9．2 独立性检验 同步学案（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 9．2 独立性检验 同步学案（含答案） 2024-2025学年高二数学苏教版（2019）选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 100.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-26 23:50:54 | ||
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文档简介
9．2 独立性检验
1. 通过实例，理解2×2列联表的统计意义．
2. 通过实例，了解2×2列联表独立性检验的基本思想、方法和初步应用．
3. 经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其中的基本方法，提高数学模型建立和数据处理的能力．
活动一 了解分类变量及2×2列联表
某医疗机构为了解呼吸道疾病与吸烟是否有关，进行了一次抽样调查，数据整理如下表：
患病 未患病 合计
吸烟 37 183 220
不吸烟 21 274 295
合计 58 457 515
根据这些数据能否断定：患呼吸道疾病与吸烟有关？
1. 分类变量
变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
2. 列联表
(1) 列联表是一个描述两个分类变量分布的频数表．
(2) 2×2列联表
一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(也称为2×2列联表)如下：
y1 y2 合计
x1 a b a＋b
x2 c d c＋d
合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
活动二 了解独立性检验
阅读教材，了解独立性检验．
1. 定义：利用统计量χ2来判断“两个分类变量是否有关系”的方法称为独立性检验．
2. χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．
3. 推断“Ⅰ与Ⅱ有关系”的步骤：
(1) 提出假设H0：Ⅰ与Ⅱ没有关系；
(2) 根据2×2列联表与公式计算χ2的值；
(3) 根据临界值表，作出判断．
活动三 实际应用
例1 在500人身上试验某种血清预防感冒的作用，把他们1年中的感冒记录与另外500名未用血清的人的感冒记录作比较，结果如下表所示．问：该种血清对预防感冒是否有作用？
未感冒 感冒 合计
使用血清 258 242 500
未使用血清 216 284 500
合计 474 526 1 000
独立性检验的注意点：
在2×2列联表中，如果两个分类变量没有关系，那么应满足ad－bc≈0，因此|ad－bc|越小，关系越弱；|ad－bc|越大，关系越强．
例2 为研究不同的给药方式(口服与注射)和药的效果(有效与无效)是否有关，进行了相应的抽样调查，调查结果如下表所示．根据所选择的193个病人的数据，能否做出药的效果与给药方式有关的结论？
有效 无效 合计
口服 58 40 98
注射 64 31 95
合计 122 71 193
例3 气管炎是一种常见的呼吸道疾病．医药研究人员对两种中草药治疗慢性气管炎的疗效进行了对比，所得数据如下表所示．问：它们的疗效有无差异？
有效 无效 合计
复方江剪刀草 184 61 245
胆黄片 91 9 100
合计 275 70 345
1. (2024九江期末)某校随机调查了100名高中生是否喜欢篮球，按照男女区分得到列联表，经计算，得χ2＝8.133.根据独立性检验的相关知识，对照下表，有 t% 的把握认为喜欢篮球与性别有关，则t的值为( )
附：
P(χ2≥x0) 0.05 0.01 0.005 0.001
x0 3.841 6.635 7.879 10.828
A. 95 B. 99.5 C. 99 D. 99.9
2. (2024南阳月考)某高校团委对学生喜欢短视频和性别是否有关进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为6m(m∈N*)，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.若有99%的把握认为喜欢短视频和性别有关，则m的最小值为( )
附：
P(χ2≥x0) 0.05 0.01 0.005 0.001
x0 3.841 6.635 7.879 10.828
A. 18 B. 20 C. 22 D. 24
3. (多选)北京冬奥会成功举办后，大众对冰雪运动关注度不断上升，为研究市民对冰雪运动的喜好是否和性别有关，某校学生社团对市民进行了一次抽样调查，得到列联表如下：
冰雪运动的喜好 性别 合计
男性 女性
喜欢 140 m 140＋m
不喜欢 n 80 80＋n
合计 140＋n 80＋m 220＋m＋n
若男性喜欢冰雪运动的人数占男性人数的，女性喜欢冰雪运动的人数占女性人数的，则下列结论中正确的是( )
A. 列联表中n的值为60，m的值为120
B. 随机对一位路人进行调查，有95%的可能性对方喜欢冰雪运动
C. 有95%的把握认为市民对冰雪运动的喜好和性别有关
D. 没有99%的把握认为市民对冰雪运动的喜好和性别有关
4. (2024常州期末)某单位为了调查对工作的满意程度与性别是否具有相关性，随机抽取了若干名员工，所得数据统计如表所示，其中x∈N*，且x<6，若有95%的把握认为对工作的满意程度与性别有关，则x的值是________．
对工作满意 对工作不满意
男 4x 6x
女 6x 4x
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(χ2≥x0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
5. (2024南阳月考)爬虫软件是一种自动抓取互联网信息的程序，它能够模拟浏览器行为，自动化地获取网页源代码，并从中提取出所需数据．爬虫软件在互联网上爬行并采集目标数据，这个过程类似于一只大蜘蛛在互联网上爬行，因此得名“爬虫”．现有某电商运营部门为分析消费能力与性别的关系，使用爬虫软件了解到，2023年第4季度在本店网购的消费者共12 000名，现随机抽取100名消费者，其中男女各半．若消费者总消费金额不低于3 000元，则称其为网购达人．男性消费者中，网购达人占.网购达人中，男性消费者占.
(1) 请完成下列的2×2列联表；
网购达人 非网购达人 合计
男性
女性
合计
(2) 如果认为是否为网购达人与性别有关犯错误的概率不超过P，那么根据临界值表，最精确的P的值应为多少？请说明理由．
参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
参考数据：
P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.010 0.001
x0 2.706 3.841 6.635 10.828
9．2 独立性检验
【活动方案】
背景引入：在吸烟的人中，有≈16.82%的人患病；
在不吸烟的人中，有≈7.12%的人患病，
可知吸烟者与不吸烟者患病的可能性存在差异，所以有患病与吸烟有关这一推论．
例1 提出假设H0：感冒与是否使用该种血清没有关系．
根据列联表中的数据，可以求得χ2＝≈7.075.
因为当H0成立时，χ2≥6.635的概率约为0.01，所以我们有99%的把握认为，该种血清能起到预防感冒的作用．
例2 提出假设H0：药的效果与给药方式没有关系．
根据列联表中的数据可以求得χ2＝≈1.389 6＜2.072.
因为当H0成立时，χ2≥1.389 6的概率大于15%，这个概率比较大，所以根据目前的调查数据，不能否定假设H0，即不能作出药的效果与给药方式有关的结论．
例3 提出假设H0：两种中草药的治疗效果没有差异，即病人使用这两种药物中何种药物对疗效没有明显差异．
根据列联表中的数据可以求得χ2＝≈11.098.
因为当H0成立时，P(χ2≥10.828)≈0.001，这里的χ2≈11.098＞10.828，所以我们有99.9%的把握认为，两种药物的疗效有差异．
【检测反馈】
1. B 因为χ2＝8.133>7.879，所以有99.5%的把握认为喜欢篮球与性别有关．
2. B 根据题意，2×2列联表如下：
喜欢 不喜欢 合计
男 3m 3m 6m
女 4m 2m 6m
合计 7m 5m 12m
则χ2＝＝＝.因为有99%的把握认为喜欢短视频和性别有关，所以>6.635，所以m>19.352，又m∈N*，所以m的最小值为20.
3. ACD 因为男性喜欢冰雪运动的人数占男性人数的，所以＝，解得n＝60.又因为女性喜欢冰雪运动的人数占女性人数的，所以＝，解得m＝120，故A正确；计算＝0.65，所以随机对一路人进行调查，有65%的可能性对方喜欢冰雪运动，故B错误；由列联表中的数据，计算得到χ2＝≈4.396>3.841，所以有95%的把握认为市民喜欢冰雪运动和性别有关系，故C正确；因为χ2≈4.396<6.635，所以没有99%的把握认为市民喜欢冰雪运动和性别有关系，故D正确．故选ACD.
4. 5 由题意，得χ2＝＝>3.841，得x>4.801 25.因为x∈N*且x<6，所以x＝5.
5. (1) 由题意可得男性消费者50人，女性消费者50人，男性消费者网购达人有50×＝20(人)，则男性消费者中非网购达人有50－20＝30(人)，则网购达人共有20×＝50(人)，
则女性消费者中网购达人有50－20＝30(人)，女性消费者中非网购达人有50－30＝20(人)，
故得2×2列联表如下：
网购达人 非网购达人 合计
男性 20 30 50
女性 30 20 50
合计 50 50 100
(2) 由(1)可得χ2＝＝4，
因为3.841<4<6.635，认为是否为网购达人与性别有关系犯错的概率不超过5%，
即P的值为5%.
1. 通过实例，理解2×2列联表的统计意义．
2. 通过实例，了解2×2列联表独立性检验的基本思想、方法和初步应用．
3. 经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其中的基本方法，提高数学模型建立和数据处理的能力．
活动一 了解分类变量及2×2列联表
某医疗机构为了解呼吸道疾病与吸烟是否有关，进行了一次抽样调查，数据整理如下表：
患病 未患病 合计
吸烟 37 183 220
不吸烟 21 274 295
合计 58 457 515
根据这些数据能否断定：患呼吸道疾病与吸烟有关？
1. 分类变量
变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
2. 列联表
(1) 列联表是一个描述两个分类变量分布的频数表．
(2) 2×2列联表
一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(也称为2×2列联表)如下：
y1 y2 合计
x1 a b a＋b
x2 c d c＋d
合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d
活动二 了解独立性检验
阅读教材，了解独立性检验．
1. 定义：利用统计量χ2来判断“两个分类变量是否有关系”的方法称为独立性检验．
2. χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．
3. 推断“Ⅰ与Ⅱ有关系”的步骤：
(1) 提出假设H0：Ⅰ与Ⅱ没有关系；
(2) 根据2×2列联表与公式计算χ2的值；
(3) 根据临界值表，作出判断．
活动三 实际应用
例1 在500人身上试验某种血清预防感冒的作用，把他们1年中的感冒记录与另外500名未用血清的人的感冒记录作比较，结果如下表所示．问：该种血清对预防感冒是否有作用？
未感冒 感冒 合计
使用血清 258 242 500
未使用血清 216 284 500
合计 474 526 1 000
独立性检验的注意点：
在2×2列联表中，如果两个分类变量没有关系，那么应满足ad－bc≈0，因此|ad－bc|越小，关系越弱；|ad－bc|越大，关系越强．
例2 为研究不同的给药方式(口服与注射)和药的效果(有效与无效)是否有关，进行了相应的抽样调查，调查结果如下表所示．根据所选择的193个病人的数据，能否做出药的效果与给药方式有关的结论？
有效 无效 合计
口服 58 40 98
注射 64 31 95
合计 122 71 193
例3 气管炎是一种常见的呼吸道疾病．医药研究人员对两种中草药治疗慢性气管炎的疗效进行了对比，所得数据如下表所示．问：它们的疗效有无差异？
有效 无效 合计
复方江剪刀草 184 61 245
胆黄片 91 9 100
合计 275 70 345
1. (2024九江期末)某校随机调查了100名高中生是否喜欢篮球，按照男女区分得到列联表，经计算，得χ2＝8.133.根据独立性检验的相关知识，对照下表，有 t% 的把握认为喜欢篮球与性别有关，则t的值为( )
附：
P(χ2≥x0) 0.05 0.01 0.005 0.001
x0 3.841 6.635 7.879 10.828
A. 95 B. 99.5 C. 99 D. 99.9
2. (2024南阳月考)某高校团委对学生喜欢短视频和性别是否有关进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为6m(m∈N*)，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.若有99%的把握认为喜欢短视频和性别有关，则m的最小值为( )
附：
P(χ2≥x0) 0.05 0.01 0.005 0.001
x0 3.841 6.635 7.879 10.828
A. 18 B. 20 C. 22 D. 24
3. (多选)北京冬奥会成功举办后，大众对冰雪运动关注度不断上升，为研究市民对冰雪运动的喜好是否和性别有关，某校学生社团对市民进行了一次抽样调查，得到列联表如下：
冰雪运动的喜好 性别 合计
男性 女性
喜欢 140 m 140＋m
不喜欢 n 80 80＋n
合计 140＋n 80＋m 220＋m＋n
若男性喜欢冰雪运动的人数占男性人数的，女性喜欢冰雪运动的人数占女性人数的，则下列结论中正确的是( )
A. 列联表中n的值为60，m的值为120
B. 随机对一位路人进行调查，有95%的可能性对方喜欢冰雪运动
C. 有95%的把握认为市民对冰雪运动的喜好和性别有关
D. 没有99%的把握认为市民对冰雪运动的喜好和性别有关
4. (2024常州期末)某单位为了调查对工作的满意程度与性别是否具有相关性，随机抽取了若干名员工，所得数据统计如表所示，其中x∈N*，且x<6，若有95%的把握认为对工作的满意程度与性别有关，则x的值是________．
对工作满意 对工作不满意
男 4x 6x
女 6x 4x
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(χ2≥x0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
5. (2024南阳月考)爬虫软件是一种自动抓取互联网信息的程序，它能够模拟浏览器行为，自动化地获取网页源代码，并从中提取出所需数据．爬虫软件在互联网上爬行并采集目标数据，这个过程类似于一只大蜘蛛在互联网上爬行，因此得名“爬虫”．现有某电商运营部门为分析消费能力与性别的关系，使用爬虫软件了解到，2023年第4季度在本店网购的消费者共12 000名，现随机抽取100名消费者，其中男女各半．若消费者总消费金额不低于3 000元，则称其为网购达人．男性消费者中，网购达人占.网购达人中，男性消费者占.
(1) 请完成下列的2×2列联表；
网购达人 非网购达人 合计
男性
女性
合计
(2) 如果认为是否为网购达人与性别有关犯错误的概率不超过P，那么根据临界值表，最精确的P的值应为多少？请说明理由．
参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
参考数据：
P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.010 0.001
x0 2.706 3.841 6.635 10.828
9．2 独立性检验
【活动方案】
背景引入：在吸烟的人中，有≈16.82%的人患病；
在不吸烟的人中，有≈7.12%的人患病，
可知吸烟者与不吸烟者患病的可能性存在差异，所以有患病与吸烟有关这一推论．
例1 提出假设H0：感冒与是否使用该种血清没有关系．
根据列联表中的数据，可以求得χ2＝≈7.075.
因为当H0成立时，χ2≥6.635的概率约为0.01，所以我们有99%的把握认为，该种血清能起到预防感冒的作用．
例2 提出假设H0：药的效果与给药方式没有关系．
根据列联表中的数据可以求得χ2＝≈1.389 6＜2.072.
因为当H0成立时，χ2≥1.389 6的概率大于15%，这个概率比较大，所以根据目前的调查数据，不能否定假设H0，即不能作出药的效果与给药方式有关的结论．
例3 提出假设H0：两种中草药的治疗效果没有差异，即病人使用这两种药物中何种药物对疗效没有明显差异．
根据列联表中的数据可以求得χ2＝≈11.098.
因为当H0成立时，P(χ2≥10.828)≈0.001，这里的χ2≈11.098＞10.828，所以我们有99.9%的把握认为，两种药物的疗效有差异．
【检测反馈】
1. B 因为χ2＝8.133>7.879，所以有99.5%的把握认为喜欢篮球与性别有关．
2. B 根据题意，2×2列联表如下：
喜欢 不喜欢 合计
男 3m 3m 6m
女 4m 2m 6m
合计 7m 5m 12m
则χ2＝＝＝.因为有99%的把握认为喜欢短视频和性别有关，所以>6.635，所以m>19.352，又m∈N*，所以m的最小值为20.
3. ACD 因为男性喜欢冰雪运动的人数占男性人数的，所以＝，解得n＝60.又因为女性喜欢冰雪运动的人数占女性人数的，所以＝，解得m＝120，故A正确；计算＝0.65，所以随机对一路人进行调查，有65%的可能性对方喜欢冰雪运动，故B错误；由列联表中的数据，计算得到χ2＝≈4.396>3.841，所以有95%的把握认为市民喜欢冰雪运动和性别有关系，故C正确；因为χ2≈4.396<6.635，所以没有99%的把握认为市民喜欢冰雪运动和性别有关系，故D正确．故选ACD.
4. 5 由题意，得χ2＝＝>3.841，得x>4.801 25.因为x∈N*且x<6，所以x＝5.
5. (1) 由题意可得男性消费者50人，女性消费者50人，男性消费者网购达人有50×＝20(人)，则男性消费者中非网购达人有50－20＝30(人)，则网购达人共有20×＝50(人)，
则女性消费者中网购达人有50－20＝30(人)，女性消费者中非网购达人有50－30＝20(人)，
故得2×2列联表如下：
网购达人 非网购达人 合计
男性 20 30 50
女性 30 20 50
合计 50 50 100
(2) 由(1)可得χ2＝＝4，
因为3.841<4<6.635，认为是否为网购达人与性别有关系犯错的概率不超过5%，
即P的值为5%.