8．1.1 变量的相关关系 同步学案（含答案） 2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修3
文档属性
| 名称 | 8．1.1 变量的相关关系 同步学案（含答案） 2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修3 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 166.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-26 23:54:20 | ||
图片预览
文档简介
8．1.1 变量的相关关系
1. 了解变量间的相关关系的含义．
2. 了解变量间的线性相关的含义及正相关、负相关的区别．
活动一 变量间的相关关系
思考1
圆的面积与半径之间的关系是什么关系？球的体积与半径之间的关系又是什么关系？
思考2
子女身高y与父亲身高x、粮食亩产量y与施肥量x、商品销售收入y与广告支出x、空气污染指数y与汽车保有量x之间的关系，可以分别用一个关系式表示吗？
相关关系的定义：
两个变量之间有一定的关系，但没有确定性函数关系，也就是说，相对于确定的自变量，因变量的取值具有随机性的变量之间的关系通常称之为相关关系．换句话说，两个变量之间有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度．
例1 试判断下列各个问题中两个变量之间是否具有相关关系：
(1) 商品的销售价格与其供应量；
(2) 汽车的行驶速度与耗油量；
(3) 真空中自由降落的小球，位移(单位：cm)与时间(单位：s)；
(4) 日降雨量(单位：cm)与空气中污染物浓度(单位：μg/m3).
下列关系中，属于相关关系的是________．(填序号)
①正方形的边长与面积之间的关系；
②人的年龄与他(她)拥有的学识之间的关系；
③出租车费与行驶的里程之间的关系；
④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．
活动二 线性相关关系
因为在相关关系中，变量y的值不能随变量x的值的确定而唯一确定，所以我们无法直接用函数去描述变量之间的这种关系．对于两个变量之间的相关关系，我们往往会根据自己以往积累的经验作出推断．“经验之中有规律”，经验的确可以为我们的决策提供一定的依据，但仅凭经验推断又有不足，如何进行更为科学、严密的推断？
我们需要借助数据说话，即通过样本数据分析，从数据中提取信息，并构建适当的模型，再利用模型进行估计或推断．
例2 在对人体的脂肪含量和年龄之间关系的研究中，科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表所示，表中每个编号下的年龄和脂肪含量数据都是对同一个体的观测结果，它们构成了成对数据．
编号 1 2 3 4 5 6 7
年龄/岁 23 27 39 41 45 49 50
脂肪含量/% 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2
编号 8 9 10 11 12 13 14
年龄/岁 53 54 56 57 58 60 61
脂肪含量/% 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
根据以上数据，你能推断人体的脂肪含量与年龄之间存在怎样的关系吗？
如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，即从图上看，这些散点从左下向右上方向发展的趋势，我们称这两个变量正相关；当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，即从图上看，这些散点从左上向右下方向发展的趋势，我们称这两个变量负相关．
线性相关的定义：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且在散点图中，散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关．
判断两个变量x和y之间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要个别点的位置的影响．
有几组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1 L汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③立方体的棱长和体积．其中两个变量正相关的是( )
A. ①③ B. ②③ C. ② D. ③
思考3
下面三张图，说明了变量之间是什么关系？
图1 图2 图3
一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么就称这两个变量非线性相关或曲线相关．
1. 下列语句所表示的事件中的因素，不具有相关关系的是( )
A. 瑞雪兆丰年 B. 读书破万卷，下笔如有神
C. 吸烟有害健康 D. 喜鹊叫喜，乌鸦叫丧
2. (2024淮北国泰中学期末)对于变量x，y有以下四个散点图，其中可以判断变量x与y负相关的是( )
3. (多选)对小明在连续9次高考模拟数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如图所示的散点图．他的同桌小刚根据散点图对他的数学成绩的分析中，正确的有( )
A. 小明的数学成绩总的趋势是在逐步提高
B. 小明在这连续9次测试中的最高分与最低分的差超过40分
C. 小明的数学成绩与测试序号具有线性相关性，且为负相关
D. 小明的数学成绩与测试序号具有线性相关性，且为正相关
4. 以下是收集到的某物品的销售价格y(单位：万元)和物品的大小x(单位：m2)的数据：
物品大小/m2 11.5 110 80 135 105
销售价格/万元 4.8 21.6 18.4 29.2 22
则根据数据可以判断x，y________相关关系．(填“有”或“无”)
5. 有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出热饮杯数与当天气温的对比表：
温度/ ℃ －5 0 4 7 12 15
热饮杯数 156 150 132 128 130 116
温度/ ℃ 19 23 27 31 36
热饮杯数 104 89 93 76 54
(1) 画出散点图；
(2) 你能从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律吗？
8.1.1 变量的相关关系
【活动方案】
思考1：略
思考2：不可以
例1 (1) 商品的销售价格与其供应量之间具有相关关系. 一般来说，在品质相当的情况下，供应量越大，价格就越低；供应量越小，价格就越高. 某些品牌商品限量供应，就是保持较高价位的销售策略．
(2) 汽车的行驶速度与耗油量之间具有相关关系. 通常情况下，当速度很慢或速度很快时，耗油较多，而在中等车速(不同的汽车范围不一定一样)时，速度稍高，耗油反而较少．
(3) 位移与时间不具有相关关系．根据自由落体运动方程，可知自由降落的小球，位移与时间之间是函数关系．
(4) 日降雨量与空气中污染物浓度之间具有相关关系．通常情况下，降雨量越大，空气中污染物浓度就越低．
跟踪训练 ②④ 在①中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；在②中，一般地，人的年龄与他(她)拥有的学识之间具有相关关系；在③中，出租车费与行驶的里程之间的关系是函数关系；在④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．
例2 为了更加直观地描述成对样本数据中脂肪含量与年龄之间的关系，类似于用直方图描述单个变量样本数据的分布特征，我们用图形展示成对样本数据的变化特征．用横轴表示年龄，纵轴表示脂肪含量，则表中每个编号下的成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成了如图所示的统计图．
观察上图，可以发现，这些散点大致落在一条从左下角到右上角的直线附近，表明随年龄值的增加，相应的脂肪含量值呈现增加的趋势. 这样，由成对样本数据的分布规律，我们可以推断脂肪含量变量和年龄变量之间存在着相关关系．
跟踪训练 C ①是负相关；②是正相关；③是函数关系．
思考3：图1中的散点落在某条曲线附近，而不是落在一条直线附近，说明这两个变量具有相关性，但不是线性相关；类似地，图2中的散点落在一条折线附近，这两个变量也具有相关性，但它们既不是正相关，也不是负相关；图3中的散点杂乱无章，无规律可言，看不出两个变量有什么相关性．
【检测反馈】
1. D “瑞雪兆丰年”和“读书破万卷，下笔如有神”是根据多年经验总结归纳出来的，吸烟有害健康具有科学根据，所以它们都具有相关关系；结合生活经验知喜鹊和乌鸦发出叫声是它们自身的生理反应，与人无任何关系，故D项不具有相关关系．
2. B 对于A，各点分布没有明显相关性，故A错误；对于B，各点分布在一条直线附近，且有负相关性，故B正确；对于C，各点分布在一条抛物线附近，变量之间先呈正相关，后呈负相关，故C错误；对于D，各点分布在一条直线附近，且有正相关性，故D错误．
3. ABD 散点图从左向右看呈上升趋势，则小明的数学成绩总的趋势是在逐步提高，故A正确；小明在这连续9次测试中的最高分大于130分，最低分小于90分，两者的差超过40分，故B正确；散点落在某条直线附近，小明的数学成绩与测试序号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，故C错误，D正确. 故选ABD.
4. 有 物品大小的值由小变大时，销售价格也由小变大，因此两个变量有相关关系．
5. (1) 以x轴表示温度，以y轴表示热饮杯数，可作散点图如图．
(2) 从图中可以看出，散点大致落在一条从左上角到右下角的直线附近，因此气温与热饮销售杯数之间具有负相关关系，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少．
1. 了解变量间的相关关系的含义．
2. 了解变量间的线性相关的含义及正相关、负相关的区别．
活动一 变量间的相关关系
思考1
圆的面积与半径之间的关系是什么关系？球的体积与半径之间的关系又是什么关系？
思考2
子女身高y与父亲身高x、粮食亩产量y与施肥量x、商品销售收入y与广告支出x、空气污染指数y与汽车保有量x之间的关系，可以分别用一个关系式表示吗？
相关关系的定义：
两个变量之间有一定的关系，但没有确定性函数关系，也就是说，相对于确定的自变量，因变量的取值具有随机性的变量之间的关系通常称之为相关关系．换句话说，两个变量之间有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度．
例1 试判断下列各个问题中两个变量之间是否具有相关关系：
(1) 商品的销售价格与其供应量；
(2) 汽车的行驶速度与耗油量；
(3) 真空中自由降落的小球，位移(单位：cm)与时间(单位：s)；
(4) 日降雨量(单位：cm)与空气中污染物浓度(单位：μg/m3).
下列关系中，属于相关关系的是________．(填序号)
①正方形的边长与面积之间的关系；
②人的年龄与他(她)拥有的学识之间的关系；
③出租车费与行驶的里程之间的关系；
④降雪量与交通事故的发生率之间的关系．
活动二 线性相关关系
因为在相关关系中，变量y的值不能随变量x的值的确定而唯一确定，所以我们无法直接用函数去描述变量之间的这种关系．对于两个变量之间的相关关系，我们往往会根据自己以往积累的经验作出推断．“经验之中有规律”，经验的确可以为我们的决策提供一定的依据，但仅凭经验推断又有不足，如何进行更为科学、严密的推断？
我们需要借助数据说话，即通过样本数据分析，从数据中提取信息，并构建适当的模型，再利用模型进行估计或推断．
例2 在对人体的脂肪含量和年龄之间关系的研究中，科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表所示，表中每个编号下的年龄和脂肪含量数据都是对同一个体的观测结果，它们构成了成对数据．
编号 1 2 3 4 5 6 7
年龄/岁 23 27 39 41 45 49 50
脂肪含量/% 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2
编号 8 9 10 11 12 13 14
年龄/岁 53 54 56 57 58 60 61
脂肪含量/% 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6
根据以上数据，你能推断人体的脂肪含量与年龄之间存在怎样的关系吗？
如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，即从图上看，这些散点从左下向右上方向发展的趋势，我们称这两个变量正相关；当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，即从图上看，这些散点从左上向右下方向发展的趋势，我们称这两个变量负相关．
线性相关的定义：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且在散点图中，散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关．
判断两个变量x和y之间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要个别点的位置的影响．
有几组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1 L汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③立方体的棱长和体积．其中两个变量正相关的是( )
A. ①③ B. ②③ C. ② D. ③
思考3
下面三张图，说明了变量之间是什么关系？
图1 图2 图3
一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么就称这两个变量非线性相关或曲线相关．
1. 下列语句所表示的事件中的因素，不具有相关关系的是( )
A. 瑞雪兆丰年 B. 读书破万卷，下笔如有神
C. 吸烟有害健康 D. 喜鹊叫喜，乌鸦叫丧
2. (2024淮北国泰中学期末)对于变量x，y有以下四个散点图，其中可以判断变量x与y负相关的是( )
3. (多选)对小明在连续9次高考模拟数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如图所示的散点图．他的同桌小刚根据散点图对他的数学成绩的分析中，正确的有( )
A. 小明的数学成绩总的趋势是在逐步提高
B. 小明在这连续9次测试中的最高分与最低分的差超过40分
C. 小明的数学成绩与测试序号具有线性相关性，且为负相关
D. 小明的数学成绩与测试序号具有线性相关性，且为正相关
4. 以下是收集到的某物品的销售价格y(单位：万元)和物品的大小x(单位：m2)的数据：
物品大小/m2 11.5 110 80 135 105
销售价格/万元 4.8 21.6 18.4 29.2 22
则根据数据可以判断x，y________相关关系．(填“有”或“无”)
5. 有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出热饮杯数与当天气温的对比表：
温度/ ℃ －5 0 4 7 12 15
热饮杯数 156 150 132 128 130 116
温度/ ℃ 19 23 27 31 36
热饮杯数 104 89 93 76 54
(1) 画出散点图；
(2) 你能从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律吗？
8.1.1 变量的相关关系
【活动方案】
思考1：略
思考2：不可以
例1 (1) 商品的销售价格与其供应量之间具有相关关系. 一般来说，在品质相当的情况下，供应量越大，价格就越低；供应量越小，价格就越高. 某些品牌商品限量供应，就是保持较高价位的销售策略．
(2) 汽车的行驶速度与耗油量之间具有相关关系. 通常情况下，当速度很慢或速度很快时，耗油较多，而在中等车速(不同的汽车范围不一定一样)时，速度稍高，耗油反而较少．
(3) 位移与时间不具有相关关系．根据自由落体运动方程，可知自由降落的小球，位移与时间之间是函数关系．
(4) 日降雨量与空气中污染物浓度之间具有相关关系．通常情况下，降雨量越大，空气中污染物浓度就越低．
跟踪训练 ②④ 在①中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；在②中，一般地，人的年龄与他(她)拥有的学识之间具有相关关系；在③中，出租车费与行驶的里程之间的关系是函数关系；在④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．
例2 为了更加直观地描述成对样本数据中脂肪含量与年龄之间的关系，类似于用直方图描述单个变量样本数据的分布特征，我们用图形展示成对样本数据的变化特征．用横轴表示年龄，纵轴表示脂肪含量，则表中每个编号下的成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成了如图所示的统计图．
观察上图，可以发现，这些散点大致落在一条从左下角到右上角的直线附近，表明随年龄值的增加，相应的脂肪含量值呈现增加的趋势. 这样，由成对样本数据的分布规律，我们可以推断脂肪含量变量和年龄变量之间存在着相关关系．
跟踪训练 C ①是负相关；②是正相关；③是函数关系．
思考3：图1中的散点落在某条曲线附近，而不是落在一条直线附近，说明这两个变量具有相关性，但不是线性相关；类似地，图2中的散点落在一条折线附近，这两个变量也具有相关性，但它们既不是正相关，也不是负相关；图3中的散点杂乱无章，无规律可言，看不出两个变量有什么相关性．
【检测反馈】
1. D “瑞雪兆丰年”和“读书破万卷，下笔如有神”是根据多年经验总结归纳出来的，吸烟有害健康具有科学根据，所以它们都具有相关关系；结合生活经验知喜鹊和乌鸦发出叫声是它们自身的生理反应，与人无任何关系，故D项不具有相关关系．
2. B 对于A，各点分布没有明显相关性，故A错误；对于B，各点分布在一条直线附近，且有负相关性，故B正确；对于C，各点分布在一条抛物线附近，变量之间先呈正相关，后呈负相关，故C错误；对于D，各点分布在一条直线附近，且有正相关性，故D错误．
3. ABD 散点图从左向右看呈上升趋势，则小明的数学成绩总的趋势是在逐步提高，故A正确；小明在这连续9次测试中的最高分大于130分，最低分小于90分，两者的差超过40分，故B正确；散点落在某条直线附近，小明的数学成绩与测试序号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，故C错误，D正确. 故选ABD.
4. 有 物品大小的值由小变大时，销售价格也由小变大，因此两个变量有相关关系．
5. (1) 以x轴表示温度，以y轴表示热饮杯数，可作散点图如图．
(2) 从图中可以看出，散点大致落在一条从左上角到右下角的直线附近，因此气温与热饮销售杯数之间具有负相关关系，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少．