7．3.1　离散型随机变量的均值 同步学案（含答案） 2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修3

7．3.1　离散型随机变量的均值
1. 通过实例理解离散型随机变量的均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值．
2. 理解离散型随机变量均值的性质．
3. 会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题．
活动一 背景引入
　　复习巩固：
(1) 离散型随机变量及其分布列的概念：
(2) 离散型分布列的两个性质：
问题1：甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示：
环数X 7 8 9 10
甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4
乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2
如何比较他们射箭水平的高低呢？
问题2：甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同条件下，他们生产100件产品中的不合格品数分别用X1，X2表示，X1，X2的分布列如下表所示：
X1 0 1 2 3
P 0.7 0.1 0.1 0.1
X2 0 1 2 3
P 0.5 0.3 0.2 0
如何比较甲、乙两个工人的技术？
活动二　离散型随机变量的均值　
离散型随机变量的均值：一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝pi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．
说明：上述定义给出了求离散型随机变量均值的方法，高中阶段只研究有限个随机变量的均值的情况．
练习1　(1) 设随机变量X的分布列如下表所示，
X 1 2 3 4 5
P
　　求E(X)；
(2) 从甲、乙两位射击运动员中选择一位参加比赛，现统计了这两位运动员在训练中命中环数X，Y的分布列如下表所示，问：哪名运动员的平均成绩较好？
X 8 9 10
P 0.3 0.1 0.6
　
Y 8 9 10
P 0.2 0.5 0.3
思考
(1) X与E(X)有何区别？
(2) 随机变量的期望和相应数值的算术平均数有什么区别？
活动三　求离散型随机变量的均值　
例1　抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值．
例2　猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名. 某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示．
歌曲 A B C
猜对的概率 0.8 0.6 0.4
获得的公益基金额/元 1 000 2 000 3 000
规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首. 求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值．
例3　在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次得分X的均值是多少？
1. 求离散型随机变量X的期望的基本步骤：
(1) 理解X的意义，写出X可能取的全部值；
(2) 求X取各个值的概率，写出分布列；
(3) 根据分布列，由期望的定义求出E(X) .
2. 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p.
活动四　随机变量均值的性质　
例4　(1) 已知x1，x2，…，xn的平均数为5，则ax1，ax2，…，axn的平均数为________，ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为________；
(2) 已知E(X)＝1，则E(2X＋6)＝________．
练习2　已知随机变量X的分布列为
X －1 0 1
P
且设Y＝2X＋3，则E(Y)＝________．
E(aX＋b)＝ aE(X)＋b.
1. (2024上海期末)设0X 1 2 4
P a b a＋b
则E(X)的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
2. (2024东莞期中)不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球，现从中逐个不放回地摸出小球，直到取出所有红球为止，则摸取次数X的数学期望是(　　)
A. B. C. D.
3. (多选)(2024凉山期末)设随机变量ξ的分布列为P＝ak(k＝1，2，3，4)，则下列结论中正确的是(　　)
A. 10a＝1 B. P(0.3<ξ<0.82)＝0.5
C. E(ξ)＝ D. P(ξ＝1)＝0.3
4. (2024北京西城期末)设随机变量ξ的分布列如下，其中a1，a2，a3成等差数列，且a1，a2，a3∈(0，1).
ξ 0 1 2
P a1 a2 a3
则a2＝________；符合条件的E(ξ)的一个值为________．
5. 不透明的袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n(n＝1，2，3，4)个. 现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．
(1) 求ξ的分布列及均值；
(2) 若η＝aξ＋4，E(η)＝1，求实数a的值．
7.3.1　离散型随机变量的均值
【活动方案】
复习巩固：略
问题1：类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性．假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为，，，.甲n次射箭射中的平均环数为＝7×＋8×＋9×＋10×.
当n足够大时，频率稳定于概率，所以稳定于7×0.1＋8×0.2＋9×0.3＋10×0.4＝9.
即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9，这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平．
同理，乙射中环数的平均值为7×0.15＋8×0.25＋9×0.4＋10×0.2＝8.65.
从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高．
问题2：甲：0×0.7＋1×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，
乙：0×0.5＋1×0.3＋2×0.2＋3×0＝0.7.
由于0.6<0.7，即甲工人生产出的不合格品数的平均值小，从这个意义上讲，甲的技术比乙的技术好．
练习1：(1) E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝3.
(2) E(X)＝8×0.3＋9×0.1＋10×0.6＝9.3，
E(Y)＝8×0.2＋9×0.5＋10×0.3＝9.1，
所以从甲、乙两位射击运动员的均值来看，甲的射击成绩较好．
思考：(1) 随机变量X是可变的，可取不同的值；而期望E(X)是不变的，由X的分布列唯一确定，所以称之为概率分布的数学期望，它反映了X的平均水平．
(2) 期望表示随机变量在随机试验中取值的平均值，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数．
例1　X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，4，5，6.
所以E(X)＝×(1＋2＋3＋4＋5＋6)＝3.5.
例2　分别用A, B, C表示猜对歌曲A，B，C歌名的事件，则A，B，C相对独立．
P(X＝0)＝P()＝0.2，
P(X＝1 000)＝P(A)＝0.8×0.4＝0.32，
P(X＝3 000)＝P(AB)＝0.8×0.6×0.6＝0.288，
P(X＝6 000)＝P(ABC)＝0.8×0.6×0.4＝0.192.
X的分布列如下表所示．
X 0 1 000 3 000 6 000
P 0.2 0.32 0.288 0.192
故E(X)＝0×0.2＋1 000×0.32＋3 000×0.288＋6 000×0.192＝2 336.
例3　因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，
所以E(X)＝0×0.2＋1×0.8＝0.8，
即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8.
例4　(1) 5a　5a＋b　(2) 8
练习2：　E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，则E(Y)＝2E(X)＋3＝.
【检测反馈】
1. C　由分布列的概率和为1，得2(a＋b)＝1，可得a＋b＝，又因为02. D　摸取次数X的可能取值为2，3，4，5，6，7，当X＝k时，第k次取出的必然是红球，而前k－1次中，有且只有一次是红球，其余取出的都是黑球，则P(X＝k)＝＝，故P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，P(X＝5)＝，P(X＝6)＝，P(X＝7)＝，所以摸取次数X的数学期望为E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＋7×＝.
3. ABC　对于A，由a＋2a＋3a＋4a＝1，得10a＝1，故A正确；对于B，由A知，a＝0.1，P(0.3<ξ<0.82)＝P＋P(ξ＝)＝0.2＋0.3＝0.5，故B正确；对于C，P＝0.1，P＝0.2，P＝0.3，P(ξ＝1)＝0.4，所以E(ξ)＝×0.1＋×0.2＋×0.3＋×0.4＝，故C正确；对于D，由A，得P(ξ＝1)＝0.4，故D错误．故选ABC.
4. 　1(答案不唯一)　由题意，得所以a2＝，E(ξ)＝0×a1＋1×a2＋2×a3＝＋2a3，a3∈，所以E(ξ)∈，符合条件的E(ξ)的一个值为1.
5. (1) 由题意，得ξ的分布列如下表所示．
ξ 0 1 2 3 4
P
则E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
(2) 由题意，得E(η)＝aE(ξ)＋4＝1.
又E(ξ)＝，所以a×＋4＝1，解得a＝－2.
故实数a的值为－2.