8．2.4　超几何分布 同步学案（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册

8．2.4　超几何分布
1. 理解超几何分布，并能解决一些简单的实际问题．
2. 掌握超几何分布的均值计算公式，并能用其解决一些简单的问题．
活动一 背景引入
问题1：某校组织了一次主题为“认识大自然”的夏令营活动，有10名学生参加，其中6名男生，4名女生，为了活动的需要，要从这10名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本，那么其中恰有1名女生的概率有多大？并求抽取的三名同学中女生人数X的概率分布．
问题2：假设一批产品共有100件，其中有5件不合格品，随机取出10件产品，求抽取的10件产品中不合格品数X的概率分布．
思考1
(1) 这两个问题有什么共同特点？
(2) 对问题2，推广到一般情形，假设一批产品共有N件，其中有M件不合格品，随机取出n件产品，求抽取的n件产品中不合格品数X的概率分布．
活动二　超几何分布　
1. 超几何分布的定义：
一般地，若一个随机变量X的分布列为P(X＝r)＝，其中r＝0，1，2，3，…，l，l＝min{n，M}，则称X服从超几何分布，记为X～H(n，M，N)，并将P(X＝r)＝记为H(r；n，M，N).
说明：在H(r；n，M，N)中，
r：样本中不合格品数，n：样本容量，M：不合格品总数，N：总体中的个体总数．
2. 超几何分布的特点：
(1) 超几何分布的模型是不放回抽样；
(2) 超几何分布中的参数是(n，M，N).
活动三　超几何分布的应用　
例1　生产方发出了一批产品，产品共50箱，其中误混了2箱不合格产品．采购方接收该批产品的标准是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，则接收该批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？
某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，所以从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．
(1) 求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
(2) 某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的概率分布．
思考2
超几何分布的求解步骤有哪些？
例2　高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，摸到4个红球和1个白球的就获一等奖，用随机变量X表示取到的红球数．求：
(1) 获一等奖的概率；
(2) E(X).
思考3
类比二项分布的均值计算公式，服从超几何分布的随机变量的均值计算公式是什么？
1. 盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则恰好取出2个红球的概率是(　　)
A. B. C. D.
2. (2024长春月考)2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的数学期望为(　　)
A. B. C. D.
3. (多选)(2024南阳期末)在一个袋中装有除颜色外其余完全一样的3个黑球，3个白球，现从中任取4个球，设这4个球中黑球的个数为X，则下列结论中正确的是(　　)
A. X服从二项分布 B. X的值最小为1
C. P(X＝2)＝ D. E(X)＝2
4. 一个盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用(用完视为旧的)，用完后装回盒中，记此时盒中旧球的个数为X，则P(X＝4)的值为________．
5. (2024扬州期中)为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动．高二(1)班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动．
(1) 求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率；
(2) 记参加活动的女生人数为X，求X的概率分布及数学期望E(X).
8．2.4　超几何分布
【活动方案】
问题1：P(X＝1)＝＝.
X的可能取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
则X的概率分布为
X 0 1 2 3
P
问题2：X的可能取值为0，1，2，3，4，5，
则不合格品数X的概率分布为
X 0 1 2 3 4 5
P
思考1：(1) 都是不放回抽取．
(2)
X 0 1 … l
P …
l＝min{n，M}．
例1　用X表示“5箱中不合格产品的箱数”，则X～H(5，2，50).这批产品被接收的条件是5箱中没有不合格产品或只有1箱不合格产品，所以被接收的概率为P(X≤1)，
即P(X≤1)＝＋＝≈0.991 84.　
故该批产品被接收的概率约是0.991 84.
跟踪训练　(1) 由题意知，参加集训的男生、女生各有6人．
代表队中的学生全从B中学抽取的概率为＝，
所以A中学至少有1名学生入选代表队的概率为 1－＝.
(2) 根据题意，得X的所有可能取值为1，2，3，
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
所以X的概率分布为
X 1 2 3
P
思考2：①判断问题是否属于超几何分布问题；
②若是超几何分布问题，写出随机变量所服从的超几何分布公式；
③计算所要求的事件的概率，并回答问题．
例2　(1) 由题意，得随机变量X服从超几何分布 H(5，10，30)，
则H(4; 5，10，30)＝＝≈0.029 5，
故获一等奖的概率约为2.95%.
(2) X的概率分布如下：
X 0 1 2 3 4 5
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝≈1.666 7.
思考3：当X～H(n，M，N)时，E(X)＝Pk＝，其中l＝min{n，M}．
【检测反馈】
1. C　设取出红球的个数为X，则X～H(3，5，9)，所以P(X＝2)＝＝.
2. C　设男生人数为X，且X＝0，1，2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，则E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
3. BCD　由题意知，随机变量X服从参数为6，4，3的超几何分布，故A错误；X的所有可能取值为1，2，3，所以X的值最小为1，故B正确；P(X＝2)＝＝，故C正确；E(X)＝＝＝2，故D正确．故选BCD.
4. 　由X＝4，知取出的3个球必为2个旧球，1个新球，故P(X＝4)＝＝.
5. (1) 设“有女生参加活动”为事件A，“恰有一名女生参加活动”为事件B，
则P(AB)＝＝，P(A)＝＝，
所以P(B|A)＝＝＝.
(2) 由题意知，X服从超几何分布，且P(X＝k)＝(k＝0，1，2)，
所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
所以X的概率分布为
X 0 1 2
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＝ .