6．1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 同步学案（含答案） 2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修3
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| 名称 | 6．1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 同步学案（含答案） 2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修3 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 768.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-26 23:51:26 | ||
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文档简介
6．1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
6．1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1)
1. 通过实例，了解分类加法计数原理和分步乘法计数原理及其意义．
2. 正确理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”．
3. 会运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决一些简单的问题．
活动一 分类加法计数原理
计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法．但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高．能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢？下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数方法．
思考1
用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
思考2
你能说一说这个问题的特征吗？
思考3
你能举出一些生活中类似的例子吗？
分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如下表：
A大学 B大学
生物学 数学
化学 会计学
医学 经济学
物理学 法学
工程学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？
利用分类加法计数原理解题的一般思路：
(1) 分类：将完成这件事的办法分成若干类；
(2) 计数：求出每一类中的方法数；
(3) 结论：将每一类中的方法数相加得最终结果．
思考4
如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？
在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数是( )
A. 18 B. 36
C. 72 D. 48
活动二 分步乘法计数原理
思考5
用前6个大写英文字母和1～9这9个阿拉伯数字，以A1, A2，…，A9，B1，B2，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
思考6
你能说一说这个问题的特征吗？
思考7
你能举出一些生活中类似的例子吗？
分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
例2 某班有男生30名、女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？
利用分步乘法计数原理解题的一般思路：
(1) 分步：将完成一件事的过程分成若干步；
(2) 计数：求出每一步中的方法数；
(3) 结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．
思考8
如果完成一件事需要三个步骤， 做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？
活动三 计数原理的简单应用
例3 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第 2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．
(1) 从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
(2) 从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？
(3) 从书架上取2本不同学科的书，有多少种不同的取法？
有6名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定6名同学都参加)
(1) 每人恰好参加一项，每项人数不限；
(2) 每项限报一人，且每人至多参加一项；
(3) 每项限报一人，但每人参加的项目不限．
两个计数原理的区别
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
区别一 每类方案中的每种方法都能独立完成这件事，且每种方法得到的都是最后结果，只需一种方法就能完成这件事 任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不可，只有各步骤都完成了，才能完成这件事
区别二 各类方法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的，独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复
1. (2024重庆月考)某选修课有10门体育课程和7门科学课程可供选择，若甲从中选修一门课程，则甲不同的选择情况共有( )
A. 17种 B. 34种 C. 35种 D. 70种
2. (2024河北期中)如图，已知每条线路仅含一条通路，当一条电路从M处到N处接通时，不同的线路可以有( )
A. 6条
B. 7条
C. 8条
D. 9条
3. (多选)(2024沈阳月考)下列结论中，正确的是( )
A. 在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同
B. 在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事
C. 在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成
D. 在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法可以相同
4. 已知某体育场有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为________．
5. (2023黄冈月考)把1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排成一个数列．
(1) 求43 251是这个数列的第几项；
(2) 求这个数列的所有项之和．
6．1.2 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(2)
1. 巩固分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确进行“分类”与“分步”．
2. 综合运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决复杂的问题．
活动一 复习巩固
1. 两个计数原理的内容：
2. 两个计数原理的区别与联系：
练习1 从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，则某人一天内乘坐不同班次的汽车、火车或轮船到乙地时，共有不同的走法________种．
练习2 为了给某种新品种农作物选择最佳的生产条件，在分别有4种土质、2种不同的施肥量、3种不同的种植密度、2种不同的播种时间的因素下进行种植试验，则不同的试验方案共有________种.
活动二 掌握两个计数原理的综合应用
例1 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？
例2 给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A～G或U～Z，后两个字符要求用数字1～9，最多可以给多少个程序模块命名？
电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态．因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制．为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用1个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成．
(1) 1个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符？
(2) 计算机汉字国标码包含了6 763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？
1. 使用两个计数原理的原则
使用两个原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手．“分类”是对于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决，用分类加法计数原理；“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤，然后逐步解决，这时可用分步乘法计数原理．
2. 应用两个计数原理计数的四个步骤：
(1) 明确完成的这件事是什么；
(2) 思考如何完成这件事；
(3) 判断它属于分类还是分步，是先分类后分步，还是先分步后分类；
(4) 选择计数原理进行计算．
例3 计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试．程序员需要知道到底有多少条执行路径(程序从开始到结束的路线)，以便知道需要提供多少个测试数据．一般地，一个程序模块由许多子模块组成．如图是一个具有许多执行路径的程序模块，它有多少条执行路径？
另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数．你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗？
例4 通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号，如下图所示．
其中，序号的编码规则为：
(1) 由10个阿拉伯数字和除O，I之外的24个英文字母组成；
(2) 最多只能有2个英文字母．
如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？
7名学生中有3名学生会下象棋但不会下围棋，有2名学生会下围棋但不会下象棋，剩下2名学生既会下象棋又会下围棋．现从中选出会下象棋和会下围棋的学生各1人参加比赛，共有多少种不同的选法？
1. 现有5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )
A. 45 B. 54 C. 20 D. 9
2. (2024南充期中)如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有四种不同的花供选种，要求在每块花坛里种一种花，且相邻的两块花坛种不同的花，则不同的种法种数为( )
A. 108
B. 96
C. 72
D. 48
3. (2023滁州期中)(多选)某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客的乘坐站数实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如表：
乘坐站数x 0票价/元 2 3 4
现有甲、乙两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下地铁的可能性相同，则下列结论中正确的是( )
A. 若甲和乙两人共花费5元，则甲和乙下地铁的方案共有9种
B. 若甲和乙两人共花费5元，则甲和乙下地铁的方案共有18种
C. 若甲和乙两人共花费6元，则甲和乙下地铁的方案共有9种
D. 若甲和乙两人共花费6元，则甲和乙下地铁的方案共有27种
4. (2024北京顺义期中)哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和．(质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数).在不超过17的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数的取法有________种．
5. (2023台山一中月考)已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M).问：
(1) P(a，b)可表示平面上多少个不同的点？
(2) P(a，b)可表示平面上多少个第二象限的点？
6．1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
6．1.1 分类加法计数原理与分步乘
法计数原理(1)
【活动方案】
思考1：因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26＋10＝36(种)不同的号码．
思考2：首先，这里要完成的事情是“给一个座位编号”；其次是“或”字的出现：一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示．因为英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同．这两类号码数相加就得到号码的总数．
上述计数过程的基本环节是：
(1) 确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类；
(2) 分别计算各类号码的个数；
(3) 各类号码的个数相加，得出所有号码的个数．
思考3：略
例1 这名同学可以选择A，B两所大学中的一所．在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法．因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数为N＝5＋4＝9.
思考4：N＝m1＋m2＋m3
跟踪训练 B 方法一：按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个).
方法二：按个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个.由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个).
方法三：考虑两位数的个位数字与十位数字的大小关系，利用对应思想解决．所有的两位数共有90个，其中，个位数字等于十位数字的两位数为11，22，33，…，99，共9个；有10，20，30，…，90共9个两位数的个位数字与十位数字不能调换位置，则剩余的两位数有90－18＝72(个).在这72个两位数中，每一个个位数字小于十位数字的两位数都有一个十位数字小于个位数字的两位数与之对应，故满足条件的两位数的个数是72÷2＝36.
思考5：方法一：解决计数问题可以用“树状图”列举出来：
共有6×9＝54(种)不同的号码．
方法二：由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有6×9＝54(种)不同的号码．
思考6：上述问题要完成的一件事情仍然是“给一个座位编号”，其中最重要的特征是“和”字的出现：一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成．因此得到一个座位号要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这两个步骤，每一个英文字母与不同的数字组成的号码是互不相同的．
上述计数过程的基本环节是：
(1) 由问题条件中的“和”，可确定完成编号要分两步；
(2) 分别计算各步号码的个数；
(3) 将各步号码的个数相乘，得出所有号码的个数．
思考7：略
例2 任选男生和女生各1名，可以分两个步骤完成：第1步，从30名男生中选出1人，有30种不同选法；第2步，从24名女生中选出1人，有24种不同选法．根据分步乘法计数原理，共有不同选法的种数为30×24＝720.
思考8：N＝m1×m2×m3
例3 (1) 根据分类加法计数原理，不同取法的种数为N＝4＋3＋2＝9.
(2) 根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为N＝4×3×2＝24.
(3) 需先分类再分步．
第一类：从一、二层各取一本，有4×3＝12(种)取法；
第二类：从一、三层各取一本，有4×2＝8(种)取法；
第三类：从二、三层各取一本，有3×2＝6(种)取法．
根据两个计数原理，不同的取法的种数是N＝4×3＋4×2＋3×2＝26，故从书架上取2本不同学科的书，有26种不同的取法．
跟踪训练 (1) 每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法．
根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为36＝729.
(2) 每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法．根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为6×5×4＝120.
(3) 每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这6人中选出1人参赛．根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为63＝216.
【检测反馈】
1. A 由分类加法计数原理，得甲不同的选择情况共有10＋7＝17(种).
2. D 因为每条线路仅含一条通路，所以上半部分的线路有3条；又下半部分为串联电路，所以下半部分的线路有2×3＝6(条)，故共有9条线路．
3. BC 对于A，在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法互不相同，故A错误；B，C显然正确；对于D，在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的，故D错误．故选BC.
4. 12 根据题意，某体育场有4个门，从一个门进，有4种走法，从另一个门出，有3种走法，则有4×3＝12(种)不同的走法．
5. (1) 由题意，得所有五位数的个数为5×4×3×2×1＝120.
大于43251的数可分为以下三类：
第一类：以5开头的数有4×3×2×1＝24(个)；
第二类：以45开头的数有3×2×1＝6(个)；
第三类：以435开头的数有2×1＝2(个).
故不大于43 251的五位数有120－(24＋6＋2)＝88(个)，即43 251是第88项．
(2) 因为1，2，3，4，5各在万位上时都有24个五位数，
所以万位数字的和为(1＋2＋3＋4＋5)×24＝360.
同理可得1，2，3，4，5在千位、百位、十位、个位上也有24个五位数，所以这个数列的所有项之和为360×(1＋10＋100＋1 000＋10 000)＝3 999 960.
6．1.2 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(2)
【活动方案】
1. 略
2.
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
联系 两个计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法
区别一 完成一件事共有n类办法，关键词是“分类” 完成一件事共有n个步骤，关键词是“分步”
区别二 每类方案中的每种方法都能独立完成这件事，且每种方法得到的都是最后结果，只需一种方法就可完成这件事 除最后一步外，其他每步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事
区别三 各类方法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复
练习1：13 根据分类加法计数原理，得不同的走法种数为8＋3＋2＝13.
练习2：48 根据分步乘法计数原理，得不同的试验方案种数为4×2×3×2＝48.
例1 从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法．根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是N＝3×2＝6.
例2 由分类加法计数原理，首字符不同选法的种数为7＋6＝13，后两个字符从1～9中选，因为数字可以重复，所以不同选法的种数都为9.由分步乘法计数原理，不同名称的个数是13×9×9＝1 053，即最多可以给1 053个程序模块命名．
跟踪训练 (1) 如图表示1个字节，每一格代表一位，1个字节共有8位，每位上有2种选择．根据分步乘法计数原理，1个字节最多可以表示2×2×2×2×2×2×2×2＝28＝256(个)不同的字符．
(2) 由(1)知，用1个字节能表示256个字符．
因为256<6 763，所以1个字节所能表示的不同字符不够6 763个．
根据分步乘法计数原理，2个字节可以表示256×256＝65 536(个)不同的字符．
因为65 536>6 763，所以每个汉字至少要用2个字节表示．
例3 由分类加法计数原理，子模块1、子模块2、子模块3中的子路径条数共为18＋45＋28＝91；
子模块4、子模块5中的子路径条数共为38＋43＝81.
由分步乘法计数原理，整个程序模块的执行路径条数共为91×81＝7 371.
在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个程序模块．这样，他可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常．总共需要的测试次数为18＋45＋28＋38＋43＝172.
再测试各个模块之间的信息交流是否正常，只需要测试程序第1步中的各个子模块和第2步中的各个子模块之间的信息交流是否正常，需要的测试次数为3×2＝6.
如果每个子模块都工作正常，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就工作正常．这样，测试整个程序模块的次数就变为172＋6＝178.显然，178与7 371的差距是非常大的．
例4 由号牌编号的组成可知，这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数．根据序号编码规则，5位序号可以分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母．
①当没有字母时，序号的每一位都是数字，确定一个序号可以分5个步骤，每一步都可以从10个数字中选1个，各有10种选法．根据分步乘法计数原理，这类号牌张数为10×10×10×10×10＝100 000.
②当有1个字母时，这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，这类序号可以分为五个子类．
当第1位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1步，从24个字母中选1个放在第1位，有24种选法；第2～5步都是从10个数字中选一个放在相应的位置，各有10种选法．根据分步乘法计数原理，号牌张数为24×10×10×10×10＝240 000.
同样，其余四个子类号牌也各有240 000张．
根据分类加法计数原理，这类号牌张数一共为240 000＋240 000＋240 000＋240 000＋240 000＝1 200 000.
③当有2个字母时，根据这2个字母在序号中的位置，可将这类序号分为十个子类：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位．
当第1位和第2位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1，2步都是从24个字母中选1个分别放在第1位、第2位，各有24种选法；第3～5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法．根据分步乘法计数原理，号牌张数为24×24×10×10×10＝576 000.
同样，其余九个子类号牌也各有576 000张．
于是，这类号牌张数一共为576 000×10＝5 760 000.
综合①②③，根据分类加法计数原理，这个发牌机关最多能发放的汽车号牌张数为100 000＋1 200 000＋5 760 000＝7 060 000.
跟踪训练 第1类，从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，由分步乘法计数原理，得N1＝3×2＝6(种).
第2类，从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，由分步乘法计数原理，得N2＝3×2＝6(种).
第3类，从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，由分步乘法计数原理，得N3＝2×2＝4(种).
第4类，从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，有N4＝2种．
综上，由分类加法计数原理可知，不同选法共有N＝N1＋N2＋N3＋N4＝6＋6＋4＋2＝18(种).
【检测反馈】
1. A 将完成此事分为5步：第1步为第一名同学完成选择，有4种方法；第2步为第二名同学完成选择，有4种方法；…；第5步为第五名同学完成选择，有4种方法，则由分步乘法计数原理可知，不同选法的种数为4×4×4×4×4＝45.
2. D 完成这件事情需要4步：第1步，A地块有4种选择；第2步，B地块有3种选择；第3步，C地块有2种选择；第4步，D地块有2种选择．由分步乘法计数原理可知，不同的种法种数为4×3×2×2＝48.
3. BD 若甲、乙两人乘坐地铁共花费5元，则其中一人的乘坐站数不超过3，另一人的乘坐站数超过3不超过6.设首站之后的前6站分别为A1，B1，C1，A2，B2，C2，若甲乘坐地铁不超过3站，则两人下地铁的所有方案为(A1，A2)，(A1，B2)，(A1，C2)，(B1，A2)，(B1，B2)，(B1，C2)，(C1，A2)，(C1，B2)，(C1，C2)，共9种；同理，若乙乘坐地铁不超过3站，也有9种方案，所以甲和乙两人共花费5元时，共有18种下地铁的方案，故A错误，B正确；设首站之后的前9站分别为A1，B1，C1，A2，B2，C2，A3，B3，C3，若甲、乙两人共付费6元，则共有三类方案，甲付2元，乙付4元；甲付3元，乙付3元；甲付4元，乙付2元．由A，B可知每类情况有9种方案，所以甲、乙两人共付费6元时，共有27种下地铁的方案，故C错误，D正确．故选BD.
4. 6 不超过17的质数有2，3，5，7，11，13，17，共7个，在这7个数中随机选取两个不同的数，其和为奇数，则2必取，然后在剩余6个奇数中任选一个即可，所以不同的取法有6种．
5. (1) 确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：
第1步，确定a的值，共有6种方法；
第2步，确定b的值，也有6种方法，
根据分步乘法计数原理，得到平面上的点的个数是6×6＝36.
(2) 确定第二象限的点，可分两步完成：
第1步，确定a，由于a<0，故有3种不同的确定方法；
第2步，确定b，由于b>0，故有2种不同的确定方法，
根据分步乘法计数原理，得到第二象限点的个数为3×2＝6.
6．1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1)
1. 通过实例，了解分类加法计数原理和分步乘法计数原理及其意义．
2. 正确理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”．
3. 会运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决一些简单的问题．
活动一 分类加法计数原理
计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法．但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高．能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢？下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数方法．
思考1
用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
思考2
你能说一说这个问题的特征吗？
思考3
你能举出一些生活中类似的例子吗？
分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如下表：
A大学 B大学
生物学 数学
化学 会计学
医学 经济学
物理学 法学
工程学
如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？
利用分类加法计数原理解题的一般思路：
(1) 分类：将完成这件事的办法分成若干类；
(2) 计数：求出每一类中的方法数；
(3) 结论：将每一类中的方法数相加得最终结果．
思考4
如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？
在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数是( )
A. 18 B. 36
C. 72 D. 48
活动二 分步乘法计数原理
思考5
用前6个大写英文字母和1～9这9个阿拉伯数字，以A1, A2，…，A9，B1，B2，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
思考6
你能说一说这个问题的特征吗？
思考7
你能举出一些生活中类似的例子吗？
分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
例2 某班有男生30名、女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？
利用分步乘法计数原理解题的一般思路：
(1) 分步：将完成一件事的过程分成若干步；
(2) 计数：求出每一步中的方法数；
(3) 结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．
思考8
如果完成一件事需要三个步骤， 做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？
活动三 计数原理的简单应用
例3 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第 2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．
(1) 从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？
(2) 从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？
(3) 从书架上取2本不同学科的书，有多少种不同的取法？
有6名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定6名同学都参加)
(1) 每人恰好参加一项，每项人数不限；
(2) 每项限报一人，且每人至多参加一项；
(3) 每项限报一人，但每人参加的项目不限．
两个计数原理的区别
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
区别一 每类方案中的每种方法都能独立完成这件事，且每种方法得到的都是最后结果，只需一种方法就能完成这件事 任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不可，只有各步骤都完成了，才能完成这件事
区别二 各类方法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的，独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复
1. (2024重庆月考)某选修课有10门体育课程和7门科学课程可供选择，若甲从中选修一门课程，则甲不同的选择情况共有( )
A. 17种 B. 34种 C. 35种 D. 70种
2. (2024河北期中)如图，已知每条线路仅含一条通路，当一条电路从M处到N处接通时，不同的线路可以有( )
A. 6条
B. 7条
C. 8条
D. 9条
3. (多选)(2024沈阳月考)下列结论中，正确的是( )
A. 在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同
B. 在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事
C. 在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成
D. 在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法可以相同
4. 已知某体育场有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为________．
5. (2023黄冈月考)把1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排成一个数列．
(1) 求43 251是这个数列的第几项；
(2) 求这个数列的所有项之和．
6．1.2 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(2)
1. 巩固分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确进行“分类”与“分步”．
2. 综合运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决复杂的问题．
活动一 复习巩固
1. 两个计数原理的内容：
2. 两个计数原理的区别与联系：
练习1 从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，则某人一天内乘坐不同班次的汽车、火车或轮船到乙地时，共有不同的走法________种．
练习2 为了给某种新品种农作物选择最佳的生产条件，在分别有4种土质、2种不同的施肥量、3种不同的种植密度、2种不同的播种时间的因素下进行种植试验，则不同的试验方案共有________种.
活动二 掌握两个计数原理的综合应用
例1 要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种不同的挂法？
例2 给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A～G或U～Z，后两个字符要求用数字1～9，最多可以给多少个程序模块命名？
电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态．因此计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的记数法，即二进制．为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用1个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成．
(1) 1个字节(8位)最多可以表示多少个不同的字符？
(2) 计算机汉字国标码包含了6 763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？
1. 使用两个计数原理的原则
使用两个原理解题时，一定要从“分类”“分步”的角度入手．“分类”是对于较复杂应用问题的元素分成互相排斥的几类，逐类解决，用分类加法计数原理；“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤，然后逐步解决，这时可用分步乘法计数原理．
2. 应用两个计数原理计数的四个步骤：
(1) 明确完成的这件事是什么；
(2) 思考如何完成这件事；
(3) 判断它属于分类还是分步，是先分类后分步，还是先分步后分类；
(4) 选择计数原理进行计算．
例3 计算机编程人员在编写好程序以后需要对程序进行测试．程序员需要知道到底有多少条执行路径(程序从开始到结束的路线)，以便知道需要提供多少个测试数据．一般地，一个程序模块由许多子模块组成．如图是一个具有许多执行路径的程序模块，它有多少条执行路径？
另外，为了减少测试时间，程序员需要设法减少测试次数．你能帮助程序员设计一个测试方法，以减少测试次数吗？
例4 通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为用汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，第二部分为由阿拉伯数字和英文字母组成的序号，如下图所示．
其中，序号的编码规则为：
(1) 由10个阿拉伯数字和除O，I之外的24个英文字母组成；
(2) 最多只能有2个英文字母．
如果某地级市发牌机关采用5位序号编码，那么这个发牌机关最多能发放多少张汽车号牌？
7名学生中有3名学生会下象棋但不会下围棋，有2名学生会下围棋但不会下象棋，剩下2名学生既会下象棋又会下围棋．现从中选出会下象棋和会下围棋的学生各1人参加比赛，共有多少种不同的选法？
1. 现有5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )
A. 45 B. 54 C. 20 D. 9
2. (2024南充期中)如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有四种不同的花供选种，要求在每块花坛里种一种花，且相邻的两块花坛种不同的花，则不同的种法种数为( )
A. 108
B. 96
C. 72
D. 48
3. (2023滁州期中)(多选)某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客的乘坐站数实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如表：
乘坐站数x 0
现有甲、乙两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下地铁的可能性相同，则下列结论中正确的是( )
A. 若甲和乙两人共花费5元，则甲和乙下地铁的方案共有9种
B. 若甲和乙两人共花费5元，则甲和乙下地铁的方案共有18种
C. 若甲和乙两人共花费6元，则甲和乙下地铁的方案共有9种
D. 若甲和乙两人共花费6元，则甲和乙下地铁的方案共有27种
4. (2024北京顺义期中)哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和．(质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数).在不超过17的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数的取法有________种．
5. (2023台山一中月考)已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M).问：
(1) P(a，b)可表示平面上多少个不同的点？
(2) P(a，b)可表示平面上多少个第二象限的点？
6．1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
6．1.1 分类加法计数原理与分步乘
法计数原理(1)
【活动方案】
思考1：因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26＋10＝36(种)不同的号码．
思考2：首先，这里要完成的事情是“给一个座位编号”；其次是“或”字的出现：一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示．因为英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同．这两类号码数相加就得到号码的总数．
上述计数过程的基本环节是：
(1) 确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类；
(2) 分别计算各类号码的个数；
(3) 各类号码的个数相加，得出所有号码的个数．
思考3：略
例1 这名同学可以选择A，B两所大学中的一所．在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法．因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数为N＝5＋4＝9.
思考4：N＝m1＋m2＋m3
跟踪训练 B 方法一：按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个).
方法二：按个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个.由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个).
方法三：考虑两位数的个位数字与十位数字的大小关系，利用对应思想解决．所有的两位数共有90个，其中，个位数字等于十位数字的两位数为11，22，33，…，99，共9个；有10，20，30，…，90共9个两位数的个位数字与十位数字不能调换位置，则剩余的两位数有90－18＝72(个).在这72个两位数中，每一个个位数字小于十位数字的两位数都有一个十位数字小于个位数字的两位数与之对应，故满足条件的两位数的个数是72÷2＝36.
思考5：方法一：解决计数问题可以用“树状图”列举出来：
共有6×9＝54(种)不同的号码．
方法二：由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有6×9＝54(种)不同的号码．
思考6：上述问题要完成的一件事情仍然是“给一个座位编号”，其中最重要的特征是“和”字的出现：一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成．因此得到一个座位号要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这两个步骤，每一个英文字母与不同的数字组成的号码是互不相同的．
上述计数过程的基本环节是：
(1) 由问题条件中的“和”，可确定完成编号要分两步；
(2) 分别计算各步号码的个数；
(3) 将各步号码的个数相乘，得出所有号码的个数．
思考7：略
例2 任选男生和女生各1名，可以分两个步骤完成：第1步，从30名男生中选出1人，有30种不同选法；第2步，从24名女生中选出1人，有24种不同选法．根据分步乘法计数原理，共有不同选法的种数为30×24＝720.
思考8：N＝m1×m2×m3
例3 (1) 根据分类加法计数原理，不同取法的种数为N＝4＋3＋2＝9.
(2) 根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为N＝4×3×2＝24.
(3) 需先分类再分步．
第一类：从一、二层各取一本，有4×3＝12(种)取法；
第二类：从一、三层各取一本，有4×2＝8(种)取法；
第三类：从二、三层各取一本，有3×2＝6(种)取法．
根据两个计数原理，不同的取法的种数是N＝4×3＋4×2＋3×2＝26，故从书架上取2本不同学科的书，有26种不同的取法．
跟踪训练 (1) 每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法．
根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为36＝729.
(2) 每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法．根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为6×5×4＝120.
(3) 每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这6人中选出1人参赛．根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为63＝216.
【检测反馈】
1. A 由分类加法计数原理，得甲不同的选择情况共有10＋7＝17(种).
2. D 因为每条线路仅含一条通路，所以上半部分的线路有3条；又下半部分为串联电路，所以下半部分的线路有2×3＝6(条)，故共有9条线路．
3. BC 对于A，在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法互不相同，故A错误；B，C显然正确；对于D，在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的，故D错误．故选BC.
4. 12 根据题意，某体育场有4个门，从一个门进，有4种走法，从另一个门出，有3种走法，则有4×3＝12(种)不同的走法．
5. (1) 由题意，得所有五位数的个数为5×4×3×2×1＝120.
大于43251的数可分为以下三类：
第一类：以5开头的数有4×3×2×1＝24(个)；
第二类：以45开头的数有3×2×1＝6(个)；
第三类：以435开头的数有2×1＝2(个).
故不大于43 251的五位数有120－(24＋6＋2)＝88(个)，即43 251是第88项．
(2) 因为1，2，3，4，5各在万位上时都有24个五位数，
所以万位数字的和为(1＋2＋3＋4＋5)×24＝360.
同理可得1，2，3，4，5在千位、百位、十位、个位上也有24个五位数，所以这个数列的所有项之和为360×(1＋10＋100＋1 000＋10 000)＝3 999 960.
6．1.2 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(2)
【活动方案】
1. 略
2.
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
联系 两个计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法
区别一 完成一件事共有n类办法，关键词是“分类” 完成一件事共有n个步骤，关键词是“分步”
区别二 每类方案中的每种方法都能独立完成这件事，且每种方法得到的都是最后结果，只需一种方法就可完成这件事 除最后一步外，其他每步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事
区别三 各类方法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复
练习1：13 根据分类加法计数原理，得不同的走法种数为8＋3＋2＝13.
练习2：48 根据分步乘法计数原理，得不同的试验方案种数为4×2×3×2＝48.
例1 从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法．根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是N＝3×2＝6.
例2 由分类加法计数原理，首字符不同选法的种数为7＋6＝13，后两个字符从1～9中选，因为数字可以重复，所以不同选法的种数都为9.由分步乘法计数原理，不同名称的个数是13×9×9＝1 053，即最多可以给1 053个程序模块命名．
跟踪训练 (1) 如图表示1个字节，每一格代表一位，1个字节共有8位，每位上有2种选择．根据分步乘法计数原理，1个字节最多可以表示2×2×2×2×2×2×2×2＝28＝256(个)不同的字符．
(2) 由(1)知，用1个字节能表示256个字符．
因为256<6 763，所以1个字节所能表示的不同字符不够6 763个．
根据分步乘法计数原理，2个字节可以表示256×256＝65 536(个)不同的字符．
因为65 536>6 763，所以每个汉字至少要用2个字节表示．
例3 由分类加法计数原理，子模块1、子模块2、子模块3中的子路径条数共为18＋45＋28＝91；
子模块4、子模块5中的子路径条数共为38＋43＝81.
由分步乘法计数原理，整个程序模块的执行路径条数共为91×81＝7 371.
在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个程序模块．这样，他可以先分别单独测试5个模块，以考察每个子模块的工作是否正常．总共需要的测试次数为18＋45＋28＋38＋43＝172.
再测试各个模块之间的信息交流是否正常，只需要测试程序第1步中的各个子模块和第2步中的各个子模块之间的信息交流是否正常，需要的测试次数为3×2＝6.
如果每个子模块都工作正常，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么整个程序模块就工作正常．这样，测试整个程序模块的次数就变为172＋6＝178.显然，178与7 371的差距是非常大的．
例4 由号牌编号的组成可知，这个发牌机关所能发放的最多号牌数就是序号的个数．根据序号编码规则，5位序号可以分为三类：没有字母，有1个字母，有2个字母．
①当没有字母时，序号的每一位都是数字，确定一个序号可以分5个步骤，每一步都可以从10个数字中选1个，各有10种选法．根据分步乘法计数原理，这类号牌张数为10×10×10×10×10＝100 000.
②当有1个字母时，这个字母可以分别在序号的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，这类序号可以分为五个子类．
当第1位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1步，从24个字母中选1个放在第1位，有24种选法；第2～5步都是从10个数字中选一个放在相应的位置，各有10种选法．根据分步乘法计数原理，号牌张数为24×10×10×10×10＝240 000.
同样，其余四个子类号牌也各有240 000张．
根据分类加法计数原理，这类号牌张数一共为240 000＋240 000＋240 000＋240 000＋240 000＝1 200 000.
③当有2个字母时，根据这2个字母在序号中的位置，可将这类序号分为十个子类：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位．
当第1位和第2位是字母时，分5个步骤确定一个序号中的字母和数字：第1，2步都是从24个字母中选1个分别放在第1位、第2位，各有24种选法；第3～5步都是从10个数字中选1个放在相应的位置，各有10种选法．根据分步乘法计数原理，号牌张数为24×24×10×10×10＝576 000.
同样，其余九个子类号牌也各有576 000张．
于是，这类号牌张数一共为576 000×10＝5 760 000.
综合①②③，根据分类加法计数原理，这个发牌机关最多能发放的汽车号牌张数为100 000＋1 200 000＋5 760 000＝7 060 000.
跟踪训练 第1类，从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，由分步乘法计数原理，得N1＝3×2＝6(种).
第2类，从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，由分步乘法计数原理，得N2＝3×2＝6(种).
第3类，从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，由分步乘法计数原理，得N3＝2×2＝4(种).
第4类，从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，另一名参加围棋比赛，有N4＝2种．
综上，由分类加法计数原理可知，不同选法共有N＝N1＋N2＋N3＋N4＝6＋6＋4＋2＝18(种).
【检测反馈】
1. A 将完成此事分为5步：第1步为第一名同学完成选择，有4种方法；第2步为第二名同学完成选择，有4种方法；…；第5步为第五名同学完成选择，有4种方法，则由分步乘法计数原理可知，不同选法的种数为4×4×4×4×4＝45.
2. D 完成这件事情需要4步：第1步，A地块有4种选择；第2步，B地块有3种选择；第3步，C地块有2种选择；第4步，D地块有2种选择．由分步乘法计数原理可知，不同的种法种数为4×3×2×2＝48.
3. BD 若甲、乙两人乘坐地铁共花费5元，则其中一人的乘坐站数不超过3，另一人的乘坐站数超过3不超过6.设首站之后的前6站分别为A1，B1，C1，A2，B2，C2，若甲乘坐地铁不超过3站，则两人下地铁的所有方案为(A1，A2)，(A1，B2)，(A1，C2)，(B1，A2)，(B1，B2)，(B1，C2)，(C1，A2)，(C1，B2)，(C1，C2)，共9种；同理，若乙乘坐地铁不超过3站，也有9种方案，所以甲和乙两人共花费5元时，共有18种下地铁的方案，故A错误，B正确；设首站之后的前9站分别为A1，B1，C1，A2，B2，C2，A3，B3，C3，若甲、乙两人共付费6元，则共有三类方案，甲付2元，乙付4元；甲付3元，乙付3元；甲付4元，乙付2元．由A，B可知每类情况有9种方案，所以甲、乙两人共付费6元时，共有27种下地铁的方案，故C错误，D正确．故选BD.
4. 6 不超过17的质数有2，3，5，7，11，13，17，共7个，在这7个数中随机选取两个不同的数，其和为奇数，则2必取，然后在剩余6个奇数中任选一个即可，所以不同的取法有6种．
5. (1) 确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：
第1步，确定a的值，共有6种方法；
第2步，确定b的值，也有6种方法，
根据分步乘法计数原理，得到平面上的点的个数是6×6＝36.
(2) 确定第二象限的点，可分两步完成：
第1步，确定a，由于a<0，故有3种不同的确定方法；
第2步，确定b，由于b>0，故有2种不同的确定方法，
根据分步乘法计数原理，得到第二象限点的个数为3×2＝6.