8．2.3　二 项 分 布 同步学案（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册

8．2.3　二 项 分 布
1. 理解n次独立重复试验模型及其意义．
2. 理解二项分布，并能解决一些简单的实际问题．
3. 掌握二项分布的均值、方差的计算公式，并能用其解决一些简单的问题．
活动一 了解n次独立重复试验(伯努利试验)的概念
思考1
射击手射击1次，击中目标的概率为p(p＞0).现连续射击3次，记击中目标的次数为X，则随机变量X的概率分布是什么？
思考2
各次试验的结果有无影响？
1. n次独立重复试验的定义：
一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与，每次试验中P(A)＝p>0，我们将这样的试验称为n次独立重复试验，也称为n重伯努利试验．
思考3
n次独立重复试验必须具备哪些条件？
例1　判断下列试验是不是独立重复试验，为什么？
(1) 依次投掷四枚质地不同的硬币；
(2) 某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中；
(3) 不透明的口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球．
活动二 了解二项分布的概念
探究　(1) 求“重复抛掷一枚质地均匀的硬币5次，其中有3次正面向上”的概率；
(2) 求“重复抛掷一枚质地均匀的骰子 3次，其中有2次出现1点”的概率．
思考4
这两个问题有什么共同点和不同点？
思考5
(1) 上述游戏是否可以看成独立重复试验？掷硬币游戏中，我们用X表示正面朝上的次数，请探求X的取值和相应的概率；
(2) 若游戏中重复抛一枚硬币n次，则正面朝上次数X＝k的概率是多少？
2. 二项分布的定义：
在n次独立重复试验中，每次试验事件A发生的概率均为p(0Pn(k)＝Cpkqn－k，k＝0，1，2，…，n.
Pn(k)＝Cpkqn－k恰好是(q＋p)n的二项展开式中的第k＋1项．
若随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Cpkqn－k，其中0思考6
(1) 如何判断一个随机变量的分布是否为二项分布？
(2) 二项分布与两点分布有何关系？
活动三　二项分布的简单应用
例2　求随机抛掷100次均匀硬币，正好出现50次正面的概率．
　　例3　设某保险公司吸收10 000人参加人身意外保险，该公司规定：每人每年付给公司120元，若意外死亡，公司将赔偿10 000元．如果已知每人每年意外死亡的概率为0.006，那么该公司会赔本吗？
例4　从批量较大的成品中随机取出 10件产品进行质量检查，已知这批产品的不合格品率为0.05，随机变量X表示这10件产品中的不合格品数，求随机变量X的数学期望和方差、标准差．
一般地，当X～B(n，p)时，
E(X)＝np，
D(X)＝np(1－p)，
σ＝.
1. 已知随机变量X～B(2，p)，P(X＝1)＝，则D(X)等于(　　)
A. B. 1 C. D. 2
2. (2024潍坊期中)某人寿保险公司规定，投保人没活过65岁时，保险公司要赔偿100万元．活过65岁时，保险公司不赔偿，但要给投保人一次性支付5万元．已知购买此种保险的每个投保人能活过65岁的概率都是0.9，随机抽取3个投保人，设其中活过65岁的人数为X，保险公司要赔偿给这三个人的总金额为Y万元，则P(Y<200)等于(　　)
A. 0.972 B. 0.729 C. 0.486 D. 0.243
3. (多选)(2024上饶期末)若随机变量X～B(6，)，则下列说法中正确的有(　　)
A. P(X＝2)＝C()2()4 B. E(X)＝
C. E(2X－1)＝3 D. D(2X－1)＝4
4. (2024抚顺期末)位于坐标原点的一个点A按下述规则移动：点A每次只能向下或向左移动一个单位长度，且向左移动的概率为，则点A移动5次后位于点(－4，－1)的概率是________．
5. 已知某种从太空飞船中带回来的植被种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，若某次试验没有发芽，则称该次试验是失败的．
(1) 第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X，求X的概率分布；
(2) 第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第4次成功之前共有3次失败的概率．
8．2.3　二 项 分 布
【活动方案】
思考1：记“击中目标”为事件A，则P(A)＝p，P()＝1－p(记为q).在X＝k时，根据试验的独立性，事件A在某指定的k次发生时，其余的(3－k)次则不发生，其概率为pkq3-k.而3次试验中发生k次A的方式有C种，故有
P(X＝k)＝Cpkq3-k，k＝0，1，2，3.
因此，随机变量X的概率分布如下表所示．
X 0 1 2 3
P Cq3 Cpq2 Cp2q Cp3
思考2：各次试验的结果无影响，即各次试验相互独立．
思考3：①每次试验是在同样条件下进行．
②每次试验都只有两种结果：发生与不发生．
③各次试验之间相互独立．
④每次试验，某事件发生的概率都是一样的．
例1　(1) 由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是独立重复试验．
(2) 某人射击击中的概率是稳定的，因此是独立重复试验．
(3) 每次抽取，试验的结果有三种不同颜色，且每种颜色出现的可能性不相等，因此不是独立重复试验．
探究：(1) 因为是重复抛掷，所以相当于做了5次独立重复试验，所以3次正面向上的概率为
P＝C×()3×()2＝.
(2) 抛掷一枚骰子，出现1点的概率是，所求概率为C×()2×＝，
所以重复抛掷一枚骰子，其中有2次出现1点的概率为.
思考4：略
思考5：(1) 是独立重复试验．
X的取值可以为0，1，2，3，4，5.
P(X＝0)＝C()0()5＝；
P(X＝1)＝C()1()4＝；
P(X＝2)＝C()2()3＝＝；
P(X＝3)＝C()3()2＝＝；
P(X＝4)＝C()4()1＝；
P(X＝5)＝C()5()0＝.
(2) P(X＝k)＝C()k()n－k.
思考6：(1) ①在每次试验中只有两种可能的结果，而且是互相独立的；
②每次试验是独立的，与其他各次试验结果无关；
③结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变．
(2) 两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形．
例2　设X为抛掷100次硬币出现正面的次数，依题意，随机变量X～B(100，0.5)，
则P(X＝50)＝Cp50q100-50＝C0.5100≈8%.　
故随机抛掷100次均匀硬币，正好出现50次正面的概率约为8%.
例3　设这10 000人中意外死亡的人数为X，根据题意，X服从二项分布B(10 000，0.006)，
P(X＝k)＝C0.006k(1－0.006)10 000-k.
死亡人数为X人时，公司要赔偿X万元，此时公司的利润为(120－X)万元．
由上述分布，公司赔本的概率为P(120－X＜0)＝1－P(X≤120)＝1－(X＝k)＝1－C0.006k·0.99410 000-k)≈0，
所以公司几乎不会赔本．
例4　由于批量较大，可以认为随机变量X～B(10，0.05)，
P(X＝k)＝pk＝Cpk(1－p)10-k，k＝0，1，2，…，10.
随机变量X的概率分布如下表所示．
X 0 1 2
pk Cp0(1－p)10 Cp1(1－p)9 Cp2(1－p)8
X 3 4 5
pk Cp3(1－p)7 Cp4(1－p)6 Cp5(1－p)5
X 6 7 8
pk Cp6(1－p)4 Cp7(1－p)3 Cp8(1－p)2
X 9 10
pk Cp9(1－p)1 Cp10(1－p)0
故E(X)＝μ＝pk＝0.5.
由D(X)＝σ2＝pi－μ2，
得σ2＝02×C0.050×0.9510＋12×C0.051×0.959＋…＋102×C0.0510×0.950－0.52≈0.725－0.25＝0.475，
标准差σ≈0.689 2，
故随机变量X的数学期望为0.5，方差约为0.475，标准差约为0.689 2.
【检测反馈】
1. A　由题意，得P(X＝1)＝Cp(1－p)＝，解得p＝，所以D(X)＝2××(1－)＝.
2. A　由题意知，X～B(3，0.9).因为3个投保人中，活过65岁的人数为X，所以没活过65岁的人数为3－X，因此Y＝100(3－X)＋5X，即Y＝300－95X(X＝0，1，2，3)，所以P(Y<200)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝C×0.92×(1－0.9)＋C×0.93＝0.972.
3. AC　因为随机变量X～B(6，)，所以P(X＝2)＝C()2()4，E(X)＝6×＝2，D(X)＝6××＝，由期望的性质可得E(2X－1)＝2E(X)－1＝2×2－1＝3，由方差的性质可得D(2X－1)＝4D(X)＝4×＝，故A，C正确，B，D错误．故选AC.
4. 　因为向左移动的概率为，所以向下移动的概率为.由题意，得点A必须向左移动4次，向下移动1次，所以所求的概率为C()4×(1－)＝.
5. (1) 由题意，得随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
则X～B(3，)，
P(X＝0)＝C()0(1－)3＝，
P(X＝1)＝C()1(1－)2＝，
P(X＝2)＝C()2(1－)1＝，
P(X＝3)＝C()3＝，
所以X的概率分布为
X 0 1 2 3
P
(2) 由题意，得第二小组第7次试验成功，前面6次试验中有3次失败，3次成功，每次试验又是相互独立的，所以所求概率为P＝C()3×(1－)3×＝.