小专题5 利用勾股定理解决最短路径问题 专题练习(含答案)2024-2025学年人教版八年级数学下册

小专题5 利用勾股定理解决最短路径问题
类型1 平面中的最短路径问题
【例1】 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,P 为直线AB 上一动点,连接PC，则线段 PC的最小值是 .
【例2】 如图,A(0,1),B(3,2),点 P 为x轴上任意一点，则PA+PB的最小值为 .
方 法 指导
模型 图例 基本策略
模型一 确定动点 P 所在的直线； 利用对称性，将同侧的A，B两点转化为异侧两点 A',B,则最短路径即为线段A'B; 常构造直角三角形(Rt△CBA'), 利 用勾股定理求解
模型二 利用“垂线段最短”确定最短路径； 构造直角三角形，利用勾股定理求解
针对训练
1.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=8,∠ABC的平分线BD 交AC 于点D,且BD=10,E 是边AB 上一动点,则 DE 的最小值为
2.如图,△ABC为等腰直角三角形,AB=BC=2,Q为BC 的中点,P 为边 AC 上一动点,则BP+PQ的最小值为 .
类型2 几何体中的最短路径问题
【例3】 (教材习题变式)如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面半径等于 3c m.在圆柱的底面点 A 处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点 B 的食物，需要爬行的最短路程是多少(π取3)
【思路点拨】 要求蚂蚁爬行的最短路程，需将空间图形转化为平面图形(即立体图形的平面展开图)，把圆柱沿着过点 A 的直线AA'剪开，因为“两点之间，线段最短”，所以蚂蚁应沿着平面展开图中线段 AB 这条路线走.
方法 指导
几何体中最短路径基本模型如下：
类型 图例
圆柱
长方体
阶梯问题
基本思路 将立体图形展开成平面图形→利用“两点之间，线段最短”确定最短路线→构造直角三角形→利用勾股定理求解
针对训练
3.如图，圆柱形容器的底面周长是24 cm，高为17 cm，在外侧底面 S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1 cm的点 F 处有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长是 ( )
A.20cm
D.24 cm
4.如图，一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为3.5cm ,3. 5cm ,24 cm,一只蚂蚁想从盒底的点 A 沿盒的表面爬到盒顶的点B，则它爬行的最短路程是 cm.
5.如图，有一个边长为6 的正方体木箱，点Q 在上底面的棱上，AQ=2，一只蚂蚁从点 P 出发沿木箱表面爬行到点Q，则蚂蚁爬行的最短路程是 .
6.(本专题 T4 变式)如图，长方体的底面边长分别为1 cm 和3cm,高为6 cm.如果用一根细线从点 A 开始经过四个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要 cm.
7.如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20，3，2，A 和B 是这个台阶两个相对的端点，点A 有一只蚂蚁，想到点 B 去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点 B 的最短路程是 .
8.(2023·广安)如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点 A 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点 B处，则蚂蚁从外壁 B 处到内壁A 处所走的最短路程为 cm.(杯壁厚度不计)
9.如图，长方体的高为5cm ，底面长为4 cm，宽为1 cm.
(1)点 A 到点 C 之间的距离是多少
(2)若一只蚂蚁从长方体的表面点 A 爬到点C ，则爬行的最短路程是多少
小专题5 利用勾股定理解决最短路径问题【例1】
【例2】 3
【例3】 解：平面展开图略.由题意，得 3=9 cm. 在 Rt△AA'B 中,根据勾股定理,得 ∴需要爬行的最短路程是15 cm.
针对训练
1.6 2. 3. A 4.25 5.10 6.10 7.25 8.10
9.解:(1)∵长方体的高为5cm,底面长为4 cm,宽为1 cm,∴A C = (2)图1 略, 图 2 略, 图3 略, ∴爬行的最短路程是