9.1.1 变量的相关性 同步学案（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 9.1.1 变量的相关性 同步学案（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 175.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-26 23:49:45 | ||
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文档简介
9.1.1 变量的相关性
1. 通过实例了解变量的相关关系，能根据生活经验判断变量之间的相关性．
2. 了解散点图的概念，并能用散点图直观判断变量之间的相关关系．
3. 了解线性相关关系，并能用散点图判断变量之间的线性相关关系．
4. 了解正相关、负相关等概念，会用散点图进行判断．
5. 结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性．
活动一 变量间的相关关系
思考1
圆的面积与半径之间的关系是什么关系？球的体积与半径之间的关系又是什么关系？
思考2
人的脚长与身高、农作物的产量与施肥量、家庭的收入与支出，可以分别用一个关系式表示吗？
相关关系的定义：两个变量之间具有一定的联系，但又没有确定性函数关系，相对于确定的自变量，因变量的取值具有随机性的变量之间的关系通常称之为相关关系．
例1 试判断下列各个问题中两个变量之间是否具有相关关系：
(1) 商品的销售价格与其供应量；
(2) 汽车的耗油量与行驶速度；
(3) 真空中自由降落的小球的位移(单位：m)与时间(单位：s)；
(4) 空气中污染物浓度(单位：μg/m3)与日降雨量(单位：cm).
下列关系中，属于相关关系的是________．(填序号)
①正方形的边长与面积之间的关系；
②人的年龄与他(她)拥有的学识之间的关系；
③出租车费与行驶的里程；
④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．
活动二 线性相关关系
在相关关系中，因变量的值不能随自变量的值的确定而确定，所以无法直接用函数去描述变量之间的这种关系．我们都是用“直觉”与“经验”进行推断，具有粗略、不够精确的特点，如何进行更为科学、严密的推断呢？
我们需要借助数据说话，即通过样本数据分析，从数据中提取信息，并建构适当的模型，再利用模型进行估计或推断．
全国城镇居民人均年可支配收入与人均年支出(单位：元)的部分数据(来源：《中国统计年鉴(2016)》)如下表所示．
年份 1990 2000 2010 2011 2012 2013 2014 2015
人均年可支配收入 1 510 6 280 19 109 21 810 24 565 26 467 28 844 31 195
人均年支出 1 279 4 998 13 471 15 161 16 674 18 488 19 968 21 392
你能得出什么结论？
线性相关关系的定义：在散点图中，可以看出点落在某条直线的附近，我们将具有这种特性的相关关系称为线性相关关系．如果这些散点呈从左下向右上方向发展的趋势，我们称这两个变量之间正相关；如果这些散点呈从左上向右下方向发展的趋势，我们称这两个变量之间负相关．
例2 有几组变量：①汽车的质量和汽车每消耗1 L汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③立方体的棱长和体积．其中两个变量之间正相关的是( )
A. ①③ B. ②③ C. ② D. ③
活动三 相关系数
阅读教材P153～P156，我们知道可以用相关系数r来刻画线性相关关系．
1. 样本相关系数r的计算公式
我们可以利用相关系数来定量地衡量两个变量之间的线性相关关系，计算公式为
2.相关系数r的性质：
①|r|≤1；
②当r>0时，y与x呈正相关关系;当r<0时，y与x呈负相关关系；
③|r|越接近于1，y与x相关的程度就越强；|r|越接近于0，y与x相关的程度就越弱；
④通常情况下，当|r|>0.5时，认为线性相关关系显著；当|r|<0.3时，认为几乎没有线性相关关系.
例3 20个工业企业某年的平均固定资产价值与总产值(单位：百万元)如下表所示．
企业编号 年平均 固定资产价值 年总产值 企业编号 年平均 固定资产价值 年总产值
1 36 32.0 11 50 45.5
2 43 40.2 12 70 65.0
3 50 47.5 13 62 56.0
4 40 41.5 14 58 55.0
5 55 51.0 15 52 55.0
6 58 53.4 16 63 57.0
7 38 33.8 17 64 54.2
8 45 42.8 18 53 56.5
9 47 45.6 19 54 50.2
10 42 40.8 20 56 49.2
设年平均固定资产价值为x，年总产值为y，单位均为百万元.试画出散点图，计算相关系数.
对两个变量x，y进行线性相关检验，得线性相关系数r1=0.785 9,对两个变量u，v进行线性相关检验，得线性相关系数r2=-0.9568，则下列结论中正确的是( )
变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关性较强
变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强
变量x与y正相关，变量u与o负相关，变量u与v的线性相关性较强
变量x与y负相关，变量u与o正相关，变量u与v的线性相关性较强
下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是( )
瑞雪兆丰年
读书破万卷，下笔如有神
吸烟有害健康
喜鹊叫喜,乌鸦叫丧
某超市统计了最近5年的商品销售额与利润率数据,经计算相关系数r=0.862，则下列结论中正确的是( )
商品销售额与利润率正相关，且具有较弱的相关关系
商品销售额与利润率正相关，且具有较强的相关关系.
商品销售额与利润率负相关,且具有较弱的相关关系
商品销售额与利润率负相关,且具有较强的相关关系
3. (多选)(2024 江苏月考)下列说法中，正确的是( )
A. 闯红灯与交通事故发生率的关系是相关关系
B. 同一物体的加速度与作用力是函数关系
C. 产品的成本与产量之间的关系是函数关系
D. 广告费用与销售量之间的关系是相关关系
4. 已知两个变量x，y的一组观测数据如下表所示.
x 8 10 12 14 16
y 6 7.5 7.8 9.2 10.8
则根据数据可以判断x，y 相关关系. (填“有”或“无")
有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出热饮杯数与当天气温的对比表：
温度/℃ -5 0 4 7 12 15
热饮杯数 156 150 132 128 130 116
温度/℃ 19 23 27 31 36
热饮杯数 104 89 93 76 54
(1)画出散点图；
(2)你能从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律吗
9.1.1 变量的相关性
【活动方案】
思考1：S＝πr2，V＝R3.
思考2：一般来说，人的脚长与身高有关，农作物的产量与施肥量有关，家庭的收入与支出有一定关系，但这些不能用一个函数来表示．
例1 (1) 商品的销售价格与其供应量之间具有相关关系．一般来说，在品质相当的情况下，供应量越大，价格就越低；供应量越小，价格就越高．某些品牌商品限量供应，就是保持较高价位的销售策略．
(2) 汽车的耗油量与行驶速度之间具有相关关系．通常情况下，当速度很慢或速度很快时，耗油较多，而在中等车速(不同的汽车范围不一定一样)时，速度稍高，耗油反而较少．
(3) 根据自由落体运动方程，自由降落的小球的位移与时间之间是函数关系．
(4) 空气中污染物浓度与日降雨量之间具有相关关系．通常情况下，降雨量越大，空气中污染物浓度就越低．
跟踪训练 ②④ 在①中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；在②中，一般地，人的年龄与他(她)拥有的学识之间具有相关关系；在③中，出租车费与行驶的里程之间的关系是函数关系；在④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．
背景引入：由题意，得人均年支出与人均年可支配收入的大致关系也可用图来表示．我们以横坐标x表示人均年可支配收入，纵坐标y表示人均年支出，建立平面直角坐标系，将表中数据构成的8个点在坐标系内标出，得到下图．我们称这类图为散点图．
通过散点图可以看出，随着人均年可支配收入的增加，人均年支出也在提高，这8个点散布在一条直线附近，说明人均年支出y与人均年可支配收入x具有相关关系．
例2 C ①是负相关；②是正相关；③不是相关关系．
例3 散点图如下图所示．
根据r＝，
可得相关系数为r≈0.939 6.
因此，y与x有着很强的正相关关系．
跟踪训练 C 由线性相关系数r1＝0.785 9>0，得x与y呈正相关，由线性相关系数r2＝－0.956 8<0，得u与v呈负相关．又<，所以变量u与v的线性相关性比x与y的线性相关性强．
【检测反馈】
1. D “瑞雪兆丰年”和“读书破万卷，下笔如有神”是根据多年经验总结归纳出来的，吸烟有害健康具有科学根据，所以它们都具有相关关系；结合生活经验知喜鹊和乌鸦发出叫声是它们自身的生理反应，与人无任何关系，故D项不具有相关关系．
2. B 因为r＝0.862>0，所以商品销售额与利润率呈正相关．又r＝0.862接近1，所以具有较强的相关关系．
3. ABD 闯红灯与发生交通事故之间不是因果关系，但具有相关性，是相关关系，故A正确；物体的加速度与作用力的关系是函数关系，故B正确；产品的成本与产量之间是相关关系，故C错误；广告费用与销售量之间是相关关系，故D正确．故选ABD.
4. 有 x由小变大时，y也由小变大，因此，两个变量有相关关系．
5. (1) 以x轴表示温度，y轴表示热饮杯数，可作散点图如图．
(2) 从图中可以看出，这些点散布在一条直线附近，因此，气温与热饮销售杯数之间具有相关关系．这些点呈从左上逐渐向右下方向发展的趋势，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少．
1. 通过实例了解变量的相关关系，能根据生活经验判断变量之间的相关性．
2. 了解散点图的概念，并能用散点图直观判断变量之间的相关关系．
3. 了解线性相关关系，并能用散点图判断变量之间的线性相关关系．
4. 了解正相关、负相关等概念，会用散点图进行判断．
5. 结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性．
活动一 变量间的相关关系
思考1
圆的面积与半径之间的关系是什么关系？球的体积与半径之间的关系又是什么关系？
思考2
人的脚长与身高、农作物的产量与施肥量、家庭的收入与支出，可以分别用一个关系式表示吗？
相关关系的定义：两个变量之间具有一定的联系，但又没有确定性函数关系，相对于确定的自变量，因变量的取值具有随机性的变量之间的关系通常称之为相关关系．
例1 试判断下列各个问题中两个变量之间是否具有相关关系：
(1) 商品的销售价格与其供应量；
(2) 汽车的耗油量与行驶速度；
(3) 真空中自由降落的小球的位移(单位：m)与时间(单位：s)；
(4) 空气中污染物浓度(单位：μg/m3)与日降雨量(单位：cm).
下列关系中，属于相关关系的是________．(填序号)
①正方形的边长与面积之间的关系；
②人的年龄与他(她)拥有的学识之间的关系；
③出租车费与行驶的里程；
④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．
活动二 线性相关关系
在相关关系中，因变量的值不能随自变量的值的确定而确定，所以无法直接用函数去描述变量之间的这种关系．我们都是用“直觉”与“经验”进行推断，具有粗略、不够精确的特点，如何进行更为科学、严密的推断呢？
我们需要借助数据说话，即通过样本数据分析，从数据中提取信息，并建构适当的模型，再利用模型进行估计或推断．
全国城镇居民人均年可支配收入与人均年支出(单位：元)的部分数据(来源：《中国统计年鉴(2016)》)如下表所示．
年份 1990 2000 2010 2011 2012 2013 2014 2015
人均年可支配收入 1 510 6 280 19 109 21 810 24 565 26 467 28 844 31 195
人均年支出 1 279 4 998 13 471 15 161 16 674 18 488 19 968 21 392
你能得出什么结论？
线性相关关系的定义：在散点图中，可以看出点落在某条直线的附近，我们将具有这种特性的相关关系称为线性相关关系．如果这些散点呈从左下向右上方向发展的趋势，我们称这两个变量之间正相关；如果这些散点呈从左上向右下方向发展的趋势，我们称这两个变量之间负相关．
例2 有几组变量：①汽车的质量和汽车每消耗1 L汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③立方体的棱长和体积．其中两个变量之间正相关的是( )
A. ①③ B. ②③ C. ② D. ③
活动三 相关系数
阅读教材P153～P156，我们知道可以用相关系数r来刻画线性相关关系．
1. 样本相关系数r的计算公式
我们可以利用相关系数来定量地衡量两个变量之间的线性相关关系，计算公式为
2.相关系数r的性质：
①|r|≤1；
②当r>0时，y与x呈正相关关系;当r<0时，y与x呈负相关关系；
③|r|越接近于1，y与x相关的程度就越强；|r|越接近于0，y与x相关的程度就越弱；
④通常情况下，当|r|>0.5时，认为线性相关关系显著；当|r|<0.3时，认为几乎没有线性相关关系.
例3 20个工业企业某年的平均固定资产价值与总产值(单位：百万元)如下表所示．
企业编号 年平均 固定资产价值 年总产值 企业编号 年平均 固定资产价值 年总产值
1 36 32.0 11 50 45.5
2 43 40.2 12 70 65.0
3 50 47.5 13 62 56.0
4 40 41.5 14 58 55.0
5 55 51.0 15 52 55.0
6 58 53.4 16 63 57.0
7 38 33.8 17 64 54.2
8 45 42.8 18 53 56.5
9 47 45.6 19 54 50.2
10 42 40.8 20 56 49.2
设年平均固定资产价值为x，年总产值为y，单位均为百万元.试画出散点图，计算相关系数.
对两个变量x，y进行线性相关检验，得线性相关系数r1=0.785 9,对两个变量u，v进行线性相关检验，得线性相关系数r2=-0.9568，则下列结论中正确的是( )
变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关性较强
变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强
变量x与y正相关，变量u与o负相关，变量u与v的线性相关性较强
变量x与y负相关，变量u与o正相关，变量u与v的线性相关性较强
下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是( )
瑞雪兆丰年
读书破万卷，下笔如有神
吸烟有害健康
喜鹊叫喜,乌鸦叫丧
某超市统计了最近5年的商品销售额与利润率数据,经计算相关系数r=0.862，则下列结论中正确的是( )
商品销售额与利润率正相关，且具有较弱的相关关系
商品销售额与利润率正相关，且具有较强的相关关系.
商品销售额与利润率负相关,且具有较弱的相关关系
商品销售额与利润率负相关,且具有较强的相关关系
3. (多选)(2024 江苏月考)下列说法中，正确的是( )
A. 闯红灯与交通事故发生率的关系是相关关系
B. 同一物体的加速度与作用力是函数关系
C. 产品的成本与产量之间的关系是函数关系
D. 广告费用与销售量之间的关系是相关关系
4. 已知两个变量x，y的一组观测数据如下表所示.
x 8 10 12 14 16
y 6 7.5 7.8 9.2 10.8
则根据数据可以判断x，y 相关关系. (填“有”或“无")
有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出热饮杯数与当天气温的对比表：
温度/℃ -5 0 4 7 12 15
热饮杯数 156 150 132 128 130 116
温度/℃ 19 23 27 31 36
热饮杯数 104 89 93 76 54
(1)画出散点图；
(2)你能从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律吗
9.1.1 变量的相关性
【活动方案】
思考1：S＝πr2，V＝R3.
思考2：一般来说，人的脚长与身高有关，农作物的产量与施肥量有关，家庭的收入与支出有一定关系，但这些不能用一个函数来表示．
例1 (1) 商品的销售价格与其供应量之间具有相关关系．一般来说，在品质相当的情况下，供应量越大，价格就越低；供应量越小，价格就越高．某些品牌商品限量供应，就是保持较高价位的销售策略．
(2) 汽车的耗油量与行驶速度之间具有相关关系．通常情况下，当速度很慢或速度很快时，耗油较多，而在中等车速(不同的汽车范围不一定一样)时，速度稍高，耗油反而较少．
(3) 根据自由落体运动方程，自由降落的小球的位移与时间之间是函数关系．
(4) 空气中污染物浓度与日降雨量之间具有相关关系．通常情况下，降雨量越大，空气中污染物浓度就越低．
跟踪训练 ②④ 在①中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；在②中，一般地，人的年龄与他(她)拥有的学识之间具有相关关系；在③中，出租车费与行驶的里程之间的关系是函数关系；在④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．
背景引入：由题意，得人均年支出与人均年可支配收入的大致关系也可用图来表示．我们以横坐标x表示人均年可支配收入，纵坐标y表示人均年支出，建立平面直角坐标系，将表中数据构成的8个点在坐标系内标出，得到下图．我们称这类图为散点图．
通过散点图可以看出，随着人均年可支配收入的增加，人均年支出也在提高，这8个点散布在一条直线附近，说明人均年支出y与人均年可支配收入x具有相关关系．
例2 C ①是负相关；②是正相关；③不是相关关系．
例3 散点图如下图所示．
根据r＝，
可得相关系数为r≈0.939 6.
因此，y与x有着很强的正相关关系．
跟踪训练 C 由线性相关系数r1＝0.785 9>0，得x与y呈正相关，由线性相关系数r2＝－0.956 8<0，得u与v呈负相关．又<，所以变量u与v的线性相关性比x与y的线性相关性强．
【检测反馈】
1. D “瑞雪兆丰年”和“读书破万卷，下笔如有神”是根据多年经验总结归纳出来的，吸烟有害健康具有科学根据，所以它们都具有相关关系；结合生活经验知喜鹊和乌鸦发出叫声是它们自身的生理反应，与人无任何关系，故D项不具有相关关系．
2. B 因为r＝0.862>0，所以商品销售额与利润率呈正相关．又r＝0.862接近1，所以具有较强的相关关系．
3. ABD 闯红灯与发生交通事故之间不是因果关系，但具有相关性，是相关关系，故A正确；物体的加速度与作用力的关系是函数关系，故B正确；产品的成本与产量之间是相关关系，故C错误；广告费用与销售量之间是相关关系，故D正确．故选ABD.
4. 有 x由小变大时，y也由小变大，因此，两个变量有相关关系．
5. (1) 以x轴表示温度，y轴表示热饮杯数，可作散点图如图．
(2) 从图中可以看出，这些点散布在一条直线附近，因此，气温与热饮销售杯数之间具有相关关系．这些点呈从左上逐渐向右下方向发展的趋势，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少．