8．3 正 态 分 布 同步学案（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 8．3 正 态 分 布 同步学案（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 333.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-26 23:50:35 | ||
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文档简介
8．3 正 态 分 布
1. 通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量．
2. 通过具体实例，借助频率直方图了解正态分布的特征．
3. 了解正态分布的“3σ”原则．
活动一 背景引入
前面讨论的二项分布、超几何分布是刻画离散型随机变量分布的数学模型，在实际应用中，还有许多随机变量可以取某一区间中的一切值．这类随机变量就是连续型随机变量．例如，在必修“统计”一章中给出的金属棒长度的样本数据如下：
6.02 6.01 6.04 5.94 5.97 5.96
5.98 6.01 5.98 6.02 6.00 6.03
6.07 5.97 6.01 6.00 6.03 5.95
6.00 6.00 6.05 5.93 6.02 5.99
6.00 5.95 6.00 5.97 5.96 5.97
6.03 6.01 6.00 5.99 6.04 6.00
6.02 5.99 6.03 5.98
你能确定测量一次，其测量的结果在区间(5.97，6.03)上的概率吗？
要解决这样的问题，就要了解随机试验所得数据的分布规律．为此，将这组数据以0.02为组距进行分组，可得频率直方图．
思考1
以上频率直方图有什么特征？如果数据无限增多且组距无限缩小，那么频率直方图的折线有什么特征？
活动二 了解正态密度曲线和正态分布的概念
思考2
函数f(x)＝，x∈R的图象如图所示．试确定函数f(x)的解析式．
1. 正态密度曲线
(1) 正态密度曲线的定义：
函数P(x)＝，x∈R，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称P(x)的图象为正态密度曲线．
(2) 正态密度曲线图象有如下特征：
①曲线位于x轴上方，以x轴为渐近线；
②当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降；它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值；
④曲线与x轴之间的区域面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图1所示；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越扁平，总体的分布越分散；σ越小，曲线越尖陡，总体的分布越集中，如图2所示．
图1 图2
2. 正态分布
设X是一个随机变量，若对任给区间(a，b]，P(a3. 3σ原则
(1) ①P(μ－σ②P(μ－2σ③P(μ－3σ(2) 通常服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．
4. μ与σ2的含义
μ就是随机变量X的均值，σ2就是随机变量X的方差．
5. 标准正态分布
将正态分布N(0，1)称为标准正态分布．
活动三 正态分布的应用
例1 某次高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则下列说法中正确的是( )
A. 甲科总体的标准差最小
B. 丙科总体的平均数最小
C. 乙科总体的标准差及平均数都居中
D. 甲、乙、丙的总体的平均数不相同
例2 已知随机变量Z～N(0，1)，查标准正态分布表，求：
(1) P(Z≤1.52)； (2) P(Z＞1.52)；
(3) P(0.57＜Z≤2.3); (4) P(Z≤－1.49).
例3 某批待出口的水果罐头，每罐净重X(单位：g)服从正态分布N(184，2.52)，求：
(1) 随机抽取1罐，其净重超过184.5 g的概率；
(2) 随机抽取1罐，其净重在179 g与189 g之间的概率．
当X～N(μ，σ2)(μ≠0或σ2≠1)时，Z＝服从标准正态分布．
有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20，4)．若这批零件共有5 000个，试求：
(1) 这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比；
(2) 若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？
解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)三个区间内的概率，在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．
1. (2024大连月考)对甲、乙两地小学生假期一天中的读书情况进行统计，已知小学生的读书时间均符合正态分布，其中甲地小学生读书的时间为X(单位：h)，X～N(2，4)，对应的曲线为C1，乙地小学生读书的时间为Y(单位：h)，Y～N(3，)，对应的曲线为C2，则下列图象中正确的是( )
A B C D
2. (2024烟台月考)随机变量X服从正态分布X～N(2，σ2).若P(2≤X<4)＝0.3，则P(X<0)等于( )
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6
3. (多选)4月23日为世界读书日，已知某高校学生每周阅读时间X服从正态分布N(9，4)，则下列结论中正确的是(附：X～N(μ，σ2)，P(μ－σA. 该校学生每周平均阅读时间为9 h
B. 该校学生每周阅读时间的标准差为4
C. 该校学生每周阅读时间不超过3 h的人数约占0.15%
D. 若该校有10 000名学生，则每周阅读时间在3～5 h的人数约为215
4. (2024济南一模)已知随机变量X～N(1，22)，则D(2X＋1)的值为________．
5. (2024江苏月考)法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包．该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1 000 g，上下浮动不超过50 g.这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1 000 g，标准差为50 g的正态分布．已知如下结论：若X～N(μ，σ2)，从X的取值中随机抽取k(k∈N*，k≥2)个数据，记这k个数据的平均值为Y，则随机变量Y～N(μ，).利用该结论解决下面问题．
(1) 假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为Y，求P(Y≤980)；
(2) 庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在区间(950，1 050)内，并计算25个面包的平均质量为978.72 g．庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱举报该面包师的理由．
附：①若随机变量η服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤η≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤η≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤η≤μ＋3σ)≈0.997 3；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生．
8．3 正 态 分 布
【活动方案】
思考1：这个直方图大体呈中间高、两边低、左右大致对称的特点．如果增加更多的测量数据，那么这种趋势会更加明显．可以设想，如果数据无限增多且组距无限缩小，那么频率直方图上的折线将趋于一条光滑的曲线，我们将此曲线称为概率密度曲线．
思考2：由图可知，该曲线关于直线x＝72对称，最大值为.
由函数表达式可知，函数图象的对称轴为直线 x＝μ，
所以μ＝72，所以＝，解得σ＝10，
所以f(x)＝(x∈R).
例1 A 由图可知三科总体的平均数相等，故B，C，D错误；由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙，故A正确．
例2 (1) P(Z≤1.52)＝0.935 7(图1).
(2) P(Z＞1.52)＝1－P(Z≤1.52)＝1－0.935 7＝0.064 3(图1).
(3) P(0.57＜Z≤2.3)＝P(Z≤2.3)－P(Z≤0.57)＝0.989 3－0.715 7＝0.273 6(图2).
(4) P(Z≤－1.49)＝P(Z≥1.49)＝1－P(Z≤1.49)＝1－0.931 9＝0.068 1(图3).
图1 图2 图3
例3 (1) P(X＞184.5)＝P(＞)＝P(Z＞0.2)＝1－P(Z≤0.2)＝1－0.579 3＝0.420 7，
故随机抽1罐，其净重超过184.5 g的概率是 0.420 7.
(2) P(179＜X≤189)
＝P(＜≤)
＝P(－2＜Z≤2)＝P(Z≤2)－P(Z≤－2)
＝P(Z≤2)－P(Z≥2)
＝P(Z≤2)－[1－P(Z≤2)]
＝2P(Z≤2)－1
＝2×0.977 2－1
＝0.954 4，
故随机抽取1罐，其净重在179 g与189 g之间的概率为0.954 4.
跟踪训练 (1) 因为X～N(20，4)，
所以μ＝20，σ＝2，
所以μ－σ＝18，μ＋σ＝22，
所以尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比约是68.3%.
(2) 因为μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，所以尺寸在14～26 mm之间的零件所占的百分比约是99.7%，尺寸在16～24 mm之间的零件所占的百分比约是95.4%，
所以尺寸在24～26 mm间的零件所占的百分比约是＝2.15%，
所以尺寸在24～26 mm间的零件大约有5 000×2.15%≈108(个).
【检测反馈】
1. C 因为X～N(2，4)，Y～N(3，)，所以曲线C2的对称轴为x＝3，C1的对称轴为x＝2，又4>，所以C2的形状偏瘦一些．排除A，B，D.故选C.
2. A 由随机变量X服从正态分布X～N(2，σ2)，得μ＝2.又P(2≤X<4)＝0.3，则P(X<0)＝P(X>4)＝0.5－P(2≤X<4)＝0.5－0.3＝0.2.
3. ACD 对于A，因为E(X)＝9，所以该校学生每周平均阅读时间为9 h，故A正确；对于B，因为D(X)＝4，所以该校学生每周阅读时间的标准差为2，故B错误；对于C，因为P(74. 16 由X～N(1，22)，得D(X)＝22＝4，则D(2X＋1)＝4D(X)＝16.
5. (1) 因为＝100，所以Y～N(1 000，102).
又因为P(μ－2σ≤η≤μ＋2σ)≈0.954 5，
所以P(η≤μ－2σ)≈＝0.022 75.
因为980＝1 000－2×10，
所以P(Y≤980)＝P(η≤μ－2σ)＝0.022 75.
(2) 由(1)知，P(Y≤980)＝P(η≤μ－2σ)＝0.022 75.
又这25个面包的平均质量为978.72 g，
因为978.72<980，而0.022 75<0.05，为小概率事件，小概率事件基本不会发生，这就是庞加莱举报该面包师的理由．
1. 通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量．
2. 通过具体实例，借助频率直方图了解正态分布的特征．
3. 了解正态分布的“3σ”原则．
活动一 背景引入
前面讨论的二项分布、超几何分布是刻画离散型随机变量分布的数学模型，在实际应用中，还有许多随机变量可以取某一区间中的一切值．这类随机变量就是连续型随机变量．例如，在必修“统计”一章中给出的金属棒长度的样本数据如下：
6.02 6.01 6.04 5.94 5.97 5.96
5.98 6.01 5.98 6.02 6.00 6.03
6.07 5.97 6.01 6.00 6.03 5.95
6.00 6.00 6.05 5.93 6.02 5.99
6.00 5.95 6.00 5.97 5.96 5.97
6.03 6.01 6.00 5.99 6.04 6.00
6.02 5.99 6.03 5.98
你能确定测量一次，其测量的结果在区间(5.97，6.03)上的概率吗？
要解决这样的问题，就要了解随机试验所得数据的分布规律．为此，将这组数据以0.02为组距进行分组，可得频率直方图．
思考1
以上频率直方图有什么特征？如果数据无限增多且组距无限缩小，那么频率直方图的折线有什么特征？
活动二 了解正态密度曲线和正态分布的概念
思考2
函数f(x)＝，x∈R的图象如图所示．试确定函数f(x)的解析式．
1. 正态密度曲线
(1) 正态密度曲线的定义：
函数P(x)＝，x∈R，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称P(x)的图象为正态密度曲线．
(2) 正态密度曲线图象有如下特征：
①曲线位于x轴上方，以x轴为渐近线；
②当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降；它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值；
④曲线与x轴之间的区域面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图1所示；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越扁平，总体的分布越分散；σ越小，曲线越尖陡，总体的分布越集中，如图2所示．
图1 图2
2. 正态分布
设X是一个随机变量，若对任给区间(a，b]，P(a
(1) ①P(μ－σ
4. μ与σ2的含义
μ就是随机变量X的均值，σ2就是随机变量X的方差．
5. 标准正态分布
将正态分布N(0，1)称为标准正态分布．
活动三 正态分布的应用
例1 某次高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则下列说法中正确的是( )
A. 甲科总体的标准差最小
B. 丙科总体的平均数最小
C. 乙科总体的标准差及平均数都居中
D. 甲、乙、丙的总体的平均数不相同
例2 已知随机变量Z～N(0，1)，查标准正态分布表，求：
(1) P(Z≤1.52)； (2) P(Z＞1.52)；
(3) P(0.57＜Z≤2.3); (4) P(Z≤－1.49).
例3 某批待出口的水果罐头，每罐净重X(单位：g)服从正态分布N(184，2.52)，求：
(1) 随机抽取1罐，其净重超过184.5 g的概率；
(2) 随机抽取1罐，其净重在179 g与189 g之间的概率．
当X～N(μ，σ2)(μ≠0或σ2≠1)时，Z＝服从标准正态分布．
有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20，4)．若这批零件共有5 000个，试求：
(1) 这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比；
(2) 若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？
解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)三个区间内的概率，在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．
1. (2024大连月考)对甲、乙两地小学生假期一天中的读书情况进行统计，已知小学生的读书时间均符合正态分布，其中甲地小学生读书的时间为X(单位：h)，X～N(2，4)，对应的曲线为C1，乙地小学生读书的时间为Y(单位：h)，Y～N(3，)，对应的曲线为C2，则下列图象中正确的是( )
A B C D
2. (2024烟台月考)随机变量X服从正态分布X～N(2，σ2).若P(2≤X<4)＝0.3，则P(X<0)等于( )
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6
3. (多选)4月23日为世界读书日，已知某高校学生每周阅读时间X服从正态分布N(9，4)，则下列结论中正确的是(附：X～N(μ，σ2)，P(μ－σ
B. 该校学生每周阅读时间的标准差为4
C. 该校学生每周阅读时间不超过3 h的人数约占0.15%
D. 若该校有10 000名学生，则每周阅读时间在3～5 h的人数约为215
4. (2024济南一模)已知随机变量X～N(1，22)，则D(2X＋1)的值为________．
5. (2024江苏月考)法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包．该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1 000 g，上下浮动不超过50 g.这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1 000 g，标准差为50 g的正态分布．已知如下结论：若X～N(μ，σ2)，从X的取值中随机抽取k(k∈N*，k≥2)个数据，记这k个数据的平均值为Y，则随机变量Y～N(μ，).利用该结论解决下面问题．
(1) 假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为Y，求P(Y≤980)；
(2) 庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在区间(950，1 050)内，并计算25个面包的平均质量为978.72 g．庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加莱举报该面包师的理由．
附：①若随机变量η服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤η≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤η≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤η≤μ＋3σ)≈0.997 3；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生．
8．3 正 态 分 布
【活动方案】
思考1：这个直方图大体呈中间高、两边低、左右大致对称的特点．如果增加更多的测量数据，那么这种趋势会更加明显．可以设想，如果数据无限增多且组距无限缩小，那么频率直方图上的折线将趋于一条光滑的曲线，我们将此曲线称为概率密度曲线．
思考2：由图可知，该曲线关于直线x＝72对称，最大值为.
由函数表达式可知，函数图象的对称轴为直线 x＝μ，
所以μ＝72，所以＝，解得σ＝10，
所以f(x)＝(x∈R).
例1 A 由图可知三科总体的平均数相等，故B，C，D错误；由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙，故A正确．
例2 (1) P(Z≤1.52)＝0.935 7(图1).
(2) P(Z＞1.52)＝1－P(Z≤1.52)＝1－0.935 7＝0.064 3(图1).
(3) P(0.57＜Z≤2.3)＝P(Z≤2.3)－P(Z≤0.57)＝0.989 3－0.715 7＝0.273 6(图2).
(4) P(Z≤－1.49)＝P(Z≥1.49)＝1－P(Z≤1.49)＝1－0.931 9＝0.068 1(图3).
图1 图2 图3
例3 (1) P(X＞184.5)＝P(＞)＝P(Z＞0.2)＝1－P(Z≤0.2)＝1－0.579 3＝0.420 7，
故随机抽1罐，其净重超过184.5 g的概率是 0.420 7.
(2) P(179＜X≤189)
＝P(＜≤)
＝P(－2＜Z≤2)＝P(Z≤2)－P(Z≤－2)
＝P(Z≤2)－P(Z≥2)
＝P(Z≤2)－[1－P(Z≤2)]
＝2P(Z≤2)－1
＝2×0.977 2－1
＝0.954 4，
故随机抽取1罐，其净重在179 g与189 g之间的概率为0.954 4.
跟踪训练 (1) 因为X～N(20，4)，
所以μ＝20，σ＝2，
所以μ－σ＝18，μ＋σ＝22，
所以尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比约是68.3%.
(2) 因为μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，所以尺寸在14～26 mm之间的零件所占的百分比约是99.7%，尺寸在16～24 mm之间的零件所占的百分比约是95.4%，
所以尺寸在24～26 mm间的零件所占的百分比约是＝2.15%，
所以尺寸在24～26 mm间的零件大约有5 000×2.15%≈108(个).
【检测反馈】
1. C 因为X～N(2，4)，Y～N(3，)，所以曲线C2的对称轴为x＝3，C1的对称轴为x＝2，又4>，所以C2的形状偏瘦一些．排除A，B，D.故选C.
2. A 由随机变量X服从正态分布X～N(2，σ2)，得μ＝2.又P(2≤X<4)＝0.3，则P(X<0)＝P(X>4)＝0.5－P(2≤X<4)＝0.5－0.3＝0.2.
3. ACD 对于A，因为E(X)＝9，所以该校学生每周平均阅读时间为9 h，故A正确；对于B，因为D(X)＝4，所以该校学生每周阅读时间的标准差为2，故B错误；对于C，因为P(7
5. (1) 因为＝100，所以Y～N(1 000，102).
又因为P(μ－2σ≤η≤μ＋2σ)≈0.954 5，
所以P(η≤μ－2σ)≈＝0.022 75.
因为980＝1 000－2×10，
所以P(Y≤980)＝P(η≤μ－2σ)＝0.022 75.
(2) 由(1)知，P(Y≤980)＝P(η≤μ－2σ)＝0.022 75.
又这25个面包的平均质量为978.72 g，
因为978.72<980，而0.022 75<0.05，为小概率事件，小概率事件基本不会发生，这就是庞加莱举报该面包师的理由．