一保护围墙，需花费2 000元．但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临，设备受损，损失费为60 000元．
方案3：不采取措施，希望不发生洪水．此时大洪水来临损失60 000元，小洪水来临损失10 000元．
试从方案的花费与期望损失的和最小的角度比较哪一种方案较好．
例2　在一个人数很多的地区普查某种疾病，由以往经验知道，该地区居民得此病的概率为0.1%.现有1 000人去验血，给出下面两种化验方法．
方法1：对1 000人逐一进行化验．
方法2：将1 000人分为100组，每组10人．对于每个组，先将10人的血各取出部分，并混合在一起进行一次化验．如果结果呈阴性，那么可断定这10人均无此疾病；如果结果呈阳性，那么再逐一化验．
试问：哪种方法较好？
求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：
(1) 理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；
(2) 求ξ取各个值的概率，写出分布列；
(3) 根据分布列，由期望的定义求出E(ξ).
活动三 随机变量均值的性质
例3　(1) 已知x1，x2，…，xn的平均数为5，则ax1，ax2，…，axn的平均数为________，ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为________；
(2) 已知E(X)＝1，则E(2X＋6)＝________．
已知随机变量X的概率分布为
X －1 0 1
P
且设Y＝2X＋3，则E(Y)＝________．
E(aξ＋b)＝ aE(ξ)＋b.
1. 现有一个项目，对该项目投资10万元，一年后利润是1.2万元，1.18万元，1.17万元的概率分别为，，，随机变量X表示对此项目投资10万元一年后的利润，则X的均值为(　　)
A. 1.18 B. 3.55 C. 1.23 D. 2.38
2. (2024江苏月考)若随机变量Z的概率分布为
Z 1 2 3
P x y
且E(Z)＝，则xy等于(　　)
A. B. C. D.
3. (多选)签盒中有编号为1，2，3，4，5，6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则下列说法中正确的有(　　)
A. P(X＝4)＝ B. P(X≤5)＝ C. P(X＝3)＝ D. E(X)＝
4. (2024德州期末)已知离散型随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝3－4P(X＝1)，则随机变量Y＝3X－1的数学期望为________．
5. (2024南通月考)在1，2，3，…，9这9个连续的自然数中，任取3个数．
(1) 求这3个数中，至少有一个是奇数的概率；
(2) 记X为这三个数中两数相邻的组数(例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时X的值是2)，求随机变量X的概率分布及数学期望．
8．2.2　离散型随机变量的数字特征——均值
【活动方案】
复习巩固：略
问题：要了解长期收益情况，也就是要确定在购买很多次这种彩票的前提下，平均每张彩票的收益金额．
因为从0，1，2，…，9这10个数字中抽取3个数字(可以重复抽取)，共有1 000种抽法，所以购买一张彩票获奖概率为.
根据条件可知，若设随机变量X为购买一张彩票时的中奖金额，则其概率分布如下表所示．
X 0 500
P 0.999 0.001
也就是说，在购买很多张彩票的前提下，平均来说，每1 000张彩票中有且只有1张中奖，即中奖总金额为500元．因此，平均每张彩票的中奖金额为＝0.5(元).
练习：(1) E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝3.
(2) E(X)＝8×0.3＋9×0.1＋10×0.6＝9.3，
E(Y)＝8×0.2＋9×0.5＋10×0.3＝9.1，
所以从平均成绩看，甲的射击成绩较好．
思考：(1) 随机变量X是可变的，可取不同的值；而期望E(X)是不变的，由X的分布列唯一确定，所以称之为随机变量X的数学期望，它反映了X的平均水平．
(2) 期望表示随机变量在随机试验中取值的平均值，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数．
例1　对于方案1，花费为3 800元，损失为0元，花费与期望损失之和为3 800元．
对于方案2，花费为2 000元，损失费的概率分布如下表所示，
损失费/元 60 000 0
概率 0.01 0.99
期望损失为60 000×0.01＋0×0.99＝600(元)，所以花费与期望损失之和为2 000＋600＝2 600(元).　
对于方案3，花费为0元，损失费的概率分布如下表所示，
损失费/元 60 000 10 000 0
概率 0.01 0.25 0.74
期望损失为60 000×0.01＋10 000×0.25＋0×0.74＝3 100(元)，所以花费与期望损失之和为 3 100 元．
比较三种方案，我们发现第二种方案的花费与期望损失之和最小，故方案2 较好．
例2　第1种方法的化验次数为1 000.
第2种方法：如果某组的混合血液化验结果呈阴性，就可以断定这10人均无此疾病，那么对这10人只化验1次；
如果结果呈阳性，那么必须对这10个人再逐一化验，这时共需进行11次化验．因为对所有人来说，化验结果呈阳性的概率均为0.001，而且这些人的化验结果是相互独立的，所以每组的化验次数X的概率分布如下表所示．
X 1 11
P (1－0.001)10 1－(1－0.001)10
因为每组化验次数X的均值为
E(X)＝1×(1－0.001)10＋11×[1－(1－0.001)10]，
所以100组的化验次数的均值为
100×{1×(1－0.001)10＋11×[1－(1－0.001)10]}＝1 100－1 000×0.99910≈110，
所以方法2远好于方法1.
例3　(1) 5a　5a＋b　(2) 8
跟踪训练　　E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，则E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝.
【检测反馈】
1. A　由题意，得X的所有可能取值为1.2，1.18，1.17，P(X＝1.2)＝，P(X＝1.18)＝，P(X＝1.17)＝，所以X的概率分布为
X 1.2 1.18 1.17
P
所以E(X)＝1.2×＋1.18×＋1.17×＝1.18.
2. C　由题意，得解得x＝，y＝，所以xy＝.
3. ABD　任取3支签的方法总数为C＝20，P(X＝4)＝＝，故A正确；P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝，P(X≤5)＝1－P(X＝6)＝，故B正确；P(X＝3)＝，故C错误；E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＝，故D正确．故选ABD.
4. 1　因为随机变量X服从两点分布，所以P(X＝0)＋P(X＝1)＝1.又P(X＝0)＝3－4P(X＝1)，得P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，所以E(X)＝0×＋1×＝，故E(Y)＝E(3X－1)＝3E(X)－1＝2－1＝1.
5. (1) 设这3个数中，全是偶数的情况为事件A，则P(A)＝＝，
则这3个数中，至少有一个是奇数的概率为P()＝1－＝.
(2) X的可能取值为0，1，2，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝，
故其概率分布为
X 0 1 2
P
则E(X)＝1×＋2×＝.