第七章 随机变量及其分布 复习学案（含答案） 2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修3
文档属性
| 名称 | 第七章 随机变量及其分布 复习学案（含答案） 2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修3 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 167.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-26 23:58:34 | ||
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文档简介
第七章 随机变量及其分布
本 章 复 习
1. 了解条件概率的概念，会利用全概率公式计算概率．
2. 理解离散型随机变量及分布列，掌握二项分布，了解超几何分布．
3. 理解离散型随机变量的均值、方差的概念，并能应用其解决一些简单的实际问题．
4. 感悟服从正态分布的随机变量，知道连续型随机变量，了解正态分布曲线特点及曲线所表示的意义．
活动一 知识梳理
1. 条件概率：
(1) 条件概率：在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(B|A)＝.
(2) 概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A).
(3) 全概率公式：P(B)＝P(Ai)P(B|Ai).
2. 离散型随机变量：
(1) 离散型随机变量的概念．
(2) 离散型随机变量分布列：
若随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，xn且P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n①，
则称①为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．
概率分布表：
将①用表格的形式表示为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
此表称为随机变量X的概率分布表．
(3) 分布列的性质：pi≥0，i＝1，2，…，n；p1＋p2＋…＋pn＝1.
3. 离散型随机变量的均值与方差：
(1) 若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi为离散型随机变量X的均值或数学期望．
(2) 离散型随机变量X的分布列为上表所示，则(xi－μ)2(μ＝E(X))描述了xi(i＝1，2，…，n)相对于均值μ的偏离程度，故(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn刻画了随机变量X取值与其均值μ的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X的方差，记为D(X).
方差也可以用公式D(X)＝xpi－μ2计算．
(3) 随机变量X的方差也称为X的概率分布的方差，X的方差D(X)的算术平方根称为X的标准差，即σ(X)＝.
(4) 二项分布：P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.超几何分布：P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．
(5) 若X服从二项分布，则E(X)＝np；D(X)＝np(1－p).
若X服从超几何分布，则E(X)＝；D(X)＝.
4. 正态分布：
(1) 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ＞0为参数，则称随机变量X服从正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2).如果随机变量X服从正态分布，那么记为X～N(μ，σ2).
(2) ①正态总体在三个特殊区间内取值的概率值：
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
②通常服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]之间的值．
活动二 条件概率
例1 深受广大球迷喜爱的某支欧洲足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，甲球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当甲球员出任前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2.
(1) 当他参加比赛时，求球队某场比赛输球的概率；
(2) 当他参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求甲球员担当前锋的概率．
(2024大庆期中)工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，并且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从该厂这批产品中任取一件．
(1) 求取到次品的概率；
(2) 若取到的是次品，则此次品由甲车间生产的概率是多少？
活动三 离散型随机变量及其分布列
例2 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(1) 若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；
(2) 花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；
②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．
例3 (2024沈阳月考)第33届夏季奥林匹克运动会即将于2024年在巴黎举办，其中游泳比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和－p，其中(1) 甲、乙、丙三人中，哪个人进入决赛的可能性更大？
(2) 如果甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为，求p的值；
(3) 在(2)的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为ξ，求ξ的分布列．
活动四 正态分布
例4 (2024泸州二模)统计学中有如下结论：若X～N(μ，σ2)，从X的取值中随机抽取k(k∈N*，k≥2)个数据，记这k个数据的平均值为Y，则随机变量Y～N.据传德国数学家希尔伯特喜欢吃披萨．他每天都会到同一家披萨店购买一份披萨．该披萨店的老板声称自己所出售的披萨的平均质量是500g，上下浮动不超过25g，这句话用数学语言来表达就是：每个披萨的质量服从期望为500g，标准差为25g的正态分布．
(1) 假设老板的说法是真实的，随机购买25份披萨，记这25份披萨质量的平均值为Y，利用上述结论求P(Y≤490)；
(2) 希尔伯特每天都会将买来的披萨称重并记录，25天后，得到的数据都落在区间(475，525)上，并经计算得到25份披萨质量的平均值为4 88.72g，希尔伯特通过分析举报了该老板．试从概率角度说明希尔伯特举报该老板的理由．
附：①随机变量η服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤η≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ≤η≤μ＋2σ)＝0.954 5，P(μ－3σ≤η≤μ＋3σ)＝0.997 3；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生．
1. 已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，若P(X≥－1)＋P(X≥5)＝1，则μ的值为( )
A. －1 B. 1 C. －2 D. 2
2. (2024信阳二模)随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是( )
A. B. C. D.
3. (多选)下列说法中，正确的是( )
A. 若随机变量X服从二项分布B，则P(X＝3)＝
B. 已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.9，则P(0C. 甲、乙、丙三人均准备在3个旅游景点中任选一处去游玩，则在至少有1个景点未被选择的条件下，恰有2个景点未被选择的概率是
D. E(2X＋3)＝2E(X)＋3，D(2X＋3)＝2D(X)＋3
4. (2023武汉月考)已知随机变量X～B(8，p)，Y～N(μ，σ2)，P(Y≥4)＝，且E(X)＝E(Y)，则p＝________．
5. 某售报亭每天以每份0.4元的价格从报社购进若干份报纸，然后以每份1元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的报纸以每份0.1元的价格卖给废品收购站．
(1) 若售报亭一天购进270份报纸，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量x(单位：份，x∈N*)的函数解析式；
(2) 售报亭记录了100天报纸的日需求量(单位：份)，整理得下表．以100天记录的需求量的频率作为各销售量发生的概率．
日需求量x 240 250 260 270 280 290 300
频数 10 20 16 16 15 13 10
①若售报亭一天购进270份报纸，ξ表示当天的利润(单位：元)，求ξ的均值；
②若售报亭计划每天应购进270份或280份报纸，你认为购进270份报纸好，还是购进280份报纸好？请说明理由．
第七章 随机变量及其分布
本 章 复 习
【活动方案】
例1 (1) 设事件A1表示“甲球员担当前锋”；A2表示“甲球员担当中锋 ”；A3表示“甲球员担当后卫”；A4表示“甲球员担当守门员”；B表示“球队输掉某场比赛”，则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＋P(A4)P(B|A4)＝0.2×0.4＋0.5×0.2＋0.2×0.6＋0.1×0.2＝0.32.
(2) P(A1|B)＝＝＝0.25.
跟踪训练 (1) 记事件A表示“取到甲车间生产的产品”，记事件B表示“取到乙车间生产的产品”，记事件C表示“取到丙车间生产的产品”，记事件D表示“取到次品”，
则P(A)＝0.25，P(B)＝0.35，P(C)＝0.4，P(D|A)＝0.05，P(D|B)＝0.04，P(D|C)＝0.02，取到次品的概率为
P(D)＝P(A)P(D|A)＋P(B)P(D|B)＋P(C)P(D|C)＝0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.034 5.
(2) 若取到的是次品，此次品由甲车间生产的概率为P(A|D)＝＝＝＝＝.
例2 (1) 由题意，得当日需求量n≥16时，利润y＝80；
当日需求量n<16时，利润y＝10n－80，
所以y关于n的函数解析式为
y＝(n∈N).
(2) ①X可能的取值为60，70，80，且P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7，
所以X的分布列为
X 60 70 80
P 0.1 0.2 0.7
X的数学期望为E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.
X的方差为D(X)＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.
②答案一：
花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，则Y的分布列为
Y 55 65 75 85
P 0.1 0.2 0.16 0.54
故Y的数学期望为E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4，
Y的方差为D(Y)＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04.
由以上的计算结果，得D(X)另外，虽然E(X)故花店一天应购进16枝玫瑰花．
答案二：
花店一天应购进17枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，则Y的分布列为
Y 55 65 75 85
P 0.1 0.2 0.16 0.54
故Y的数学期望为E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.
由以上的计算结果，得E(X)故花店一天应购进17枝玫瑰花．
例3 (1) 由题意，得甲进入决赛的概率为×＝，乙进入决赛的概率为×＝，
丙进入决赛的概率为p×＝－＋.
又所以乙进入决赛的概率最大，所以乙进入决赛的可能性更大．
(2) 由甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为，
得××[1－p×]＋××[p×(－p)]＋××[p×(－p)]＝，
整理得12p2－16p＋5＝0，解得p＝或p＝，
因为(3) 由(2)知，丙进入决赛的概率为×＝，则甲、乙、丙三人进入决赛的概率分别为，，，
由题意，得随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，
则P(ξ＝0)＝××＝；
P(ξ＝2)＝；
P(ξ＝3)＝××＝；
P(ξ＝1)＝1－－－＝，
所以随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
例4 (1) 由题意，得X～N(500，252)，
又＝25，所以Y～N(500，25)，490＝500－2×5，
所以P(490≤Y≤510)＝0.954 5，
则P(Y≤490)＝＝0.022 75.
(2) 由(1)，得P(Y≤490)＝0.022 75，又希尔伯特计算25份披萨质量的平均值为488.72g，488.72<490.因为0.022 75<0.05，所以25份披萨质量的平均值为488.72g为小概率事件，小概率事件基本不会发生，所以希尔伯特认为老板的说法不真实，这就是他举报该老板的理由．
【检测反馈】
1. D 因为随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，所以其正态密度曲线的对称轴为直线x＝μ.因为P(X≥－1)＋P(X≥5)＝1，且P(X≥－1)＋P(X≤－1)＝1，所以P(X≥5)＝P(X≤－1)，所以μ＝＝2.
2. B 设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D表示“迟到”，由题意，得P(A)＝P(B)＝P(C)＝，P(D|A)＝，P(D|B)＝，P(D|C)＝，则P(D)＝P(A)P(D|A)＋P(B)P(D|B)＋P(C)P(D|C)＝×＝，P(AD)＝P(A)P(D|A)＝×＝，若小明迟到了，则他自驾去上班的概率是P(A|D)＝＝＝.
3. ABC 对于A，若随机变量X服从二项分布B，则P(X＝3)＝C·＝，故A正确；对于B，因为随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，所以正态曲线的对称轴是直线x＝2.因为P(X<4)＝0.9，所以P(X≥4)＝P(X≤0)＝0.1，所以P(04. 因为X～B(8，p)，所以E(X)＝8p.因为Y～N(μ，σ2)，P(Y≥4)＝，所以μ＝4，所以E(X)＝E(Y)＝8p＝4，解得p＝.
5. (1) 当x<270，且x∈N*时，y＝(1－0.4)x＋0.1×(270－x)－0.4×(270－x)＝0.9x－81，
当270≤x，且x∈N*时，y＝270×(1－0.4)＝162，
所以y＝x∈N*.
(2) ①由题意，得ξ的所有可能取值为135，144，153，162,
则P(ξ＝135)＝＝0.1，
P(ξ＝144)＝＝0.2，
P(ξ＝153)＝＝0.16，
P(ξ＝162)＝＝0.54,
所以E(ξ)＝135×0.1＋144×0.2＋153×0.16＋162×0.54＝154.26.
②由题意，得购进报纸280份，当天利润的均值为
y＝(0.6×240－40×0.3)×0.1＋(0.6×250－30×0.3)×0.2＋(0.6×260－20×0.3)×0.16＋(0.6×270－10×0.3)×0.16＋280×0.6×0.38＝154.68，
又154.68>154.26，
所以每天购进280份报纸好．
本 章 复 习
1. 了解条件概率的概念，会利用全概率公式计算概率．
2. 理解离散型随机变量及分布列，掌握二项分布，了解超几何分布．
3. 理解离散型随机变量的均值、方差的概念，并能应用其解决一些简单的实际问题．
4. 感悟服从正态分布的随机变量，知道连续型随机变量，了解正态分布曲线特点及曲线所表示的意义．
活动一 知识梳理
1. 条件概率：
(1) 条件概率：在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(B|A)＝.
(2) 概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A).
(3) 全概率公式：P(B)＝P(Ai)P(B|Ai).
2. 离散型随机变量：
(1) 离散型随机变量的概念．
(2) 离散型随机变量分布列：
若随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1，x2，…，xn且P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n①，
则称①为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．
概率分布表：
将①用表格的形式表示为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
此表称为随机变量X的概率分布表．
(3) 分布列的性质：pi≥0，i＝1，2，…，n；p1＋p2＋…＋pn＝1.
3. 离散型随机变量的均值与方差：
(1) 若离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝xipi为离散型随机变量X的均值或数学期望．
(2) 离散型随机变量X的分布列为上表所示，则(xi－μ)2(μ＝E(X))描述了xi(i＝1，2，…，n)相对于均值μ的偏离程度，故(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn刻画了随机变量X取值与其均值μ的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X的方差，记为D(X).
方差也可以用公式D(X)＝xpi－μ2计算．
(3) 随机变量X的方差也称为X的概率分布的方差，X的方差D(X)的算术平方根称为X的标准差，即σ(X)＝.
(4) 二项分布：P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.超几何分布：P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．
(5) 若X服从二项分布，则E(X)＝np；D(X)＝np(1－p).
若X服从超几何分布，则E(X)＝；D(X)＝.
4. 正态分布：
(1) 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ＞0为参数，则称随机变量X服从正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2).如果随机变量X服从正态分布，那么记为X～N(μ，σ2).
(2) ①正态总体在三个特殊区间内取值的概率值：
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
②通常服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]之间的值．
活动二 条件概率
例1 深受广大球迷喜爱的某支欧洲足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，甲球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当甲球员出任前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2.
(1) 当他参加比赛时，求球队某场比赛输球的概率；
(2) 当他参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求甲球员担当前锋的概率．
(2024大庆期中)工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，并且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从该厂这批产品中任取一件．
(1) 求取到次品的概率；
(2) 若取到的是次品，则此次品由甲车间生产的概率是多少？
活动三 离散型随机变量及其分布列
例2 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(1) 若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式；
(2) 花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差；
②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．
例3 (2024沈阳月考)第33届夏季奥林匹克运动会即将于2024年在巴黎举办，其中游泳比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和－p，其中
(2) 如果甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为，求p的值；
(3) 在(2)的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为ξ，求ξ的分布列．
活动四 正态分布
例4 (2024泸州二模)统计学中有如下结论：若X～N(μ，σ2)，从X的取值中随机抽取k(k∈N*，k≥2)个数据，记这k个数据的平均值为Y，则随机变量Y～N.据传德国数学家希尔伯特喜欢吃披萨．他每天都会到同一家披萨店购买一份披萨．该披萨店的老板声称自己所出售的披萨的平均质量是500g，上下浮动不超过25g，这句话用数学语言来表达就是：每个披萨的质量服从期望为500g，标准差为25g的正态分布．
(1) 假设老板的说法是真实的，随机购买25份披萨，记这25份披萨质量的平均值为Y，利用上述结论求P(Y≤490)；
(2) 希尔伯特每天都会将买来的披萨称重并记录，25天后，得到的数据都落在区间(475，525)上，并经计算得到25份披萨质量的平均值为4 88.72g，希尔伯特通过分析举报了该老板．试从概率角度说明希尔伯特举报该老板的理由．
附：①随机变量η服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤η≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ≤η≤μ＋2σ)＝0.954 5，P(μ－3σ≤η≤μ＋3σ)＝0.997 3；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生．
1. 已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，若P(X≥－1)＋P(X≥5)＝1，则μ的值为( )
A. －1 B. 1 C. －2 D. 2
2. (2024信阳二模)随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是( )
A. B. C. D.
3. (多选)下列说法中，正确的是( )
A. 若随机变量X服从二项分布B，则P(X＝3)＝
B. 已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.9，则P(0
D. E(2X＋3)＝2E(X)＋3，D(2X＋3)＝2D(X)＋3
4. (2023武汉月考)已知随机变量X～B(8，p)，Y～N(μ，σ2)，P(Y≥4)＝，且E(X)＝E(Y)，则p＝________．
5. 某售报亭每天以每份0.4元的价格从报社购进若干份报纸，然后以每份1元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的报纸以每份0.1元的价格卖给废品收购站．
(1) 若售报亭一天购进270份报纸，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量x(单位：份，x∈N*)的函数解析式；
(2) 售报亭记录了100天报纸的日需求量(单位：份)，整理得下表．以100天记录的需求量的频率作为各销售量发生的概率．
日需求量x 240 250 260 270 280 290 300
频数 10 20 16 16 15 13 10
①若售报亭一天购进270份报纸，ξ表示当天的利润(单位：元)，求ξ的均值；
②若售报亭计划每天应购进270份或280份报纸，你认为购进270份报纸好，还是购进280份报纸好？请说明理由．
第七章 随机变量及其分布
本 章 复 习
【活动方案】
例1 (1) 设事件A1表示“甲球员担当前锋”；A2表示“甲球员担当中锋 ”；A3表示“甲球员担当后卫”；A4表示“甲球员担当守门员”；B表示“球队输掉某场比赛”，则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＋P(A4)P(B|A4)＝0.2×0.4＋0.5×0.2＋0.2×0.6＋0.1×0.2＝0.32.
(2) P(A1|B)＝＝＝0.25.
跟踪训练 (1) 记事件A表示“取到甲车间生产的产品”，记事件B表示“取到乙车间生产的产品”，记事件C表示“取到丙车间生产的产品”，记事件D表示“取到次品”，
则P(A)＝0.25，P(B)＝0.35，P(C)＝0.4，P(D|A)＝0.05，P(D|B)＝0.04，P(D|C)＝0.02，取到次品的概率为
P(D)＝P(A)P(D|A)＋P(B)P(D|B)＋P(C)P(D|C)＝0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.034 5.
(2) 若取到的是次品，此次品由甲车间生产的概率为P(A|D)＝＝＝＝＝.
例2 (1) 由题意，得当日需求量n≥16时，利润y＝80；
当日需求量n<16时，利润y＝10n－80，
所以y关于n的函数解析式为
y＝(n∈N).
(2) ①X可能的取值为60，70，80，且P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7，
所以X的分布列为
X 60 70 80
P 0.1 0.2 0.7
X的数学期望为E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.
X的方差为D(X)＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.
②答案一：
花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，则Y的分布列为
Y 55 65 75 85
P 0.1 0.2 0.16 0.54
故Y的数学期望为E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4，
Y的方差为D(Y)＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04.
由以上的计算结果，得D(X)
答案二：
花店一天应购进17枝玫瑰花．理由如下：
若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，则Y的分布列为
Y 55 65 75 85
P 0.1 0.2 0.16 0.54
故Y的数学期望为E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.
由以上的计算结果，得E(X)
例3 (1) 由题意，得甲进入决赛的概率为×＝，乙进入决赛的概率为×＝，
丙进入决赛的概率为p×＝－＋.
又
(2) 由甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为，
得××[1－p×]＋××[p×(－p)]＋××[p×(－p)]＝，
整理得12p2－16p＋5＝0，解得p＝或p＝，
因为
由题意，得随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，
则P(ξ＝0)＝××＝；
P(ξ＝2)＝；
P(ξ＝3)＝××＝；
P(ξ＝1)＝1－－－＝，
所以随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
例4 (1) 由题意，得X～N(500，252)，
又＝25，所以Y～N(500，25)，490＝500－2×5，
所以P(490≤Y≤510)＝0.954 5，
则P(Y≤490)＝＝0.022 75.
(2) 由(1)，得P(Y≤490)＝0.022 75，又希尔伯特计算25份披萨质量的平均值为488.72g，488.72<490.因为0.022 75<0.05，所以25份披萨质量的平均值为488.72g为小概率事件，小概率事件基本不会发生，所以希尔伯特认为老板的说法不真实，这就是他举报该老板的理由．
【检测反馈】
1. D 因为随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，所以其正态密度曲线的对称轴为直线x＝μ.因为P(X≥－1)＋P(X≥5)＝1，且P(X≥－1)＋P(X≤－1)＝1，所以P(X≥5)＝P(X≤－1)，所以μ＝＝2.
2. B 设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D表示“迟到”，由题意，得P(A)＝P(B)＝P(C)＝，P(D|A)＝，P(D|B)＝，P(D|C)＝，则P(D)＝P(A)P(D|A)＋P(B)P(D|B)＋P(C)P(D|C)＝×＝，P(AD)＝P(A)P(D|A)＝×＝，若小明迟到了，则他自驾去上班的概率是P(A|D)＝＝＝.
3. ABC 对于A，若随机变量X服从二项分布B，则P(X＝3)＝C·＝，故A正确；对于B，因为随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，所以正态曲线的对称轴是直线x＝2.因为P(X<4)＝0.9，所以P(X≥4)＝P(X≤0)＝0.1，所以P(0
5. (1) 当x<270，且x∈N*时，y＝(1－0.4)x＋0.1×(270－x)－0.4×(270－x)＝0.9x－81，
当270≤x，且x∈N*时，y＝270×(1－0.4)＝162，
所以y＝x∈N*.
(2) ①由题意，得ξ的所有可能取值为135，144，153，162,
则P(ξ＝135)＝＝0.1，
P(ξ＝144)＝＝0.2，
P(ξ＝153)＝＝0.16，
P(ξ＝162)＝＝0.54,
所以E(ξ)＝135×0.1＋144×0.2＋153×0.16＋162×0.54＝154.26.
②由题意，得购进报纸280份，当天利润的均值为
y＝(0.6×240－40×0.3)×0.1＋(0.6×250－30×0.3)×0.2＋(0.6×260－20×0.3)×0.16＋(0.6×270－10×0.3)×0.16＋280×0.6×0.38＝154.68，
又154.68>154.26，
所以每天购进280份报纸好．