6．3.1　二项式定理 同步学案（含答案） 2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修3

6．3.1　二项式定理
6．3.1　二项式定理(1)
1. 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理．
2. 掌握二项展开式的通项，并能解决与二项展开式有关的简单问题．
3. 提升归纳猜想、抽象概括、演绎证明等思维能力．
活动一 背景引入
我们知道，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3.
思考1
观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？
思考2
根据你发现的规律，你能写出(a＋b)4的展开式吗？
思考3
进一步地，你能写出(a＋b)n的展开式吗？
活动二　二项式定理　
1. 二项式定理：
(a＋b)n＝Can＋Can-1b1＋…＋Can－k·bk＋…＋Cbn(n∈N*).
思考4
如何证明这个结论呢？
2. 二项式定理中的有关概念：
二项展开式 Can＋Can-1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，n∈N*
二项式系数 C(k＝0，1，2，…，n)
二项展开式的通项 Tk＋1＝Can－kbk
活动三 二项式定理的简单应用
例1　求6的展开式．
1. (a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：(1) 各项的次数和等于n.(2) 字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.
2. 逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．
(1) 求3 ＋4的展开式；
(2) 化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1).
例2　(1) 求(1＋2x)7的展开式的第4项的系数；
(2) 求2 －6的展开式中x2的系数．
二项式系数与项的系数的求解策略：
(1) 二项式系数都是组合数C(k∈{0，1，2，…，n})，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念．
(2) 第k＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C.例如，在(1＋2x)7的展开式中，第4项是T4＝C17-3(2x)3，其二项式系数是C＝35，而第4项的系数是C23＝280.
(1) 求二项式的展开式的第6项的二项式系数和第6项的系数；
(2) 求的展开式中x3的系数．
1. (2024浙江期中)在(1－2x)n的展开式中x的系数为－40，则n的值为(　　)
A. 10 B. 20 C. 30 D. 40
2. (2024北京怀柔期末)在二项式的展开式中，常数项为(　　)
A. 20 B. －40 C. 80 D. －160
3. (多选)(2024石家庄月考)若对任意实数x，有(2x－3)8＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋…＋a8(x－1)8，则下列结论中成立的是(　　)
A. a0＝－1 B. a0＝1
C. a0＋a1＋a2＋…＋a8＝1 D. a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝38
4. 若在二项式的展开式中含有x8的项，则正整数n的最小值为________．
5. 求的展开式．
6．3.1　二项式定理(2)
1. 进一步理解二项式定理的有关概念．
2. 能熟练地运用二项展开式的通项求满足条件的项．
3. 会解决几个二项式的和与积的有关问题．
活动一　求二项展开式中的特定项　
例1　已知x2－n，根据下列条件，确定n的值：
(1) 当展开式中的第3项的系数为36时，n＝________；
(2) 当展开式中的第5项是常数项时，n＝________；
(3) 当展开式中的第7项是x的一次项时，n＝________．
例2　已知在－n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．
(1) 证明：展开式中没有常数项；
(2) 求展开式中所有的有理项．
活动二　求较复杂展开式中的特定项　
例3　求在(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)20的展开式中含x3项的系数．
例4　求(1－x)5(1＋x＋x2)4的展开式中含x7项的系数．
例5　求在(x2＋3x＋2)4的展开式中含x5项的系数．
活动三　二项式定理的逆用　
例6　(1) 设n∈N*，则C＋C6＋C62＋…＋C6n-1＝__________；
(2) Cxn－Cxn-1＋Cxn-2＋…＋(－1)nC＝__________．
1. 化简(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1的结果为(　　)
A. x4　 B. (x－1)4　 C. (x＋1)4　 D. x4－1
2. (2024厦门期末)若(2x－y＋1)n展开式中各项系数之和为64，则该展开式中x2y3的系数是(　　)
A. －240 B. －60 C. 60 D. 240
3. (多选)在(1＋x2)(2＋x)4的展开式中，下列结论中正确的是(　　)
A. x3的系数为40　　 B. x3的系数为32
C. 常数项为16　　 D. 常数项为8
4. (2024宜昌月考)(2x2＋1)的展开式中的常数项为________．
5. 已知(1＋x)n的展开式的第4项和第8项的二项式系数相等．
(1) 求n的值和这两项的二项式系数；
(2) 在(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)n+2的展开式中，求含x2项的系数．
6.3.1　二项式定理(1)
【活动方案】
思考1：我们先来分析(a＋b)2的展开过程．根据多项式乘法法则，
(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)
＝a(a＋b)＋b(a＋b)
＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b
＝a2＋2ab＋b2.
可以看到，(a＋b)2是2个(a＋b)相乘，只要从一个(a＋b)中选一项(选a或b)，再从另一个(a＋b)中选一项(选a或b)，相乘就得到展开式的一项．于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2的展开式共有C×C＝22(项)，而且每一项都是a2-kbk(k＝0，1，2)的形式．
下面我们再来分析一下形如a2-kbk的同类项的个数．
当k＝0时，a2-kbk＝a2，这是由2个(a＋b)中都不选b得到的．因此，a2出现的次数相当于从2个(a＋b)中取0个b(都取a)的组合数C，即a2只有1个．
当k＝1时，a2-kbk＝ab，这是由1个(a＋b)中选a，另1个(a＋b)中选b得到的．由于b选定后，a的选法也随之确定，因此，ab出现的次数相当于从2个(a＋b)中取1个b的组合数C，即ab共有2个．
当k＝2时，a2-kbk＝b2，这是由2个(a＋b)中都选b得到的．因此，b2出现的次数相当于从2个(a＋b)中取2个b的组合数C，即b2只有1个．
由上述分析可以得到(a＋b)2＝Ca2＋Cab＋Cb2.
思考2：(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4
思考3：(a＋b)n＝Can＋Can-1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn，n∈N*.
思考4：由于(a＋b)n是n个(a＋b)相乘，每个(a＋b)在相乘时有两种选择，选a或b，而且每个(a＋b)中的a或b都选定后，将它们相乘才能得到展开式的一项．因此，由分步乘法计数原理可知，在合并同类项之前，(a＋b)n的展开式共有2n项，其中每一项都是an－kbk(k＝0，1，2，…，n)的形式．
对于每个k(k＝0，1，2，…，n)，对应的项an－kbk是由(n－k)个(a＋b)中选a，另外k个(a＋b)中选b得到的．由于b选定后，a的选法也随之确定，因此，an－kbk出现的次数相当于从n个(a＋b)中取k个b的组合数C.这样，(a＋b)n的展开式中，an－kbk共有C个，将它们合并同类项，就可以得到上述二项展开式．
例1　根据二项式定理，得6＝(x＋x-1)6＝Cx6＋Cx5x-1＋Cx4x-2＋Cx3x-3＋Cx2x-4＋Cx1x-5＋Cx-6＝x6＋6x4＋15x2＋20＋15x-2＋6x-4＋x-6.
跟踪训练　(1) ＝C(3 )4＋C(3 )3·＋C(3 )2·＋C·3 ·＋C·＝81x2＋108x＋54＋＋.
(2) 原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C(x－1)0－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
例2　(1) (1＋2x)7的展开式的第4项是T3＋1＝C×17-3×(2x)3 ＝C×23×x3＝280x3.
因此，展开式第4项的系数是280.
(2) 6 的展开式的通项是C(2x)6-k·(－)k＝(－1)k26-kC＝(－1)k·26-kCx3-k.
根据题意，得3－k＝2，即k＝1.
因此，x2的系数是(－1)×25×C＝－192.
跟踪训练　(1) 由已知，得二项展开式的通项为Tk＋1＝C(2 )6-k·＝26-k(－1)kC·，
所以第6项的二项式系数为C＝6，第6项的系数为26-5×(－1)5×C＝－12.
(2) 设展开式中的第k＋1项为含x3的项，则Tk＋1＝Cx9-k＝(－1)kCx9-2k.
令9－2k＝3，得k＝3，
即展开式中第4项含x3，其系数为(－1)3×C＝－84.
【检测反馈】
1. B　易知展开式中含x的项为C1n-1(－2x)1＝－40x，解得n＝20.故n的值为20.
2. D　由题意，得二项式的通项为Tk＋1＝Cx6-k·＝Cx6-k·(－2)k·x－k＝(－2)kCx6-2k，令6－2k＝0，得k＝3，所以展开式中常数项为T4＝(－2)3C＝－160.
3. BCD　令x＝1，则a0＝(2－3)8＝1，故A错误，B正确；令x＝2，则a0＋a1＋a2＋…＋a8＝(4－3)8＝1，故C正确；令x＝0，则a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝(－3)8＝38，故D正确．故选BCD.
4. 4　二项式展开式的第k＋1项为Tk＋1＝C(x3)n－k＝Cx3n-4k，则由题意，得3n－4k≥8，即n≥，当k＝1时，n取得最小的正整数4.
5. 由二项式定理，得＝C(2x)4＋C(2x)3＋C(2x)2＋C(2x)1＋C＝16x4＋16x2＋6＋＋.
6．3.1　二项式定理(2)
【活动方案】
例1　(1) 9　由题意，得T3＝C(x2)n-2·＝C·x2n-5，C＝36，则n＝9.
(2) 5　由题意，得T5＝C(x2)n-4·＝C·x2n-10为常数项，则2n－10＝0，解得n＝5.
(3) 8　由题意，得T7＝C(x2)n-6·＝C·x2n-15为x的一次项，则2n－15＝1，解得n＝8.
例2　(1) 由题意，得前三项系数的绝对值分别为1，C·，C·，且2C·＝1＋C·，即n2－9n＋8＝0，
解得n＝8或n＝1(舍去)，
则展开式的第k＋1项为Tk＋1＝C()8-k·＝Cx，
当＝0时，k＝不是整数，
所以展开式中没有常数项．
(2) 若第k＋1项为有理项，则当且仅当为整数时成立，即当k＝0，4，8时成立，
则展开式中所有的有理项为T1＝x4，T5＝x，T9＝x-2.
例3　由题意，得展开式中含x3项的系数为C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＝5 985.
例4　因为(1－x)5(1＋x＋x2)4＝(1－x)[(1－x)(1＋x＋x2)]4＝(1－x)(1－x3)4，所以展开式中含x7项的系数为－1·C(－1)2＝－6.
例5　因为(x2＋3x＋2)4＝[(x＋1)(x＋2)]4＝(x＋1)4(x＋2)4，所以含x5项的系数为CC·23＋CC·22＋CC·2＋CC＝180.
例6　(1) 　因为1＋C6＋C62＋C63＋…＋C6n＝(1＋6)n＝7n，所以C＋C6＋C62＋…＋C6n-1＝.
(2) (x－1)n　Cxn－Cxn-1＋Cxn-2＋…＋(－1)nC＝(x－1)n.
【检测反馈】
1. A　(x＋1)4－4(x＋1)3＋6(x＋1)2－4(x＋1)＋1＝C(x＋1)4＋C(x＋1)3(－1)1＋C(x＋1)2(－1)2＋C(x＋1)(－1)3＋C(x＋1)0(－1)4＝[(x＋1)－1]4＝x4.
2. A　令x＝1，y＝1，得(2－1＋1)n＝64，解得n＝6，则展开式中x2y3的系数是C·22·C·(－1)3＝－240.
3. AC　(1＋x2)(2＋x)4＝(2＋x)4＋x2(2＋x)4，展开式中x3的系数分为两部分，一部分是(2＋x)4中含x3项的系数C·2＝8，另一部分是(2＋x)4中含x项的系数C·23＝32，所以x3的系数是8＋32＝40，故A正确，B错误；展开式中常数项只有(2＋x)4展开式的常数项24＝16，故C正确，D错误．故选AC.
4. 10　展开式的通项为Tk＋1＝Cx6-k(－x-1)k＝[(－1)kC]·x6-2k，所以(2x2＋1)的展开式中的常数项为2×[(－1)4C]＋1×[(－1)3C]＝2×15－20＝10.
5. (1) 由题意，得C＝C，所以n＝10，
所以C＝C＝120.
故n的值为10，这两项的二项式系数为120.
(2) 由题意，得含x2项的系数为C＋C＋…＋C＝C－C＝285.