7．5　正 态 分 布 同步学案（含答案） 2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修3

7．5　正 态 分 布
1. 通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量．
2. 通过具体实例，借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征．
3. 了解正态分布的均值、方差及其含义．
活动一　背景引入　
现实中，除了前面已经研究过的离散型随机变量外，还有大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0. 我们称这类随机变量为连续型随机变量.
问题：自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400 g．由于各种不可控制的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量).用X表示这种误差，则X是一个连续型随机变量．检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐，获得误差X(单位：g)的观测值如下：
－0.6 －1.4 －0.7 3.3 －2.9 －5.2 1.4 0.1 4.4 0.9
－2.6 －3.4 －0.7 －3.2 －1.7 2.9 0.6 1.7 2.9 1.2
0.5 －3.7 2.7 1.1 －3.0 －2.6 －1.9 1.7 2.6 0.4
2.6 －2.0 －0.2 1.8 －0.7 －1.3 －0.5 －1.3 0.2 －2.1
2.4 －1.5 －0.4 3.8 －0.1 1.5 0.3 －1.8 0.0 2.5
3.5 －4.2 －1.0 －0.2 0.1 0.9 1.1 2.2 0.9 －0.6
－4.4 －1.1 3.9 －1.0 －0.6 1.7 0.3 －2.4 －0.1 －1.7
－0.5 －0.8 1.7 1.4 4.4 1.2 －1.8 －3.1 －2.1 －1.6
2.2 0.3 4.8 －0.8 －3.5 －2.7 3.8 1.4 －3.5 －0.9
－2.2 －0.7 －1.3 1.5 －1.5 －2.2 1.0 1.3 1.7 －0.9
思考1
如何描述这100个样本误差数据的分布？
思考2
如果数据无限增多且组距无限缩小，那么频率直方图有什么特征？
活动二　了解正态密度曲线和正态分布的概念　
1. 正态密度曲线：
函数f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，我们称f(x)的图象为正态密度曲线，简称正态曲线．
2. 正态密度曲线图象有如下特征：
(1) 曲线位于x轴的上方，以x轴为渐近线；
(2) 曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
(3) 曲线在x＝μ处达到峰值；
(4) 曲线与x轴之间的面积为1；
(5) 当σ一定时，正态曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；
(6) 当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越扁平，总体的分布越分散；σ越小，曲线越尖陡，总体的分布越集中，如图乙所示．
甲 乙
3. 正态分布
(1) 若随机变量X的概率分布密度函数
为f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布．
(2) 正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2).若随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2).
4. 3σ原则
(1) 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值：
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
(2) 通常服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]之间的值．
5. μ与σ2的含义
μ就是随机变量的均值，σ2就是随机变量的方差．
6. 标准正态分布
当μ＝0，σ＝1时，将正态分布N(0，1)称为标准正态分布．
活动三 正态分布的应用
例1　在某次高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的统计图如图所示(由于人数众多，成绩分布的统计图可视为正态分布)，则由如图曲线可得下列说法中正确的是(　　)
A. 甲科总体的标准差最小
B. 丙科总体的平均数最小
C. 乙科总体的标准差及平均数都居中
D. 甲、乙、丙的总体的平均数不相同
例2　李明上学有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30 min，样本方差为36；骑自行车平均用时34 min，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布．
(1) 估计X，Y的分布中的参数；
(2) 根据(1)中的估计结果，利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线；
(3) 如果某天有38 min可用，李明应选择哪种交通工具？如果某天只有34 min可用，又应该选择哪种交通工具？请说明理由．
解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率，在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．
1. (2024眉山期末)某种生态鱼在某个池塘一年的生长量X(单位：g)服从正态分布N(300，25)，则P(285参考数据：①P(μ－σA. 0.818 6 B. 0.84 C. 0.878 5 D. 0.975 9
2. (2024浙江期中)某医院对该院历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重X服从正态分布N(3.5，σ2)，若P(X>t)＝0.3，则P(X>7－t)的值为(　　)
A. 0.2 B. 0.7 C. 0.8 D. 0.9
3. (多选)已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布N(110，81)，其中90分为及格线，则下列结论中正确的有(附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5)(　　)
A. 该校学生成绩的期望为110　　 B. 该校学生成绩的标准差为9
C. 该校学生成绩的标准差为81　　 D. 该校学生成绩及格率超过95%
4. 已知随机变量X服从正态分布N(a，4)，且P(X≤1)＝0.5，则实数a的值为________．
5. (2024湖北模拟预测)面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节．某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者才能进入面试．面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得1分，答错不得分；第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得2分，答错不得分．
(1) 根据近几年的数据统计，应聘者的笔试得分X服从正态分布N(60，100)，要求满足X≥70为达标，现有1 000人参加应聘，求进入面试环节的人数(结果四舍五入保留整数)；
(2) 某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩Y的分布列与数学期望．
附：若X～N(μ，σ2)(σ>0)，则P(μ－σ7．5　正 态 分 布
【活动方案】
思考1：可用频率分布直方图描述这组误差数据的分布．
思考2：接近一条光滑的钟形曲线．
例1　A　由图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态密度曲线的性质可知σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙．
例2　(1) 随机变量X的样本均值为30，样本标准差为6；随机变量Y的样本均值为34，样本标准差为2.用样本均值估计参数μ，用样本标准差估计参数σ，可以得到X～N(30，62)，Y～N(34，22).
(2) X和Y的分布密度曲线如图所示．
(3) 应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具．由上图可知，P(X≤38)P(Y≤34)，所以如果有38 min可用，那么骑自行车不迟到的概率大，应选择骑自行车；如果只有34 min可用，那么坐公交车不迟到的概率大，应选择坐公交车．
【检测反馈】
1. B　因为μ＝300，σ＝5，所以P(2952. B　因为X～N(3.5，σ2)，所以正态曲线关于直线X＝3.5对称，且＝3.5，所以P(X>t)＝P(X<7－t)＝0.3，所以P(X>7－t)＝1－P(X<7－t)＝1－0.3＝0.7.
3. ABD　因为该校学生的成绩服从正态分布N(110，81)，则μ＝110，方差为σ2＝81，标准差为σ＝9，故A，B正确，C错误；因为μ－2σ＝110－2×9＝92，P(ξ≥90)>P(ξ≥92)＝P(ξ≥μ－2σ)＝＋P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈＋×0.954 5＝0.977 25>0.95，所以该校学生成绩及格率超过95%，故D正确．故选ABD.
4. 1　因为X服从正态分布N(a，4)，所以正态曲线关于直线x＝a对称．又P(X≤1)＝0.5，所以a＝1.
5. (1) 因为X服从正态分布N(60，100)，
所以μ＝60，σ＝10.
因为70＝μ＋σ，所以P(X≥70)≈＝0.158 5，
所以1 000×0.158 5＝158.5≈159(人).
故进入面试环节的人数约为159.
(2) 由题意，得Y的可能取值为0，1，2，3，4，5，
则P(Y＝0)＝×＝；
P(Y＝1)＝×＝；
P(Y＝2)＝×C××＝；
P(Y＝3)＝×C××＝；
P(Y＝4)＝×＝；
P(Y＝5)＝×＝.
所以Y的分布列为
Y 0 1 2 3 4 5
P
所以E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝＝.