小专题4 利用勾股定理解决折叠问题 专题练习(含答案)2024-2025学年人教版八年级数学下册
文档属性
| 名称 | 小专题4 利用勾股定理解决折叠问题 专题练习(含答案)2024-2025学年人教版八年级数学下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 51.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-27 07:44:48 | ||
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文档简介
小专题4 利用勾股定理解决折叠问题
【例】 如图，在直角三角形纸片ABC中，∠B=90°,AB=8,BC=6,折叠三角形纸片ABC,使点 A 与 BC 的中点 D 重合,折痕为MN,求线段BN的长.
【思路点拨】 先求得BD的长，由翻折的性质可知 AN=DN,设 BN=x,则 AN=DN=8--x,在Rt△DBN中,由勾股定理列出关于x的方程求解即可.
方法 指导
解决折叠问题的关键是抓住对称性.勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长时，可利用勾股定理直接计算，也可设未知数，由勾股定理列出方程，运用方程思想解决问题.
针对训练
1.如图,在长方形ABCD中,AB=3 cm,AD=9 cm，将此长方形折叠，使点B 与点 D 重合，折痕为 EF，则△ABE的面积为 ( )
A.3 cm B.4 cm C.6 cm D.12 cm
2.如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=4,BC=3.将斜边AB翻折,使点 B落在直角边 AC 的延长线上的点 E 处，折痕为AD,则 BD的长为 ( )
A. B.1.5 C. D.3
3.如图，正方形纸片ABCD的边长为3，E，F分别在边 BC,CD上,将 AB,AD 分别沿AE,AF 折叠,点 B,D 恰好都落在点 G 处.若BE=1,则EF的长为 .
4.如图,在长方形ABCD中,AB=5,BC=6,P是射线BC 上一动点，l为长方形ABCD 的一条对称轴，将△ABP沿AP 折叠，当点 B 的对应点B'落在l上时，BP 的长为 .
5.如图,在长方形 ABCD 中,E 是AD 的中点,将△ABE 沿直线BE 折叠后得到△GBE,延长 BG交CD 于点F.
(1)求证:DF=FG.
(2)若AB=6,BC =96,求DF的长.
小专题4 利用勾股定理解决折叠问题
【例】 解:∵D为BC的中点,∴BD=CD=3.设BN=x,则AN=DN=8-x.在Rt△BDN中,由勾股定理,得( 解得 故 BN的长为
针对训练
1. C 2. C 3. 4. 或15
5.解:(1)证明:由折叠的性质可知,∠A=∠EGB=90°,AE=EG.∵E是AD的中点,∴AE=EG=DE.在 Rt△EGF 和 Rt△EDF 中,{EG=ED,∴Rt△EGF≌Rt△EDF(HL).∴DF=GF.(2)设 DF=x,则GF=x,BF=6+x,CF=6-x.在Rt△BFC中, +BC ,即( ,解得x=4.∴DF的长为4.
【例】 如图，在直角三角形纸片ABC中，∠B=90°,AB=8,BC=6,折叠三角形纸片ABC,使点 A 与 BC 的中点 D 重合,折痕为MN,求线段BN的长.
【思路点拨】 先求得BD的长，由翻折的性质可知 AN=DN,设 BN=x,则 AN=DN=8--x,在Rt△DBN中,由勾股定理列出关于x的方程求解即可.
方法 指导
解决折叠问题的关键是抓住对称性.勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式，求线段的长时，可利用勾股定理直接计算，也可设未知数，由勾股定理列出方程，运用方程思想解决问题.
针对训练
1.如图,在长方形ABCD中,AB=3 cm,AD=9 cm，将此长方形折叠，使点B 与点 D 重合，折痕为 EF，则△ABE的面积为 ( )
A.3 cm B.4 cm C.6 cm D.12 cm
2.如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=4,BC=3.将斜边AB翻折,使点 B落在直角边 AC 的延长线上的点 E 处，折痕为AD,则 BD的长为 ( )
A. B.1.5 C. D.3
3.如图，正方形纸片ABCD的边长为3，E，F分别在边 BC,CD上,将 AB,AD 分别沿AE,AF 折叠,点 B,D 恰好都落在点 G 处.若BE=1,则EF的长为 .
4.如图,在长方形ABCD中,AB=5,BC=6,P是射线BC 上一动点，l为长方形ABCD 的一条对称轴，将△ABP沿AP 折叠，当点 B 的对应点B'落在l上时，BP 的长为 .
5.如图,在长方形 ABCD 中,E 是AD 的中点,将△ABE 沿直线BE 折叠后得到△GBE,延长 BG交CD 于点F.
(1)求证:DF=FG.
(2)若AB=6,BC =96,求DF的长.
小专题4 利用勾股定理解决折叠问题
【例】 解:∵D为BC的中点,∴BD=CD=3.设BN=x,则AN=DN=8-x.在Rt△BDN中,由勾股定理,得( 解得 故 BN的长为
针对训练
1. C 2. C 3. 4. 或15
5.解:(1)证明:由折叠的性质可知,∠A=∠EGB=90°,AE=EG.∵E是AD的中点,∴AE=EG=DE.在 Rt△EGF 和 Rt△EDF 中,{EG=ED,∴Rt△EGF≌Rt△EDF(HL).∴DF=GF.(2)设 DF=x,则GF=x,BF=6+x,CF=6-x.在Rt△BFC中, +BC ,即( ,解得x=4.∴DF的长为4.