第八章成对数据的统计分析 复习学案（含答案）2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修3
文档属性
| 名称 | 第八章成对数据的统计分析 复习学案（含答案）2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修3 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 156.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-26 23:58:24 | ||
图片预览
文档简介
第八章 成对数据的统计分析
本 章 复 习
1. 理解通过成对样本数据来分析两个随机变量的相关性．
2. 理解利用一元线性回归模型研究变量之间的随机关系，并进行预测．
3. 理解利用2×2列联表检验两个随机变量的独立性．
活动一 知识梳理
1. 最小二乘法
对于一组数据(xi，yi)，i＝1，2，…，n，若它们线性相关，则经验回归方程为=x+．其中＝＝，＝－.
2. 2×2列联表
2×2列联表如下表所示：
B1 B2 合计
A1 a b a＋b
A2 c d c＋d
合计 a＋c b＋d n
其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．
3. 独立性检验
常用随机变量χ2＝来检验两个变量是否有关系．
活动二 回归分析
例1 (2024广东期中)某地政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，取得较好的效果．以下是某农户近5年种植药材的年收入的统计数据：
年份 2019 2020 2021 2022 2023
年份代码x 1 2 3 4 5
年收入y/千元 59 61 64 68 73
(1) 根据表中的数据，现决定使用函数模型y＝bx2＋a来拟合y与x之间的关系，请求出此模型的经验回归方程(结果保留一位小数)；
(2) 统计学中常通过计算残差的平方和来判断模型的拟合效果．在本题中，若残差平方和小于0.5，则认为拟合效果符合要求．请判断(1)中经验回归方程的拟合效果是否符合要求，并说明理由．
活动三 独立性检验
例2 研究人员选取170名青年男女大学生的样本，对他们进行一种心理测验，发现有60名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是：作肯定的有22名，否定的有38名；110名男生在相同的项目上作肯定的有22名，否定的有88名．问：性别与态度之间是否存在某种关系？分别用等高过高堆积条形图和独立性检验的方法判断．
1. (2024天津)下列图中，样本相关系数最大的是( )
2. (2024山东实验中学月考)为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x(单位：dm2)与水生植物的株数y(单位：株)之间的相关关系，收集了4组数据，用模型y＝cekx(c>0)去拟合x与y的关系，设z＝ln y，x与z的数据如下表格所示，得到x与z的经验回归方程为＝1.2x＋，则实数c的值为( )
x 3 4 6 7
z 2 2.5 4.5 7
A. －2 B. －1 C. e-2 D. e-1
3. (多选)(2024临沂一模)下列命题中，正确的是( )
A. 一组样本数据的散点图中，若所有样本点(xi，yi)都在直线y＝0.95x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为0.95
B. 已知随机变量ξ～N(3，4)，若ξ＝2η＋1，则D(η)＝1
C. 在2×2列联表中，若每个数据a，b，c，d均变成原来的2倍，则χ2也变成原来的2倍(χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d)
D. 分别抛掷2枚质地均匀的骰子，若事件A＝“第一枚骰子正面向上的点数是奇数”，B＝“2枚骰子正面向上的点数相同”，则A，B互为独立事件
4. 某商场为一种商品进行合理定价，将该商品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x/元 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9
销量y/件 90 84 83 80 75 68
(1) 按照上述数据，则y关于x的经验回归方程为______________；
(2) 预计在今后的销售中，销量与单价仍然满足(1)中的关系，若该商品的成本是每件7.5元，为使商场获得最大利润，该商品的单价应定为________元．(利润＝销售收入－成本)
5. (2024全国甲卷)某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
优级品 合格品 不合格品 合计
甲车间 26 24 0 50
乙车间 70 28 2 100
合计 96 52 2 150
(1) 填写如下列联表：
优级品 非优级品
甲车间
乙车间
能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？
(2) 已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果 >p＋1.65，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？(参考数据：≈12.247)
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
第八章 成对数据的统计分析
本 章 复 习
【活动方案】
例1 (1) 根据农户近5年种植药材的收入情况的统计数据可得＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3，＝(59＋61＋64＋68＋73)＝65，
设t＝x2，则y＝bx2＋a＝bt＋a，
所以＝(12＋22＋32＋42＋52)＝11，
则b＝＝≈0.6，
a＝－b＝65－×11≈58.6.
故所求经验回归方程为y＝0.6x2＋58.6.
(2) 将x值代入可得估计值分别为59.2，61，64，68.2，73.6，
则残差平方和为(59－59.2)2＋(61－61)2＋(64－64)2＋(68－68.2)2＋(73－73.6)2＝0.44.
因为0.44<0.5，
所以经验回归方程y＝0.6x2＋58.6拟合效果符合要求．
例2 建立性别与态度的2×2列联表如下：
肯定 否定 合计
男生 22 88 110
女生 22 38 60
合计 44 126 170
根据列联表中所给的数据，可求出男生中作肯定态度的频率为＝0.2，女生中作肯定态度的频率为≈0.37.作等高堆积条形图如图，其中两个深色条形的高分别表示男生和女生中作肯定态度的频率，比较图中深色条形的高可以发现，女生中作肯定态度的频率明显高于男生中作肯定态度的频率，因此可以认为性别与态度有关系．
零假设为H0：性别和态度没有关系．
根据列联表中的数据得到
χ2＝≈5.622>3.841＝x0.05.
根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为性别和态度有关系，此推断犯错误的概率不大于0.05.
【检测反馈】
1. A 观察选项可知，A中散点分布比较集中，且集合在某一条直线的附近，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，故A中的样本相关系数最大．
2. C 因为＝＝5，＝＝4，所以4＝1.2×5＋，解得＝－2，所以＝1.2x－2.由z＝ln y，得ln y＝1.2x－2，所以，y＝e1.2x-2＝e-2·e1.2x，则c＝e-2.
3. BCD 对于A，若所有样本点(xi，yi)都在直线y＝0.95x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为1，故A错误；对于B，由ξ～N(3，4)，得D(ξ)＝4.又ξ＝2η＋1，即η＝ξ－，则D(η)＝×D(ξ)＝1，故B正确；对于C，在2×2列联表中，若每个数据a，b，c，d均变成原来的2倍，则χ2＝＝，即χ2也变成原来的2倍，故C正确；对于D，分别抛掷2枚质地均匀的骰子，基本事件总数为6×6＝36，事件A＝“第一枚骰子正面向上的点数是奇数”，则事件A包含的基本事件数为3×6＝18，事件B＝“2枚骰子正面向上的点数相同”，则事件B包含的基本事件数为6×1＝6，所以P(A)＝＝，P(B)＝＝.又事件AB包含的基本事件数为3×1＝3，所以P(AB)＝＝，所以P(AB)＝P(A)×P(B)，则A，B互为独立事件，故D正确．故选BCD.
4. (1)＝－20x＋250 设经验回归方程为＝x＋，由题意知，＝×(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，＝×(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，＝－14，＝0.7，所以＝＝－20，＝－＝80＋20×8.5＝250，所以经验回归方程为＝－20x＋250.
(2) 10 设商场获得的利润为W元，由题意，得W＝x(－20x＋250)－7.5(－20x＋250)＝－20x2＋400x－1 875＝－20(x－10)2＋125，当且仅当x＝10时，W取得最大值，故当单价定为10元时，商场可获得最大利润．
5. (1) 根据题意可得列联表如下：
优级品 非优级品
甲车间 26 24
乙车间 70 30
可得χ2＝＝＝4.687 5，
因为3.841<4.687 5<6.635，
所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异．
(2) 由题意可知生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为＝0.64，
用频率估计概率可得＝0.64，
又因为升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5，
所以p＋1.65＝0.5＋1.65≈0.5＋1.65×≈0.567，
可知>p＋1.65，
所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了．
本 章 复 习
1. 理解通过成对样本数据来分析两个随机变量的相关性．
2. 理解利用一元线性回归模型研究变量之间的随机关系，并进行预测．
3. 理解利用2×2列联表检验两个随机变量的独立性．
活动一 知识梳理
1. 最小二乘法
对于一组数据(xi，yi)，i＝1，2，…，n，若它们线性相关，则经验回归方程为=x+．其中＝＝，＝－.
2. 2×2列联表
2×2列联表如下表所示：
B1 B2 合计
A1 a b a＋b
A2 c d c＋d
合计 a＋c b＋d n
其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．
3. 独立性检验
常用随机变量χ2＝来检验两个变量是否有关系．
活动二 回归分析
例1 (2024广东期中)某地政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，取得较好的效果．以下是某农户近5年种植药材的年收入的统计数据：
年份 2019 2020 2021 2022 2023
年份代码x 1 2 3 4 5
年收入y/千元 59 61 64 68 73
(1) 根据表中的数据，现决定使用函数模型y＝bx2＋a来拟合y与x之间的关系，请求出此模型的经验回归方程(结果保留一位小数)；
(2) 统计学中常通过计算残差的平方和来判断模型的拟合效果．在本题中，若残差平方和小于0.5，则认为拟合效果符合要求．请判断(1)中经验回归方程的拟合效果是否符合要求，并说明理由．
活动三 独立性检验
例2 研究人员选取170名青年男女大学生的样本，对他们进行一种心理测验，发现有60名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是：作肯定的有22名，否定的有38名；110名男生在相同的项目上作肯定的有22名，否定的有88名．问：性别与态度之间是否存在某种关系？分别用等高过高堆积条形图和独立性检验的方法判断．
1. (2024天津)下列图中，样本相关系数最大的是( )
2. (2024山东实验中学月考)为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积x(单位：dm2)与水生植物的株数y(单位：株)之间的相关关系，收集了4组数据，用模型y＝cekx(c>0)去拟合x与y的关系，设z＝ln y，x与z的数据如下表格所示，得到x与z的经验回归方程为＝1.2x＋，则实数c的值为( )
x 3 4 6 7
z 2 2.5 4.5 7
A. －2 B. －1 C. e-2 D. e-1
3. (多选)(2024临沂一模)下列命题中，正确的是( )
A. 一组样本数据的散点图中，若所有样本点(xi，yi)都在直线y＝0.95x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为0.95
B. 已知随机变量ξ～N(3，4)，若ξ＝2η＋1，则D(η)＝1
C. 在2×2列联表中，若每个数据a，b，c，d均变成原来的2倍，则χ2也变成原来的2倍(χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d)
D. 分别抛掷2枚质地均匀的骰子，若事件A＝“第一枚骰子正面向上的点数是奇数”，B＝“2枚骰子正面向上的点数相同”，则A，B互为独立事件
4. 某商场为一种商品进行合理定价，将该商品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x/元 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9
销量y/件 90 84 83 80 75 68
(1) 按照上述数据，则y关于x的经验回归方程为______________；
(2) 预计在今后的销售中，销量与单价仍然满足(1)中的关系，若该商品的成本是每件7.5元，为使商场获得最大利润，该商品的单价应定为________元．(利润＝销售收入－成本)
5. (2024全国甲卷)某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
优级品 合格品 不合格品 合计
甲车间 26 24 0 50
乙车间 70 28 2 100
合计 96 52 2 150
(1) 填写如下列联表：
优级品 非优级品
甲车间
乙车间
能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？
(2) 已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果 >p＋1.65，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？(参考数据：≈12.247)
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
第八章 成对数据的统计分析
本 章 复 习
【活动方案】
例1 (1) 根据农户近5年种植药材的收入情况的统计数据可得＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3，＝(59＋61＋64＋68＋73)＝65，
设t＝x2，则y＝bx2＋a＝bt＋a，
所以＝(12＋22＋32＋42＋52)＝11，
则b＝＝≈0.6，
a＝－b＝65－×11≈58.6.
故所求经验回归方程为y＝0.6x2＋58.6.
(2) 将x值代入可得估计值分别为59.2，61，64，68.2，73.6，
则残差平方和为(59－59.2)2＋(61－61)2＋(64－64)2＋(68－68.2)2＋(73－73.6)2＝0.44.
因为0.44<0.5，
所以经验回归方程y＝0.6x2＋58.6拟合效果符合要求．
例2 建立性别与态度的2×2列联表如下：
肯定 否定 合计
男生 22 88 110
女生 22 38 60
合计 44 126 170
根据列联表中所给的数据，可求出男生中作肯定态度的频率为＝0.2，女生中作肯定态度的频率为≈0.37.作等高堆积条形图如图，其中两个深色条形的高分别表示男生和女生中作肯定态度的频率，比较图中深色条形的高可以发现，女生中作肯定态度的频率明显高于男生中作肯定态度的频率，因此可以认为性别与态度有关系．
零假设为H0：性别和态度没有关系．
根据列联表中的数据得到
χ2＝≈5.622>3.841＝x0.05.
根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为性别和态度有关系，此推断犯错误的概率不大于0.05.
【检测反馈】
1. A 观察选项可知，A中散点分布比较集中，且集合在某一条直线的附近，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，故A中的样本相关系数最大．
2. C 因为＝＝5，＝＝4，所以4＝1.2×5＋，解得＝－2，所以＝1.2x－2.由z＝ln y，得ln y＝1.2x－2，所以，y＝e1.2x-2＝e-2·e1.2x，则c＝e-2.
3. BCD 对于A，若所有样本点(xi，yi)都在直线y＝0.95x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为1，故A错误；对于B，由ξ～N(3，4)，得D(ξ)＝4.又ξ＝2η＋1，即η＝ξ－，则D(η)＝×D(ξ)＝1，故B正确；对于C，在2×2列联表中，若每个数据a，b，c，d均变成原来的2倍，则χ2＝＝，即χ2也变成原来的2倍，故C正确；对于D，分别抛掷2枚质地均匀的骰子，基本事件总数为6×6＝36，事件A＝“第一枚骰子正面向上的点数是奇数”，则事件A包含的基本事件数为3×6＝18，事件B＝“2枚骰子正面向上的点数相同”，则事件B包含的基本事件数为6×1＝6，所以P(A)＝＝，P(B)＝＝.又事件AB包含的基本事件数为3×1＝3，所以P(AB)＝＝，所以P(AB)＝P(A)×P(B)，则A，B互为独立事件，故D正确．故选BCD.
4. (1)＝－20x＋250 设经验回归方程为＝x＋，由题意知，＝×(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，＝×(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，＝－14，＝0.7，所以＝＝－20，＝－＝80＋20×8.5＝250，所以经验回归方程为＝－20x＋250.
(2) 10 设商场获得的利润为W元，由题意，得W＝x(－20x＋250)－7.5(－20x＋250)＝－20x2＋400x－1 875＝－20(x－10)2＋125，当且仅当x＝10时，W取得最大值，故当单价定为10元时，商场可获得最大利润．
5. (1) 根据题意可得列联表如下：
优级品 非优级品
甲车间 26 24
乙车间 70 30
可得χ2＝＝＝4.687 5，
因为3.841<4.687 5<6.635，
所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异．
(2) 由题意可知生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为＝0.64，
用频率估计概率可得＝0.64，
又因为升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5，
所以p＋1.65＝0.5＋1.65≈0.5＋1.65×≈0.567，
可知>p＋1.65，
所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了．